2024年高中數(shù)學第二章直線和圓的方程2.5直線與圓圓與圓的位置關系2.5.2圓與圓的位置關系學案新人教A版選擇性必修第一冊

．5直線與圓、圓與圓的位置關系2．5.2圓與圓的位置關系[課程目標]1.理解圓與圓的位置關系的種類.2.駕馭圓與圓的位置關系的代數(shù)推斷方法與幾何推斷方法，能夠利用上述方法推斷兩圓的位置關系.學問點圓與圓位置關系的判定(1)幾何法：若兩圓的半徑分別為r1，r2，兩圓的圓心距為d，則兩圓的位置關系的判定方法如下：位置關系外離外切相交內切內含圖示d與r1，r2的關系d>r1＋r2d＝r1＋r2|r1－r2|<d<r1＋r2d＝|r1－r2|0<d<|r1－r2|(2)代數(shù)法：通過兩圓方程組成方程組的公共解的個數(shù)進行判定．將圓C1和圓C2的方程聯(lián)立，消去y(或x)得到關于x(或y)的一元二次方程．①Δ>0，圓C1和圓C2__相交__；②Δ＝0，圓C1和圓C2__相切__；③Δ<0，圓C1和圓C2__外離或內含__．[研讀](1)圓和圓相離，兩圓無公共點，它包括外離和內含；圓和圓相切，兩圓有且只有一個公共點，它包括內切和外切．(2)判定兩圓位置關系時，結合圖形易于推斷分析，而從兩圓方程動身往往比較煩瑣且不精確，可充分利用兩圓圓心距與兩圓半徑的和差的比較進行推斷．eq\a\vs4\al(【思辨】)推斷下列命題是否正確.(正確的打“√”，錯誤的打“×”)(1)假如兩個圓的方程組成的方程組只有一組實數(shù)解，則兩圓外切．(×)(2)假如兩圓的圓心距小于兩圓的半徑之和，則兩圓相交．(×)(3)從兩圓的方程中消掉二次項后得到的二元一次方程是兩圓的公共弦所在的直線方程.(×)(4)若兩圓外切，則兩圓有且只有一個公共點，反之也成立．(×)eq\o(\s\up7(),\s\do5(圓與圓位置關系的推斷))eq\a\vs4\al\co1(例1)實數(shù)k為何值時，兩圓C1：x2＋y2＋4x－6y＋12＝0，C2：x2＋y2－2x－14y＋k＝0相交、相切、外離？解：將兩圓的一般方程化為標準方程，C1：(x＋2)2＋(y－3)2＝1，圓心為C1(－2，3)，半徑r1＝1，C2：(x－1)2＋(y－7)2＝50－k，圓心為C2(1，7)，半徑r2＝eq\r(50－k)(k<50).從而|C1C2|＝eq\r(（－2－1）2＋（3－7）2)＝5.當1＋eq\r(50－k)＝5，即k＝34時，兩圓外切．當|eq\r(50－k)－1|＝5，即eq\r(50－k)＝6，即k＝14時，兩圓內切．當|eq\r(50－k)－1|<5<1＋eq\r(50－k)，即14<k<34時，兩圓相交．當eq\r(50－k)＋1<5，即34<k<50時，兩圓外離．[規(guī)律方法]推斷兩圓的位置關系或利用兩圓的位置關系求參數(shù)的取值范圍有以下幾個步驟(1)化成圓的標準方程，寫出圓心和半徑；(2)計算兩圓圓心的距離d；(3)通過d，r1＋r2，|r1－r2|的關系來推斷兩圓的位置關系或求參數(shù)的范圍，必要時可借助于圖形，數(shù)形結合．活學活用圓x2＋y2－2y＝0與圓(x－4)2＋(y＋2)2＝4的位置關系是(A)A．外離B．相交C．外切D．內切【解析】圓的方程x2＋y2－2y＝0化為x2＋(y－1)2＝1，所以兩圓圓心分別為(0，1)，(4，－2)，則圓心距為eq\r(（4－0）2＋（－2－1）2)＝5.由d＝5>r1＋r2＝1＋2，所以兩圓外離．eq\o(\s\up7(),\s\do5(兩圓相切問題))eq\a\vs4\al\co1(例2)(1)【多選題】若圓C1：(x－1)2＋y2＝1與圓C2：x2＋y2－8x＋8y＋m＝0相切，則m等于(AC)A．16B．7C．－4D．9【解析】圓C1的圓心為(1，0)，半徑為1；圓C2化為(x－4)2＋(y＋4)2＝32－m，表示以(4，－4)為圓心，半徑等于eq\r(32－m)(m<32)的圓．由題意，兩個圓內切時，兩圓的圓心距等于半徑之差的肯定值，可得5＝|eq\r(32－m)－1|，解得m＝－4.兩個圓外切時，兩圓的圓心距等于半徑之和，可得5＝eq\r(32－m)＋1，解得m＝16，綜上，m的值為－4或16.(2)已知兩圓x2＋y2－2x－6y－1＝0和x2＋y2－10x－12y＋m＝0.①求m取何值時兩圓外切；②求m取何值時兩圓內切，并求出此時兩圓公切線的方程．解：①兩圓的標準方程分別為C1：(x－1)2＋(y－3)2＝11，C2：(x－5)2＋(y－6)2＝61－m，圓心分別為C1(1，3)，C2(5，6)，半徑分別為eq\r(11)和eq\r(61－m)(m<61).當兩圓外切時，eq\r(（5－1）2＋（6－3）2)＝eq\r(11)＋eq\r(61－m)，解得m＝25＋10eq\r(11).②當兩圓內切時，因為圓C1的半徑eq\r(11)小于兩圓圓心距5，故有eq\r(61－m)－eq\r(11)＝5，解得m＝25－10eq\r(11).因為kC1C2＝eq\f(6－3,5－1)＝eq\f(3,4)，所以兩圓公切線的斜率是－eq\f(4,3).設切線方程為y＝－eq\f(4,3)x＋b，則有eq\f(\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\f(4,3)×1＋3－b)),\r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4,3)))\s\up12(2)＋1))＝eq\r(11)，解得b＝eq\f(13,3)±eq\f(5,3)eq\r(11).簡單驗證，當b＝eq\f(13,3)＋eq\f(5,3)eq\r(11)時直線與圓C2相交，舍去．故所求公切線方程為y＝－eq\f(4,3)x＋eq\f(13,3)－eq\f(5,3)eq\r(11)，即4x＋3y＋5eq\r(11)－13＝0.[規(guī)律方法]處理兩圓相切問題的兩個步驟(1)定性，即必需精確把握是內切還是外切，若只是已知相切，則必需分兩圓內切和外切兩種狀況探討．(2)轉化思想，即將兩圓相切的問題轉化為兩圓的圓心距等于兩圓半徑之差的肯定值(內切時)或兩圓半徑之和(外切時).活學活用與圓x2＋y2－2x＝0外切且與直線x＋eq\r(3)y＝0相切于點M(3，－eq\r(3))的圓的方程為__(x－4)2＋y2＝4或x2＋(y＋4eq\r(3))2＝36__．【解析】已知圓的方程可化為(x－1)2＋y2＝1，則圓心為C(1，0)，半徑為1.設所求圓的方程為(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r>0).由題意，可得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\r(（a－1）2＋b2)＝r＋1，,\f(b＋\r(3),a－3)×\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(\r(3),3)))＝－1，,\f(|a＋\r(3)b|,2)＝r，))解得a＝4，b＝0，r＝2或a＝0，b＝－4eq\r(3)，r＝6.即所求圓的方程為(x－4)2＋y2＝4或x2＋(y＋4eq\r(3))2＝36.eq\o(\s\up7(),\s\do5(兩圓相交問題))eq\a\vs4\al\co1(例3)已知圓C1：x2＋y2＋6x－4＝0和圓C2：x2＋y2＋6y－28＝0.(1)求兩圓公共弦所在直線的方程；(2)求經過兩圓交點且圓心在直線x－y－4＝0上的圓的方程．解：(1)由題意可推斷兩圓相交，設兩圓交點為A(x1，y1)，B(x2，y2)，則A，B兩點坐標是方程組eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x2＋y2＋6x－4＝0，,x2＋y2＋6y－28＝0))的解，將兩方程相減，得x－y＋4＝0.因為A，B兩點坐標都滿意此方程，所以x－y＋4＝0即為兩圓公共弦所在直線的方程．(2)方法一：解上述方程組，得兩圓的交點A(－1，3)，B(－6，－2)或A(－6，－2)，B(－1，3).設所求圓的圓心為(a，b)，因圓心在直線x－y－4＝0上，故b＝a－4.則eq\r(（a＋1）2＋（a－4－3）2)＝eq\r(（a＋6）2＋（a－4＋2）2)，解得a＝eq\f(1,2)，故圓心為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，－\f(7,2)))，半徑為eq\r(\f(89,2)).故圓的方程為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(1,2)))eq\s\up12(2)＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(y＋\f(7,2)))eq\s\up12(2)＝eq\f(89,2)，即x2＋y2－x＋7y－32＝0.方法二：設所求圓的方程為x2＋y2＋6x－4＋λ(x2＋y2＋6y－28)＝0(λ≠－1)，其圓心為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(3,1＋λ)，－\f(3λ,1＋λ)))，代入x－y－4＝0，解得λ＝－7.故所求圓的方程為x2＋y2－x＋7y－32＝0.[規(guī)律方法](1)兩圓相交時，公共弦所在的直線方程的求法若圓C1：x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＝0與圓C2：x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2＝0相交，則兩圓公共弦所在直線的方程為(D1－D2)x＋(E1－E2)y＋F1－F2＝0.(2)兩圓公共弦長的求法①代數(shù)法：將兩圓的方程聯(lián)立，解出交點坐標，利用兩點間的距離公式求出弦長．②幾何法：求出公共弦所在直線的方程，利用圓的半徑、半弦長、弦心距構成的直角三角形，依據(jù)勾股定理求解．(3)圓系方程①過直線l與圓C的交點的圓的方程已知直線l：Ax＋By＋C＝0與圓C：x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0相交，則過直線l與圓C交點的圓的方程可設為x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＋λ(Ax＋By＋C)＝0(λ∈R).②過兩圓的交點的圓的方程已知圓C1：x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＝0與圓C2：x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2＝0相交，則過兩圓交點的圓的方程可設為x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＋λ(x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2)＝0(λ≠－1).活學活用已知兩圓x2＋y2－2x＋10y－24＝0和x2＋y2＋2x＋2y－8＝0.(1)推斷兩圓的位置關系；(2)求公共弦所在的直線方程；(3)求公共弦的長度．解：(1)將兩圓方程配方化為標準方程，則C1：(x－1)2＋(y＋5)2＝50，C2：(x＋1)2＋(y＋1)2＝10，則圓C1的圓心坐標為(1，－5)，半徑為r1＝5eq\r(2)，圓C2的圓心坐標為(－1，－1)，半徑為r2＝eq\r(10).又∵|C1C2|＝2eq\r(5)，r1＋r2＝5eq\r(2)＋eq\r(10)，|r1－r2|＝|5eq\r(2)－eq\r(10)|，∴|r1－r2|<|C1C2|<r1＋r2，∴兩圓相交．(2)將兩圓方程相減，得公共弦所在的直線方程為x－2y＋4＝0.(3)方法一：由(2)知圓C1的圓心(1，－5)到直線x－2y＋4＝0的距離為d＝eq\f(|1－2×（－5）＋4|,\r(1＋（－2）2))＝3eq\r(5)，∴公共弦長為l＝2eq\r(req\o\al(\s\up1(2),\s\do1(1))－d2)＝2eq\r(50－45)＝2eq\r(5).方法二：設兩圓相交于點A，B，則A，B兩點滿意方程組eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\b\lc\(\a\vs4\al\co1(x－2y＋4＝0，,x2＋y2＋2x＋2y－8＝0，))))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\b\lc\(\a\vs4\al\co1(x＝－4，,y＝0))))或eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\b\lc\(\a\vs4\al\co1(x＝0，,y＝2，))))∴|AB|＝eq\r(（－4－0）2＋（0－2）2)＝2eq\r(5).即公共弦長為2eq\r(5).1．兩圓x2＋y2－1＝0和x2＋y2－4x＋2y－4＝0的位置關系是(B)A．內切B．相交C．外切D．外離2．圓O1：x2＋y2－6x＋16y－48＝0與圓O2：x2＋y2＋4x－8y－44＝0的公切線條數(shù)為(C)A．4B．3C．2D．13．過圓x2＋y2＋6x＋4y＝0和x2＋y2＋4x＋2y－4＝0的交點的直線的方程是(A)A．x＋y＋2＝0B．x＋y－2＝0C．5x＋3y－2＝0D．5x＋3y＋2＝04．圓x2＋y2－4x＋6y＝0和圓x2＋y2－6x＝0交于A，B兩點，則AB的垂直平分線的方程是(C)A．x＋y＋3＝0B．2x－y－5＝0C．3x－y－9＝0D．4x－3y＋7＝05．圓O1：x2＋y2＝1與圓O2：(x－2)2＋y2＝3相交得到公共弦AB，則eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(AB))＝(C)A．1B．eq\r(2)C．eq\r(3)D．2【解析】將圓O2方程化為x2＋y