勾股定理及證明-2020-2021學年八年級數(shù)學下冊?？碱}（人教版）（解析版）

專題06勾股定理及證明

★知識歸納

?勾股定理

直角三角形兩直角邊的平方和等于斜邊的平方.如果直角三角形的兩直角邊長分別為。，b,斜邊長為c,那么

a2+b2=。2.

要點梳理：（1）勾股定理揭示了一個直角三角形三邊之間的數(shù)量關系.

（2）利用勾股定理，當設定一條直角邊長為未知數(shù)后，根據(jù)題目已知的線段長可以建立方程求解,

這樣就將數(shù)與形有機地結合起來，達到了解決問題的目的.

（3）理解勾股定理的一些變式：

a1=c2-h2,b2=c2-a2,c2=（a+b）2-2ab.

?勾股定理的證明

方法一：將四個全等的直角三角形拼成如圖（1）所示的正方形.

圖⑴中“力?、?（a+4=c2+4x%8,所以川+川入？.

方法二：將四個全等的直角三角形拼成如圖（2）所示的正方形.

圖中S埒.⑦=，=9-a）2+4xl%所以1=/+/?

At/>/2

1

方法三：如圖（3）所示，將兩個直角三角形拼成直角梯形.

￡皿5=g+膽+'）=2XL：+。，所以

?勾股定理的作用

1.已知直角三角形的任意兩條邊長，求第三邊；

2.用于解決帶有平方關系的證明問題；

3.利用勾股定理，作出長為后的線段.

★實操夯實

選擇題（共13小題）

1.在Rt^ABC中，兩條直角邊的長分別為5和12,則斜邊的長為（）

A.6B.7C.10D.13

【解答】解：由勾股定理得，斜邊長=452+122=13,

故選：D.

2.如圖，OP=1,過點P作尸P」O尸且尸Pl=l,得OP1=M；再過點Pl作PlP2,OPl且尸1尸2=1,得。尸2=?;

又過點P2作P2P3,0尸2且P2P3=1,得OP3=2…依此法繼續(xù)作下去，得OP2（M7=（)

2

5P

p,2

OP

A.V2015B.V2016C.V2017D.V2018

【解答】解：；OP=1,0尸|=圾，0尸2=“，OP3=T=2,

**?OP44[2+]2=5/5,

OP2017=V2018.

故選：D.

3.直角三角形兩直角邊長為“，江斜邊上高為/z,則下列各式總能成立的是（）

A.ab—h2B.a2+/>2—2/z2

—工D,J-+J-=J-

222

abhabh

【解答】解：根據(jù)直角三角形的面積可以導出：斜邊。=也.

h

再結合勾股定理：cr+lr=c1.

22

進行等量代換，得。2+廿=三與

h2

兩邊同除以a%-‘得」_一

a2b2h2

故選：D.

4.如圖，陰影部分是一個長方形，它的面積是（）

3

A.3cw2B.4czM2C.5cm2D.6cm1

【解答】解：由勾股定理得：.2+42=5(cm),

，陰影部分的面積=5X1=5(C/M2)；

故選：C.

5.如圖，在RtAABC中，NAC8=90°,AB=4.分別以AC,BC為直徑作半圓，面積分別記為Si,52,則Si+52

的值等于()

A.2TCB.3nC.4TTD.8TT

【解答】解：；51=工71(AC)2=2^462,S2=—nBC2,

2288

...SI+S2=1TT(AC2+BC2)——nAB2—2TT.

88

故選：A.

6.若一直角三角形的兩邊長分別是6,8,則第三邊長為()

A.10B.2A/7C.10或幺々D.14

【解答】解：設第三邊為X,

①當8是斜邊，則62+X2=82,

②當8是直角邊，則62+82=/解得犬=10,

4

解得x=2V7.

，第三邊長為10或20.

故選：C.

7.如圖，在數(shù)軸上，點A,3對應的實數(shù)分別為1,3,BC±AB,BC=1,以點A為圓心，AC為半徑畫弧交數(shù)軸

正半軸于點P,則尸點對應的實數(shù)為()

01231P4

A.V5+1B.V5C.V5+3D.4-V5

【解答】解：?.?點4,8對應的實數(shù)分別為1,3,

."8=2,

/.ZABC=90",

?"0=融2+802=322+]2=旄,

則”=旄，

尸點對應的實數(shù)為加+1,

故選：A.

8.如圖，在RI/V1BC中，N8C4=90°,△布8中48邊上的高等于AB的長度，中8。邊上的高等于BC

的長度，△“AC中AC邊上的高等于AC的長度，且△3B,△Q8C的面積分別是10和8,則△4CH的面積是

()

Q

H

5

A.2B.4C.6D.9

【解答】解：在RtZ\ABC中，ZBCA=90°,

222

：.AC+BC=ABf

：.AA^+^BC2=A/IB2,

222

中AB邊上的高等于AB的長度，Z^Q8c中BC邊上的高等于BC的長度，。中AC邊上的高等于

AC的長度，且△B48,△QBC的面積分別是10和8,

.?.△ACH的面積是10-8=2.

故選：A.

9.下面是證明勾股定理的四個圖形，其中是軸對稱圖形的是（）

n廖

【解答】解：A、不是軸對稱圖形，故此選項不符合題意；

8、不是軸對稱圖形，故此選項不符合題意；

C、是軸對稱圖形，故此選項符合題意；

。、不是軸對稱圖形，故此選項不符合題意；

故選：C.

10.如圖，分別以直角^ABC三邊為邊向外作三個正方形，其面積分別用51、5：2、S3表示，若S2=7,53=2,那么

5i=()

6

A.9B.5C.53D.45

【解答】解：在RtZkABC中，AB2=BC2+AC2,

S2=B&S3=AC2,

Sl=S2+53.

VS2=7,53=2,

???Si=7+2=9.

故選：A.

11.如圖，由兩個直角三角形和三個大正方形組成的圖形，其中陰影部分面積是（）

D.169

根據(jù)勾股定理得出：AB={AC?-BC2132-122二5,

：.EF=AB=5,

???陰影部分面積是25,

7

故選：B.

12.在△ABC中，A8=AC=5,BC=6,M是2c的中點，MNLAC于點、N,則MN=()

A.A?.B.A/61C.6D.11

5

【解答】解：連接AM,

'：AB^AC,點M為BC中點、,

.'.AM-LCM(三線合一)，BM=CM,

'：AB=AC^5,8c=6,

:.BM=CM=3,

在RtZ\ABM中，AB=5,BM=3,

=22

,根據(jù)勾股定理得：AMVAB-BM=>/52-32=4,

又SMMC=—MN-AC=—AM'MC,

22

絲.

AC5

故選：A.

13.ZVIBC中，AB=17,4c=10,高AO=8,則△ABC的周長是（）

A.54B.44C.36或48D.54或33

【解答】解：分兩種情況：

①如圖1所示：

8

BD

圖1

YAQ是8c邊上的高，

.?./ADB=N4OC=90°,

?■?SD=VAB2-AD2=V172-82=I5,CD=VAC2-AD2=V102-82=6,

BC=BD+CD=15+6=21；

此時，ZViBC的周長為：AB+BC+AC=17+10+21=48.

②如圖2所示：

同①得：80=15,CD=6,

：.BC=BD-CD=\5-6=9；

此時，△ABC的周長為：AB+BC+AC^17+10+9=36.

綜上所述：△A8C的周長為48或36.

故選：C.

二.填空題(共3小題)

14.平面直角坐標系上有點A(-3,4),則它到坐標原點的距離為5

【解答】解：?點A(-3,4),

.?.它到坐標原點的距離='(一,2+42=5,

9

故答案為：5.

15.如圖，在RtZVlBC中，N4CB=90°,AC=9,BC=12,則點C到AB的距離CD=衛(wèi)3

一5一

【解答】解：在RtZ\ABC中，乙4cB=90°,

:.AC2+BC2=AB2,

VBC=12,AC=9,

;MB=VAC2+BC2=V92+122=I5,

■:XABC的面積=LU8C=LB。,

22

?.?V^x.-x_—ACXBC—_9X12—_36,

AB155

故答案為：36.

5

16.如圖，在RtZiABC中，ZC=90°,BE,AF分別是NABC,NCAB平分線，BE,AF交于點。，OM_LAB,AB

=10,AC=8,則OM=2.

【解答】解：過。作。G,AC于G,OHLBC于H,連接OC,

10

TAF平分NCA8,BE平分NA8C,

OG=OH=OM,

VZC=90°,AB=10,AC=8,

BC=yjio2_g2=6

：.S.MBC=—AC-BC=工XA3OM+^AC-OG+工BUOH,

2222

.■蔣X8X6=/xI。XOM+98義°G+/x6XOH,

：.OM=2,

故答案為：2.

三.解答題(共12小題)

17.如圖，已知△ABC中，ZACB=90°,過點B作BZ)〃AC,交NACB的平分線CQ于點。，CD交AB于點E.

(1)求證：BC=BD；

(2)若AC=3,AB=6,求CO的長.

11

【解答】（1）證明：u：ZACB=90°,平分NAC8,

：.ZBCD=ZACD=^-ZACB=^X90°=45°,

22

?/80〃AC,

：.ZD=ZACD=45°,

：.ZD=ZBCD,

：.BC=BD；

(2)解：在RtAACB中，BC=寸AB2_AC2={62_32=35/"^,

:.BD=3M，

VZBCD=ZD=45°,

；.NCBD=90°,

,CD=VBC2+BD2=V(3V3)2+(3V3)2=3a^-

18.以“、人為直角邊，以c為斜邊作全等的直角三角形aACE和△BDE,把這兩個直角三角形拼成如圖所示形狀,

使A、E、8三點在一條直線上.求證：a2+b2^c2.

【解答】證明：由圖可得，—X(a+b)Ca+b)=—ab+—c2+—ab,

2222

999

整理得a+2ab+b4_2ab+c

22-

則a2-^2ab+b2=2ab+c2,

故a2+b2=c1.

12

19.如圖，在△ABC中，ZC=90°,NB=30°,A。是△ABC的角平分線，DELAB,垂足為E,DE=1,求BC

的長.

【解答】解：是△ABC的角平分線，ZC=90°,DEA.A13,

：.DC=DE=\,

在RtZXOEB中，ZB=30°,

：.BD=2DE=2,

:.BC=CD+BD=3.

20.如圖，在四邊形ABC。中，AB=AD=4,乙4=60°,ZADC=150°,CD=3,求BC的長.

【解答】解：連接08,如右圖所示,

'：AB=AD=4,ZA=60",

...△A3。是等邊三角形，

：.BD=AB=4,/AOB=6(T,

VZADC=\50°,

A90°,

又,：CD=3,

22=22=5,

BC=VBD<D74+3

13

即8C的長是5.

21.在△ABC中，AD平分N8AC交8C于點。，在AB上取一點E,使得EA=ED.

(1)求證：DE//AC；

(2)若ED=EB,BD=2,E4=3,求AD的長.

【解答】(1)證明：?.?A。平分NBAC,

AZ1=Z2,

,:EA=ED,

AZ1=Z3,

AZ2=Z3,

：.DE//AC；

(2)解法一：?;ED=EB,ED=EA,

:?EA=EB=3,ZB=Z4.

：.AB=6t

又???￡)￡〃AC,

JZ4=ZC.

14

AZB=ZC.

又=AD=AD,

.??△84力g△CAD

.??ZADB=ZADC.

VZADB+ZADC=180°,

AZADB=ZADC=9Q°,

在中，由勾股定理得：AD=VAB2-BD2=W2,

解法二：,:ED=EB,ED=EA,

AZB=Z4,ED=EB=EA=3.

?,.A5=6,

在aAB0中，N8+N4+N3+N1=180°,

VZ1=Z3,ZB=Z4,

.??NB+N4+N3+N1=2/3+2/4=180°.

???N4O5=N3+N4=90°.

在RtAABO中，由勾股定理得：AD=7AB2-BD2=V2,

22.如圖，在四邊形A3CO中，AB=AD=6fNA=60°,BC=10,CD=8.

15

(1)求NAQC的度數(shù)；

(2)求四邊形A8C7)的面積.

【解答】解：（1）連接BC,

'：AB=AD=6,NA=60°,

...△A3。是等邊三角形，

：.BD=6,4力8=60°,

V￡fC=10,CO=8,

則BlJr+CD2=82+62=100,BC2=IO2=IOO,

:.B0+C0=B2

：.ZBDC=90a,

Z4DC=150°；

（2）S=SA,ABD+SABDC

=XAD'^-AD+—BD*DC

222

=_LX6X返X6+^X8X6

222

=9-\/54-24.

23.在△ABC中，AC=2\,BC=\3,點。是AC所在直線上的點，BDLAC,BD=\2.

16

(1)根據(jù)題意畫出圖形，求A。的長;

(2)若點E是AB邊上的動點，連接CE,求線段OE的最小值.

【解答】解：(1)①當NAC8為銳角時，

如圖所示：

'：BD±AC,8c=13,80=12,

C￡>=7BC2-BD2=V132-122=5,

：.AD=AC-CD=2]-5=16：

②當/AC8為鈍角時，

同理可得:40=21+5=26,

故AD為16或26；

(2)①當乙4c8為銳角時，

當時，DE最短，

J4B=VAD2+BD2=V162+122=2。,

VAAD?DB=AAB*D￡,

22

.?.DE=￥X12=9.6,

20

當NAC8為鈍角時，

則AB=7AD2+BD2=V262+122=2^2051

17

同理可得：―=AD?BD—12X26—156屆

AB2V205205

線段DE使得最小值為9.6或受返恒.

205

22

a+

24.已知P=2ab+b+^±.(/,^O,a手-h)

b(a+b)b

(1)化簡P.

(2)如圖所示，若a,6是RtZ\A8C的兩條直角邊，且/A=3O°,求產(chǎn)的值.

a2+2ab+b2+a-b(a+b)2+a-ba+b+a-b2a即2a.

【解答】解：(1)P=

b(a+b)bb(a+b)bbbb

(2)Va,。是RiA48C的兩條直角邊，且NA=3O°,

.\AB=2a.

又?；AB2=°2+b2,

.\4a1=a1+h2,

.,.3t72=Z72,

**?b—.

.D_2a_2a_2^3

bV3a3

即尸的值是空號.

3

18

B

25.如圖，在平面直角坐標系中，點A（4,如）,點8在x軸的正半軸上,且OB=5.

（1）寫出點8的坐標；

（2）求AB的長.

【解答】解：（1）如圖，：點8在1的正半軸上，且。8=5,

:.點B的坐標是（5,0）；

（2）如圖，過點4作ACLOB于點C,

:點4（4,加）,

；.8C=5-4=1,AC=?.

在直角AABC中，由勾股定理得：A，=正2+BC2=5/（5）2+12.即AB=2.

26.尺規(guī)作圖：作無理數(shù)相.

作法：

①在數(shù)軸上點A,B,C分別表示-2,-1,0,分別以點A,8為圓心，AB長為半徑畫弧，兩弧交于點。;

19

②連接C￡>,以點C為圓心，CD長為半徑畫弧，交數(shù)軸正半軸于點尸.則點P表示的數(shù)就是無理數(shù)

(1)判斷△AC。的形狀，并說明理由；

(2)說明點P表示的數(shù)就是無理數(shù)遂的理由.

—________>

-3-2-101723V

【解答】解：(1)△ACD是直角三角形，

理由：由題意可得，

AD=AB=BD=BC=l,

???△A3。是等邊三角形，NBDC=NBCD,

：.ZDAB=60°,ZDBA=60°,

,:NDBA=NBDC+/BCD,

：.ZBCD=30Q,

/.ZADC=1800-ZDAB-ZBCD=90°,

???△AC。是直角三角形；

(2)???△ACO是直角三角形，AD=],AC=2,ZADC=90°,

"：22

CPVAC-AD=722-12=

?：CD=CP,

CP—yf2,

?.?點C表示的數(shù)為0,

.??點？表示的數(shù)就是無理數(shù)

27.如圖1,RtZXABC中，ACLCB,AC=15,AB=25,點力為斜邊上動點.

(1)如圖2,過點。作DE_L48交CB于點E,連接AE,當AE平分/C48時，求CE；

20

(2)如圖3,在點。的運動過程中，連接CQ,若△4C。為等腰三角形，求AD

【解答】解：(1)-：AC±CB,AC=15,AB=25

BC=20,

平分/CA8,

NEAC=ZEAD,

'：AC±CB,DELAB,

：.ZEDA=ZECA=90°,

"：AE^AE,

.?.—ADE(44S),

:.CE=DE,AC=AD=15,

設CE=x,則8E=20-x,BD=25-15=10

在RtABED中

/.x2+l02=(20-x)2,

，x=7.5,

：.CE=1.5.

(2)①當AQ=AC時，△ACO為等腰三角形

VAC=15,

21

：.AD=AC=\5.

②當C￡>=AO時，△ACD為等腰三角形

,:CD=AD,

：.ZDCA=ZCAD,

???/C45+NB=90°