2022-2023學年廣西防城港市某中學高三第二次階段性測試數(shù)學試題

2022-2023學年廣西防城港市高級中學高三第二次階段性測試數(shù)學試題

注意事項

1.考生要認真填寫考場號和座位序號。

2.試題所有答案必須填涂或書寫在答題卡上，在試卷上作答無效。第一部分必須用2B鉛筆作答；第二部分必須用黑

色字跡的簽字筆作答。

3.考試結束后，考生須將試卷和答題卡放在桌面上，待監(jiān)考員收回。

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。

1.如圖，在三棱柱ABC-AgG中，底面為正三角形，側棱垂直底面，4?=4A&=8.若E,尸分別是棱CC

上的點，且=C/=；CG，則異面直線AE與A/所成角的余弦值為()

「V13

L?-----

13

2.某歌手大賽進行電視直播，比賽現(xiàn)場有6名特約嘉賓給每位參賽選手評分，場內外的觀眾可以通過網(wǎng)絡平臺給每位

參賽選手評分.某選手參加比賽后，現(xiàn)場嘉賓的評分情況如下表，場內外共有數(shù)萬名觀眾參與了評分，組織方將觀眾評

分按照[70,80),[80,90),[90/00]分組，繪成頻率分布直方圖如下：

嘉賓ABCDEF

評分969596899798

嘉賓評分的平均數(shù)為鼻，場內外的觀眾評分的平均數(shù)為E，所有嘉賓與場內外的觀眾評分的平均數(shù)為最，則下列選項

正確的是()

-x,+x,,-x,+x———-x.+x

B.x>-------2C.x<------2-D.x.>x>x>-----2-

22272

21

3.如圖，在AABC中，AN=-NC,P是BN上一點，若AP=rAB+-AC,則實數(shù)f的值為()

33

23

C.2D.

564

4.2019年10月1日，為了慶祝中華人民共和國成立70周年，小明、小紅、小金三人以國慶為主題各自獨立完成一

幅十字繡贈送給當?shù)氐拇逦瘯?，這三幅十字繡分別命名為“鴻福齊天”、“國富民強”、“興國之路”，為了弄清“國富民強”

這一作品是誰制作的，村支書對三人進行了問話，得到回復如下：

小明說：“鴻福齊天”是我制作的；

小紅說：“國富民強”不是小明制作的，就是我制作的；

小金說：“興國之路”不是我制作的，

若三人的說法有且僅有一人是正確的，貝!J“鴻福齊天”的制作者是()

A.小明B.小紅C.小金D.小金或小明

5.已知復數(shù)二p=l—bi,其中。，匕eR,i是虛數(shù)單位，則|。+同=()

A.-l+2zB.1C.5D.75

x-y..D

6.已知％)，滿足x+y..O,則金的取值范圍為()

?x—2

X..1

一3'

A.-,4B.(1,2]C.(-<?,0]J[2,+oo)D.(-oo,l)kj[2,+oo)

7.將函數(shù)/(x)=sin2x的圖象向左平移Q個單位長度，得到的函數(shù)為偶函數(shù)，則。的值為()

717171

B.C.D.

12~677

8.復數(shù)(a-i)(2-i)的實部與虛部相等，其中i為虛部單位，則實數(shù)。二()

9.港珠澳大橋于2018年10月2刻日正式通車，它是中國境內一座連接香港、珠海和澳門的橋隧工程，橋隧全長55

千米.橋面為雙向六車道高速公路,大橋通行限速100&加/力,現(xiàn)對大橋某路段上1000輛汽車的行駛速度進行抽樣調查.畫

出頻率分布直方圖（如圖），根據(jù)直方圖估計在此路段上汽車行駛速度在區(qū)間［85,90）的車輛數(shù)和行駛速度超過

的頻率分別為（）

頻率

A.300,0.25B.300,0.35C.60,0.25D.60,0.35

10.直線-一、■?--、不一，經(jīng)過橢圓.的左焦點—，交橢圓于--兩點，交-軸于一點，若

-2+w=M二>二>0）口u,u

=--〒，則該橢圓的離心率是（）

AS-lB-也C-W-2D.07

J

11.某工廠只生產(chǎn)口罩、抽紙和棉簽，如圖是該工廠2017年至2019年各產(chǎn)量的百分比堆積圖（例如：2017年該工

廠口罩、抽紙、棉簽產(chǎn)量分別占4（）%、27%、33%）,根據(jù)該圖，以下結論一定正確的是（）

A.2019年該工廠的棉簽產(chǎn)量最少

B.這三年中每年抽紙的產(chǎn)量相差不明顯

C.三年累計下來產(chǎn)量最多的是口罩

D.口罩的產(chǎn)量逐年增加

12.命題“Vx￡(O,l),er>ln爐'的否定是()

-A

A.Vx€(O,l),e<lnxB.3x0G(0,1),^°>lnx0

x

C.3x()G(0,l),e~°<lnx0D.3x0e(0,l),e-^°<lnx0

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

13.記實數(shù)%,％2，，%中的最大數(shù)為max｛x"2，、X"｝,最小數(shù)為min｛%,與,，土｝.已知實數(shù)掇ky且三數(shù)能構

成三角形的三邊長，若f=貝v的取值范圍是______.

口>J〔xyJ

14.已知向量。出滿足(a+2b)?(a-。)=一6,且|。|=1,|/?|=2,貝!lcos<o,/?>=.

,、，、S“3〃+5用

15.記等差數(shù)列｛q｝和也｝的前〃項和分別為S,,和7；,若寧萬，貝ijR=.

16.某公司生產(chǎn)甲、乙兩種桶裝產(chǎn)品.已知生產(chǎn)甲產(chǎn)品1桶需耗A原料1千克、3原料2千克；生產(chǎn)乙產(chǎn)品1桶需耗A

原料2千克，8原料1千克.每桶甲產(chǎn)品的利潤是300元,每桶乙產(chǎn)品的利潤是400元.公司在生產(chǎn)這兩種產(chǎn)品的計劃中,

要求每天消耗A8原料都不超過12千克.通過合理安排生產(chǎn)計劃，從每天生產(chǎn)的甲、乙兩種產(chǎn)品中，公司共可獲得的

最大利潤是__________元.

三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。

22n>

17.(12分)設橢圓。：0+m=1(。>匕>0)的離心率為芋，圓0:/+,2=2與關軸正半軸交于點A,圓。在點

A處的切線被橢圓C截得的弦長為2及.

(1)求橢圓。的方程；

(2)設圓。上任意一點P處的切線交橢圓C于點M,N,試判斷|尸加卜|取|是否為定值？若為定值，求出該定值；若

不是定值，請說明理由.

r22

18.(12分)設點6(-c,0),鳥(c,0)分別是橢圓C：J+2v_=l(a>2)的左，右焦點，P為橢圓C上任意一點，且

a24

州/6的最小值為1.

y

（2）如圖，直線/:x=5與x軸交于點￡,過點B且斜率左。（）的直線4與橢圓交于48兩點，M為線段EF2的中

點，直線AM交直線/于點N,證明：直線BNLI.

19.（12分）在中國，不僅是購物，而且從共享單車到醫(yī)院掛號再到公共繳費，日常生活中幾乎全部領域都支持手機

支付.出門不帶現(xiàn)金的人數(shù)正在迅速增加。中國人民大學和法國調查公司益普索合作，調查了騰訊服務的6000名用戶，

從中隨機抽取了60名，統(tǒng)計他們出門隨身攜帶現(xiàn)金（單位：元）如莖葉圖如示，規(guī)定：隨身攜帶的現(xiàn)金在100元以下

（不含100元）的為“手機支付族”，其他為“非手機支付族”.

男性女性

035

7408

885535

20605男性女性合計

870手機支付族

38558

095非手機支付族

850001000

98220115合計

50001208

55420130

6610145

54320156

5016

（1）根據(jù)上述樣本數(shù)據(jù),將2x2列聯(lián)表補充完整，并判斷有多大的把握認為“手機支付族”與“性別”有關?

（2）用樣本估計總體，若從騰訊服務的用戶中隨機抽取3位女性用戶，這3位用戶中“手機支付族”的人數(shù)為求隨

機變量4的期望和方差；

（3）某商場為了推廣手機支付，特推出兩種優(yōu)惠方案，方案一：手機支付消費每滿1000元可直減100元；方案二：

手機支付消費每滿1000元可抽獎2次，每次中獎的概率同為!，且每次抽獎互不影響，中獎一次打9折，中獎兩次

打8.5折.如果你打算用手機支付購買某樣價值120（）元的商品，請從實際付款金額的數(shù)學期望的角度分析，選擇哪種優(yōu)

惠方案更劃算？

附：

PgNk。）0.0500.0100.001

k。3.8416.63510.828

K?_n(ad-bc),

(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)

20.(12分)2019年安慶市在大力推進城市環(huán)境、人文精神建設的過程中，居民生活垃圾分類逐漸形成意識.有關部門

為宣傳垃圾分類知識，面向該市市民進行了一次“垃圾分類知識”的網(wǎng)絡問卷調查，每位市民僅有一次參與機會，通過

抽樣，得到參與問卷調查中的1000人的得分數(shù)據(jù)，其頻率分布直方圖如圖：

(1)由頻率分布直方圖可以認為，此次問卷調查的得分Z服從正態(tài)分布N(M，210),〃近似為這1000人得分的平均

值(同一組數(shù)據(jù)用該區(qū)間的中點值作代表)，利用該正態(tài)分布，求尸(50.5<Z<94)；

(2)在(1)的條件下，有關部門為此次參加問卷調查的市民制定如下獎勵方案：

(O得分不低于〃可獲贈2次隨機話費，得分低于〃則只有1次：

(u)每次贈送的隨機話費和對應概率如下：

贈送話費(單位：元)1020

2

概率

33

現(xiàn)有一位市民要參加此次問卷調查，記x(單位：元)為該市民參加問卷調查獲贈的話費，求X的分布列.附:

7210=14.5.若ZNM則<〃+3)=0.6826,尸(〃-23<Z<〃+23)=0.9544.

21.（12分）已知函數(shù)=-x+alnx（a<0）,且/（x）只有一個零點.

（1）求實數(shù)。的值；

⑵若%氣，且/（不）=/（%2），證明:x1+x2>2.

22.（10分）如圖，在四棱錐P-ABCD中，P"平面ABCD,底面A8CD是矩形，AD=PD,E,尸分別是

CD,PB的中點.

（I）求證：所，平面243；

（H）設AB=6BC=3，求三棱錐P-AEE的體積.

參考答案

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。

1、B

【解析】

建立空間直角坐標系，利用向量法計算出異面直線AE與A/所成角的余弦值.

【詳解】

依題意三棱柱底面是正三角形且側棱垂直于底面.設A8的中點為。，建立空間直角坐標系如下圖所示.所以

4（0-2,8）,E（O,2,4）,A（0,-2,0）,F（-273,0,6）,所以AE=（0,4,-4）,AE=（-273,2,6卜所以異面直線AE與

A.EAF8-24V26

Ab所成角的余弦值為

|A4M472x2713-13

故選：B

【點睛】

本小題主要考查異面直線所成的角的求法，屬于中檔題.

2、C

【解析】

計算出工、兀，進而可得出結論.

【詳解】

96+95+96+89+97+98

由表格中的數(shù)據(jù)可知，玉=?95.17,

6

由頻率分布直方圖可知，9=75x0.2+85x0.3+95x0.5=88,則(＞兀,

由于場外有數(shù)萬名觀眾，所以，

故選：B.

【點睛】

本題考查平均數(shù)的大小比較，涉及平均數(shù)公式以及頻率分布直方圖中平均數(shù)的計算，考查計算能力，屬于基礎題.

3、C

【解析】

—2—

由題意，可根據(jù)向量運算法則得到AP=gmAC+(1-m)A8,從而由向量分解的唯一性得出關于f的方程，求出

f的值.

【詳解】

由題意及圖，AP^AB+BP^AB+mBN^AB+m(AN-AB)^mAN+(1-m)AB,

___9_2_____P2

又，AN=-NC,所以AN=—AC,：.AP^-mAC+(l-/n)AB，

1-m=t

又AP=tA8+gAC,所以21，解得t=，，

153

故選C.

【點睛】

本題考查平面向量基本定理，根據(jù)分解的唯一性得到所求參數(shù)的方程是解答本題的關鍵，本題屬于基礎題.

4、B

【解析】

將三個人制作的所有情況列舉出來，再一一論證.

【詳解】

依題意，三個人制作的所有情況如下所示：

123456

鴻福齊天小明小明小紅小紅小金小金

國富民強小紅小金小金小明小紅小明

興國之路小金小紅小明小金小明小紅

若小明的說法正確，則均不滿足；若小紅的說法正確，則4滿足；若小金的說法正確，則3滿足.故“鴻福齊天”的制作

者是小紅，

故選：B.

【點睛】

本題考查推理與證明，還考查推理論證能力以及分類討論思想，屬于基礎題.

5、D

【解析】

試題分析：由生絲=1—6，得2—5=*1一次)=8+，,.?.“=-1,8=2,則

a+bi^-l+2i,：.\a+可=|-1+2i\=^(-1)2+22=石，故選D.

考點：1、復數(shù)的運算；2、復數(shù)的模.

6、C

【解析】

v—3

設％=則攵的幾何意義為點(x,y)到點(2,3)的斜率，利用數(shù)形結合即可得到結論.

x-2

【詳解】

解：設左=二，則%的幾何意義為點P(x,y)到點0(2,3)的斜率,

x-2

由圖可知當過點。的直線平行于x軸時，此時攵=2二=0成立;

x-2

女=「?y—3取所有負值都成立;

x-2

V—3］x=ly—31—3

當過點A時，攵=匕不取正值中的最小值，c=>A(l,l),此時女=—=丁二=2；

x-2［九一)，=0x-21-2

y—3

故^一的取值范圍為(-8,0］」2,+8)；

x-2

故選：C.

【點睛】

本題考查簡單線性規(guī)劃的非線性目標函數(shù)函數(shù)問題，解題時作出可行域，利用目標函數(shù)的幾何意義求解是解題關鍵.對

于直線斜率要注意斜率不存在的直線是否存在.

7、D

【解析】

利用三角函數(shù)的圖象變換求得函數(shù)的解析式，再根據(jù)三角函數(shù)的性質，即可求解，得到答案.

【詳解】

將將函數(shù)=sin2x的圖象向左平移。個單位長度,

可得函數(shù)g(x)=sin[2(x+刈=sin(2x+29)

jr'TTk'TF

又由函數(shù)g(x)為偶函數(shù)，所以2e=,+&肛丘Z,解得夕=1+萬次€2,

7TTT

因為O<04一,當k=0時，（P=~,故選D.

24

【點睛】

本題主要考查了三角函數(shù)的圖象變換，以及三角函數(shù)的性質的應用，其中解答中熟記三角函數(shù)的圖象變換，合理應用

三角函數(shù)的圖象與性質是解答的關鍵，著重考查了推理與運算能力，屬于基礎題.

8、B

【解析】

利用乘法運算化簡復數(shù)i）即可得到答案.

【詳解】

由已知，（a—i）（2—i）=2a—1-3+2）"所以2a—1=—a—2,解得a=—；.

故選：B

【點睛】

本題考查復數(shù)的概念及復數(shù)的乘法運算，考查學生的基本計算能力，是一道容易題.

9、B

【解析】

由頻率分布直方圖求出在此路段上汽車行駛速度在區(qū)間［85,90）的頻率即可得到車輛數(shù)，同時利用頻率分布直方圖能

求行駛速度超過90初?/〃的頻率.

【詳解】

由頻率分布直方圖得：

在此路段上汽車行駛速度在區(qū)間［85,90）的頻率為0.06x5=0.3,

,在此路段上汽車行駛速度在區(qū)間［85,90）的車輛數(shù)為：0.3x1000=300,

行駛速度超過90km/h的頻率為：（0.05+0.02）x5=0.35.

故選：B.

【點睛】

本題考查頻數(shù)、頻率的求法，考查頻率分布直方圖的性質等基礎知識，考查運算求解能力，是基礎題.

10、A

【解析】

由直線--.~~+."7=【過橢圓的左焦點-,得到左焦點為-->且-.一~—；,

再由壬■=-'三三，求得一.，代入橢圓的方程，求得―-進而利用橢圓的離心率的計算公式，即可求解.

一一2

【詳解】

由題意，直線一一二二，經(jīng)過橢圓的左焦點二，令二-0'解得_

所以二=、二，即橢圓的左焦點為二―；?，且二?一二?二；①

直線交-軸于-;、，所以，——,二————■>

_一（15/,/心一一|一'1,一一]一..]一——.

因為二二二，所以--=；，所以r，

又由點-在橢圓上，得②

1三+二一4

于十5s4

由二二，可得.?二：—二J二:4,=0，解得一；“

丁=2

所以?~.r

八于=用="地=（。-，）

所以橢圓的離心率為_「

故選A.

【點睛】

本題考查了橢圓的幾何性質——離心率的求解，其中求橢圓的離心率（或范圍），常見有兩種方法：①求出二二，代入

公式②只需要根據(jù)一個條件得到關于-------的齊次式，轉化為--的齊次式，然后轉化為關于-的方程，即可

i口ps，HWvU?U>—?-U

得二的值（范圍）.

11、C

【解析】

根據(jù)該廠每年產(chǎn)量未知可判斷A、B、D選項的正誤，根據(jù)每年口罩在該廠的產(chǎn)量中所占的比重最大可判斷C選項的

正誤.綜合可得出結論.

【詳解】

由于該工廠2017年至2019年的產(chǎn)量未知，所以，從2017年至2019年棉簽產(chǎn)量、抽紙產(chǎn)量以及口罩產(chǎn)量的變化無法

比較，故A、B、D選項錯誤；

由堆積圖可知，從2017年至2019年，該工廠生產(chǎn)的口罩占該工廠的總產(chǎn)量的比重是最大的，則三年累計下來產(chǎn)量最

多的是口罩，C選項正確.

故選：C.

【點睛】

本題考查堆積圖的應用，考查數(shù)據(jù)處理能力，屬于基礎題.

12、D

【解析】

根據(jù)全稱命題的否定是特稱命題，對命題進行改寫即可.

【詳解】

全稱命題的否定是特稱命題，所以命題“Vxe（O,l）,er>lnx”的否定是：m與€（0,1）,

故選D.

【點睛】

本題考查全稱命題的否定，難度容易.

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

13、[1,匕罵

2

【解析】

[12

試題分析顯軟X[又?]]X

試題分析：顯然max-,一；=】，又mm.v

[xyJ[xy

、?‘、-[丘—?入

①當?,<廠時，r=2,作出可行區(qū)域.<A+1,因拋物線i=丁與直線，=及=」】在第一象限內的交點分

*L<x2

別是（1,1）和j出成立拉;?.，從而]<r<i"

?雪-1

：1Sxiy

②當j2『時，r=x,作出可行區(qū)域.〈人-1,因拋物線；=『與直線=及j=-1在第一象限內的交點分

卜少

別是（1,1）和設55虎啰金;?.，從而,“<1二二

均八一'

綜上所述，，的取值范圍是U,匕正I.

考點：不等式、簡單線性規(guī)劃.

1

14、-

2

【解析】

由數(shù)量積的運算律求得a%,再由數(shù)量積的定義可得結論.

【詳解】

2.2

由題意（a+2b）-（a-8）=a+a-b-2b=1+?Z?-2X22=-6?

a.b=1，Bp]?||^|cos<a,/?>=2cos<a,^>=l,/.cos<a,b>=^.

故答案為：—.

2

【點睛】

本題考查求向量的夾角，掌握數(shù)量積的定義與運算律是解題關鍵.

11

15、——

5

【解析】

13（4+%）

結合等差數(shù)列的前〃項和公式，可得答=學==生，求解即可.

b]13b713（^+%）13

【詳解】

由題意,%="（%；%）=13%，]=!3伯+匣）=13麗

22

因為S?寧K3/1+5，所以%廠13而%二A?力3萬x13行+5萬II

故答案為:藍.

【點睛】

本題考查了等差數(shù)列的前〃項和公式及等差中項的應用，考查了學生的計算求解能力,屬于基礎題.

16、1元

【解析】

設分別生產(chǎn)甲乙兩種產(chǎn)品為X桶，丁桶，利潤為z元

X

x+2y<12

則根據(jù)題意可得2x+y<12

x,y>0且x,yeN

目標函數(shù)z=300x+400y,作出可行域，如圖所示

作直線43x+4y=0,然后把直線向可行域平移,

由圖象知當直線經(jīng)過A時，目標函數(shù)z=300x+400y的截距最大，此時z最大,

x+2y^12x=4

可得《,即A(4,4)

2x+2〔)=4

此時z最大z=300x4+400x4=2800,

即該公司每天生產(chǎn)的甲4桶，乙4桶，可獲得最大利潤，最大利潤為1.

【點睛】本題考查用線性規(guī)劃知識求利潤的最大值，根據(jù)條件建立不等式關系，以及利用線性規(guī)劃的知識進行求解是

解決本題的關鍵.

三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。

V2V2

17.(1)—+2_=1;(2)見解析.

63

【解析】

(I)結合離心率，得到a,b,c的關系，計算A的坐標，計算切線與橢圓交點坐標，代入橢圓方程，計算參數(shù)，即可.(H)

分切線斜率存在與不存在討論，設出M,N的坐標，設出切線方程，結合圓心到切線距離公式，得到m,k的關系式，將

直線方程代入橢圓方程，利用根與系數(shù)關系，表示OM-ON，結合三角形相似，證明結論，即可.

【詳解】

(I)設橢圓的半焦距為c,由橢圓的離心率為交知，b=c,a=y/2b,

2

22

廠IV

橢圓C的方程可設為1.

2b2b2

易求得A（6O）,.?.點（五⑹在橢圓上，.?.京+1=1,

a2=6丫2V2

解得，2，，橢圓C的方程為三+上=1.

改=363

（II）當過點P且與圓。相切的切線斜率不存在時，不妨設切線方程為％=垃，由（I）知，M（V2，V2）,N（夜，-夜），

OM=（"⑹,QN=g_吟,OMON=0,：.OMVON.

當過點p且與圓。相切的切線斜率存在時，可設切線的方程為y=^+〃?，M（即yj，N（9,%），

:./M,即機2=2（&2+1）.

聯(lián)立直線和橢圓的方程得V+2（依+機）2=6,

A=(46『-4(1+242)(2加2一6)〉0

4km

A(1+2Z:2jx2H-4A77tx+2m2-6=0,得

%+/=一2*1-

2m2-6

x.x=——7---

1292/+1

VOM=(xpyJ,ON=(%，%)，

:.OMON=%工2+乂M=X\X2+(3+〃2)(依2+m)，

2

2(I，2\2m-6.-4km2

=(1+公)陽々+km^x}+々)+/%(1+&),—z---Fkm?—T---Fm

'>2公+12公+1

（1+）（2m2-6）-4k2m2+m2（2A:2+1）?>nr-6k1-63（2A:2+2）-6Zr2-6

-2k1+\-—2k2+1—-2k2+\一°'

：.OMLON.

綜上所述，圓。上任意一點P處的切線交橢圓C于點M,N,都有OMLQV.

在RtbOMN中,由AOMP與&VOP相似得，Q葉=|PMHPN|=2為定值.

【點睛】

本道題考查了橢圓方程的求解，考查了直線與橢圓位置關系，考查了向量的坐標運算，難度偏難.

22

18、（1）t+匕=1（2）見解析

54

【解析】

(1)設P(x,y),求出P耳?后由二次函數(shù)知識得最小值，從而得。，即得橢圓方程；

(2)設直線4的方程為y1),女。()，代入橢圓方程整理，設4%,〉]),8(>2，>2)，由韋達定理得

x+x=_L2L_,XX=,設N(5,y°),利用AM,N三點共線，求得為=」%，

'-4+5女2,i-4+5k2X—3

然后驗證為一％=。即可.

【詳解】

解：(1)設P(x,y),則尸耳=(_。一乂一〉),p￡=(c-x,—y),

2A

所以「耳/居=x2+y2-c2=^-^X2+4-C2,

a

因為Q>2,xw[-a,a].

所以當％=0時，尸耳?Pg值最小，

所以4一d=3,解得c=l,(舍負)

所以/=5,

V2V2

所以橢圓。的方程為上+匕=1,

54

(2)設直線4的方程為y=Z(x—

y=k(x-Y),

聯(lián)立,爐2,得(4+5/)/一10左2彳+5%2-20=0.

—+—=1,

I54

設A(和％),B(x2,y2),則玉+々=笆k，中2=學段，

-4+5女2-4+5攵2

設N(5,y0),因為AA7,N三點共線，又M(3,0)

所以尸」=3,解得

3-須2X,-3

5,10A:2,5&2一20口

_4k----------憶?---------------

而y_y=2y_=2Z(X-1)__3Z(x+X2)-依=-4+5r4+5/=o所以

為必一芯_3%一玉一32玉一3一王一3一

直線BN//X軸，即8N，/.

【點睛】

本題考查求橢圓方程，考查直線與橢圓相交問題.直線與橢圓相交問題，采取設而不求思想，設A(玉,蘆),8(々,力)，

設直線方程，應用韋達定理，得出再+々,%1%2,再代入題中需要計算可證明的式子參與化簡變形.

918

19、(1)列聯(lián)表見解析，99%；(2)—；(3)第二種優(yōu)惠方案更劃算.

525

【解析】

(1)根據(jù)已知數(shù)據(jù)得出列聯(lián)表，再根據(jù)獨立性檢驗得出結論；

33

(2)有數(shù)據(jù)可知，女性中“手機支付族”的概率為P=《，知自服從二項分布，即48(3,?,可求得其期望和方差；

(3)若選方案一，則需付款1200-100=1100元，若選方案二，設實際付款X元,，則X的取值為1200,1080,1020,

求出實際付款的期望，再比較兩個方案中的付款的金額的大小，可得出選擇的方案.

【詳解】

(1)由已知得出聯(lián)列表：

男性女性合計

手機支付族101222

，所以60x（10x8-12*3。）:7.033>6.635.

非手機支付族3083822x38x40x20

合計402060

???有99%的把握認為“手機支付族”與“性別”有關;

1233

(2)有數(shù)據(jù)可知，女性中“手機支付族”的概率為P=三=S，二。5(3,1),

39318

.-.E^=3X-=-,D^）=3X-X

25

(3)若選方案一，則需付款1200-100=1100元

若選方案二，設實際付款X元,，則X的取值為1200,1080,1020,

.?.P（X=1200）=C；閨4P（X=1080）==C*11=1,P（X=1020）=CH1|=；

^（X）=l200xl+1080xl+1020xl=1095

11(X)>1095,.?.選擇第二種優(yōu)惠方案更劃算

【點睛】

本題考查獨立性檢驗，二項分布的期望和方差，以及由期望值確定決策方案，屬于中檔題.

20、(1)0.8185(2)詳見解析

【解析】

（1）利用頻率分布直方圖平均數(shù)等于小矩形的面積乘以底邊中點橫坐標之和，再利用正態(tài)分布的對稱性進行求解.

（2）寫出隨機變量的所有可能取值，利用互斥事件和相互獨立事件同時發(fā)生的概率計算公式，再列表得到其分布列.

【詳解】

解：（1）從這1000人問卷調查得到的平均值〃為

//=35x0.025+45x0.15+55x0.20+65x0.25+75x0.225+85x0.1+95x0.05

=0.875+6.75+11+16.25+16.875+8.5+4.75

=65

???由于得分Z服從正態(tài)分布N（65,210）,

尸（50.5<Z<94）=P（65—14.5<Z<65+2xl4.5）==08185

（2）設得分不低于〃分的概率為p,p=P（Z2〃）=J

02251

（或由頻率分布直方圖知p=0.025+0.15+0.2+2或二=0.5=-）

法一：X的取值為10,20,30,40

1?1

P（X=10）=-x-=-,

P（X=20）=—x—I—x—x—=—；

,72323318

P（X=3O）=lxd2（|xl^5

p（X=40）=-xlxl=—；

,723318

所以X的分布列為

X10203040

]_721

P

318918

法二：2次隨機贈送的話費及對應概率如下

2次話費總和203040

2211

P—X——X—

33端用33

X的取值為10,20,30,40

P（X=20）=-x-!-+ix-=—

,7232918

142

P（X=30）=-x-=-

,7299;

Jp（X=40）=-xl=—；

,72918

所以X的分布列為

X10