2024-2025學(xué)年度北師版八上數(shù)學(xué)7.5三角形內(nèi)角和定理（第一課時(shí)）【課件】

第七章平行線的證明5三角形內(nèi)角和定理（第一課時(shí)）數(shù)學(xué)八年級(jí)上冊(cè)BS版課前導(dǎo)入典例講練目錄CONTENTS課前預(yù)習(xí)數(shù)學(xué)八年級(jí)上冊(cè)BS版01課前預(yù)習(xí)

1.

三角形內(nèi)角和定理.三角形內(nèi)角和等于

?.注：（1）三角形的內(nèi)角和等于180°是一個(gè)共性結(jié)論，與三角形的具體形狀或種類沒有關(guān)系，所有三角形的內(nèi)角之和都等于180°；（2）由三角形的內(nèi)角和定理可知直角三角形的兩銳角互余.180°

2.

三角形內(nèi)角和定理的證明.（1）（方法一）如圖1，將三角形中的兩個(gè)角剪下后，可以與第三個(gè)角拼成一個(gè)平角（平角的度數(shù)是180°）；（2）（方法二）構(gòu)造平行線.如圖2，構(gòu)造CE∥AB；或如圖3，構(gòu)造PQ∥BC.

利用平行線的性質(zhì)說明三角形的三個(gè)內(nèi)角的

和等于180°.圖1圖2圖3數(shù)學(xué)八年級(jí)上冊(cè)BS版02課前導(dǎo)入數(shù)學(xué)八年級(jí)上冊(cè)BS版我的形狀最小，那我的內(nèi)角和最小.我的形狀最大，那我的內(nèi)角和最大.不對(duì)，我有一個(gè)鈍角，所以我的內(nèi)角和才是最大的.

一天，三類三角形通過對(duì)自身的特點(diǎn)，講出了自己對(duì)三角形內(nèi)角和的理解，請(qǐng)同學(xué)們作為小判官給它們?cè)u(píng)判一下吧.數(shù)學(xué)八年級(jí)上冊(cè)BS版

我們?cè)谛W(xué)已經(jīng)知道，任意一個(gè)三角形的內(nèi)角和等于180°，與三角形的形狀、大小無關(guān)，所以它們的說法都是錯(cuò)誤的.思考：除了度量以外，你還有什么辦法可以驗(yàn)證三角形的內(nèi)角和為

180°

呢?折疊還可以用拼接的方法，你知道怎樣操作嗎？數(shù)學(xué)八年級(jí)上冊(cè)BS版銳角三角形測(cè)量48°72°60°60°＋48°＋72°＝180°.（請(qǐng)同學(xué)們運(yùn)用學(xué)科工具——量角器測(cè)量演示）數(shù)學(xué)八年級(jí)上冊(cè)BS版剪拼ABC（小組合作，討論剪拼方法.各小組代表板演剪拼過程）21數(shù)學(xué)八年級(jí)上冊(cè)BS版視頻：剪拼驗(yàn)證三角形內(nèi)角和定理點(diǎn)擊視頻開始播放→數(shù)學(xué)八年級(jí)上冊(cè)BS版三角形的三個(gè)內(nèi)角拼到一起恰好構(gòu)成一個(gè)平角.

觀測(cè)的結(jié)果不一定可靠，還需要通過數(shù)學(xué)知識(shí)來證明.從上面的操作過程，你能發(fā)現(xiàn)證明的思路嗎？還有其他的拼接方法嗎？探究：在紙上任意畫一個(gè)三角形，將它的內(nèi)角撕下來拼合在一起.三角形的內(nèi)角和定理的證明數(shù)學(xué)八年級(jí)上冊(cè)BS版驗(yàn)證結(jié)論三角形內(nèi)角的和等于

180°.求證：∠A+∠B+∠C=180°.已知：△ABC.證法1：過點(diǎn)

A作

l∥BC，則∠B=∠1，∠C=∠2(兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等).

∵∠1+∠2+∠BAC=180°，∴∠B+∠C+∠BAC=180°.12數(shù)學(xué)九年級(jí)上冊(cè)BS版證法2：延長(zhǎng)

BC到

D，過點(diǎn)

C作

CE∥BA，則∠A=∠1(兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等)，∠B=∠2(兩直線平行，同位角相等).又∵∠1+∠2+∠ACB=180°，∴∠A+∠B+∠ACB=180°.CBAED12數(shù)學(xué)八年級(jí)上冊(cè)BS版ECBADF證法3：過

D作

DE∥AC，DF∥AB.∴∠C=∠EDB，∠B=∠FDC(兩直線平行，同位角相等)，∠A+∠AED=180°，∠EDF+∠AED=180°(兩直線平行，同旁內(nèi)角相補(bǔ)).∴∠A=∠EDF.∵∠EDB+∠EDF+∠FDC=180°，∴∠C

+∠A

+∠B=180°.想一想：同學(xué)們還有其他的證法嗎？數(shù)學(xué)八年級(jí)上冊(cè)BS版思考：多種方法證明三角形內(nèi)角和等于180°

的核心是什么？借助平行線“移角”的功能，將三個(gè)角轉(zhuǎn)化到一個(gè)平角上.CAB12345lACB12345lP6mABCDE數(shù)學(xué)八年級(jí)上冊(cè)BS版C24AB3EQDFPGH1試一試：請(qǐng)同學(xué)們按照上圖中的輔助線，給出證明過程.BGC24A3EDFH1數(shù)學(xué)八年級(jí)上冊(cè)BS版知識(shí)要點(diǎn)

在這里，為了證明的需要，在原來的圖形上添畫的線叫做輔助線.在平面幾何里，輔助線通常畫成虛線.思路總結(jié)為了證明三個(gè)角的和為

180°，轉(zhuǎn)化為一個(gè)平角或同旁內(nèi)角等，這種轉(zhuǎn)化思想是數(shù)學(xué)中的常用方法.作輔助線數(shù)學(xué)八年級(jí)上冊(cè)BS版03典例講練

（1）如圖，在△ABC中，已知∠C＝90°，點(diǎn)D在AC上，且

DE∥AB.

若∠CDE＝160°，則∠B的度數(shù)為（

D

）DA.40°B.50°C.60°D.70°【解析】∵∠CDE＝160°，∴∠ADE＝180°－∠CDE＝20°.∵DE∥AB，∴∠A＝∠ADE＝20°.又∵∠C＝90°，∴∠B＝180°－∠A－∠C＝180°－20°－90°＝70°.故選D.

【點(diǎn)撥】在三角形問題中，涉及到求角度時(shí)，“三角形的內(nèi)角

和等于180°”一般作為解決三角形問題的隱含條件.（2）如圖，在△ABC中，已知∠A＝46°，CE是∠ACB的平分線，點(diǎn)B，C，D在同一條直線上，F(xiàn)D∥CE，∠D＝42°，求∠B的度數(shù).解：∵FD∥CE，∴∠BCE＝∠D＝42°.∵CE是∠ACB的平分線，∴∠ACB＝2∠BCE＝84°.又∵∠A＝46°，∴∠B＝180°－∠ACB－∠A＝180°－84°－46°＝50°.【點(diǎn)撥】三角形內(nèi)角和定理是三角形中三個(gè)內(nèi)角之間的數(shù)量關(guān)

系，求三角形的某個(gè)內(nèi)角的度數(shù)時(shí)，若已知一個(gè)內(nèi)角，則必須

根據(jù)條件再求出另一個(gè)內(nèi)角，才能求出最后一個(gè)角，其中平行

線的性質(zhì)能起到轉(zhuǎn)化角的作用.

1.

在△ABC中，已知∠B是∠A的2倍，∠C比∠A大20°，則

∠A的度數(shù)為（

A

）A.40°B.60°C.80°D.90°A2.

如圖，在△ABC中，已知∠A＝∠1，∠2＝∠B，∠B＝∠

ACB，求∠ACB的度數(shù).解：設(shè)∠A＝∠1＝x，則∠ADC＝180－∠A－∠1＝180°－2x.∴∠2＝180°－∠ADC＝180°－[180°－（∠1＋∠A）]＝2

x.又∵∠2＝∠B，∠B＝∠ACB，∴∠B＝∠ACB＝2x.∵∠A＋∠B＋∠ACB＝180°，∴x＋2x＋2x＝180°，解得x＝36°.∴∠ACB＝2x＝2×36°＝72°.

（1）如圖，在△ABC中，已知∠B＝46°，∠C＝54°，AD

平分∠BAC，交BC于點(diǎn)D，DE∥AB，交AC于點(diǎn)E，則∠

ADE的度數(shù)為

?.40°

【點(diǎn)撥】對(duì)于求角的問題，需要綜合運(yùn)用已學(xué)定理和性質(zhì)，如

三角形內(nèi)角和定理、平行線的性質(zhì)等，達(dá)到由已知推導(dǎo)未知的

目的.（2）如圖，將三角形紙片ABC沿DE折疊，使點(diǎn)C落在點(diǎn)C'處.

若EC'恰好與BC平行，且∠C＝80°，則∠BDE＝

?.130°

【解析】∵△CED沿DE折疊后得到△C'ED，∴△CED≌△C

'ED.

∴∠CED＝∠C'ED.

∵EC'∥BC，∴∠AEC'＝∠C＝80°.∵∠AEC'＋∠C'ED＋∠CED＝180°，∴∠CED＝50°.∴∠CDE＝180°－∠C－∠CED＝180°－80°－50°＝50°.∴∠BDE＝180°－∠CDE＝180°－50°＝130°.故答案為130°.【點(diǎn)撥】折疊前后的兩個(gè)三角形全等，從而得到對(duì)應(yīng)角相等，

再利用三角形內(nèi)角和定理求解角度.熟練掌握折疊的性質(zhì)及三角

形內(nèi)角和定理是解決此類問題的關(guān)鍵.

如圖，在△ABC中，已知點(diǎn)D是BC上的點(diǎn)，∠BAD＝∠B

＝40°，將△ABD沿著AD翻折得到△AED，則∠CDE的度數(shù)為

?.20°

2.

如圖，在△ABC中，已知點(diǎn)D，E，F(xiàn)，G分別在邊BC，

AC，AC，AB上，且DE∥BF，F(xiàn)G∥BC，∠AGF＝75°，∠

ABF＝45°.（1）求∠BDE的度數(shù)；（2）若∠AFB＝∠CED，求∠C的度數(shù).解：（1）∵FG∥BC，∠AGF＝75°，∴∠ABC＝∠AGF＝75°.又∵∠ABF＝45°，∴∠CBF＝∠ABC－∠ABF＝75°－45°＝30°.∵DE∥BF，∴∠CDE＝∠CBF＝30°.∴∠BDE＝180°－∠CDE＝180°－30°＝150°.（1）求∠BDE的度數(shù)；（2）∵DE∥BF，∴∠AFB＝∠AED.

∵∠AFB＝∠CED，∴∠AED＝∠CED.

∴∠AED＋∠CED＝2∠CED＝180°.∴∠CED＝90°.由（1），得∠CDE＝30°，∴∠C＝180°－∠CED－∠CDE＝180°－90°－30°＝60°.（2）若∠AFB＝∠CED，求∠C的度數(shù).

在△ABC中，已知AD平分∠BAC，∠B＜∠C.

（1）如圖1，若AE⊥BC于點(diǎn)E，∠B＝50°，∠C＝70°，求∠DAE的度數(shù)；（2）如圖2，若點(diǎn)E在AD上，EF⊥BC于點(diǎn)F，試探究∠DEF

與∠B，∠C的數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論；