高三數(shù)一輪復(fù)習(xí) 專(zhuān)家講壇 兩類(lèi)不等式恒成立問(wèn)題的求解策略 文

兩類(lèi)不等式恒成立問(wèn)題的求解策略不等式恒成立問(wèn)題是數(shù)學(xué)試題中的重要題型，涉及數(shù)學(xué)中各部分知識(shí)，但主要是函數(shù)中的不等式恒成立問(wèn)題和數(shù)列中的不等式恒成立問(wèn)題，涉及題型一般有兩類(lèi)：一是已知不等式恒成立，求參數(shù)的取值范圍，解決這類(lèi)問(wèn)題的基本方法是相同的，首選方法是利用分離參數(shù)轉(zhuǎn)化為求新函數(shù)、新數(shù)列的最值問(wèn)題，如果不能分離參數(shù)或者分離參數(shù)比較復(fù)雜時(shí)，一般選擇函數(shù)的方法，通常利用函數(shù)的最值解決；二是證明不等式恒成立，在函數(shù)中一般選擇以算代證，即通過(guò)求函數(shù)的最值證明不等式．在數(shù)列中，很多時(shí)候可以與放縮法結(jié)合起來(lái)，對(duì)所證不等式的一側(cè)進(jìn)行適當(dāng)放大或縮小，下面分別舉例說(shuō)明．一、函數(shù)中的不等式恒成立問(wèn)題函數(shù)是不等式恒成立問(wèn)題的主要載體，通常通過(guò)不等式恒成立問(wèn)題考查等價(jià)轉(zhuǎn)化思想、函數(shù)的最值或值域，對(duì)涉及已知函數(shù)在給定區(qū)間上恒成立，求參數(shù)的取值范圍、證明不等式等問(wèn)題，大多數(shù)題目可以利用分離參數(shù)的方法，將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最值或值域問(wèn)題．[例1]已知兩個(gè)函數(shù)f(x)＝8x2＋16x－k，g(x)＝2x3＋5x2＋4x，其中k為實(shí)數(shù)．(1)若對(duì)任意的x∈[－3,3]，都有f(x)≤g(x)成立，求k的取值范圍；(2)若對(duì)任意的x1、x2∈[－3,3]，都有f(x1)≤g(x2)，求k的取值范圍．[解](1)令F(x)＝g(x)－f(x)＝2x3－3x2－12x＋k.問(wèn)題轉(zhuǎn)化為F(x)≥0在x∈[－3,3]時(shí)恒成立，故解[F(x)]min≥0即可．∵F′(x)＝6x2－6x－12＝6(x2－x－2)，故由F′(x)＝0，得x＝2或x＝－1.∵F(－3)＝k－45，F(xiàn)(3)＝k－9，F(xiàn)(－1)＝k＋7，F(xiàn)(2)＝k－20，∴[F(x)]min＝k－45.由k－45≥0，解得k≥45.故實(shí)數(shù)k的取值范圍是[45，＋∞)．(2)由題意可知當(dāng)x∈[－3,3]時(shí)，都有[f(x)]max≤[g(x)]min.由f′(x)＝16x＋16＝0，得x＝－1.∵f(－3)＝24－k，f(－1)＝－8－k，f(3)＝120－k，∴[f(x)]max＝－k＋120.由g′(x)＝6x2＋10x＋4＝0，得x＝－1或x＝－eq\f(2,3).∵g(－3)＝－21，g(3)＝111，g(－1)＝－1，geq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(2,3)))＝－eq\f(28,27)，∴[g(x)]min＝－21.則120－k≤－21，解得k≥141.∴實(shí)數(shù)k的取值范圍是[141，＋∞)．[點(diǎn)評(píng)]將恒成立問(wèn)題轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最值問(wèn)題來(lái)處理，一般有下面兩種類(lèi)型：(1)若所給函數(shù)能直接求出最值，則有：①f(x)>0恒成立?[f(x)]min>0；②f(x)≤0恒成立?[f(x)]max≤0.(2)若所給的不等式能通過(guò)恒等變形使參數(shù)與主元分離于不等式兩端，從而問(wèn)題轉(zhuǎn)化為求主元函數(shù)的最值，進(jìn)而求出參數(shù)范圍，則有(下面的a為參數(shù))：①f(x)<g(a)恒成立?g(a)>[f(x)]max；②f(x)>g(a)恒成立?g(a)<[f(x)]min.[例2]已知函數(shù)f(x)＝alnx＋x2，(a為實(shí)常數(shù))．(1)若a＝－2，求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間；(2)若對(duì)?x∈[1，e]，使得f(x)≤(a＋2)x恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．[解](1)函數(shù)f(x)的定義域?yàn)?0，＋∞)，當(dāng)a＝－2時(shí)，f(x)＝x2－2lnx，所以f′(x)＝eq\f(2x2－1,x).令f′(x)＝eq\f(2x2－1,x)>0，得x<－1或x>1.且定義域?yàn)?0，＋∞)，所以函數(shù)f(x)的單調(diào)增區(qū)間是(1，＋∞)．令f′(x)＝eq\f(2x2－1,x)<0，得－1<x<1，且定義域?yàn)?0，＋∞)，所以函數(shù)f(x)的單調(diào)減區(qū)間是(0,1)．(2)不等式f(x)≤(a＋2)x，可化為a(x－lnx)≥x2－2x.因?yàn)閤∈[1，e]，所以lnx≤1≤x且等號(hào)不能同時(shí)取，所以lnx＜x，即x－lnx>0.因而a≥eq\f(x2－2x,x－lnx)(x∈[1，e])．令g(x)＝eq\f(x2－2x,x－lnx)(x∈[1，e])，又g′(x)＝eq\f(x－1x＋2－2lnx,x－lnx2)，當(dāng)x∈[1，e]時(shí)，x－1≥0，lnx≤1，x＋2－2lnx>0，從而g′(x)≥0(當(dāng)且僅當(dāng)x＝1時(shí)取等號(hào))．所以g(x)在[1，e]上為增函數(shù)．故[g(x)]max＝g(e)＝eq\f(e2－2e,e－1).所以a的取值范圍是eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(e2－2e,e－1)，＋∞)).[點(diǎn)評(píng)]利用不等式與函數(shù)和方程之間的聯(lián)系，將問(wèn)題轉(zhuǎn)化成一次函數(shù)或二次函數(shù)(二次方程)的問(wèn)題研究，一般有下面幾種類(lèi)型：1．一次函數(shù)型問(wèn)題：利用一次函數(shù)的圖象特點(diǎn)求解．對(duì)于一次函數(shù)f(x)＝kx＋b(k≠0)，x∈[m，n]，有(1)f(x)≥0恒成立?eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(fm≥0，,fn≥0.))(2)f(x)<0恒成立?eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(fm<0，,fn<0.))2．二次函數(shù)型問(wèn)題：結(jié)合拋物線的形狀考慮對(duì)稱(chēng)軸、頂點(diǎn)、區(qū)間端點(diǎn)等，列出相關(guān)的不等式，求出參數(shù)的解，下面是兩種基本類(lèi)型：對(duì)于二次函數(shù)f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0，x∈R)，有：(1)f(x)>0對(duì)x∈R恒成立?eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a>0，,Δ<0，))(2)f(x)<0對(duì)x∈R恒成立?eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a<0，,Δ<0.))二、數(shù)列中的不等式恒成立問(wèn)題數(shù)列是一種特殊的函數(shù)，所以解決數(shù)列中的不等式恒成立問(wèn)題與函數(shù)中不等式恒成立問(wèn)題的解法相同，基本方法也是利用分離參數(shù)轉(zhuǎn)化為求新數(shù)列的最值問(wèn)題，數(shù)列中的最值問(wèn)題一般是應(yīng)用數(shù)列的單調(diào)性求解；而數(shù)列中的不等式恒成立的證明，則很多時(shí)候可以與放縮法聯(lián)系起來(lái)．[例3]數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(Sn,n)))是等差數(shù)列，且S10＝210，S5＝55.(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)設(shè)f(n)＝eq\f(1,S1)＋eq\f(1,S2)＋eq\f(1,S3)＋…＋eq\f(1,Sn)，求證：對(duì)于任意n∈N*，eq\f(1,3)≤f(n)<eq\f(17,24)恒成立．[解](1)由已知，eq\f(S10,10)＝21，eq\f(S5,5)＝11.設(shè)eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(Sn,n)))的公差為d，則有eq\f(S10,10)＝eq\f(S1,1)＋(10－1)d＝21；①eq\f(S5,5)＝eq\f(S1,1)＋(5－1)d＝11.②解①②得S1＝3，d＝2.則eq\f(Sn,n)＝3＋(n－1)×2＝2n＋1，即Sn＝n(2n＋1)．當(dāng)n≥2時(shí)，an＝Sn－Sn－1＝n(2n＋1)－(n－1)[2(n－1)＋1]＝4n－1.當(dāng)n＝1時(shí)，a1＝S1＝3，滿(mǎn)足上式．故數(shù)列的通項(xiàng)公式是an＝4n－1.(2)證明：∵n(2n＋1)－(n－1)(2n＋2)＝n＋2>0，∴當(dāng)n≥2時(shí)，有eq\f(1,Sn)＝eq\f(1,n2n＋1)<eq\f(1,n－12n＋2)＝eq\f(1,4)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,n－1)－\f(1,n＋1)))，∴eq\f(1,S1)＋eq\f(1,S2)＋eq\f(1,S3)＋…＋eq\f(1,Sn)<eq\f(1,3)＋eq\f(1,4)×1－eq\f(1,3)＋eq\f(1,2)－eq\f(1,4)＋eq\f(1,3)－eq\f(1,5)＋…＋eq\f(1,n－1)－eq\f(1,n＋1)＝eq\f(1,3)＋eq\f(1,4)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋\f(1,2)－\f(1,n)－\f(1,n＋1)))<eq\f(1,3)＋eq\f(3,8)＝eq\f(17,24).另一方面，f(n)＝eq\f(1,S1)＋eq\f(1,S2)＋eq\f(1,S3)＋…＋eq\f(1,Sn)，則f(n＋1)＝eq\f(1,S1)＋eq\f(1,S2)＋eq\f(1,S3)＋…＋eq\f(1,Sn)＋eq\f(1,Sn＋1)，∴f(n＋1)－f(n)＝eq\f(1,Sn＋1)＝eq\f(1,n＋12n＋3)>0，∴f(n)在數(shù)集N*上是增函數(shù)，∴f(n)≥f(1)＝eq\f(1,3).綜上，得eq\f(1,3)≤eq\f(1,S1)＋eq\f(1,S2)＋eq\f(1,S3)＋…＋eq\f(1,Sn)<eq\f(17,24).∴對(duì)于任意n∈N*，eq\f(1,3)≤f(n)＜eq\f(17,24)恒成立．[點(diǎn)評(píng)]本題是數(shù)列中的不等式恒成立問(wèn)題，一般解法是直接利用函數(shù)知識(shí)，由單調(diào)性來(lái)求函數(shù)的值域，只是這時(shí)