材料力學(xué)(第三版) 課件 第11章 能量法

第11章能量法11.1外力功與應(yīng)變能的一般表達(dá)式11.2變形體虛功原理11.3單位載荷法11.4沖擊應(yīng)力分析習(xí)題

11.1外力功與應(yīng)變能的一般表達(dá)式

11.1.1外力功的計(jì)算

在外力作用下，彈性體發(fā)生變形，載荷作用點(diǎn)隨之產(chǎn)生位移。載荷作用點(diǎn)在載荷作用方向的位移分量，稱為該載荷的相應(yīng)位移。

對于由零緩慢增加到最終值的靜載荷f，若其相應(yīng)位移為Δ(見圖11-1(a))，則此力的功為

如果材料服從胡克定律，而且構(gòu)件或結(jié)構(gòu)的變形很小，則構(gòu)件或結(jié)構(gòu)的位移與載荷成正比(見圖11-1(b))，此時(shí)研究對象為線性彈性體，顯然此時(shí)外力的功為

圖11-1

另外可以證明，當(dāng)線性彈性體上同時(shí)作用幾個(gè)載荷F1、F2、…、Fn時(shí)，不論按何種方法加載，廣義力在相應(yīng)廣義位移Δ1、Δ2、…、Δn上所做之總功恒為

上述關(guān)系稱為克拉比隆定理。

11.1.2應(yīng)變能的計(jì)算

根據(jù)功能原理，存儲在構(gòu)件內(nèi)的應(yīng)變能等于外力所做之功，對于線性彈性體

1.軸向拉壓時(shí)的應(yīng)變能

在前面已經(jīng)討論過，當(dāng)桿件處于軸向拉伸或壓縮時(shí)，其應(yīng)變能為

若軸向力FN沿桿件軸線為一變量FN(x)，則應(yīng)變能的一般表達(dá)式為

若結(jié)構(gòu)是由n根直桿組成的桁架，整個(gè)結(jié)構(gòu)內(nèi)的應(yīng)變能為

式中FNi、li、Ei和Ai分別為桁架中第i根桿的軸力、長度、彈性模量和橫截面面積。

2.圓軸扭轉(zhuǎn)時(shí)的應(yīng)變能

圓軸受扭時(shí)(見圖11-2)，扭轉(zhuǎn)角為

其應(yīng)變能為

若扭矩T沿軸線為一變量T(x)，則應(yīng)變能的一般表達(dá)式為

圖11-2

3.梁彎曲時(shí)的應(yīng)變能

在一般情況下(見圖11-3(a))，梁的彎矩和剪力均沿軸線變化，因此，梁的應(yīng)變能應(yīng)從微段dx入手進(jìn)行計(jì)算(見圖11-3(b))。圖11-3

在彎矩M(x)作用下，微段兩端橫截面作相對轉(zhuǎn)動(dòng)(見圖11-3(c))，且

在剪力FS(x)作用下，微段產(chǎn)生剪切變形(見圖11-3(d))。所以，橫力彎曲時(shí)，彎矩僅在相應(yīng)的彎曲變形上做功；剪力僅在相應(yīng)的剪切變形上做功。但是，對于細(xì)長梁，剪力所做的功遠(yuǎn)小于彎矩所做的功，通?？珊雎圆挥?jì)。所以，梁微段dx的應(yīng)變能為

而整個(gè)梁的變形能則為

4.組合變形桿件的應(yīng)變能

組合變形時(shí)，圓截面桿微段受力的一般形式如圖11-4(a)所示。圖11-4

由于小變形的情況下各內(nèi)力分量引起的應(yīng)變互不耦合，在忽略剪力影響的情況下，由功能原理與克拉比隆定理可得，微段dx的應(yīng)變能為

而整個(gè)桿或桿系結(jié)構(gòu)的應(yīng)變能為

上式只適用于圓截面桿。對于非圓截面等一般桿件，則有

例11-1圖11-5所示懸臂梁，在自由端承受集中力F與矩為Me的集中力偶作用。試計(jì)算外力所做之總功。設(shè)梁的抗彎剛度EI為常數(shù)。圖11-5

11.1.3互等定理

圖11-6(a)、(b)所示為同一線性彈性體(以簡支梁為例)的兩種受力變形狀態(tài)。規(guī)定廣義位移Δij表示作用在點(diǎn)j的載荷Fj引起的點(diǎn)i沿Fi方向的位移。在第一種受力狀態(tài)(見圖11-6(a))下，則點(diǎn)1、點(diǎn)2的位移分別為Δ11、Δ21；在第二種受力狀態(tài)(見圖11-6(b))下，則點(diǎn)1、點(diǎn)2的位移分別為Δ12、Δ22。圖11-6

考慮兩種加載方式。一是先加F1、再加F2(見圖11-6(c))，則外力所做總功為

另一種加載方式是先加F2、再加F1(見圖11-6(d))，則外力所做總功為

而外力所做之總功與加載次序無關(guān)，W1=W2，因此可得

式(11-11)表明，對于線性彈性體，F(xiàn)1在F2所引起的位移Δ12上所做之功，等于F2在F1所引起的位移Δ21上所做之功。此關(guān)系式稱為功的互等定理。

作為上述定理的一個(gè)重要推論，如果F1=F2，則由式(11-11)得

即當(dāng)F1與F2的數(shù)值相等時(shí)，F(xiàn)2在點(diǎn)1沿F1方向引起的位移Δ12，等于F1在點(diǎn)2沿F2方向引起的位移Δ21。此定理稱為位移互等定理。

例11-2圖11-7(a)所示簡支梁AB，在跨度中點(diǎn)C承受集中力F作用時(shí)，橫截面B的轉(zhuǎn)角為θBF=Fl3/16EI。試計(jì)算在截面B作用矩為Me的力偶時(shí)(見圖11-7(b))，截面C的撓度ΔC。設(shè)抗彎剛度EI為常數(shù)。圖11-7

解根據(jù)功的互等定理，有

由此解得

11.2變形體虛功原理

1.變形體虛功原理虛功原理是分析靜力學(xué)的一個(gè)基本原理，適用于任意質(zhì)點(diǎn)系。對于處于平衡狀態(tài)的變形體，除了外力在任意虛位移上要做功外，內(nèi)力在相應(yīng)的變形虛位移上也要做功，前者稱為外力虛功，用We表示；后者稱為內(nèi)力虛功，用Wi表示。

變形體的虛功原理可以表述為:

變形體平衡的充分必要條件是作用于其上的外力和內(nèi)力在任意虛位移上所做的虛功相等，即

此處的虛位移是除作用在桿件上的原力系本身以外，由其他因素引起的滿足位移邊界條件與變形連續(xù)條件的任意無限小位移。它是在原力系作用下的平衡位置上再增加的位

移。

2.內(nèi)力虛功的計(jì)算

結(jié)構(gòu)在靜平衡狀態(tài)下，微段dx的內(nèi)力如圖11-8所示。圖11-8

對于任意的虛位移，微段的虛位移可以分為剛性虛位移和變形虛位移。該微段因其他各微段的變形而引起的虛位移稱為剛性虛位移，由于該微段本身變形而引起的虛位移則稱為變形虛位移。如圖11-9所示，微段的變形虛位移分別用dδ*、dφ*、dθ*表示。忽略高階微量，作用在微段上的內(nèi)力所做之虛功為

圖11-9

作用在結(jié)構(gòu)所有微段上的內(nèi)力所做之總虛功為

若Fi是作用在結(jié)構(gòu)上的原力系中的廣義力，Δi*是與Fi相應(yīng)的廣義虛位移，則外力的虛功為

則變形體虛位移原理可具體表示為

11.3單位載荷法

圖11-10

以上所述計(jì)算位移的方法，稱為單位載荷法。需要指出的是，這里所求的位移以及施加的單位力都是廣義的。如果按上述公式求得的位移為正，即表示所求位移與所加的單位

載荷同向；反之，則表示所求位移與所加的單位載荷反向。單位載荷法不僅適用于線性彈性體，也適用于非線性彈性體與非彈性體。

對于線性彈性體，微段的變形為

于是，公式(11-17)可寫為

式(11-18)稱為莫爾積分或莫爾定理。

對于分別處于平面彎曲的梁與剛架、扭轉(zhuǎn)的圓軸、桁架，莫爾積分可分別簡化為

例11-3求圖11-11(a)所示簡支梁截面A的轉(zhuǎn)角。設(shè)抗彎剛度EI為常數(shù)。

解為了計(jì)算截面A轉(zhuǎn)角，在該簡支梁的截面A處加單位力偶(見圖11-11(b))。

(1)求約束力。根據(jù)靜平衡方程分別求出圖11-11(a)、(b)的約束力:圖11-11

(3)計(jì)算θA。由莫爾積分得

計(jì)算結(jié)果為負(fù)，說明截面A的轉(zhuǎn)角與所加單位力偶的轉(zhuǎn)向相反，即截面A沿順時(shí)針方向轉(zhuǎn)動(dòng)。

例11-4求圖11-12(a)所示剛架截面A的水平位移。設(shè)抗彎剛度EI為常數(shù)。圖11-12

解為了計(jì)算截面A的水平位移，在該剛架的截面A處沿水平方向加單位力(見圖11-12(b))。

(1)求約束力。計(jì)算圖11-12(a)、(b)兩種情形下的約束力:

(2)分段列彎矩方程。將該梁劃分為AB與CB兩段，并選坐標(biāo)x1與x2如圖所示，各梁段的彎矩方程為

(3)計(jì)算ΔA。由莫爾積分得

例11-5圖11-13(a)為一開有細(xì)小缺口的圓環(huán)，抗彎剛度EI為常數(shù)。試計(jì)算在均勻壓力q作用下缺口處的張開位移。圖11-13

解為了計(jì)算圓環(huán)缺口處的相對位移，應(yīng)在該圓環(huán)缺口處加一對單位力(見圖11-13(b))。在外力q作用下，圓環(huán)任一截面的彎矩為

在單位力作用下，圓環(huán)任一截面的彎矩為

由莫爾積分得

例11-6圖11-14(a)所示四分之一圓弧形小曲率圓截面桿，在桿端A承受鉛垂方向的載荷F，試求相應(yīng)位移。設(shè)抗彎剛度EI與扭轉(zhuǎn)剛度GIP均為常數(shù)。11-14

例11-7圖11-15(a)所示桁架，在節(jié)點(diǎn)B承受鉛垂集中力F作用，試計(jì)算節(jié)點(diǎn)B的鉛垂位移。設(shè)桿1和桿2均為等截面直桿，材料服從胡克定律，且拉壓剛度EA相同。圖11-15

例題11-7已經(jīng)得到該桁架各桿的軸力；而各桿的軸向變形分別為

11.4沖擊應(yīng)力分析

工程中存在許多沖擊問題，如打樁、沖壓、鍛壓、車船碰撞、高速飛輪突然剎車、升降機(jī)構(gòu)鋼纜突然卡住等。鍛錘、沖頭、飛輪等稱為沖擊物，工件、樁、車船、傳動(dòng)軸、鋼纜等稱為被沖擊物。

沖擊問題簡化計(jì)算的力學(xué)模型建立在如下基本假設(shè)之上:

(1)忽略沖擊物的變形，即認(rèn)為沖擊物是剛體；而且忽略沖擊物的回彈，即沖擊物與被沖擊物接觸后保持接觸，直至被沖擊物上沖擊點(diǎn)的位移達(dá)到最大值。

(2)忽略被沖擊物的慣性，即認(rèn)為沖擊引起的變形瞬即傳遍整個(gè)構(gòu)件，沖擊應(yīng)力像靜應(yīng)力一樣，瞬即遍布整個(gè)構(gòu)件。

(3)忽略沖擊過程中的其他能量損失，沖擊物的機(jī)械能全部轉(zhuǎn)變?yōu)楸粵_擊物的彈性應(yīng)變能，即系統(tǒng)的機(jī)械能守恒。

(4)被沖擊物材料在沖擊時(shí)仍保持線彈性，且仍按靜載荷的許用應(yīng)力建立強(qiáng)度條件。

1.4.1鉛垂沖擊應(yīng)力分析

如圖11-16所示，一重量為P的沖擊物自高度h處自由下落，沖擊某線性彈性體。由于彈性構(gòu)件的阻礙，沖擊物的速度在極短的時(shí)間內(nèi)迅速減小為零；與此同時(shí)，彈性體受到的沖擊載荷及相應(yīng)位移也達(dá)到最大值，并分別用Fd與Δd表示；此后系統(tǒng)開始振動(dòng)。圖11-16

根據(jù)機(jī)械能守恒定律以及基本假設(shè)可知，在沖擊過程中，沖擊物減少的機(jī)械能全部轉(zhuǎn)化為被沖擊彈性構(gòu)件存儲的應(yīng)變能。即

沖擊物減少的機(jī)械能為

被沖擊彈性體增加的應(yīng)變能為

將式(b)、(c)代入式(a)，得

在線彈性范圍內(nèi)，定義沖擊動(dòng)荷因數(shù)Kd為

式(11-23)中，Δst與σst是假設(shè)沖擊物的重力P以靜載荷的方式作用在被沖擊物時(shí)產(chǎn)生的靜變形與靜應(yīng)力；Δd與σd是沖擊載荷Fd產(chǎn)生的相應(yīng)截面的最大沖擊變形與沖擊應(yīng)力。將式(11-23)代入式(d)，整理后得

由上式解得具有實(shí)際意義的最大沖擊變形為

由此得到自由落體沖擊的動(dòng)荷因數(shù)為

由式(11-23)可知，只要求出動(dòng)荷因數(shù)Kd，用Kd分別乘以靜載荷、靜變形、靜應(yīng)力，即可得到?jīng)_擊時(shí)相應(yīng)的動(dòng)載荷、動(dòng)變形、動(dòng)應(yīng)力。

構(gòu)件受沖擊時(shí)的強(qiáng)度條件可寫為

例11-9圖11-17所示正方形截面梁，中點(diǎn)C處受自由落體沖擊。已知P=500N，h=20mm，梁的跨度l=1.0m，橫截面邊長b=50mm，彈性模量E=200GPa。試在下列

兩種情況下計(jì)算截面C的撓度Δd與梁中的最大彎曲正應(yīng)力σd，max:(1)梁兩端用鉸支座支持；

(2)梁兩端用彈簧常數(shù)為k=100N/mm的彈簧支座支持。圖11-17

11.4.2水平?jīng)_擊應(yīng)力分析

如圖11-18所示，重量為P的沖擊物，沿水平方向以速度v沖擊某線性彈性體。圖11-18

根據(jù)機(jī)械能守恒定律以及有關(guān)假定可知，在沖擊過程中，沖擊物減少的動(dòng)能全部轉(zhuǎn)化為被沖擊彈性構(gòu)件增加的應(yīng)變能，即

即

求解上式，可得水平?jīng)_擊的動(dòng)荷因數(shù)為

若圖11-18所示懸臂梁長為l，抗彎剛度為EI，抗彎截面系數(shù)為W，則受沖擊截面B沿沖擊方向的靜撓度與梁中最大的靜應(yīng)力分別為

則梁端B的沖擊撓度與梁中最大的沖擊應(yīng)力分別為

11.4.3吊索沖擊應(yīng)力分析

如圖11-19所示，吊索的末端C懸掛一重量為P的物體，吊索繞在鼓輪上，當(dāng)鼓輪轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，重物以速度v勻速下降。如果突然剎車或鼓輪突然被卡住，試分析吊索中的沖擊應(yīng)力。圖11-19

若剎車時(shí)吊索的長度為l，橫截面面積為A，彈性模量為E，則剎車前吊索的靜變形與靜應(yīng)力分別為

剎車后吊索中的最大沖擊應(yīng)力為

11.4.4扭轉(zhuǎn)沖擊應(yīng)力分析

圖11-20所示的飛輪，如果在A端突然剎車，即突然停止轉(zhuǎn)動(dòng)，而B端的飛輪由于慣性作用將繼續(xù)轉(zhuǎn)動(dòng)，這樣AB軸就受到?jīng)_擊，發(fā)生扭轉(zhuǎn)變形。將飛輪視為沖擊物，AB軸視為被沖擊物，這類問題稱為扭轉(zhuǎn)沖擊。

圖11-20

總之，沖擊會(huì)造成構(gòu)件破壞，影響儀器儀表的正常工作，甚至造成人身傷害，故通常要設(shè)法避免或減輕沖擊。但另一方面，鍛壓、沖壓、打樁、爆炸加工和拆除、采礦等正是利用沖擊時(shí)產(chǎn)生的巨大載荷使被沖擊物產(chǎn)生永久變形或破壞，以達(dá)到工程目的。

習(xí)題題11-1圖

11-1試計(jì)算題11-1圖所示各梁的變形能以及與載荷相應(yīng)的位移。設(shè)抗彎剛度EI為常數(shù)。

11-2試?yán)脝挝惠d荷法計(jì)算題11-2圖所示各梁橫截面A的撓度和轉(zhuǎn)角。設(shè)抗彎剛度EI為常數(shù)。題11-2圖

11-3題11-3圖所示桁架，各桿的拉壓剛度EA均相同，在節(jié)點(diǎn)B處受垂直集中力F作用，試用單位載荷法計(jì)算節(jié)點(diǎn)B的水平位移。

題11-3圖

11-4題11-4圖所示剛架，抗彎剛度EI為常數(shù)，在截面C處承受水平集中力F作用，試用單位載荷法計(jì)算該截面的轉(zhuǎn)角。題11-4圖

11-5題11-5圖所示結(jié)構(gòu)，在截面C處受垂直集中力F作用，試計(jì)算橫截面C的垂直位移與轉(zhuǎn)角。梁BC各截面的抗彎剛度EI為常數(shù)，桿GD各截面的拉壓剛度均為EA。題11-5圖

11-6題11-6圖所示等截面剛架，承受均布載荷q作用，試計(jì)算A截面的鉛垂位移。設(shè)抗彎剛度EI與扭轉(zhuǎn)剛度GIP均為已知常數(shù)。題11-6圖

11-7題11-7圖所示變截面梁，自由端承受集中載荷F=1kN作用，試計(jì)算截面A的撓度。材料的彈性模量E=200GPa。題11-7圖

11-8題11-8圖所示圓弧形小曲率桿，承受載荷F作用。試計(jì)算載荷F相應(yīng)的位移。設(shè)抗彎剛度EI為常數(shù)。題11-8圖

11-9題11-9圖所示結(jié)構(gòu)，在鉸鏈A處承受載荷F作用。試計(jì)算該截面兩側(cè)橫截面的相對轉(zhuǎn)角。設(shè)抗彎剛度EI為常數(shù)。題11-9圖

11-10如題11-10圖所示，質(zhì)量m=2000kg的重物懸掛于鋼絲繩上，鋼絲繩由500根直徑d=0.5mm的鋼絲所組成。卷筒以角加速度α=10rad/s2按逆時(shí)針方向轉(zhuǎn)動(dòng)，卷筒直徑D=500mm。當(dāng)繩長l=5m時(shí)，求繩中最大正應(yīng)力及其伸長量。題11-10圖

11-11-如題11-11圖所示，汽輪機(jī)轉(zhuǎn)速n=3000r/min，葉輪半徑R=600mm，葉片長l=250mm，葉片密度ρ=7.826×103kg/m

3，彈性模量E=206GPa。將葉片簡化為等截面均質(zhì)直桿，求葉片最大拉應(yīng)力和總伸長量。題11-11-圖

11-12飛輪的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量J=9.8kg·m2，轉(zhuǎn)速n=300r/min。飛輪軸直徑d=100mm。在軸的另一端施加不變的制動(dòng)力偶矩剎車，飛輪在1s內(nèi)停止轉(zhuǎn)動(dòng)，求