北師大九年級下冊數(shù)學(xué)教案1.5 三角函數(shù)的應(yīng)用2

PAGE1.5三角函數(shù)的應(yīng)用教學(xué)目標(一)教學(xué)知識點1.經(jīng)歷探索船是否有觸礁危險的過程，進一步體會三角函數(shù)在解決問題過程中的應(yīng)用.2.能夠把實際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題，能夠借助于計算器進行有關(guān)三角函數(shù)的計算，并能對結(jié)果的意義進行說明.(二)能力訓(xùn)練要求發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)應(yīng)用意識和解決問題的能力.(三)情感與價值觀要求1.在經(jīng)歷弄清實際問題題意的過程中，畫出示意圖，培養(yǎng)獨立思考問題的習(xí)慣和克服困難的勇氣.2.選擇生活中學(xué)生感興趣的題材，使學(xué)生能積極參與數(shù)學(xué)活動，提高學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)、學(xué)好數(shù)學(xué)的欲望.教具重點1.經(jīng)歷探索船是否有觸礁危險的過程，進一步體會三角函數(shù)在解決問題過程中的作用.2.發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)應(yīng)用意識和解決問題的能力.教學(xué)難點根據(jù)題意，了解有關(guān)術(shù)語，準確地畫出示意圖.教學(xué)方法探索——發(fā)現(xiàn)法教具準備多媒體演示教學(xué)過程Ⅰ.創(chuàng)設(shè)問題情境，引入新課[師]直角三角形就像一個萬花筒，為我們展現(xiàn)出了一個色彩斑瀾的世界.我們在欣賞了它神秘的“勾股”、知道了它的邊的關(guān)系后，接著又為我們展現(xiàn)了在它的世界中的邊角關(guān)系，它使我們現(xiàn)實生活中不可能實現(xiàn)的問題，都可迎刃而解.它在航海、工程等測量問題中有著廣泛應(yīng)用，例如測旗桿的高度、樹的高度、塔高等.下面我們就來看一個問題(多媒體演示).海中有一個小島A，該島四周10海里內(nèi)有暗礁.今有貨輪由西向東航行，開始在A島南偏西55°的B處，往東行駛20海里后，到達該島的南偏西25°的C處，之后，貨輪繼續(xù)往東航行，你認為貨輪繼續(xù)向東航行途中會有觸礁的危險嗎?你是如何想的?與同伴進行交流.下面就請同學(xué)們用銳角三角函數(shù)知識解決此問題.(板書：船有觸礁的危險嗎)Ⅱ.講授新課[師]我們注意到題中有很多方位，在平面圖形中，方位是如何規(guī)定的?[生]應(yīng)該是“上北下南，左西右東”.[師]請同學(xué)們根據(jù)題意在練習(xí)本上畫出示意圖，然后說明你是怎樣畫出來的.[生]首先我們可將小島A確定，貨輪B在小島A的南偏西55°的B處，C在B的正東方，且在A南偏東25°處.示意圖如下.[師]貨輪要向正東方向繼續(xù)行駛，有沒有觸礁的危險，由誰來決定?[生]根據(jù)題意，小島四周10海里內(nèi)有暗礁，那么貨輪繼續(xù)向東航行的方向如果到A的最短距離大于10海里，則無觸礁的危險，如果小于10海里則有觸礁的危險.A到BC所在直線的最短距離為過A作AD⊥BC，D為垂足，即AD的長度.我們需根據(jù)題意，計算出AD的長度，然后與10海里比較.[師]這位同學(xué)分析得很好，能將實際問題清晰條理地轉(zhuǎn)化成數(shù)學(xué)問題.下面我們就來看AD如何求.根據(jù)題意，有哪些已知條件呢?[生]已知BC°＝20海里，∠BAD＝55°，∠CAD＝25°.[師]在示意圖中，有兩個直角三角形Rt△ABD和Rt△ACD.你能在哪一個三角形中求出AD呢?[生]在Rt△ACD中，只知道∠CAD=25°，不能求AD.[生]在Rt△ABD中，知道∠BAD=55°，雖然知道BC＝20海里，但它不是Rt△ABD的邊，也不能求出AD.[師]那該如何是好?是不是可以將它們結(jié)合起來，站在一個更高的角度考慮?[生]我發(fā)現(xiàn)這兩個三角形有聯(lián)系，AD是它們的公共直角邊.而且BC是這兩個直角三角形BD與CD的差，即BC＝BD-CD.BD、CD的對角是已知的，BD、CD和邊AD都有聯(lián)系.[師]有何聯(lián)系呢?[生]在Rt△ABD中，tan55°＝，BD=ADtan55°；在Rt△ACD中，tan25°＝，CD＝ADtan25°.[生]利用BC＝BD-CD就可以列出關(guān)于AD的一元一次方程，即ADtan55°-ADtan25°＝20.[師]太棒了!沒想到方程在這個地方幫了我們的忙.其實，在解決數(shù)學(xué)問題時，很多地方都可以用到方程，因此方程思想是我們初中數(shù)學(xué)中最重要的數(shù)學(xué)思想之一.下面我們一起完整地將這個題做完.[師生共析]解：過A作BC的垂線，交BC于點D.得到Rt△ABD和Rt△ACD，從而BD=ADtan55°，CD＝ADtan25°，由BD-CD＝BC，又BC＝20海里.得ADtan55°-ADtan25°＝20.AD(tan55°-tan25°)＝20，AD=≈20.79(海里).這樣AD≈20.79海里>10海里，所以貨輪沒有觸礁的危險.[師]接下來，我們再來研究一個問題.還記得本章開頭小明要測塔的高度嗎?現(xiàn)在我們來看他是怎樣測的，并根據(jù)他得到的數(shù)據(jù)幫他求出塔的高度.多媒體演示想一想你會更聰明：如圖，小明想測量塔CD的高度.他在A處仰望塔頂，測得仰角為30°，再往塔的方向前進50m至B處.測得仰角為60°.那么該塔有多高?(小明的身高忽略不計，結(jié)果精確到1m)[師]我想請一位同學(xué)告訴我什么是仰角?在這個圖中，30°的仰角、60°的仰角分別指哪兩個角?[生]當(dāng)從低處觀測高處的目標時，視線與水平線所成的銳角稱為仰角.30°的仰角指∠DAC，60°的仰角指∠DBC.[師]很好!請同學(xué)們獨立思考解決這個問題的思路，然后回答.(教師留給學(xué)生充分的思考時間，感覺有困難的學(xué)生可給以指導(dǎo))[生]首先，我們可以注意到CD是兩個直角三角形Rt△ADC和Rt△BDC的公共邊，在Rt△ADC中，tan30°=，即AC＝在Rt△BDC中，tan60°=,即BC＝，又∵AB=AC-BC＝50m，得-=50.解得CD≈43(m)，即塔CD的高度約為43m.[生]我有一個問題，小明在測角時，小明本身有一個高度，因此在測量CD的高度時應(yīng)考慮小明的身高.[師]這位同學(xué)能根據(jù)實際大膽地提出質(zhì)疑，很值得贊賞.在實際測量時.的確應(yīng)該考慮小明的身高，更準確一點應(yīng)考慮小明在測量時，眼睛離地面的距離.如果設(shè)小明測量時，眼睛離地面的距離為1.6m，其他數(shù)據(jù)不變，此時塔的高度為多少?你能畫出示意圖嗎?[生]示意圖如右圖所示，由前面的解答過程可知CC′≈43m，則CD＝43+1.6＝44.6m.即考慮小明的高度，塔的高度為44.6m.[師]同學(xué)們的表現(xiàn)太棒了.現(xiàn)在我手里有一個樓梯改造工程問題，想請同學(xué)們幫忙解決一下.多媒體演示：某商場準備改善原來樓梯的安全性能，把傾角由40°減至35°，已知原樓梯長為4m，調(diào)整后的樓梯會加長多少？樓梯多占多長一段地面?(結(jié)果精確到0.0lm)請同學(xué)們根據(jù)題意，畫出示意圖，將這個實際問題轉(zhuǎn)化成數(shù)學(xué)問題，(先獨立完成，然后相互交流，討論各自的想法)[生]在這個問題中，要注意調(diào)整前后的梯樓的高度是一個不變量.根據(jù)題意可畫㈩示意圖(如右圖).其中AB表示樓梯的高度.AC是原樓梯的長，BC是原樓梯的占地長度；AD是調(diào)整后的樓梯的長度，DB是調(diào)整后的樓梯的占地長度.∠ACB是原樓梯的傾角，∠ADB是調(diào)整后的樓梯的傾角.轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題即為：如圖，AB⊥DB，∠ACB＝40°，∠ADB＝35°，AC＝4m.求AD-AC及DC的長度.[師]這位同學(xué)把這個實際樓梯調(diào)整問題轉(zhuǎn)化成了數(shù)學(xué)問題.大家從示意圖中不難看出這個問題是前面問題的變式.我相信同學(xué)們一定能用計算器輔助很快地解決它，開始吧![生]解：由條件可知，在Rt△ABC中,sin40°＝，即AB＝4sin40°m，原樓梯占地長BC＝4cos40°m.調(diào)整后,在Rt△ADB中，sin35°＝，則AD＝m.樓梯占地長DB=m.∴調(diào)整后樓梯加長AD-AC＝-4≈0.48(m)，樓梯比原來多占DC＝DB-BC=-4cos40°≈0.61(m).Ⅲ.隨堂練習(xí)1.如圖，一燈柱AB被一鋼纜CD固定，CD與地面成40°夾角，且DB＝5m，現(xiàn)再在C點上方2m處加固另一條鋼纜ED，那么鋼纜ED的長度為多少?解：在Rt△CBD中，∠CDB=40°，DB=5m，sin40°=，BC=DBsin40°=5sin40°(m).在Rt△EDB中，DB=5m，BE=BC+EC＝2+5sin40°(m).根據(jù)勾股定理，得DE=≈7.96(m).所以鋼纜ED的長度為7.96m.2.如圖，水庫大壩的截面是梯形ABCD，壩頂AD＝6m，坡長CD＝8m.坡底BC＝30m，∠ADC=135°.(1)求∠ABC的大?。?2)如果壩長100m.那么建筑這個大壩共需多少土石料?(結(jié)果精確到0.01m3)解：過A、D分別作AE⊥BC，DF⊥BC，E、F為垂足.(1)在梯形ABCD中.∠ADC＝135°，∴∠FDC＝45°，EF＝AD=6m.在Rt△FDC中，DC＝8m.DF＝FC＝CD.sin45°=4(m).∴BE=BC-CF-EF=30-4-6=24-4(m).在Rt△AEB中，AE＝D