新教材2020-2021學年高中人教A版數學必修第二冊同步練習：模塊評價

模塊素養(yǎng)評價

（120分鐘150分）

一、選擇題（每小題5分，共40分）

1.設復數z滿足"i,貝！||z|=

1-z

A.1B.V2C.V3D.2

1+z

【解析】選A.因為一=i

l-z

(-1+f)

所以z(1+0(1-i)-1故Iz|=1.

1+i

2.設xER,向量a=(x,1),b=(l,-2),且a±b,則|a+b|=

A.V5B.V10C.2A/5D.10

【解析】選B.因為a，b,所以a?b=0,所以x-2=0,所以x=2,所以

a+b=（3,-1）,|a+b|=V10.

3.為美化環(huán)境，從紅、黃、白、紫4種顏色的花中任選2種花種在一個

花壇中，余下的2種花種在另一個花壇中，則紅色和紫色的花不在同一

花壇的概率是

【解析】選C.總的基本事件是：(紅黃，白紫)；(紅白，黃紫)；(紅紫，黃

白)，共3種.滿足條件的基本事件是：(紅黃，白紫)；(紅白，黃紫)，共2

種.故所求事件的概率為P=W.

3

4.設向量a,b滿足|a+b|=V20,a?b=4,則|a-b|=

A.V2B.2A/3C.2D.V6

【解析】選C.考查向量的數量積.因為|a+bI=V20,a?b=4,所以

Ia+b)2-1a-b12=4a,b=16,所以|a-b|=2.

5.若某群體中的成員只用現金支付的概率為0.45,既用現金支付也用

非現金支付的概率為0.15,則不用現金支付的概率為

A.0.3B.0.4C.0.6D.0.7

【解析】選B.方法一■:畫Venn圖，如圖

(現金支付(OJ5)非現金支

設只用非現金支付(不用現金支付)的概率為x,則0.45+0.15+x=1,解得

x=0.4,

所以不用現金支付的概率為0.4.

方法二：記“用現金支付”為事件A,“用非現金支付”為事件B,則

“只用非現金支付(不用現金支付)”為事件B-(AAB),由已

知,P(A)=0.45+0.15=0.6,P(AAB)=0.15,又

P(AUB)=P(A)+P(B)-P(AnB)=0.6+P(B)-0.15=1,所以

P(B)=0.55,P(B-(AnB))=P(B)-P(AAB)=0.55-0.15=0.4.

6.甲、乙兩組工人制造零件的個數分別是：

甲:9,9,10,10,12;乙：8,9,9,10,11.

若分別從甲、乙兩組中隨機選取一名工人,則這兩名工人制造的零件總

數不超過20的概率為

A.—B.—C.-D.-

252544

【解析】選B.甲組中5名工人分別記為a,b,c,d,e,乙組中5名工人分

別記為A,B,C,D,E,

分別從甲、乙兩組中隨機選取1名工人，共有25種方法，制造零件總數

超過20的有：

eB,eC,eD,eE,dE,cE,共6種，

故這兩名工人制造的零件總數不超過20的概率P=1-一二一.

2525

7.設甲、乙兩個圓柱的底面積分別為SbS2,體積分別為V、,V2.若它們的

側面積相等且五三,則久的值是

匕2S2

A：B.2DY

2482

【解析】選B.設甲、乙兩個圓柱的底面半徑分別為rbr2,高分別為hbh2,

則有2nrh=2nr2h2,

即又生空，所以約2

嶺nr^h2V2r2

所以3,貝隹⑶

r

22S21丁2/4

8.已知a,b,c分別是AABC的內角A,B,C所對的邊，點M為AABC的重

心.若aMA+bMB+—CMC=O,則C=

3

n「TT_5TT「27r

AA.-B.-C.—D.—

4263

【解析】選D.因為M為Z\ABC的重心，則MA+MB+MC=O,所以

MA=-MB-MC,

,—?—?-1/3—?

因為aMA+bMB+-c?MC=0,

3

所以a?(-MB-MC)+bMB+—C.MC^O.

3

即(b-a)?MB+(^C-a^?MCU。,

因為MB與MC不共線，所以b-a=O,1-c-aR,

得a：b：3=1：1：1,令a=1,b=1,c=V3,

3

—ca2+b2-c21+1-31

貝”cosC=-------------=----------=一,

2ab2X1X12

二、多選題（每小題5分，共20分,全部選對的得5分,選對但不全的得

3分,有選錯的得0分）

9.某校150名教職工中，有老年人20名，中年人50名，青年人80名，從

中抽取30名作為樣本.

①采用簡單隨機抽樣法:抽簽取出30個樣本；

②采用分層隨機抽樣法:從老年人、中年人、青年人中抽取30個樣本.

下列說法中正確的是

A.無論采用哪種方法,這150名教職工中每個人被抽到的概率都相等

B.采用方法①抽樣，這150名教職工中每個人被抽到的概率都相等;②

并非如此

C.采用方法②抽樣，這150名教職工中每個人被抽到的概率都相等;①

并非如此

D.采用方法②抽樣，從老年人、中年人、青年人中抽取的人數分別為

4,10,16

【解析】選AD.兩種抽樣方法中，每個人被抽到的概率都等于一上=±,A

1505

對,BC錯誤.采用方法②抽樣，從老年人、中年人、青年人中抽取的人數

.,205080.

分另”為30X—=4,30X—=10,30X—=16,D對.

150150150

10.已知直線/_L平面a,直線mU平面B,則下面命題正確的為

A.a〃B今

B.aJ_B今/〃m

C.I//m=>a_LB

D.與a不相交

【解析】選ACD.由a得/_LB,又mUB,所以A正確；

由a±3,/±a得/UB或/〃B,故不能得到/〃m,B錯誤；由

得m_l_a，又mUB,所以aJ_B,C正確；由/J_m,/J_a得m

Ua或m//a,故m,a不相交，D正確.

IL下列命題正確的是

A.a〃bc存在唯一的實數人金R,使得b二、a

B.e為單位向量,且a〃e,則a=±|a|e

C.|a?a?a|=|a|3

D.若a?b=b,c且b#0,則a=c

【解析】選BC.A中，因為a=b=O時，入不唯一，故A錯;D中a?b=b?c

今|a|,|b|cos91=Ib|?|c|?cos92（9i,。2分別為a與b及b與c

的夾角），又1b|WO,所以由|a|,cos9i=|c|,cos92推不出a=c,故D

不正確.BC正確.

12.如圖所示,邊長為2a的正AABC的中線AF與中位線DE相交于G,已

知AA，ED是4AED繞DE旋轉過程中的一個圖形,現給出下列結論,其

中正確的是

A.動點V在平面ABC上的射影在線段AF上

B.三棱錐A'-FED的體積有最大值

C.恒有平面A'GF_L平面BCED

D.異面直線A'E與BD不可能互相垂直

【解析】選ABC.因為DE_LA'G,DEJ_GF,A'GAGF=G,

所以DEL平面A'GF,又DEU平面BCED,

所以平面A'GF_L平面BCED,故C正確.

過A'作A'H±AF,垂足為H,

則A'HU平面A'GF,所以A'H_LDE,又DEAAF=G,所以A'H_L平面ABC,

故A正確.

三棱錐A'-FED的底面4FED的面積是定值，高是點A'到平面FED的

距離.

易證當A'G，平面FED時距離(即高)最大，三棱錐A'-FED的體積最大,

故B正確.

易知BD〃EF,所以NA'EF是異面直線A'E與BD所成的角(或其補角).

正4ABC的邊長為2a,AE二a,EF=a,而A'F的長度的取值范圍是

(0,V5a),

當A'F=V^a時，A'E2+EF2=A/F?,NA'EF=90°,

此時直線A'E與BD互相垂直，故D錯誤.

三、填空題(每小題5分，共20分)

13.設a￡R,若復數(1+i)(a+i)在復平面內對應的點位于實軸上，則

a=.

【解析】(1+i)(a+i)=(aT)+(a+l)i,所以a+l=0,a=T.

答案:T

14.某種心臟病手術，成功率為0.6,現準備進行3例此種手術,利用計

算機產生0?9之間取整數值的隨機數,用0,1,2,3代表手術不成功,用

4,5,6,7,8,9代表手術成功，產生20組隨機

數:966,907,191,924,270,832,912,468,578,582,134,370,113,573,9

98,397,027,488,703,725,則恰好成功1例的概率為.

【解析】設恰好成功1例的事件為A,A所包含的基本事件為

191,270,832,912,134,370,027,703共8個.

則恰好成功1例的概率為P(A)二10.4.

20

答案：0.4

15.設三棱柱的側棱垂直于底面,所有棱的長都為a,頂點都在一個球面

上,則該球的表面積為.

【解析】由題意知，該三棱柱為正三棱柱，且側棱與底面邊長相等，均為

a.設0,分別為下、上底面的中心，且球心0z為0Q的中點，

==

又AD"-a,A0--a,0。2=一，

232

設球的半徑為R,

則皿售W*

222

所以S球=4nR=4nX-La=-na.

123

答案:Zna?

3

16.某班開展一次智力競賽活動,共a,b,c三個問題,其中題a滿分是20

分，題b,c滿分都是25分,每道題或者得滿分,或者得0分,活動結果顯

示，全班同學每人至少答對一道題，有1名同學答對全部三道題，有15

名同學答對其中兩道題,答對題a與題b的人數之和為29,答對題a與

題c的人數之和為25,答對題b與題C的人數之和為20,則該班同學中

只答對一道題的人數是；該班的平均成績是.

fx+y=29,

【解析】設x,y,z分別是答對a,b,c題的人數，則有］%+z=25,解

{y+z=20,

X=17,

得y=12,答對一道題的人數為（17+12+8）-3X1-2X15=4,全班總人

z=8,

數為4+15+1=20,全班總得分為17X20+（12+8）義25=840,平均成績?yōu)?/p>

——840=4/20.

20

答案：442

四、解答題（共70分）

17.（10分）如圖，在aOBC中，A是邊BC的中點，|麗|=2瓦|,DC和0A

交于點E,

設5X=a,OB=b.

⑴用a和b表示向量56,DC.

（2）若諂入5X,求實數X的值.

【解析】(1)OC=OB+BC=OB+2BA

=OB+2(OA-OB)=20A-0B=2a-b;

DC=DB+BC=-OB+2(OA-OB)

3

一5一5

=2OA-0B=2a-b.

33

(2)<CE=uDC=2ua--ub,

3

則0E=0C+CE=2a-b+2ua--ub

3

二(2+2u)a-(l+|〃)b,又5fcXOA=Xa,

'2+2〃=A,4

所以｛1Sn解得入、

(i+-^=o,

18.（12分）電影公司隨機收集了電影的有關數據，經分類整理得到表

格：

電影第一M弟s：—?.第三第四第五第六

類型類類類類類類

電影

14050300200800510

部數

好評率0.40.20.150.250.20.1

好評率是指:一類電影中獲得好評的部數與該類電影的部數的比值.

⑴從電影公司收集的電影中隨機選取1部，求這部電影是獲得好評的

第四類電影的概率.

⑵從第四類電影和第五類電影中各隨機選取1部，估計恰有1部獲得

好評的概率.

【解析】（1）由表知，電影公司收集的電影部數為

140+50+300+200+800+510=2000,

獲得好評的第四類電影部數為200X0.25=50,

所以所求概率為一^-=0.025.

2000

(2)記“從第四類電影中隨機選取的1部獲得好評”為事件A,記“從

第五類電影中隨機選取的1部獲得好評”為事件B,則事件“從第四類

電影和第五類電影中各隨機選取1部，恰有1部獲得好評”可表示為

hB+AB,

由表知，P(A)=0.25,P(B)=0.2,所有電影是否獲得好評相互獨立，

所以P(彳)=1-P(A)=0.75,P(巨)=1-P(B)=0.8,P(A豆+彳B)=P(AB)+P(加)

二P(A)P(目)+P(A)P⑻=0.25X0.8+0.75X0.2=0.35,即所求概率為

0.35.

19.(12分)在△分C中，角A,B,C所對的邊分別為a,b,c.已知a=3,cos

A=—,B=A+-.

32

(1)求b的值；

⑵求AABC的面積.

【解析】(1)在AABC中，由題意知，

sinA=J「COS2A二斗,又因為B=A+p

所以sinB=sin(A+；)=cosA=J,

逅

asinB_"可

由正弦定理，得b二=3企.

sinA立

3

u24-p2_^2rz_

(2)由余弦定理，得cosA----------n，-4，/^c+9=0n或3V3,

2bc3

又因為B=A+；為鈍角，所以b>c,即c=V3,

々“c1.卜372

\以SAABC—acsinB—.

22

20.(12分)如圖，四邊形ABCD為菱形,G為AC與BD的交點,BE_L平面

ABCD.

⑴證明：平面AECJ_平面BED.

⑵若NABC=120°,AE±EC,三棱錐E-ACD的體積為火,求該三棱錐的側

3

面積.

【解析】(1)因為四邊形ABCD為菱形，所以AC_LBD.因為BE,平面ABCD,

所以AC_LBE.

故ACJ_平面BED.又ACu平面AEC,

所以平面AEC,平面BED.

(2)設AB=x,在菱形ABCD中，

由ZABC=120°,可得AG=GC=—x,

2

GB=GD=-.因為AE±EC,

2

所以在RtAAEC中，可得EG=—x.

2

由BEJ_平面ABCD,知AEBG為直角三角形，可得BE二丑x.由已知得，三棱

2

錐E-ACD的體積V-ACO=-X-AC-GD?BE=—x3=—.

E32243

故x=2.從而可得AE=EC二ED二泥.

所以4EAC的面積為3,AEAD的面積與AECD的面積均為近.故三棱錐

E-ACD的側面積為3+2/百

21.（12分）如圖，在三棱柱ABC-A.B,C,中，AA」底面

ABC,ZBAC=90°,AB=AC=2,AAi=V3.M,N分別為BC和CG的中點,P為側

棱BBi上的動點.

⑴求證:平面APM_L平面BBGC.

⑵若P為線段BB,的中點，求證:A】N〃平面APM.

⑶試判斷直線BG與平面APM是否能夠垂直.若能垂直,求PB的值;若

不能垂直,請說明理由.

【解析】⑴由已知,M為BC中點，且AB=AC,

所以AM_LBC.

又因為BBi〃AA”且AA」底面ABC,

所以BB」底面ABC.

因為AMU底面ABC,所以BB」AM,

又BB,ABC=B,所以AM,平面BBCC.

又因為AMU平面APM,

所以平面APM,平面BBGC.

⑵取CiB,中點D,連接A,D,DN,DM,BC

由于D,M分別為CB,CB的中點,所以DM〃4A,且DM=A1A,則四邊形A,AMD

為平行四邊形，所以A山〃AM.又AiDC平面APM,AMu平面APM,所以

AQ〃平面APM,由于D,N分別為CB,GC的中點，所以DN〃BC

又P,M分別為B,B,CB的中點，

所以MP〃B￡,則DN〃MP.

又DNQ平面APM,MPu平面APM,

所以DN〃平面APM,由于AQADN=D,

所以平面AQN〃平面APM,

由于AiNu平面AQN,

所以AN〃平面APM,

⑶不能垂直.理由如下：假設BG與平面APM垂直，由PMu平面APM,則

BCi±PM,

設PB=x,x￡[O,A/5].

當BC」PM時，NBPM=NBCB,

ppcB

所以RtABPM^RtAB^^,所以一=^-^.

MBBBi

由已知MB=V2,CB=2其BBFV3,

所以言等彳”手

由于x二竽凱。，百］,

因此直線BG與平面APM不能垂直.

22.（12分）改革開放以來,人們的支付方式發(fā)生了巨大轉變.近年來，移

動支付已成為主要支付方式之一.為了解某校學生上個月A,B兩種移動

支付方式的使用情況,從全校所有的1000名學生中隨機抽取了100人,

發(fā)現樣本中A,B兩種支付方式都不使用