數(shù)學(xué)課堂探究：回歸分析的基本思想及其初步應(yīng)用

學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專(zhuān)精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專(zhuān)精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專(zhuān)精課堂探究探究一求回歸直線方程求回歸直線方程的一般方法是：(1)作出散點(diǎn)圖，將問(wèn)題所給的數(shù)據(jù)在平面直角坐標(biāo)系中描點(diǎn)，這樣表示出的具有相關(guān)關(guān)系的兩個(gè)變量的一組數(shù)據(jù)的圖形就是散點(diǎn)圖．從散點(diǎn)圖中我們可以看出樣本點(diǎn)是否呈條狀分布，從而判斷兩個(gè)量是否具有線性相關(guān)關(guān)系．（2)求回歸系數(shù)eq\o(a,\s\up6(^)），eq\o(b，\s\up6(^）），其計(jì)算公式如下:eq\o（b,\s\up6(^))＝eq\f(\i\su(i＝1,n,）xi－\x\to(x)yi－\x\to(y），\i\su（i＝1,n，）xi－\x\to(x）2)＝eq\f(\i\su(i＝1,n,x）iyi－n\x\to(x）\x\to(y)，\i\su（i＝1,n,x)\o\al(2,i)－n\x\to（x2）)；eq\o(a,\s\up6(^)）＝eq\x\to(y）－eq\o（b,\s\up6(^））eq\x\to(x）.其中eq\x\to（x)＝eq\f(\i\su(i＝1，n，x)i,n），eq\x\to（y）＝eq\f(\i\su（i＝1,n，y)i，n),(eq\x\to（x），eq\x\to(y）)稱(chēng)為樣本點(diǎn)的中心．（3）寫(xiě)出回歸直線方程eq\o（y,\s\up6(^））＝eq\o(b,\s\up6（^）)x＋eq\o(a，\s\up6（^）),并用回歸直線方程進(jìn)行預(yù)測(cè)說(shuō)明：當(dāng)x取x0時(shí)，由線性回歸方程可得eq\o（y0,\s\up6(^））的值,從而可進(jìn)行相應(yīng)的判斷．【典型例題1】某班5名學(xué)生的數(shù)學(xué)和物理成績(jī)?nèi)缦卤?（1)畫(huà)出散點(diǎn)圖；（2）求物理成績(jī)y對(duì)數(shù)學(xué)成績(jī)x的回歸直線方程；(3)一名學(xué)生的數(shù)學(xué)成績(jī)是96，試預(yù)測(cè)他的物理成績(jī)．思路分析：先畫(huà)散點(diǎn)圖，分析物理與數(shù)學(xué)成績(jī)是否有線性相關(guān)關(guān)系，若相關(guān)，再利用公式求線性回歸模型．解:(1）如圖所示．（2）因?yàn)閑q\x\to(x）＝eq\f（1,5)×(88＋76＋73＋66＋63)＝73.2，eq\x\to(y）＝eq\f（1,5)×（78＋65＋71＋64＋61）＝67.8，eq\i\su(i＝1,5，x)iyi＝88×78＋76×65＋73×71＋66×64＋63×61＝25054,eq\i\su(i＝1，5，x)eq\o\al（2，i)＝882＋762＋732＋662＋632＝27174.所以eq\o（b,\s\up6(^）)＝eq\f（\i\su（i＝1，5，x)iyi－5\x\to(x)\x\to（y),\i\su(i＝1，5,x)\o\al（2，i）－5\x\to(x2)）＝eq\f(25054－5×73.2×67.8,27174－5×73。22）≈0。625，eq\o(a，\s\up6（^)）＝eq\x\to（y）－eq\o(b,\s\up6（^）)eq\x\to（x)≈67.8－0.625×73.2＝22。05.所以y對(duì)x的回歸直線方程是eq\o（y,\s\up6(^))＝0.625x＋22。05。(3）x＝96,則eq\o（y，\s\up6（^）)＝0。625×96＋22。05≈82，即可以預(yù)測(cè)他的物理成績(jī)是82.探究二殘差分析1．利用殘差分析研究?jī)蓚€(gè)變量間的關(guān)系時(shí)，首先要根據(jù)散點(diǎn)圖來(lái)判斷它們是否線性相關(guān)，是否可以用線性回歸模型來(lái)擬合數(shù)據(jù),然后通過(guò)殘差eq\o（e1,\s\up6（^）)，eq\o（e2,\s\up6（^))，…，eq\o（en,\s\up6（^))來(lái)判斷模型擬合的效果．2．若殘差點(diǎn)比較均勻地分布在水平帶狀區(qū)域中,帶狀區(qū)域越窄，說(shuō)明模型擬合度越高，回歸方程預(yù)報(bào)精確度越高．【典型例題2】假定小麥基本苗數(shù)x與成熟期有效穗y之間存在相關(guān)關(guān)系,今測(cè)得5組數(shù)據(jù)如下:x15.025。830。036.644.4y39.442.942.943.149。2(1）以x為解釋變量，y為預(yù)報(bào)變量，作出散點(diǎn)圖；（2)求y與x之間的回歸方程,對(duì)于基本苗數(shù)56。7預(yù)報(bào)有效穗;（3)計(jì)算各組殘差,并計(jì)算殘差平方和；（4）求R2，并說(shuō)明殘差變量對(duì)有效穗的影響占百分之幾?思路分析：求出參數(shù)eq\o(b，\s\up6（^）)與eq\o（a,\s\up6(^）)，然后求出回歸直線方程，再檢驗(yàn)?zāi)Ｐ蛿M合效果，計(jì)算出殘差，得出結(jié)論．解：(1）散點(diǎn)圖如下．(2）由圖看出，樣本點(diǎn)呈條狀分布，有比較好的線性相關(guān)關(guān)系，因此可以用線性回歸方程刻畫(huà)它們之間的關(guān)系．設(shè)回歸方程為eq\o(y，\s\up6(^)）＝eq\o（b，\s\up6（^））x＋eq\o(a，\s\up6（^）),eq\x\to(x）＝30.36，eq\x\to(y）＝43.5，eq\i\su(i＝1，5,x)i2＝5101。56，eq\i\su（i＝1，5,y）i2＝9511.43.eq\x\to(x)eq\x\to（y)＝1320.66，eq\x\to（x2)＝921。7296，eq\i\su（i＝1，5，x)iyi＝6746.76。由eq\o(b，\s\up6(^))＝≈0.29，eq\o(a，\s\up6（^))＝eq\x\to(y)－eq\o（b,\s\up6(^)）eq\x\to(x)≈34.70，故所求的回歸直線方程為eq\o（y,\s\up6（^))＝34.70＋0。29x。當(dāng)x＝56。7時(shí)，eq\o（y，\s\up6(^）)＝34.70＋0.29×56。7＝51。143.估計(jì)成熟期有效穗為51.143.（3）由于eq\o(yi,\s\up6（^)）＝eq\o（b，\s\up6(^))xi＋eq\o（a，\s\up6（^）），可以算得eq\o(ei,\s\up6（^）)＝y(tǒng)i－eq\o（yi,\s\up6(^))分別為eq\o(e1,\s\up6(^)）＝0。35,eq\o(e2，\s\up6(^))＝0.718，eq\o（e3，\s\up6(^))＝－0。5,eq\o（e4，\s\up6(^))＝－2.214，eq\o（e5，\s\up6（^)）＝1.624，殘差平方和:≈8。43.（4)可得：eq\i\su(i＝1，5，)（yi－eq\x\to（y））2＝50.18,∴R2＝1－eq\f(8。43，50。18）≈0。832。所以解釋變量小麥基本苗數(shù)對(duì)總效應(yīng)約貢獻(xiàn)了83。2％，殘差變量貢獻(xiàn)了約1－83.2%＝16.8%.探究三非線性回歸分析在解決實(shí)際問(wèn)題時(shí)，研究的兩個(gè)變量不一定都呈線性相關(guān)關(guān)系．對(duì)于這類(lèi)問(wèn)題，常采用適當(dāng)?shù)淖兞看鷵Q,把問(wèn)題轉(zhuǎn)化為線性回歸問(wèn)題，求出線性回歸模型后，再通過(guò)相應(yīng)的變換，得到非線性回歸方程．【典型例題3】某地區(qū)六年來(lái)輕工業(yè)產(chǎn)品利潤(rùn)總額y與年次x的試驗(yàn)數(shù)據(jù)如下表所示：年次x123456利潤(rùn)總額y11。3511。8512.4413.0713。5914.41由經(jīng)驗(yàn)知，年次x與利潤(rùn)總額y(單位：億元)有如下關(guān)系：y＝abxe0.其中a，b均為正數(shù)，求y關(guān)于x的回歸方程．思路分析：解答此題可根據(jù)散點(diǎn)圖選擇恰當(dāng)?shù)臄M合函數(shù)，而本題已經(jīng)給出，只需將其轉(zhuǎn)化為線性函數(shù)，利用最小二乘法求得回歸直線方程，再將其還原為非線性回歸方程即可．解：對(duì)y＝abxe0兩邊取自然對(duì)數(shù),得lny＝lnae0＋xlnb，令z＝lny，則z與x的數(shù)據(jù)如下表:x123456z2.432。472。522.572.612.67由z＝lnae0＋xlnb及最小二乘法公式，得lnb≈0.0477，lnae0＝2。378，即eq\o（z，\s\up6（^)）＝2.378＋0。0477x，所以eq\o(y,\s\up6（^））＝10。8×1。05x.規(guī)律小結(jié)非線性回歸方程的求法探究四易錯(cuò)辨析易錯(cuò)點(diǎn)求回歸方程時(shí)忽略相關(guān)性檢驗(yàn)致誤【典型例題4】在一化學(xué)反應(yīng)過(guò)程中，某化學(xué)物質(zhì)的反應(yīng)速度y（g/min)與一種催化劑的量x（g)有關(guān)，現(xiàn)收集了如下表所示的8組數(shù)據(jù)，試建立y與x之間的回歸方程。催化劑量x/g1518212427303336化學(xué)物質(zhì)反應(yīng)速度y/(g/min）6830277020565350錯(cuò)解：由表中數(shù)據(jù)可得eq\x\to(x)＝25。5，eq\x\to（y）＝95。125，eq\i\su(i＝1，8，x)i2＝5580，eq\i\su（i＝1，8，x)iyi＝24297，所以eq\o(b,\s\up6（^))＝＝eq\f（24297－19405。5，5580－5202）≈12.94,eq\o（a，\s\up6（^)）＝eq\x\to(y）－eq\o（b，\s\up6(^))eq\x\to(x）≈95.125－12.94×25。5＝－234.845,所以y與x之間的回歸方程為eq\o(y,\s\up6(^））＝12.94x－234。845.錯(cuò)因分析：解題前沒(méi)有審好題,原題求的是回歸方程，并不是回歸直線方程，故應(yīng)先進(jìn)行相關(guān)性檢驗(yàn),再求回歸方程,不能盲目地求回歸直線方程．正解:根據(jù)收集的數(shù)據(jù)作散點(diǎn)圖，如圖所示．根據(jù)樣本點(diǎn)的分布情況，可選用指數(shù)型函數(shù)模型y＝c1（c1,c2為待定的參數(shù)），令z＝lny,則z＝c2x＋lnc1,即變換后樣本點(diǎn)應(yīng)該分布在直線z＝bx＋a（a＝lnc1，b＝c2)的周?chē)蓎與x的數(shù)據(jù)表得z與x的數(shù)據(jù)表如下：x1518212427303336z1.7922.0793。4013.2964.2485.3234.1745。858作出z與x的散點(diǎn)圖，如圖所示，由圖可以看出變換后的樣本點(diǎn)分布在一條直線附近，所以可用線性回歸