2024-2025學(xué)年度北師版九上數(shù)學(xué)4.4探索三角形相似的條件（第二課時）【課件】

第四章圖形的相似4探索三角形相似的條件（第二課時）數(shù)學(xué)九年級上冊BS版課前預(yù)習(xí)典例講練目錄CONTENTS課前導(dǎo)入數(shù)學(xué)九年級上冊BS版01課前預(yù)習(xí)相似三角形的判定定理二.兩邊

且夾角

的兩個三角形相似.注意：運(yùn)用該定理證明相似時，一定要區(qū)分邊與角的關(guān)系，角

一定是兩組對應(yīng)邊的夾角，邊一定是對應(yīng)角的兩組邊，類似于

判定三角形全等的“SAS”方法.全等三角形是相似比為1的特殊

相似三角形.成比例

相等

數(shù)學(xué)九年級上冊BS版02課前導(dǎo)入問題1有兩邊對應(yīng)成比例的兩個三角形相似嗎?3355不相似觀察與思考問題2類比三角形全等的判定方法（SAS，SSS），猜想可以添加什么條件來判定兩個三角形相似？3355相似

利用刻度尺和量角器畫△ABC

和△A′B′C′，使∠A=∠A′，量出BC及B′C′的長，它們的比值等于k嗎？再量一量兩個三角形另外的兩個角，你有什么發(fā)現(xiàn)？△ABC與△A′B′C′有何關(guān)系？

兩邊成比例且夾角相等的兩個三角形相似合作探究兩個三角形相似改變k和∠A的值的大小，是否有同樣的結(jié)論？我們來證明一下前面得出的結(jié)論：如圖，在△ABC與△A′B′C′中，已知∠A=∠A′，證明：在△A′B′C′的邊A′B′上截取點(diǎn)

D，使A′D=AB．過點(diǎn)D作DE∥B′C′，交A′C′于點(diǎn)E.求證：△ABC∽△A′B′C′.BACDEB'A'C'∵DE∥B′C′，∴△A′DE∽△A′B′C′.∴∴A′E=AC.

又∵∠A′=

∠A，A′D=AB，∴△A′DE≌△ABC，∴△A′B′C′∽△ABC.∵A′D=AB，∴由此得到利用兩邊和夾角來判定三角形相似的定理：兩邊成比例且夾角相等的兩個三角形相似．符號語言：∵∠A=∠A′，BACB'A'C'∴△ABC∽△A′B′C′.歸納：對于△ABC和△A′B′C′，如果A′B′:AB=A′C′:AC.∠B=∠B′，這兩個三角形一定會相似嗎？

不會，如下圖，因?yàn)椴荒茏C明構(gòu)造的三角形和原三角形全等.

A

B

C思考：

A′

B′

B″

C′結(jié)論：

如果兩個三角形兩邊對應(yīng)成比例，但相等的角不是兩條對應(yīng)邊的夾角，那么兩個三角形不一定相似，相等的角一定要是兩條對應(yīng)邊的夾角.數(shù)學(xué)九年級上冊BS版03典例講練

BA.△ABM∽△ACB

B.△ANC∽△AMBC.△ANC∽△ACMD.△CMN∽△BCA【解析】∵CM＝CN，∴∠CNM＝∠CMN.

∵∠CNA＝180°－∠

CNM，∠AMB＝180°－∠CMN，∴∠CNA＝∠AMB.

又∵AM∶AN＝BM∶CN，∴△ANC∽△AMB.

故選B.【點(diǎn)撥】利用“兩邊對應(yīng)成比例且夾角相等”證明兩個三角形相似，關(guān)鍵在于找兩個三角形中相等的角，再去找這對等角的兩組對應(yīng)邊.此題有一個技巧，根據(jù)題干的比例式，可知對應(yīng)角的頂點(diǎn)為點(diǎn)M，N.

1.在△ABC中，點(diǎn)D，E分別在邊AB，AC上.若AD＝1，BD

＝3，則由下列條件能夠判斷DE∥BC的是（

D

）D

10.5

如圖，在等腰三角形ABC中，已知AB＝AC，點(diǎn)D為CB延長線上一點(diǎn)，點(diǎn)E為BC延長線上一點(diǎn)，且滿足AB2＝DB·CE.

（1）求證：△ADB∽△EAC；（2）若∠BAC＝40°，求∠DAE的度數(shù).

（2）解：∵△ADB∽△EAC，∴∠BAD＝∠E，∠D＝∠CAE.

∵∠DAE＝∠BAD＋∠BAC＋∠CAE，∴∠DAE＝∠D＋∠BAD＋∠BAC.

∵∠BAC＝40°，AB＝AC，∴∠ABC＝70°.∴∠D＋∠BAD＝70°.∴∠DAE＝∠D＋∠BAD＋∠BAC＝70°＋40°＝110°.【點(diǎn)撥】找三角形相似的條件，一般先觀察是否可以得到一組角相等，再尋求另一組角相等或等角的兩邊成比例.利用兩邊成比例且夾角相等判定兩個三角形相似時，要找準(zhǔn)相等的角一定是成比例兩邊的“夾角”，否則結(jié)論不成立.為了方便，常在圖中用相同記號或字母表示相等的邊或角.

2.如圖，在4×4的正方形方格中，已知△ABC和△DEF的頂點(diǎn)

都在邊長為1的小正方形的頂點(diǎn)上.（1）填空：∠ABC＝

，BC＝

?；

135°

（2）判斷△ABC與△DEF是否相似，并證明你的結(jié)論.

如圖，在△ABC中，AB＝8cm，BC＝16cm，動點(diǎn)P從點(diǎn)A開始沿AB邊運(yùn)動，速度為2cm/S；動點(diǎn)Q從點(diǎn)B開始沿BC邊運(yùn)動，速度為4cm/S.

若P，Q兩動點(diǎn)同時運(yùn)動，當(dāng)△QBP與△

ABC相似時，則運(yùn)動的時間為

s.2或0.8

【點(diǎn)撥】“相似于（∽）”與“誰和誰相似”的區(qū)別：前者的對應(yīng)關(guān)系固定，后者的對應(yīng)關(guān)系不固定.如果已知兩個三角形相似，當(dāng)邊的對應(yīng)關(guān)系不明確時，從對應(yīng)關(guān)系入手，相等的角或公共角為對應(yīng)角，則對應(yīng)角的兩邊成比例，再根據(jù)對應(yīng)關(guān)系分情況討論.

如圖，在四邊形ABCD中，AD∥BC，∠ABC＝90°，AB＝8，

AD＝3，BC＝4，點(diǎn)P為AB邊上一動點(diǎn)，當(dāng)△PAD與△PBC是相似三角形時，求出此時AP的長.解：易得∠PAD＝∠