2023-2024學(xué)年廣東省惠州市高一下學(xué)期期末質(zhì)量檢測(cè)數(shù)學(xué)試題（含答案）

第=page11頁，共=sectionpages11頁2023-2024學(xué)年廣東省惠州市高一下學(xué)期期末質(zhì)量檢測(cè)數(shù)學(xué)試題一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.在復(fù)平面中，復(fù)數(shù)z=2?3i1+i對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)在(

)A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限2.下列命題中正確的是(

)A.零向量沒有方向 B.共線向量一定是相等向量

C.若λ為實(shí)數(shù)，則向量a與λa方向相同 D.3.已知數(shù)據(jù)x1,x2,x3,?,x8A.32，90 B.32，92 C.30，90 D.30，924.已知向量a=1,2，b=2,0，則向量aA.1,2 B.2,0 C.1,0 D.2,15.某校有小學(xué)生、初中生和高中生，其人數(shù)比是5:4:3，為了解該校學(xué)生的視力情況，采用按比例分層抽樣的方法抽取一個(gè)樣本量為n的樣本，已知樣本中高中生的人數(shù)比小學(xué)生的人數(shù)少20，則n=(

)A.100 B.120 C.200 D.2406.設(shè)α，β是兩個(gè)不重合的平面，m，n是兩條直線，則下列命題為真命題的是(

)A.若m?α，n?β，m⊥n，則α⊥βB.若m//α，n?α，則m//n

C.若m?α，n?α，m//β，n//β，則α//βD.若m⊥α，n?α，則m⊥n7.擲兩顆骰子，觀察擲得的點(diǎn)數(shù)．設(shè)事件A表示“兩個(gè)點(diǎn)數(shù)都是偶數(shù)”，事件B表示“兩個(gè)點(diǎn)數(shù)都是奇數(shù)”，事件C表示“兩個(gè)點(diǎn)數(shù)之和是偶數(shù)”，事件D表示“兩個(gè)點(diǎn)數(shù)的乘積是偶數(shù)”.那么下列結(jié)論正確的是(

)A.A與B是對(duì)立事件 B.A與C∩D是互斥事件

C.B與D是相互獨(dú)立事件 D.B與C∪D是相互獨(dú)立事件8.已知直三棱柱ABC?A1B1C1的體積為8，二面角C1?AB?C的大小為π4，且AC=BCA.2 B.22 C.二、多選題：本題共3小題，共15分。在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求。9.如圖，一個(gè)圓柱和一個(gè)圓錐的底面直徑和它們的高都與一個(gè)球的直徑2R相等，下列結(jié)論正確的是(

)

A.圓柱的側(cè)面積為4πR2 B.圓錐的側(cè)面積為5πR210.設(shè)z為復(fù)數(shù)(i為虛數(shù)單位)，下列命題正確的有(

)A.若(1+i)z=?i，則|z|=1

B.對(duì)任意復(fù)數(shù)z1，z2，有|z1z2|=|z1|?|z2|

C.對(duì)任意復(fù)數(shù)11.在?ABC中，角A,B,C所對(duì)的邊分別是a，b，c，下列命題正確的是(

)A.若A=60°，a=2，則?ABC面積的最大值為3

B.若A=60°，a=1，則?ABC面積的最大值為3

C.若a=23，b=4，要使?jié)M足條件的三角形有且只有兩個(gè)，則A∈三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。12.甲、乙兩人獨(dú)立的解同一道題，甲、乙解對(duì)題的概率分別是23、35，那么恰好只有1人解對(duì)題的概率是

．13.已知頻率分布直方圖如圖所示，記其平均數(shù)為a，中位數(shù)為b，則a與b的大小關(guān)系為

．

14.如圖，已知在直三棱柱ABC?A1B1C1中，F(xiàn)為A1C1的中點(diǎn)，E為棱BB1上的動(dòng)點(diǎn)，AA1=2，AB=2，BC=32，AC=4.當(dāng)E四、解答題：本題共5小題，共60分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟。15.(本小題12分)在?ABC中，已知BC=3，AC=4，點(diǎn)P為線段BC中點(diǎn)，AQ=23AB，設(shè)

(1)用向量a，b表示CQ；(2)若∠ACB=90°，求AP16.(本小題12分)已知有下面三個(gè)條件：①S=32?AC請(qǐng)從這三個(gè)條件中任選一個(gè)，補(bǔ)充在下面的橫線上，并解答問題：在?ABC中，角A,B,C所對(duì)的邊分別是a，b，c，且________．(1)求角A的大??；(2)若AD是?ABC的角平分線，且b=2，c=3，求線段AD的長．17.(本小題12分)為了研究學(xué)生每天總結(jié)整理數(shù)學(xué)錯(cuò)題情況，某課題組在我市中學(xué)生中隨機(jī)抽取了100名學(xué)生調(diào)查了他們期中考試的數(shù)學(xué)成績和平時(shí)總結(jié)整理數(shù)學(xué)錯(cuò)題情況，并繪制了下列兩個(gè)統(tǒng)計(jì)圖表，圖1為學(xué)生期中考試數(shù)學(xué)成績的頻率分布直方圖，圖2為學(xué)生一個(gè)星期內(nèi)總結(jié)整理數(shù)學(xué)錯(cuò)題天數(shù)的扇形圖.若本次數(shù)學(xué)成績?cè)?10分及以上視為優(yōu)秀，將一個(gè)星期有4天及以上總結(jié)整理數(shù)學(xué)錯(cuò)題視為“經(jīng)?？偨Y(jié)整理”，少于4天視為“不經(jīng)常總結(jié)整理”.已知數(shù)學(xué)成績優(yōu)秀的學(xué)生中，經(jīng)?？偨Y(jié)整理錯(cuò)題的學(xué)生占70%．?dāng)?shù)學(xué)成績優(yōu)秀數(shù)學(xué)成績不優(yōu)秀合計(jì)經(jīng)常總結(jié)整理不經(jīng)?？偨Y(jié)整理合計(jì)(1)根據(jù)圖1、圖2中的數(shù)據(jù)，補(bǔ)全表格；(2)求圖1中m的值及學(xué)生期中考試數(shù)學(xué)成績的第65百分位數(shù)；(3)抽取的100名學(xué)生中按“經(jīng)?？偨Y(jié)整理錯(cuò)題”與“不經(jīng)常總結(jié)整理錯(cuò)題”進(jìn)行分層抽樣，隨機(jī)抽取5名學(xué)生，再從這5名學(xué)生中隨機(jī)抽取2人進(jìn)行座談；求這2名同學(xué)均來自“經(jīng)?？偨Y(jié)整理錯(cuò)題”的概率．18.(本小題12分)如圖，在四棱錐Q?ABCD中，底面ABCD是正方形，側(cè)面QAD是正三角形，面QAD⊥面ABCD，M是QD的中點(diǎn)．(1)求證：QB//平面AMC；(2)求直線AC與平面QCD所成角的正弦值；(3)在棱QC上是否存在點(diǎn)N使平面BDN⊥平面AMC成立？如果存在，求出QNNC如果不存在，說明理由．19.(本小題12分)將連續(xù)正整數(shù)1，2，?，n(n∈N?)從小到大排列構(gòu)成一個(gè)數(shù)123?n，F(xiàn)(n)為這個(gè)數(shù)的位數(shù)(如當(dāng)n=12時(shí)，此數(shù)為123456789101112，共有15個(gè)數(shù)字，F(xiàn)(12)=15)，現(xiàn)從這個(gè)數(shù)中隨機(jī)取一個(gè)數(shù)字，p(n)(1)求p(100)．(2)當(dāng)n≤2021時(shí)，求F(n)的表達(dá)式．(3)令g(n)為這個(gè)數(shù)中數(shù)字0的個(gè)數(shù)，f(n)為這個(gè)數(shù)中數(shù)字9的個(gè)數(shù)，?(n)=f(n)??g(n)，S={n|?(n)=1,n≤100,n∈N?}，求當(dāng)n∈S時(shí)p(n)參考答案1.C

2.D

3.A

4.C

5.B

6.D

7.D

8.A

9.ABC

10.BC

11.AD

12.71513.a>b

14.72或1215.解：(1)如圖所示，

AQ=所以CQ=所以CQ=(2)點(diǎn)P為線段BC中點(diǎn)，用三點(diǎn)共線的向量表達(dá)式結(jié)論得AP=由(1)知CQ=23∠ACB=90°，則a?16.解：(1)選擇①：由S=32即sinA=3因?yàn)锳∈(0,π)，所以A=π選擇②：因?yàn)棰赼c=可得3因?yàn)镃∈(0,π)，可得sinC>0，所以即3sinA?因?yàn)锳∈(0,π)，可得A?π6=選擇③：由sinBsinC又由正弦定理得b2+c因?yàn)锳∈(0,π)，所以A=π(2)若AD是?ABC的角平分線，則∠BAD=∠CBD=π且S△ABC=S解得AD=617.解：(1)數(shù)學(xué)成績優(yōu)秀的有100×50%=50人，不優(yōu)秀的人100×50%=50人，經(jīng)常整理錯(cuò)題的有100×40%+20%不經(jīng)常整理錯(cuò)題的是100?60=40人，經(jīng)常整理錯(cuò)題且成績優(yōu)秀的有50×70%=35人，所以表格為數(shù)學(xué)成績優(yōu)秀數(shù)學(xué)成績不優(yōu)秀合計(jì)經(jīng)常整理352560不經(jīng)常整理152540合計(jì)5050100(2)由題意可知每組頻率依次為0.05,0.1,0.35,20m,0.2，則0.05+0.1+0.35+20m+0.2=1，解得m=0.015；因?yàn)?.05+0.1+0.35=0.5<0.65，0.05+0.1+0.35+0.3=0.8>0.65，設(shè)第65百分位數(shù)為x，可知x∈則0.5+0.015x?110=0.65，解得所以學(xué)生期中考試數(shù)學(xué)成績的第65百分位數(shù)為120．(3)由題意可知：樣本中“經(jīng)常總結(jié)整理錯(cuò)題”的人數(shù)為60100×5=3，設(shè)為“不經(jīng)常總結(jié)整理錯(cuò)題”的人數(shù)為40100×5=2，設(shè)為從這5名學(xué)生中隨機(jī)抽取2人，則樣本空間Ω=ab,ac,aA,aB,bc,bA,bB,cA,cB,AB，可知n設(shè)這2名同學(xué)均來自“經(jīng)?？偨Y(jié)整理錯(cuò)題”為事件M，則M=ab,ac,bc，即n所以PM18.解：(1)證明：設(shè)AC∩BD=O，連接OM，因?yàn)榈酌鍭BCD是正方形，所以O(shè)為BD的

中點(diǎn)，因?yàn)镸是QD的中點(diǎn)，所以O(shè)M//QB，因?yàn)镺M?平面ACM，QB?平面ACM，所以QB//平面ACM

(2)因?yàn)榈酌鍭BCD是正方形，所以AD⊥CD，因?yàn)槠矫鍽AD⊥平面ABCD，平面QAD∩平面ABCD=AD，CD?平面ABCD，所以CD⊥平面QAD，因?yàn)锳M?平面QAD，所以CD⊥AM，因?yàn)?QAD為等邊三角形，M是QD的中點(diǎn)，所以AM⊥QD，因?yàn)镼D∩CD=D，QD,CD?平面QCD，所以AM⊥平面QCD，所以直線AC與平面QCD所成角為∠ACM，設(shè)正方形ABCD的邊長為2，則AM=因?yàn)锳M⊥平面QCD，CM?平面QCD，所以AM⊥CM，所以sin∠ACM=即直線AC與平面QCD所成角的正弦值為6(3)存在，當(dāng)DN⊥CM時(shí)，平面BDN⊥平面AMC，因?yàn)锳M⊥平面QCD，DN?平面平面QCD，所以AM⊥DN，因?yàn)锳M∩CM=M，AM,CM?平面AMC，所以DN⊥平面AMC，因?yàn)镈N?平面BDN，所以平面BDN⊥平面AMC，設(shè)QNNC=k，則QN=kNC，所以由(2)知CD⊥平面QAD，因?yàn)镼D?平面QAD，所以CD⊥DQ，所以DQ?因?yàn)镃M=DN=所以CM?所以12(k+1)DQ2?k所以當(dāng)QNNC=12時(shí)，平面19.解：(1)當(dāng)n=100時(shí)，這個(gè)數(shù)中總共有192個(gè)數(shù)字，其中數(shù)字0的個(gè)數(shù)為11，所以恰好取到0的概率p(100)=11(2)F(n)=(3)當(dāng)n=b(1≤b≤9,b∈N?當(dāng)n=10k+b(1≤k≤9,0≤b≤9,k∈N?,b∈N)時(shí)，g(n)=k=[n10當(dāng)n=100時(shí)，g(n)=11