四川省成都市2024-2025學(xué)年高三數(shù)學(xué)上期一診模擬考試?yán)碓囶}含解析

四川省成都市2024-2025學(xué)年高三數(shù)學(xué)上期一診模擬考試（理）試題考試時間：120分鐘總分：150分一、選擇題（每小題5分，共60分，在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合要求.把答案涂在答題卷上.）1.已知集合，，則集合的元素個數(shù)為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】依據(jù)題意結(jié)合一元二次不等式求集合A，再利用集合的交集運算求解.【詳解】∵，∴，即集合的元素個數(shù)為3.故選：C.2.若復(fù)數(shù)z滿意，則的虛部是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】由復(fù)數(shù)除法運算可求得，由虛部定義得到結(jié)果.【詳解】由得：，的虛部為.故選：B.3.“”是“方程表示橢圓”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】B【解析】【分析】先求出“方程表示橢圓”的充要條件，即可推斷.【詳解】“方程表示橢圓”的充要條件為，即且.故“”是“方程表示橢圓”的必要不充分條件.故選：B4.已知水平放置是按“斜二測畫法”得到如圖所示的直觀圖，其中，，那么原的面積是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】依據(jù)直觀圖面積是原圖面積的，先計算的面積，即求得的面積.【詳解】解：設(shè)原圖面積是，對應(yīng)直觀圖面積為直觀圖，由圖可知，依據(jù)“斜二測畫法”的原則：“橫不變縱減半，兩軸夾角”，，即.中，，高，故的面積為，那么的面積為.故選：A．5.已知圓臺形的花盆的上、下底面的直徑分別為8和6，該花盆的側(cè)面綻開圖的扇環(huán)所對的圓心角為，則母線長為（）A.4 B.8 C.10 D.16【答案】A【解析】【分析】利用扇形的弧長公式和圓心角，即可計算求解.【詳解】如圖，弧長為，弧長為，因為圓心角為，，，則母線.故選：A.6.一種藥品在病人血液中的量不低于1500mg時才有療效，假如用藥前，病人血液中該藥品的量為0mg，用藥后，藥在血液中以每小時20%的比例衰減．現(xiàn)給某病人靜脈注射了3000mg的此藥品，為了持續(xù)保持療效，則最長須要在多少小時后再次注射此藥品（，結(jié)果精確到0.1）（）A.2.7 B.2.9 C.3.1 D.3.3【答案】C【解析】【分析】依據(jù)題意列出關(guān)于的式子，依據(jù)對數(shù)的運算性質(zhì)即可求解.【詳解】設(shè)注射個小時后須要向病人血液中再次注射該藥品，則，由得：故的最大值為3.1,故選：C7.如圖所示的程序框圖中，若輸出的函數(shù)值在區(qū)間內(nèi)，則輸入的實數(shù)x的取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】依據(jù)程序框圖，明確該程序的功能是求分段函數(shù)的值，由此依據(jù)該函數(shù)值域，可求得答案.【詳解】由程序框圖可知：運行該程序是計算分段函數(shù)的值，該函數(shù)解析式為：，輸出的函數(shù)值在區(qū)間內(nèi)，必有當(dāng)時，，當(dāng)時，，即得．故選∶C．8.記數(shù)列是等差數(shù)列，下列結(jié)論中肯定成立的是（）A.若，則 B.若，則C.若，則 D.若，則【答案】C【解析】【分析】依據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)，舉反例推斷ABD即可，依據(jù)基本量法推斷C即可.【詳解】對A，若，則，但，故A錯誤；對B，若，則，但，故B錯誤；對C，設(shè)公差為，則由可得，即，故，故C正確；對D，設(shè)公差為，則，故D錯誤；故選：C．9.已知拋物線的焦點F到準(zhǔn)線的距離為4，點，在拋物線C上，若，則（）．A.4 B.2 C. D.【答案】A【解析】【分析】由焦準(zhǔn)距求出，結(jié)合拋物線第肯定義得，整理得，由代換即可求解.【詳解】拋物線的焦點F到準(zhǔn)線的距離為4，所以，依題意，，而，，故，即，則，故，故選：A．10.在正方體中，P是平面內(nèi)的一動點，M為線段的中點，則下列說法錯誤的是（）A.平面內(nèi)隨意一條直線都不與平行B.平面和平面的交線不與平面平行C.平面內(nèi)存在多數(shù)條直線與平面平行D.平面和平面的交線不與平面平行【答案】B【解析】【分析】對A，依據(jù)與平面相交推斷即可；對B，依據(jù)線面平行的判定與性質(zhì)推斷即可；對CD，延長，交于，依據(jù)線面平行的性質(zhì)推斷即可.【詳解】對A，因為與在平面內(nèi)且不平行，故與相交，故與平面相交，若平面內(nèi)隨意一條直線與平行，則平面，沖突，故A正確；對B，由平行，平面，平面，故平面.設(shè)平面和平面的交線為，由線面平行的性質(zhì)可得，又平面，平面，故平面，故B錯誤；對CD，延長，交于，連接如圖.由題意，平面和平面的交線即直線，故當(dāng)平面內(nèi)的直線與平行時，與平面也平行，故C正確；交線與平面交于，故D正確；故選：B11.從有大小和質(zhì)地相同的a個紅球和b個黃球的盒子中隨機(jī)摸球，下列說法正確的是（）A.每次摸出1個球，摸出的球視察顏色后放回，則每次摸到紅球的概率均不同B.每次摸出1個球，摸出的球視察顏色后不放回，則其次次摸到紅球的概率為C.每次摸出1個球，摸出的球視察顏色后不放回，則第一次摸到紅球的條件下，其次次摸到紅球的概率為D.每次摸出1個球，摸出的球視察顏色后放回，且約定每次摸到紅球則積2分，摸到黃球積1分.連續(xù)摸n次后，摸到紅球的積分和的方差為【答案】D【解析】【分析】對于A，利用古典概型的概率公式求解，對于B，利用互斥事務(wù)和獨立事務(wù)的概率公式求解推斷，對于C，利用條件概率公式求解推斷，對于D，利用二項分布的方差公式及性質(zhì)求解推斷.【詳解】對于A，因為從有大小和質(zhì)地相同的a個紅球和b個黃球的盒子中隨機(jī)摸球，摸出1個球，摸出的球視察顏色后放回，所以每次摸到紅球的概率相同，所以A錯誤，對于B，記事務(wù)為第一次摸到紅球，事務(wù)為第一次摸到黃球，事務(wù)為其次次摸到紅球，則，所以B錯誤，對于C，第一次摸到紅球的條件下，其次次摸到紅球的概率為，所以C錯誤，對于D，設(shè)摸到紅球的次數(shù)為，則，由題意可知，所以，所以，所以D正確，故選：D.12.已知，，且，，則下列說法正確的個數(shù)有（）個①②③④A.1 B.2 C.3 D.4【答案】D【解析】【分析】由題意，先構(gòu)造，求導(dǎo)分析單調(diào)性與最值可推斷①；對②構(gòu)造函數(shù)，可得，進(jìn)而推斷；對③④，數(shù)形結(jié)合可得推斷即可.【詳解】由，則，即.構(gòu)造函數(shù)則為增函數(shù)，又，故當(dāng)時，，單調(diào)遞減；當(dāng)時，，單調(diào)遞增，且.由題意，，，數(shù)形結(jié)合可得，.對①，因為，故，又，故，①正確；對②，構(gòu)造，，則，當(dāng)且僅當(dāng)時取等號，故增函數(shù)，故，即.又，，又，且在時單調(diào)遞減，故，即，②正確；對③④，由，故，成立；故選：D二、填空題（本大題共4小題，每小題5分，共20分，答案填在答題卷的橫線上.）13.的綻開式中的常數(shù)項為__________.【答案】【解析】【分析】寫出綻開式得通項，令的指數(shù)等于0，即可得解.【詳解】解：的綻開式的通項為，令，則，所以的綻開式中的常數(shù)項為.故答案為：.14.已知（），則的最小值為___________.【答案】4【解析】【分析】依據(jù)可得，再依據(jù)基本不等式求解即可.【詳解】因為，故，當(dāng)且僅當(dāng)，即時取等號.故的最小值為4.故答案為：415.為了測量一個不規(guī)則公園兩點之間的距離，如圖，在東西方向上選取相距的兩點，點在點A的正東方向上，且四點在同一水平面上．從點A處觀測得點在它的東北方向上，點在它的西北方向上；從點處觀測得點在它的北偏東方向上，點在它的北偏西方向上，則之間的距離為______km.【答案】2【解析】【分析】由題意確定相應(yīng)的各角的度數(shù)，在中，由正弦定理求得BC,同理再求出DB，解，求得答案.【詳解】由題意可知，,,故在中，，故，，在中，，故，，所以在中，，則,故答案為：216.已知，，且，則的取值范圍是___________.【答案】【解析】【分析】由題意，均在圓心為原點，半徑為2的圓上，再依據(jù)數(shù)量積公式，結(jié)合幾何意義分析最值求解即可.【詳解】由題意，，故均在圓心為原點，半徑為2的圓上.①當(dāng)為直徑時，，又為在直徑上的投影，故，此時；②當(dāng)不為直徑時，，設(shè)，數(shù)形結(jié)合可得在上的投影，故，即，故當(dāng)，時有最小值，此時.綜上可得的取值范圍是.故答案為：三、解答題：共70分，解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟，第17~21題為必考題，每個試題考生都必需作答、第22、23題為選考題，考生依據(jù)要求作答.（一）必考題：共60分，每題12分.17.已知銳角三角形的內(nèi)角A，B，C所對的邊分別記作a，b，c，滿意，且．（1）求；（2）若點，分別在邊和上，且將分成面積相等的兩部分，求的最小值．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）依據(jù)二倍角公式、正弦定理和得到，，再利用同角三角函數(shù)基本公式得到，利用和差公式得到，即可得到；（2）利用三角形面積公式得到，然后利用余弦定理和基本不等式即可得到的最小值.【小問1詳解】因為，所以，因為，所以，又，且為銳角，所以，所以．因為．所以．所以．【小問2詳解】設(shè)，，依據(jù)題設(shè)有，所以，可得，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立．所以的最小值為．18.新冠肺炎是近百年來人類遭受的影響范圍最廣的全球性大流行病毒.對前所未知、突如其來、來勢洶洶的疫情天災(zāi)，習(xí)近平總書記親自指揮、親自部署，強(qiáng)調(diào)把人民生命平安和身體健康放在第一位.明確堅決打贏疫情防控的人民斗爭、總體戰(zhàn)、阻擊戰(zhàn).當(dāng)前，新冠肺炎疫情防控形勢依舊困難嚴(yán)峻.為普及傳染病防治學(xué)問，增加學(xué)生的疾病防范意識，提高自身愛護(hù)實力，市團(tuán)委在全市學(xué)生范圍內(nèi)，組織了一次傳染病及個人衛(wèi)生相關(guān)學(xué)問有獎競賽（滿分100分），競賽嘉獎規(guī)則如下：得分在[70，80）內(nèi)的學(xué)生獲三等獎，得分在內(nèi)的學(xué)生獲二等獎，得分在內(nèi)的學(xué)生獲一等獎，其它學(xué)生不得獎.為了解學(xué)生對相關(guān)學(xué)問的駕馭狀況，隨機(jī)抽取了100名學(xué)生的競賽成果，并以此為樣本繪制了如圖所示的頻率分布表.競賽成果人數(shù)61218341686（1）從該樣本中隨機(jī)抽取2名學(xué)生的競賽成果，求這2名學(xué)生恰有一名學(xué)生獲獎的概率；（2）若該市全部參賽學(xué)生的成果X近似地聽從正態(tài)分布，若從全部參賽學(xué)生中（參賽學(xué)生人數(shù)特殊多）隨機(jī)抽取4名學(xué)生進(jìn)行座談，設(shè)其中競賽成果在64分以上的學(xué)生人數(shù)為，求隨機(jī)變量的分布列和數(shù)學(xué)期望.【答案】（1）（2）分布列見解析，2【解析】【分析】（1）依據(jù)題意可得獲獎狀況，再依據(jù)組合數(shù)的計算與概率公式求解即可；（2）由正態(tài)分布的性質(zhì)可得隨機(jī)變量，再列出分布列求解數(shù)學(xué)期望即可.【小問1詳解】由樣本頻率分布表可知，樣本中獲一等獎的6人，獲二等獎的8人，獲三等獎的16人，共30人，則70人沒有獲獎，所以從該樣本中隨機(jī)抽取2名學(xué)生的競賽成果，這2名學(xué)生恰有一名學(xué)生獲獎的概率為.【小問2詳解】因為該校全部參賽學(xué)生的成果X近似地聽從正態(tài)分布，所以，所以，即從全部參賽學(xué)生中隨機(jī)抽取1名學(xué)生，該生成果在64分以上的概率為，所以隨機(jī)變量，所以（，1，2，3，4），所以，，，，，所以的分布列為01234P所以.19.已知△ABC是邊長為6等邊三角形，點M，N分別是邊AB，AC的三等分點，且，，沿MN將△AMN折起到的位置，使．（1）求證：平面MBCN；（2）在線段BC上是否存在點D，使平面與平面所成銳二面角的余弦值為？若存在，設(shè)，求的值；若不存在，說明理由．【答案】（1）證明見解析（2）存在，或，【解析】【分析】（1）由已知可得，則得，再結(jié)合，由線面垂直的判定定理可證得平面MBCN；（2）由（1）可知兩垂直，所以以為原點，所在的直線分別為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，假設(shè)存在，先求出平面的法向量，利用向量的夾角公式列方程求解推斷即可【小問1詳解】證明：△ABC是邊長為6的等邊三角形，點M，N分別是邊AB，AC的三等分點，且，，所以，所以由余弦定理得，所以，所以，所以，因為，所以，因為，所以平面MBCN；【小問2詳解】由（1）可知兩垂直，所以以為原點，所在的直線分別為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示，則，所以，因為，，所以平面，所以為平面的一個法向量，假設(shè)線段BC上存在點D，設(shè)，則，所以（），所以,設(shè)平面的法向量為，則，令，則，因為平面與平面所成銳二面角的余弦值為所以，化簡得，，解得或，所以在線段BC上是存在點D，使平面與平面所成銳二面角的余弦值為，此時或，20.已知橢圓且四個點、、、中恰好有三個點在橢圓C上，O為坐標(biāo)原點.（1）求橢圓C的方程；（2）若直線l與橢圓C交于A，B兩點，且，證明：直線l與定圓相切，并求出的值.【答案】（1）；（2）證明見解析，.【解析】【分析】（1）依據(jù)給定條件，利用橢圓對稱性推斷橢圓經(jīng)過的三點，再代入求解作答.（2）直線l的斜率存在時，設(shè)出直線方程，與橢圓方程聯(lián)立，利用韋達(dá)定理結(jié)合垂直的向量表示，并求出原點到直線l的距離，再探討直線斜率不存在的狀況作答.【小問1詳解】由橢圓的對稱性知，，必在橢圓上，則不在橢圓上，有在橢圓上，因此，解得，所以橢圓C的方程為.【小問2詳解】當(dāng)直線l的斜率不存在時，設(shè)，則點，因，則，解得，即原點O到直線l的距離為，當(dāng)直線l的斜率存在時，設(shè)直線，，由消去y并整理得：，有，，，因，則，整理得，滿意，原點O到直線l的距離，綜上得：原點O到直線l的距離恒為，即直線l與圓相切，所以直線l與定圓相切，.21.設(shè)函數(shù)，函數(shù)（）.（1）求的單調(diào)區(qū)間；（2）若，有三個不同實根，，（），試比較，，的大小關(guān)系，并說明理由.【答案】（1）答案見解析（2），理由見解析【解析】【分析】（1）求導(dǎo)分與兩種狀況，探討導(dǎo)函數(shù)的正負(fù)區(qū)間與單調(diào)性即可；（2）易得（），結(jié)合題意與函數(shù)單調(diào)性可得，進(jìn)而可得三根的表達(dá)式，且，，，，先依據(jù)單調(diào)性推斷，，結(jié)合作差法有，換元令（），再構(gòu)造函數(shù)求導(dǎo)分析函數(shù)的單調(diào)性與最值推斷即可.【小問1詳解】由已知，當(dāng)時，在恒成立，在上單調(diào)遞增；當(dāng)時，由得，若時，，在上單調(diào)遞增，若時，，在上單調(diào)遞減；綜上，當(dāng)時，的單調(diào)遞增區(qū)間為，無單調(diào)遞減區(qū)間；當(dāng)時，的單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為；【小問2詳解】由題意得：（）（）（），（），令（），當(dāng)時，，，在上遞增；不滿意；當(dāng)時，∵（），∴，，在上遞增；也不滿意有三個不同實根；當(dāng)時，由得，，∴在上遞增，在上遞減，在上遞增.∵有三個不同實根，，（），明顯，且，，∴，，.由可得，故，所以，即，由的單調(diào)性可知，當(dāng)時，，遞增；當(dāng)時，，遞減.∴，.由得，又，∴，∴，∴，令（），則令（），∴，令（），令，，，∴在上遞減，∴，∴在上遞減，∴，∴在上遞減，∴，則，∴在上遞減，∴，∴，∴，綜上：，，的大小關(guān)系為：.【點睛】本題主要考查了利用導(dǎo)數(shù)含參分類探討函數(shù)單調(diào)性的問題，同時也考查