新高考適用2025版高考數(shù)學(xué)二輪總復(fù)習(xí)第1篇核心素養(yǎng)謀局思想方法引領(lǐng)第4講創(chuàng)新情境與數(shù)學(xué)文化

第一篇第4講一、選擇題1．二十四節(jié)氣(The24SolarTerms)是指中國農(nóng)歷中表示季節(jié)變遷的24個特定節(jié)令，是依據(jù)地球在黃道(即地球繞太陽公轉(zhuǎn)的軌道)上的位置改變而制定的，每一個分別相應(yīng)于地球在黃道上每運(yùn)動15°所到達(dá)的肯定位置．依據(jù)上述描述，從秋分到小雪相應(yīng)于地球在黃道上運(yùn)動的度數(shù)為(A)A．60° B．－75°C．45° D．－60°【解析】從秋分到小雪相應(yīng)于地球在黃道上運(yùn)動的度數(shù)為4×15°＝60°.故選A.2．(2024·黑龍江哈爾濱市第六中學(xué)校高三月考)“干支紀(jì)年法”是中國歷法上自古以來運(yùn)用的紀(jì)年方法，甲、乙、丙、丁、戊、己、庚、辛、壬、癸被稱為“十天干”，子、丑、寅、卯、辰、巳、午、未、申、酉、戌、亥叫做“十二地支”．“天干”以“甲”字起先，“地支”以“子”字起先，兩者按干支依次相配，組成了干支紀(jì)年法，其相配依次為：甲子、乙丑、丙寅、…、癸酉、甲戌、乙亥、丙子、…、癸未、甲申、乙酉、丙戌、…、癸巳，…共得到60個組合，稱六十甲子，周而復(fù)始，無窮無盡.2024年是“干支紀(jì)年法”中的辛丑年，那么2016年是“干支紀(jì)年法”中的(A)A．丙申年 B．丙午年C．甲辰年 D．乙未年【解析】依題意，甲、乙、丙、丁、戊、己、庚、辛、壬、癸被稱為“十天干”，子、丑、寅、卯、辰、巳、午、未、申、酉、戌、亥叫做“十二地支”．2024年是辛丑年，2024年為庚子，2024年是己亥年，2024年是戊戌年，2017年是丁酉年，2016年是丙申年．故選A.3．(2024·洛陽模擬)2024年北京冬奧會的祥瑞物“冰墩墩”和“雪容融”深受祥瑞物愛好者的寵愛，“冰墩墩”和“雪容融”將中國文化符號和冰雪運(yùn)動完備融合，承載了新時代中國的形象和幻想．若某個祥瑞物愛好者從裝有3個“冰墩墩”和3個“雪容融”的6個盲盒的袋子中任取2個盲盒，則恰好抽到1個“冰墩墩”和1個“雪容融”的概率是(C)A．eq\f(1,3) B．eq\f(2,5)C．eq\f(3,5) D．eq\f(3,10)【解析】記3個“冰墩墩”分別為a、b、c，3個“雪容融”分別為1、2、3，從6個盲盒的袋子中任取2個盲盒有：ab，ac，a1，a2，a3，bc，b1，b2，b3，c1，c2，c3，12，13，23共15種狀況，其中恰好抽到1個“冰墩墩”和1個“雪容融”包含a1，a2，a3，b1，b2，b3，c1，c2，c3共9種，所以概率為：P＝eq\f(9,15)＝eq\f(3,5).故選C.4．(2024·海淀區(qū)校級模擬)窗花是貼在窗紙或窗戶玻璃上的剪紙，是中國古老的傳統(tǒng)民間藝術(shù)．圖1是一張由卷曲紋和回紋構(gòu)成的正六邊形剪紙窗花．圖2中正六邊形ABCDEF的邊長為4，圓O的圓心為該正六邊形的中心，圓O的半徑為2，圓O的直徑MN∥CD，點(diǎn)P在正六邊形的邊上運(yùn)動，則eq\o(PM,\s\up6(→))·eq\o(PN,\s\up6(→))的最小值為(D)A．5 B．6C．7 D．8【解析】正六邊形ABCDEF內(nèi)切圓半徑為r＝OA·sin60°＝4×eq\f(\r(3),2)＝2eq\r(3)，正六邊形ABCDEF外接圓半徑為R＝4，又eq\o(PM,\s\up6(→))·eq\o(PN,\s\up6(→))＝(eq\o(PO,\s\up6(→))＋eq\o(OM,\s\up6(→)))·(eq\o(PO,\s\up6(→))＋eq\o(ON,\s\up6(→)))＝(eq\o(PO,\s\up6(→))＋eq\o(OM,\s\up6(→)))·(eq\o(PO,\s\up6(→))－eq\o(OM,\s\up6(→)))＝|eq\o(PO,\s\up6(→))|2－|eq\o(OM,\s\up6(→))|2＝|eq\o(PO,\s\up6(→))|2－4，而r≤|eq\o(PO,\s\up6(→))|≤R，∴eq\o(PM,\s\up6(→))·eq\o(PN,\s\up6(→))＝|eq\o(PO,\s\up6(→))|2－4≥12－4＝8.故選D.5．(2024·金鳳區(qū)校級三模)明代數(shù)學(xué)家吳敬所著的《九章詳注比類算法大全》一書中，記載了一道數(shù)學(xué)題：有7個人每人趕著一群羊到野外去放養(yǎng)，每人放養(yǎng)的羊(單位：頭)的數(shù)量分別為a1，a2，a3，a4，a5，a6，a7，它們恰好構(gòu)成一個等差數(shù)列，若a1＋a2＋a3＝33，2a2＋9＝a7，則這7個人一共放養(yǎng)的總羊群的頭數(shù)是(C)A．125 B．128C．133 D．136【解析】∵a1，a2，a3，a4，a5，a6，a7，恰好構(gòu)成一個等差數(shù)列，且a1＋a2＋a3＝33，2a2＋9＝a7，設(shè)公差為d，∴3a2＝33，2a1＋2d＋9＝a1＋6d，∴d＝4，a1＝7，∴這7個人一共放養(yǎng)的總羊群的頭數(shù)是：7a1＋eq\f(7×6,2)d＝133.故選C.6．(2024·浙江高一期末)在R上定義運(yùn)算：eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(ab,cd))＝ad－bc，若不等式eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－1a－2,a＋1x))≥1對隨意實(shí)數(shù)x恒成立，則實(shí)數(shù)a的最大值為(D)A．－eq\f(1,2) B．－eq\f(3,2)C．eq\f(1,2) D．eq\f(3,2)【解析】由eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(ab,cd))＝ad－bc，則eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－1a－2,a＋1x))≥1即x(x－1)－(a－2)(a＋1)≥1，所以a2－a－1≤x2－x恒成立，在R上x2－x的最小值為－eq\f(1,4)，所以a2－a－1≤－eq\f(1,4)，整理可得(2a＋1)(2a－3)≤0，解得－eq\f(1,2)≤a≤eq\f(3,2)，實(shí)數(shù)a的最大值為eq\f(3,2)，故選D.7．(2024·四川模擬)2024年北京冬奧會開幕式為世界奉獻(xiàn)了一場精彩、簡約、唯美、浪漫的中國文化盛宴，其中主火炬臺的雪花狀創(chuàng)意令人驚羨．如圖所示的圖案是一個邊長為6的正六邊形雪花狀飾品，內(nèi)部有一個多邊形Ω，其形態(tài)是由邊長為3的正六邊形各邊兩個三等分點(diǎn)間的線段向外作正三角形(再去掉該線段)而成．若在該正六邊形雪花狀飾品任取一點(diǎn)，則該點(diǎn)取自于多邊形Ω及其內(nèi)部的概率為(A)A．eq\f(5,18) B．eq\f(1,3)C．eq\f(7,18) D．eq\f(4,9)【解析】∵S大正六邊形＝6×eq\f(1,2)×6×3eq\r(3)＝54eq\r(3)，S小正六邊形＝6×eq\f(1,2)×3×eq\f(3\r(3),2)＝eq\f(27,2)eq\r(3)，S正三角形＝eq\f(1,2)×1×eq\f(\r(3),2)＝eq\f(\r(3),4)，∴滿意條件的概率P＝eq\f(6×\f(\r(3),4)＋\f(27,2)\r(3),54\r(3))＝eq\f(5,18)，故選A.8．(2024·聊城三模)《幾何原本》是古希臘數(shù)學(xué)家歐幾里得的一部不朽之作，其第十一卷中稱軸截面為等腰直角三角形的圓錐為直角圓錐．若一個直角圓錐的側(cè)面積為4eq\r(2)π，圓錐的底面圓周和頂點(diǎn)都在同一球面上，則該球的體積為(B)A．eq\f(8,3)π B．eq\f(32,3)πC．16π D．32π【解析】設(shè)球半徑為R，圓錐的底面半徑為r，若一個直角圓錐的側(cè)面積為4eq\r(2)π，設(shè)母線為l，則l2＋l2＝4r2?l＝eq\r(2)r，所以直角圓錐的側(cè)面積為：eq\f(1,2)×2πr·l＝eq\f(1,2)×2πr·eq\r(2)r＝4eq\r(2)π，可得：r＝2，l＝eq\r(2)r＝2eq\r(2)，圓錐的高BO1＝eq\r(l2－r2)＝eq\r(8－4)＝2，由r2＋(2－R)2＝R2，解得：R＝2，所以球O的體積等于eq\f(4,3)πR3＝eq\f(4,3)π×8＝eq\f(32π,3)，故選B.9．(2024·新疆模擬)我國古代數(shù)學(xué)家僧一行(原名：張遂)應(yīng)用“九服晷影算法”在《大衍歷》中建立了晷影長與太陽天頂距θ(0°≤θ≤80°)的對應(yīng)數(shù)表，這是世界數(shù)學(xué)史上較早的一張正切函數(shù)表．依據(jù)三角學(xué)學(xué)問可知，晷影長度l等于表高h(yuǎn)與太陽天頂距θ正切值的乘積，即l＝htanθ.若對同一“表高”兩次測量，“晷影長”分別是“表高”的1.5倍和2倍(所成角記θ1、θ2).則tan(θ1＋θ2)＝(A)A．－eq\f(7,4) B．－eq\f(6,5)C．－eq\f(5,6) D．－eq\f(2,3)【解析】由題可得：tanθ1＝1.5，tanθ2＝2，∴tan(θ1＋θ2)＝eq\f(tanθ1＋tanθ2,1－tanθ1tanθ2)＝eq\f(1.5＋2,1－1.5×2)＝－eq\f(7,4)，故選A.10．(2024·濰坊三模)我國古代數(shù)學(xué)名著《九章算術(shù)》中給出了許多立體幾何的結(jié)論，其中提到的多面體“鱉臑”是四個面都是直角三角形的三棱錐．若一個“鱉臑”的全部頂點(diǎn)都在球O的球面上，且該“鱉臑”的高為2，底面是腰長為2的等腰直角三角形．則球O的表面積為(A)A．12π B．4eq\r(3)πC．6π D．2eq\r(6)π【解析】如下圖所示：在三棱錐A－BCD中，AB⊥平面BCD，BC⊥CD且BC＝CD＝2，AB＝2，因?yàn)锳B⊥平面BCD，BC、BD、CD?平面BCD，則AB⊥BC，AB⊥BD，CD⊥AB，∵CD⊥BC，AB∩BC＝B，∴CD⊥平面ABC，∵AC?平面ABC，∴AC⊥CD，所以，三棱錐A－BCD的四個面都是直角三角形，且BD＝eq\r(BC2＋CD2)＝2eq\r(2)，AD＝eq\r(AB2＋BD2)＝2eq\r(3)，設(shè)線段AD的中點(diǎn)為O，則OB＝OC＝eq\f(1,2)AD＝OA＝OD，所以，點(diǎn)O為三棱錐A－BCD的外接球球心，設(shè)球O的半徑為R，則R＝eq\f(1,2)AD＝eq\r(3)，因此，球O的表面積為4πR2＝12π.故選A.11．(2024·桃城區(qū)校級模擬)雙曲余弦函數(shù)coshx＝eq\f(ex＋e－x,2)是高等數(shù)學(xué)中重要的函數(shù)之一．定義在R上的函數(shù)f(x＋1)的圖象關(guān)于點(diǎn)(－1，1)對稱，且當(dāng)x≥0時，f(x)＝coshx，則不等式f(x＋1)＋f(2x－3)＞2的解集為(A)A．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)，＋∞)) B．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，＋∞))C．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)，＋∞)) D．(2，＋∞)【解析】定義在R上的函數(shù)f(x＋1)的圖象關(guān)于點(diǎn)(－1，1)對稱，可得f(x)的圖象關(guān)于點(diǎn)(0，1)對稱，即有f(－x)＋f(x)＝2，當(dāng)x≥0時，f(x)＝coshx即f(x)＝eq\f(ex＋e－x,2)，f′(x)＝eq\f(1,2)(ex－e－x)≥0，即有f(x)在[0，＋∞)遞增，而f(x)的圖象關(guān)于點(diǎn)(0，1)對稱，由f(0)＋f(0)＝2，即f(0)＝1，可得f(x)在R上遞增，則不等式f(x＋1)＋f(2x－3)＞2即f(x＋1)＋f(2x－3)＞f(x＋1)＋f(－x－1)，即f(2x－3)＞f(－x－1)，所以2x－3＞－x－1，解得x＞eq\f(2,3)，故選A.12．(2024·雅安模擬)當(dāng)聲音的強(qiáng)度為x時，對應(yīng)的等級為f(x)分貝，有f(x)＝10lgeq\f(x,A0)(其中A0為常數(shù)).若裝修電鉆的聲音等級約為100分貝，一般室內(nèi)談話的聲音等級約為60分貝，則裝修電鉆的聲音強(qiáng)度與一般室內(nèi)談話的聲音強(qiáng)度的比值為(D)A．eq\f(5,3) B．eq\f(3,5)C．10-4 D．104【解析】設(shè)裝修電鉆的聲音強(qiáng)度為x1，一般室內(nèi)談話的聲音強(qiáng)度為x2.由題意得：f(x1)＝100＝10lgeq\f(x1,A0)，f(x2)＝60＝10lgeq\f(x2,A0)，解得x1＝A0·1010，x2＝A0·106，∴裝修電鉆的聲音強(qiáng)度與一般室內(nèi)談話的聲音強(qiáng)度的比值為：eq\f(x1,x2)＝eq\f(A0·1010,A0·106)＝104.故選D.二、填空題13．《九章算術(shù)》“竹九節(jié)”問題：現(xiàn)有一根9節(jié)的竹子，自上而下各節(jié)的容積成等差數(shù)列．上面4節(jié)的容積共為3升，下面3節(jié)的容積共4升，則第5節(jié)的容積為__eq\f(67,66)__升．【解析】設(shè)該數(shù)列{an}的首項(xiàng)為a1，公差為d，依題意eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a1＋a2＋a3＋a4＝3，,a7＋a8＋a9＝4，))即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(4a1＋6d＝3，,3a1＋21d＝4，))，解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a1＋7d＝\f(4,3)，,d＝\f(7,66)，))則a5＝a1＋4d＝a1＋7d－3d＝eq\f(4,3)－eq\f(21,66)＝eq\f(67,66).14．(2024·臨沂三模)數(shù)學(xué)家歐拉在1765年提出定理：三角形的外心、重心、垂心依次位于同始終線上，這條直線后人稱之為三角形的歐拉線．已知△ABC的頂點(diǎn)A(2，0)，B(0，4)，C(－4，0)，則其歐拉線方程為__x－y＋2＝0__．【解析】設(shè)△ABC的重心為G，垂心為H，由重心坐標(biāo)公式得x＝eq\f(0＋2＋(－4),3)＝－eq\f(2,3)，y＝eq\f(0＋4＋0,3)＝eq\f(4,3)，所以Geq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(2,3)，\f(4,3)))，由題，△ABC的邊AC上的高線所在直線方程為x＝0，直線BC：y＝x＋4，A(2，0)，所以△ABC的邊BC上的高線所在直線方程為y＝－x＋2，所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝0，,y＝－x＋2，))?H(0，2)，所以歐拉線GH的方程為y－2＝eq\f(2－\f(4,3),0－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(2,3))))x，即x－y＋2＝0.故答案為x－y＋2＝0.15．(2024·沙河口區(qū)校級一模)一般認(rèn)為，民用住宅窗戶面積a與地板面積b的比應(yīng)不小于10%，即eq\f(1,10)≤eq\f(a,b)<1，而且比值越大采光效果越好，若窗戶面積與地板面積同時增加m，采光效果變好還是變壞？請將你的推斷用不等式表示__采光效果變好__，__eq\f(a＋m,b＋m)>eq\f(a,b)__．【解析】依據(jù)題意，設(shè)窗戶和地板同時增加m平方米，有eq\f(1,10)≤eq\f(a,b)<1，則有eq\f(a＋m,b＋m)－eq\f(a,b)＝eq\f(ab＋bm－ab－am,(b＋m)b)＝eq\f((b－a)m,(b＋m)b)，又由a＜b，則eq\f(a