函數(shù)及其表示方法（函數(shù)的概念）高一上學期數(shù)學人教B版（2019）必修第一冊

3.1.1

函數(shù)及其表示方法第三章

函數(shù)人教B版（2019）我們已經(jīng)學習過一些函數(shù)的知識，例如已經(jīng)總結(jié)出：在一個變化過程中，數(shù)值發(fā)生變化的量稱為變量；在一個變化過程中，如果有兩個變量

x與

y

，并且對于

x的每一個確定的值，y都有唯一確定的值與其對應，那么就稱

y是

x的函數(shù).

情境與問題（1）國家統(tǒng)計局的課題組公布，如果將2005年中國創(chuàng)新指數(shù)記為100，近些年來中國創(chuàng)新指數(shù)的情況如下表所示．年度20082009201020112012201320142015中國創(chuàng)新指數(shù)116.5125.5131.8139.6148.2152.6158.2171.5以

y表示年度值，i表示中國創(chuàng)新指數(shù)的取值，則

i是

y的函數(shù)嗎？如果是，這個函數(shù)用數(shù)學符號可以怎樣表示？（2）利用醫(yī)療儀器可以方便地測量出心臟在各時刻的指標值，據(jù)此可以描繪出心電圖，如下圖所示．醫(yī)生在看心電圖時，會根據(jù)圖形的整體形態(tài)來給出診斷結(jié)果（如根據(jù)兩個峰值的間距來得出心率等）．如果用

t

表示測量的時間，v

表示測量的指標值，則

v

是

t

的函數(shù)嗎？如果是，這個函數(shù)用數(shù)學符號可以怎樣表示？初中實際上是用變量的觀點和解析式來描述函數(shù)的，但從情境與問題中的兩個實例可知，初中的方法有一定的局限性：情境與問題中的

i是

y的函數(shù)，v是

t

的函數(shù)，但是這兩個函數(shù)與初中的函數(shù)有所不同，比如都很難用一個解析式表示，而且每個變量的取值范圍也有了限制，等等.一般地，給定兩個非空實數(shù)集

A與

B，以及對應關(guān)系

f，如果對于集合

A中的每一個實數(shù)

x，在集合

B中都有唯一確定的實數(shù)

y與

x對應，則稱

f為定義在集合

A上的一個函數(shù)，記作

y=

f

(x)，x

∈A．函數(shù)的定義其中x稱為自變量，y稱為因變量，自變量取值的范圍（即數(shù)集A）稱為這個函數(shù)的定義域.如果自變量取值a，則由對應關(guān)系f確定的值

y

稱為函數(shù)在

a處的函數(shù)值，記作y=f(a)或y|x=a.所有函數(shù)值組成的集合{y|y=f(x)，x∈

A}稱為函數(shù)的值域.

函數(shù)的這種定義強調(diào)的是“對應關(guān)系”，對應關(guān)系也可用其他小寫英文字母如g，h等表示.

在表示函數(shù)時，如果不會產(chǎn)生歧義，函數(shù)的定義域通常省略不寫，此時就約定：函數(shù)的定義域就是使得這個函數(shù)有意義的所有實數(shù)組成的集合.在上述約定下，以下表達式都可以表示函數(shù)f(x)=2x+1，x∈

R：f(x)=2x＋1，y=2x＋1.（1）分式中分母不能為零；（2）二次根式中的被開方數(shù)要大于或等于零.以下都是求函數(shù)定義域常用的依據(jù)：

此解法，實質(zhì)上是在用方程判斷一個數(shù)是否屬于函數(shù)的值域.嘗試與發(fā)現(xiàn)實質(zhì)上用的是不等式的性質(zhì).練習鞏固