立體幾何初步中的9種軌跡問題-【題型·技巧培優(yōu)系列】2022-2023年高一數(shù)學同步精講精練（人教B版2019必修第三冊）（解析版）

專題10立體幾何中的軌跡問題

◎?？碱}型目錄

題型1等距法求軌跡................................................................................1

?類型1求軌跡形狀...........................................................................1

?類型2求軌跡長度...........................................................................8

?類型3求軌跡面積..........................................................................14

題型2距離和為定值求軌跡長度....................................................................15

題型3由平行求軌跡...............................................................................16

?類型1求軌跡形狀..........................................................................16

?類型2求軌跡長度..........................................................................20

?類型3求軌跡面積..........................................................................30

題型4由垂直求軌跡...............................................................................33

?類型1求軌跡形狀..........................................................................33

?類型2求軌跡長度..........................................................................41

?類型3求軌跡面積..........................................................................52

題型5由等角求軌跡...............................................................................55

?類型1求軌跡形狀..........................................................................55

?類型2求軌跡長度..........................................................................57

題型6交軌法求軌跡長度...........................................................................63

題型7截面求軌跡長度.............................................................................65

題型8翻折求軌跡長度.............................................................................66

題型9投影法求軌跡...............................................................................71

題型1等距法求軌跡

?類型1求軌跡形狀

【例題1-11（2023春?江蘇南京?高二南京市第二十九中學?？茧A段練習）已知線段0餐直于定圓所在的

平面，口,。是圓上的兩點，。是點O在口入的射影，當。運動，點。運動的軌跡（）

A.是圓B.是橢圓C.是拋物線D.不是平面圖形

【答案】A

【分析】設定圓圓心為口，半徑為口，由線面垂直的判定與性質可推導證得口O_L口口,由直角三角形性

質可確定口。=□□=□□=□,由此可得軌跡圖形.

【詳解】設定圓圓心為。，半徑為口,

連接OO,設直徑為oo,連接。2口口,

UUUUU,￡7￡7u平面Z7￡7￡7,二□□1;

???0叫直徑，.??□□工口□,又。。n□□=口,口口,口口匚礴口口口,

□□邛面□□□,又。Z7u平面O/7D,二口□工LJU,

又￡701口口,口口門口□=D,口口,口口^^口口口,

ZZ7Z71平面￡7￡7u平面Z7Z7O,：.□□L,

在R3￡7Z7。中，□口=□□=□□=口,則點中）軌跡是以￡7為圓心，。為半徑的圓.

故選：A.

【變式1-1]1.（2021?高一課時練習）在三棱臺AiBiCi-ABC中，點D在AXB1上，且AAiIIBD，點

M是4d4&內（含邊界）的一個動點，且有平面BDMII平面AiC,則動點M的軌跡是（）

AB

出nB,

A.平面B.直線

C.線段，但只含1個端點D.圓

【答案】C

【解析】利用面面平行的判定定理構造平面平面口0，由此確定D點的軌跡.

【詳解】過D作DNIIA1C1,交B1C1于N,連結BN,

由于&&u平面&口。。2平面&O,所以口口/平面UQ

在三棱臺A1B1C1-ABC中，點D在A1B1上，且AA1IIBD,

且U平面口,□□N平面□、口,

:.□□H平面口、口.

?.AAinAlCl=Al,BDADN=D,

,平面BDNll平面A1C,

?.?點M是45&0內（含邊界）的一個動點,且有平面BDMII平面A1C,

-M的軌跡是線段DN,且M與D不重合，

,動點M的軌跡是線段，但只含1個端點.

故選：C

【點睛】本小題主要考查面面平行的判定定理，屬于基礎題.

【變式1-1]2.（2019?高一課時練習）如圖所示，△為正三角形，四邊形?？凇ò嗾叫?，平

面。。01平面ODDO.O為平面SOO內的一動點，且滿足￡70=.則點O在正方形口口￡7。內

的軌跡為（C為正方形的中心）

P

/W---------7c

【答案】A

【詳解】試題分析：在空間中，過線段PC中點，且垂直線段PC的平面上的點到P,C兩點的距離相等，

此平面與平面ABCD相交，兩平面有一條公共直線.

解：在空間中，存在過線段PC中點且垂直線段PC的平面，平面上點到P,C兩點的距離相等，記此平面

為a,平面a與平面ABCD有一個公共點D,則它們有且只有一條過該點的公共直線.取特殊點B,可排除

選項B,故選A.

考點：軌跡方程.

【變式1-1]3.如圖，在棱長為4的正方體ABCD-ABCD中，E、F分別是AD、AD，的中點，長為2的

線段MN的一個端點M在線段EF上運動，另一個端點N在底面ABCD'上運動，則線段MN的中點P

的軌跡（曲面）與正方體（各個面）所圍成的幾何體的體積為

A.爭孚序靖

【答案】D

【分析】

連接PF、NF,分析得出FP=1,可知點P的軌跡是以點F為球心，半徑長為1的球面，作出圖形，結合球

體的體積公式可求得結果

【詳解】

連接PF、NF,因為ADZ/A'D'/AD=A'D',

且E、F分別為AD、AD的中點,故AE/A'F且AE=A'F,所以，四邊形AA'FE為平行四邊形，故EF//AA'

且EF=AA'=4,〔AA」平面ABC'D',則EF_L平面ABC'D',因為FNu平面A'B'C'D',所以,EF±FN,

???P為MN的中點，故FP=^MN=1,

所以，點P的軌跡是以點F為球心，半徑長為1的球面，如下圖所示：

所以，線段MN的中點P的軌跡（由面）與正方體（各個面）所圍成的幾何體為球F的:,故所求幾何體的

體積為v=（xgnxl3=］故選擇：D.

【變式l-l】4.四棱錐P-0ABC中，底面0ABe是正方形，0P_L0A,0A=0P=a.D是棱0P上的一動點，

E是正方形OABC內一動點，DE的中點為Q,當DE=a時，Q的軌跡是球面的一部分，其表面積為3n,

則a的值是()

A.2V3B.2V6C.3妮D.6

【答案】B

【分析】

由題意結合選項可特殊化處理，即取0P與底面垂直，求得Q的軌跡，結合球的表面積求解.

【詳解】

不妨令OPLOC,則OP_L底面OABC,如圖，

?.D是0P上的動點，.,QD_L底面OABC,可得OD_LOE,又Q為DE的中點，.：口□

=夕，即Q的軌跡是以0為球心，

以夕為半徑的球面，其表面積為S總x4Dx5=3n,得a=2倔故選：B.

【變式1-1]5.(2020?高一課時練習)如圖，水平的廣場上有一盞路燈掛在高10封電線桿頂上，記電

線桿的底部為點A把路燈看作一個點光源，身高1.5OB勺女孩站在離點055勺點儂,回答下面的問題.

（1）若女孩以5%半徑繞著電線桿走一個圓圈，人影掃過的是什么圖形，求這個圖形的面積；

（2）若女孩向點。前行4。到達點然后從點O出發(fā)沿著以口R對角線的正方形走一圈，畫出女孩走

一圈時頭頂影子的軌跡，說明軌跡的形狀.

【答案】（1）人影掃過的圖形是一個圓環(huán)，Z7=黃。（2）女孩走一圈時頭頂影子的軌跡形狀為正方形

□□□口

【分析】（1）人影掃過的圖形是一個圓環(huán)，根據相似計算得到影長為提,再計算面積得到答案.

（2）如圖所示,女孩在移動過程上比例關系不變，故軌跡為正方形.

【詳解】（1）人影掃過的圖形是一個圓環(huán)，設影長?？?口，如圖（1）,由題意知，

□口=、5口口=0口口=5得=總,?..〃=焉二。=口(5+a2_ox52=塞以

iu￡_/+0?(\1//zoy

（2）如圖（2）,女孩在移動過程上比例關系不變，如

DD_DD_口口

'DD=歷=歷=歷=赤

故女孩走一圈時頭頂影子的軌跡形狀為正方形。?！?/p>

【點睛】本題考查了軌跡方程，意在考查學生的空間想象能力和應用能力.

?類型2求軌跡長度

【例題1-2]（2022秋?河南?高三校聯(lián)考階段練習）在正方悻口□□□-口d口1口內，已知□□I=7,

點。在棱口口上，目口□=4,則正方體表面上到點O距離為5的點的軌跡的總長度為（）

A.等B.（4+3V2n）C.警D.（4+3何TT

【答案】C

【分析】根據題意找到平面?？凇⒖凇俊?、口、,□□□、□□□[4平面都有軌跡，都為一個圓周即

可求解.

【詳解】依題意「：□□=4,7,口口=口口=5,

:.□口=3=口=4=□□,

所以△Z7OZZ7=A所以4□□□=￡□、□□,

又因為上口□□+乙□□口=/所以4乙□□口=T,

所以/□□□=TT-（N4□□+4口□口）=最即口口.

在平面O4口、g滿足條件的點的軌跡為比，

該軌跡是以5為半徑的:個圓周，所以長度為2nx5x；=?

同理，在平面。內滿足條件的點軌跡長度為苧；

在平面口a口、口、內滿足條件的點的軌跡為以口為圓心,

口i孕半徑的圓弧，長度為2nx4x1=2n;

同理，在平面ABCD內滿足條件的點的軌跡為以A為圓心，

AE為半徑的圓弧，長度為2nx3xj=y.

故軌跡的總長度為苧+y+2n+y=^.

故選:C.

【變式1-2]1.（2023春?河南?高三校聯(lián)考階段練習）已知正四棱柱OOO。-口1□、口]□[中,=

2/7/7=2,點M為O&的中點，若P為動點，目口□=&,則P點運動軌跡與該幾何體表面相交的曲

線長度為（）

A.3TTB.4nC.6nD.8Tl

【答案】A

【分析】由題意分析點P的軌跡為以M為球心，以魚為半徑的球，所以在正四棱柱OOOO-□、4口口、

的表面上找到M的距離為近的點的集合.

【詳解】由題意分析點P的軌跡為以M為圓心，以在為半徑的球,此球面與正四棱柱mo。-

□i□、口、&上下底面交線為半徑1的兩個胭與面口a口、3口面￡74□、。的交線為半徑為1的半圓，

長度為6x4x2nx1=3n.

故選A.

【變式i-2]2.（2023春?湖南?高三統(tǒng)考階段練習）環(huán)體□□□□-4&a口的棱長為i，點。在

三棱錐a-so的表面上運動，目口1口=苧,則點附跡的長度是（）

AV3+2通~02V3+V6_

66

/V3+V6?卜2V3+V6

c?-nD-^—n

【答案】A

【分析】根據題意，點。在以a為球心，半徑。=半的球面上，進而依次討論該球與三棱錐3-口、口口口

的表面的交線即可得答案.

【詳解】解：由題設知點OE以0為球心，半徑口=膏的球面上,

所以點P的軌跡就是該球與三棱錐&-表面的交線.

由正方體性質易知三棱錐4-為正四面體，

所以，點4到平面a00的距離。=竽，

所以球a在平面a?？谏系慕孛鎴A的半徑a=J廳-土=],

所以，截面圓的圓心口是正小口、。。中心，正△口勺邊長為我，其內切圓&的半徑4=*＜么.

因此，點p在面口口。內的軌跡是圓口在△口、。口內的弧長，

如圖所示,C0SNO&。=籌=惇=4,所以上□□[口=7，

5LJLJ\N4

G

所以NO&Z7=T，

所以，點P在此面內的軌跡長度為a(2n-3x，=粵.

因為1平面ABCD,所以球口在平面ABCD上的截面圓心為A,

其半徑02=]U一0^=苧，又苧＜《＜1,

所以點P在平面BCD內的軌跡是一段弧R7,

如圖幅，COSNODD=需=苧,

而以上口口口=《,耐4口□口=；,所以也=等.

0J丫

C

B

由于對稱性，點P在平面口0%口平面&OO內的軌跡長度都是粵,

故點P在三棱錐&-的表面上的軌跡的長度是W+3X等=變箸TT.

故選：A

【變式1-2】3（2022?高一單元測試在長方體口。?？谝豢?口口1口1中,□□=?,UU=3，口口1=5,

點P在長方體的面上運動，且滿足口。=5,則P的軌跡長度為（）

A.12nB.8TTC.6nD.4n

【答案】c

【分析】由題設，在長方體表面確定P的軌跡，應用弧長公式計算軌跡長度.

【詳解】如圖，O在左側面的軌跡為弧牛7,在后側面的軌跡為弧DD,在右側面的軌跡為弧也，在前

側面內的軌跡為弧。7。

易知|Z7￡7|=^/Z7x4x2=2/Z7,|Z^￡7|=；ZZ7x3x2=^,Xsinz/ZZ1口□=cosz?□口□=g,cosz

□、□□=sinz□□□—|,

則+|￡7rO|=；Ox5x2=歲，

-P的軌跡長度為6n,

故選：C.

5

【變式1-2]4.（2020?高一課時練習）在棱長為1的正方1體□□□□一口1口1口1口1中，點P在側面

□□□i□沖動若點P到點A的距離為竽則動點P的軌跡在正方形口口4a內的一段曲線長為（）

AV3￡B2心口c4聰口口E口

,3336

【答案】D

【分析】由題意得動點P的軌跡在正方形?？?&內的一段曲線為四分之一圓弧，求出截面半徑后即可

得解.

【詳解】由題意得動點p的軌跡是以A為球心，半徑為學的球面被平面。aac窸得的的圓，落在正

方形口口1口、。內的曲線即為四分之一圓弧，

2

截面半徑為O=J（第-1=y,

故這段弧長為:X2。X[=攀

4OO

故選：D.

【點睛】本題考查了球的截面，考查了空間想象能力，屬于中檔題.

【變式1-2]5.（2016春?四川成都?高一統(tǒng)考期末）如圖，在四棱錐￡7-口口口為，側面PAD為正三

角形，底面ABCD是邊長為2的正方形，側面Z7S1底面ABCD,M為底面ABCD內的一個動點，且滿

足口。=口□,則點M在正方形ABCD內的軌跡的長度為

P

A

A.V5B.2V2C.nD.第

【答案】A

【分析】因為口口=口口,所以點M在線段PC的垂直平分面上,通過垂直平分面與底面的交線可得.

【詳解】取AB中點為E,PC中點為F連接DF、EF,因為￡70=口□=2所以OD_L□□因為□□1□口,

側面￡700,底面ABCD,側面。O￡7c底面ABCD=口口,耐以□□遹口□□,又□□強□□口,所

以口口1口口，所以0￡7=□口=V5,所以□□L□□，又口口門口□=口,口口u平面?！?0,口□u

平面口口口,所以?！?1平面?！?0,易知平面?！?%的所有點到P、C的距離相等，所以點M在正方

形ABCD內的軌跡DE,易得DE長度為痣.

故選：A.

p

?類型3求軌跡面積

【例題1-3]（2020?高一課時練習）在棱長為1的正方/體□□□□—口、d口中，點□是碗口□□口

內的動點，tanN4口口21,則動點2勺軌跡的面積為動線段軌跡所形成幾何體的體

積是.

【答案】71；

【解析】由題意得點辛軌跡是以外圓心，1為半徑的:個圓和圓的內部，再根據扇形的面積公式以及圓

錐的體積公式求解即可.

【詳解】解:.：tan4□[□口=嘿21,：.□□$1,

即點訓軌跡是以班圓心，1為半徑的泠圓和圓的內部,

二。的軌跡的面積為0=與X產=*，

口、。的軌跡所形成幾何體為力圓推，其體積為O=gX與X1=余，

故答案為：§;1.

【點睛】本題主要考查扇形的面積公式與圓錐的體積公式，屬于基礎題.

題型2距離和為定值求軌跡長度

【例題2]（2020?浙江?高一期末）在棱長為1的正方體Z7Z7ZZ7-□、口&&中，點P是正方體棱上一

點，且滿足|口。|+||=2,則點P的個數(shù)為.

【答案】6

【解析】由已知得點a是以2￡7=V3為焦距，以口=1為長半軸，以g為短半軸的橢球上，。在正方體的棱

上，可得答案.

【詳解】因為正方體的棱長為1，;O&=V3,又|叩+=2,

所以點。是以2。=g為焦距，以1為長半軸,以;為短半軸的橢球上，。在正方體的棱上，

???口應是橢球與正方體的棱的交點，結合正方體的性質可知，滿足條件的點應該在棱

口、口、□口,口口,上各有一點滿足條件，

故答案為：6.

【點睛】關鍵點點睛：解決本題問題的關鍵在于得出點P的軌跡，利用橢球與正方體的各棱交點得出答案.

【變式2-1]（2022春遼寧鐵嶺?高一校聯(lián)考期末）如圖，在棱長為3的正方體0口1口1口1口1中,

點P是平面&內一個動點，且滿足=2+，行，則點P的軌跡長度為.

【答案】2口

【分析】連接aa,首先證明平面,設平面&〃&=口,連接,即

可得到三棱錐4-為正三棱錐，求出a。、口口,再利用勾股定理表示m+□口、,即可得到

□□八從而得到軌跡長.

【詳解】解：連接0。，因為四邊形&&a&為正方形，則。,

,**□_L平>[§]□、u平?面□、□、□、□、t則ZlVi￡Vi_L□]

因為Z^7i□、A□□、=□、,□、□*□□、u平面ZZ7i□、□、_L平■面□、□□、（

,?*□、□u平面ZZ7i□□、，：?□、口J.□、EJy,

同理可證ZZ7[口_L□、□,□、□n□、□、=□、i□、□,□、□、u平面□[□、口~L平面□、□□、,

設口、口「平面口、口□、=n,連接。￡7、DO,

因為□□]=□、口、=3垃,口口、=□□]=口1口1,所以三棱錐&一為正三棱錐，

2

則小△&D&的中心廁OZ7=|I（3V2）2一（苧）=V6，且△□[□□]內切圓的半徑&==苧,

所以&口=JzZZ/Z^—口曰=V3,v□、□=3\[3,A□□=□[□-□]口=2V3,

-?■□、□上^^口1口口\,UUu平面口口口….DDL,即口。1□口,□□工□口,

因為。D+□□[=2+V13,即9。3+12++3=2+V13,□□>0,解得￡70=1,

所以點2勺軌跡是半徑為1的圓，因為4>1,所以點木軌跡長為2x1x￡7=20.

故答案為：2口

題型3由平行求軌跡

?類型1求軌跡形狀

【例題3-1]（2022?全國?高一專題練習庵三棱臺&&&一LJLJU^，點。在上息□□[〃□□,

點。是三角形。內（含邊界）的一個動點，/平面□□□“平面口]□□□[,則動點。0勺軌跡是

（）

A.三角形ada邊界的一部分B,一個點

C.線段的一部分D.圓的一部分

【答案】C

【分析】過濫□、交口、口立口,連接?？?，證明平面。。。//平面口&a。，得口￡‘

即得結論.

【詳解】如圖，過oi乍oz7〃aa交44于。，連接

□□，平■面□□、□、□,□□、u平■囿口□、□、口,所以ZZ7ZZ7〃平面OOj￡7,

同理Z7Z7〃平面/7□□、口,又￡7￡7n□□=口,口□,Z7Z7u平面/7￡7。,

密C厚面□口口〃平面口口1口1口，即以口€口□,（冰與砥合，否則沒有平面OS）,

故選：C.

【變式3-1]1.（2023?全國?高一專題練習）如圖，在正四棱錐口-口口口收,。是口木中點，口氤

在側面△口。O內及其邊界上運動，并且總是保持平面口口。.則動點。的軌跡與△O口溷成的相

關圖形最有可能是圖中的（）

S

【分析】先分別取。口OBJ中點￡7、O,再證明面005面。S,可知當牛。入移動時，UUu

面□口□,能夠保持OOII平面Z7OO,進而得到選項A符合題意.

【詳解】分別取￡75勺中點￡7、O,連接?！?,口口，口口，

又￡7/2^]中點

文：口□,□□（^□□口，□□遂□□□,:面□□□,面□□□,

丈：口口門口□=□,仁^^口口口，：面□□□“面口口口,

二當口在口匚上移動時,□□遹□□□,此時能夠保持。0II平面。￡70,

則動點厘勺軌跡與△?？?。組成的相關圖形是選項A故選：A.

【變式3-1］2.（2022?全國?高一專題練習）如圖，在薪悻□□□□-口1口［口1口1中,￡7是棱。&的

中點，。是側面Z7O4□］內的動點，且口。與平面4勺垂線垂直，則下列說法不正確的是（）

B.a300是異面直線

C?點06勺軌跡是一條線段

D.三棱錐的體積為定值

【答案】A

【分析】設平面口］口□與直線口國于口，建接口口,則a為。z而中點，分別取a。，a4的

中點。,D,連接0□,□□,□、口,證明平面40￡7〃平面打□□,即可分析選項ABC的正誤；再

由得點。到平面勺距離為定值，可得三棱錐。-口。。1的體積為定值判斷D.

【詳解】解：設平面與直線。依于。，連接OO,口口,

則班DOB勺中點，分別取&&的中點。，a,

連接4￡7,□口,,

如圖.

/ZT]ZZy/EJyZZ7,□[□仁平面□、□□r□u平■面.□口,

:口。/平面口、□□,同理可得0口/平面口、□口,

又口、口、口。是平面a?？趦鹊膬蓷l相交直線，

:.平面口1口□“平面口1口□,而口1口1平面,.,.□]□u平面

得點次軌跡為一條線段,故c正確；

并由此可知，當。與O重合時，口、口與口10平行，故A錯誤；

?.平面1007/平面□□口,口平面4相交,：口。與是異面直線，故B正確；

???口0/。。,則點。到平面口口中）距離為定值，.??三棱錐￡7-口口。|的體積為定值，故D正確.故選:

A.

?類型2求軌跡長度

【例題3-2]（2023春?全國?高一專題練習）已知正方體口口口口-的棱長為2,點M、N

在正方體的表面上運動，分別滿足：口口=2,口口、雁□□□],設點M、N的運動軌跡的長度分別為

m.n,則白.

【答案】苧*釁n

【分析】軌跡為半徑為2的球。與正方體表面的交線，即3個半徑為2的;圓弧，要滿足00II平面

□□□、,則N在平行于平面的平面與正方體表面的交線上，可證得為^口□、□],最后求值即可

【詳解】點M、N在正方體的表面上運動，由口口=2,則2勺軌跡為半徑為2的球。與正方體表面的交

線，即3個半徑為2的犧弧，故。=3x：x2nx2=3n.

正方體中，II||nA□□、=□*□□］、u

平■面□u平?面□□□、,故平面。。［/7||平面ZZ7/Z7/Z7i,

當。在△口□、口上時，即滿足口口II平面。且N在正方體的表面上，故。=3x2夜=675,故芻=

3nV2n

【變式3-2】1?（2023春?全國?高一專題練習）在棱長為2的正方體口。口口-口、aa4中，E為棱

BC的中點，F(xiàn)是側面□□□□］內的動點，若ag/平面口□［n,則點F軌跡的長度為（）

A.yB.V2C.苧D.2V2

【答案】B

【分析】取中點o,aa中點。，連接口口,則易證平面&平面口口、口,進而得當F的軌跡

為線段口OB寸，則有口1口呼面口□［口,再根據勾股定理及三角形的中位線計算即可.

【詳解】如圖所示:

取中點o,aa中點o,連接。o,

所以口口”□□「

□口仁平面□□、口,□□、u平面□□、口,

所以□□〃平面口□[口,

同理可證明a。/平面￡70口,

又因為OOn。）。=Z7,□□,□]□口、□□,

所以平面&□口H平面□□1D,

當F的軌跡為線段DOB寸，此時&￡7u平面口口口,則有4口11平面口,

此時匚7。=；口□、=：x2夜=夜.

故選：B.

【變式3-2]2.（2022?全國?高一期末）如圖所示，斯梅□□□□-aaaa的棱長為2,E,F分

別為￡74,OU的中點，點P是正方體表面上的動點，若口[□"平面口□[□□,則。點在正方體表面上

運動所形成的軌跡長度為（）

A.V2+V5B.V2+2V5C.2V2+V5D.2V2+2V5

【答案】B

【分析】要滿足口口呼面只需要尋找一個平面，使該平面經過&,且與平面。&。斤?行

即可，取〃口的中點G,4a的中點H，連結叩口、口,&a證明出面a口口畫口□、oa得到a點

在正方體表面上運動所形成的軌跡為三角形a□□,求出周長即可.

【詳解】取。4的中點G,□、&的中點H,連結□□口、□,□、□,□、□,

正方悻□□□□一口1口1口1口1的樓長為為中點，即以□□“□、口,□□“□、□,所以

□□“□□目□□=口□=V2.

因為aa為分別為。aa&的中點，即以目口□:□□一所以四邊形平行四

邊形，耐以

因為C面口□、口口,口□u面口口、口口,所以面口口1

同理可證：畫

又口口門口□、=u面□口

所以面口□“面

所以o點在正方體表面上運動所形成的軌跡為三角形□

因為正方體口一口、口15a的棱長為2,所以￡70=□□[=V22+12=V5,

所以三角形&口ZJ的周長為=V2+V5+V5=V2+2V5.

故選：B

【變式3-2】3.（2023?廣西南寧?統(tǒng)考一模）如圖，已知正方體-口1口、&&的棱長為2,口、為

別是棱口、a的中點，點％底面四邊形口口口。內（包括邊界）的一動點，若直線a□與平面□□口

無公共點，則點。在四邊形口口口。內運動所形成軌跡的長度為.

___________f.

【答案】V5

【分析】利用直線與平面沒有交點，轉化為尋找過直線aa且與平面ooo平行的平面oao,平面

oqa與底面口￡7。迎交線即為所求，再求出線段長就可得到結果.

【詳解】取Z7O的中點。,趣妾口口,口1口,口□、,如圖所示：

a。分別是棱、口、a的中點，所以。。II,

妨為□□U平面□□口口□、C平面OOZ7,所以。&||平面￡700.

因為￡74||□口,=□□,

所以四邊形為平行四邊形，所以。。II

年為口口匚平面仁平面ODD,所以aqii平面

因為n=d,所以平面。a。||平面

因為點印底面四邊形。內（包括邊界）的一動點，直線口、口與平■面□□卬訟共氤,

所以木軌跡為線段口口,則=V22+12=V5.

故答案為：V5.

【變式3-2]4.（2023春?江蘇南京?高三南京師范大學附屬中學江寧分校校聯(lián)考階段練習）如圖，在矩形

□□□仔,口口=盤口口=4,口，口，口,啰別為￡70,口□，□口,O色中點，□□與口皺_

于點口,現(xiàn)將△□口□,△□□□,△□□□,△□□峰跆金口口￡7。巴這個雌折成一

個空間圖形，使。與a重合，。與。重合，重合后的點分別記為口，口,口為的中點，則多面體

0。的體積為；若點。是該多面體表面上的動點，滿足。。10OB寸，點。0勺軌跡長度為

【答案】2V22+2V2

【分析】根據給定的幾何體，證明平面OOOO,求出四棱錐。-蜜勺體積即可；證明點O所

在平面平行于平面?？趏,作出過點a與平面行的幾何體的截面，求出其周長作答.

【詳解】在接口口,口口,有口口工口□.而□口=□口=2,生□濟彘,則有OO_L□□,

□□c□□二￡7,則￡7￡7_1_平面Z7OO,同理Z7Z71平面Z7OZ7,又平面￡70。與平面Z7Z7二有公共點￡7,

于是點a口,口,ZZ7共面，而口仔+=8=□仃,即有。0_L□口，口□=；□□=品=□□=

因為ZZ7ZZ7J.口□,￡7￡71口口,口口門口□=口，口□u平面□□□,則ZZ7O,平面￡70。，

又OOu平面OZ7/Z7,即有￡701口口,貝(JN￡7Z7O=z￡70/7=45°,同理N￡7￡7Z7=45°,

即4口□□=4口口口，從而口口〃口口，即四邊形□□□與平行四邊形，口□”□□,□□=□口=2,

等腰梯形ODD。中,高口口=。次in45°=1,其面積0□皿==巨券=3,

顯然ZZ7ZZ71平面0/Z7/Z7ZZ7所以多面體ZZ7ZZ7ZZ70口體積ZZ7=2□□.□□口□=2口口口口,□□=2x

x3xV2=2V2；

因為口□，平面□□□,同理可得口口，平面□□□,又口口,則口□1平面□口口,

依題意，動點，所在平面與口。垂直，則該平面與平面口。。?行，而此平面過點。，

令這個平面與幾何體棱的交點依次為a,aaa口，區(qū)

又。為口色勺中點,則點口,口,a,。為所在棱的中點，即點z□的軌跡為五邊形0a口口口,

長度為：+d￡7+DD+Z7Z7+DU=□□+□□+DD+UD)=1(2+V2+2V2+

V2+2)=2+2V2.

故答案為：2V2;2+2V2

【點睛】思路點睛：涉及立體圖形中的軌跡問題，若動點在某個平面內，利用給定條件，借助線面、面面

平行、垂直等性質，確定動點與所在平面內的定點或定直線關系，結合有關平面軌跡定義判斷求解.

【變式3-2]5.（2023?全國?高一專題練習）在棱長為2的正方悻□□□□-□向，□口心

別為口□,□口,&&的中點，點。在底面口?？?。內，若直線與平面。OO沒有公共點，則線段&口

長的最小值是________.P的軌跡長度為.

【答案】V62V2

【分析】作出輔助線彳導到平面Z7O&II平面ODZ7,從而得到P的軌跡和軌跡長度，以及當4。1口口，

P為AC中點時，線段4張最小，求出最小值.

【詳解】連接0,0.AC,則因為aa分別為oa&&的中點，所以口□=口、□,

因為。OilD,所以四邊形0/7。&是平行四邊形，所以口aII□□,

因為口口仁平面口口□,仁平面□□□,所以口aII平面。。口，

又因為a2分別為口中中點，所以。。是三角形ABC的中位線，所以aon□口,

因為口口匚平面□□□,OOC平面￡700,所以Z7Z7II平面￡7/70,

因為n□□=口,u平面￡7Z74,ZZ7￡7u平面￡7￡7a,所以平面0Z74II平面ODO,

點P在線段AC上時,能夠滿足直線口。與平面。Z7O殳有公共點，

點P的軌跡是線段AC,長度為J22+甘=2近，且當口匚七時,線段4張度最小，

此時由三線合一得：P為AC中點，因為□□、=□□=2短，口口=垃,

所以&。=^/8^2=V6,線段口張的最小值為

故答案為：遍，2夜

【變式3-2]6.（2019春福建泉州?高一福建省晉江市養(yǎng)正中學校聯(lián)考期末）如圖，各棱長均為辛正三

■□□□一口口通，口、。分別為線段010、上的動點，目□□北平面□□□】□「□，口

點且九跡長度為百,則正三棱柱ooo-daa的體積為（）

A.V3B.|V3C.3D.2V3

【答案】D

【分析】設□□不□□節(jié)的中氤為分\為口，口，口，判斷出口口中點a的軌跡是等邊三角形勺高,

由此計算出正三棱柱的邊長，進而計算出正三棱柱的體積.

【詳解】設。的中點分別為aao,連接□□，口口，口1口.由于口口“平面

□□□、口、‘所以當□[口=□□=o時，口。中點。為平面。oaa的中心，即。1。的中

點（設為a點1處當口、口=口口=遮闔,此時05勺中點a為。a的中點.所以a點的軌跡是三角形

go口高z?a由于三角形ooa是等邊三角形而口口;風，所以。=2.故正三棱柱oo。-&□、&

的體積為?X22x2=2V3.

故選：D

【點睛】本小題主要考查線面平行的有關性質，考查棱柱的體積計算，考查空間想象能力，考查分析與解

決問題的能力，屬于中檔題.

【變式3-2]7.（2022?高一課時練習）如圖,直四棱柱口。?？?口、口1口、口1,底面。口口。是邊長

為6的正方形，U,Z7分別為線段O4,□]￡7上的動點，若直線OA與平面&沒有公共點或有無

數(shù)個公共點，點。為0中]中點，則。點的軌跡長度為.

【答案】3V5

【分析】口印平面□]□□口、或口口匚平面口、口,過點口作口口11口口1交□□于口,過點￡7作

□□H□□、交口方口,彘^J^面口□□堂*媛在口□上,設為。，2為￡7。中點，口口=號為定

值，。的軌跡為△□□61□□上的中線，得到答案.

【詳解】超妾口□,直線oa與平面沒有公共點或有無數(shù)個公共點，

故口。/平面口、□□□]或口□u平面口、□□□、,

過點、口花口口1口口灰口方口,過點乍ZZO/ZZ74交。萬。,

所以*面□□□口呼面□]□□□],

點O在平面的投影在。。上，設為￡7,孕。。中點,

設□□=□□□、,根據相似得到￡70=□□□,=□□□,口□=（1-口口口、,

故塔四=寫為定值，木軌跡為4口￡7。邊￡7。上的中線，

故中點勺軌跡的長度等于△邊上的中線長，該中線長為，6?+3?=3V5.

故答案為：3V5.

【點睛】本題考查了空間中的軌跡問題，意在考查學生的計算能力和空間想象能力.

?類型3求軌跡面積

【例題3-3]（2022春?廣東珠海?高一珠海市斗門區(qū)第一中學?？计谥校┰谶呴L為2的正方體。￡7￡7。-

□1,點M是該正方體表面及其內部的一動點，且￡7。//平面Z74。，則動點M的軌跡所形

成區(qū)域的面積是.

【答案】2V3

【分析】由題意，求出作出過。的平面與平面。a。平行，該平面即為動點M的軌跡所形成區(qū)域，求出該

區(qū)域的面積即可.

【詳解】如圖，邊長為2的旺方棒□□□□-口、口、&&中，

動點M滿足□□佯面D.

由面面平行的性質可得

當。a始終在一個與平面。&分行的面內，即滿足題意,

過a乍與平面。口。平行的平面，

連接口I1口】口11平面平面ZZ7￡7i口t

所以=；x2V2xyx2V2=2V3.

故答案為：2V3

【變式3-3】1.（2023?全國?高一專題練習）正三棱柱?！?0-4&&的底面邊長是4