第4講 乘法公式一完全平方公式-尖子班

第4講乘法公式一完全平方公式

「完全平方公式

［利用完全平方公式進行整式及數(shù)的運算

乘法公式-完全平方公式］-

［完全平方式

，完全平方公式的幾何背景］

知識點1完全平方公式

(a+b)2-a2+2ab+b2;(a-b)2-a2-2ab+b2,

即兩數(shù)和(或差)的平方，等于它們的平方和加上(或減去)它們積的2倍.

【典例】

例1(2020秋?鹽池縣期末)回答下列問題

(1)填空：?+4=(x+b2-2=(x-b2+2

XX

1.C1

(2)若〃+工=5,則(廣+滔=23；

(3)若“2-34+1=0,求/+當(dāng)?shù)闹?

aL

【解答】解：(1)2、2.

(2)23.

(3)?.?/-3。+1=0

兩邊同除。得：。-3+\=0,

1

移項得：。+公=3,

*,?—(a+工)2-2=7.

a2a

【方法總結(jié)】

本題考查了完全平方公式，解答本題的關(guān)鍵在于熟練掌握完全平方公式.

例2(2020秋?肇源縣期末)已知〃+〃=3,出;=2,求/+/,(〃-〃)之的值.

【解答】解：'：a+b=3,

：.a2+2ab+b2^9,

，：ab=2,

：.c^+b1=9-2X2=5；

/.Ca-h)2=cr-2ab+b2=5-2X2=1.

【方法總結(jié)】

本題主要考查完全平方公式，熟記公式結(jié)構(gòu)是解題的關(guān)鍵，整體代入思想的利用使計算

更加簡便.

【隨堂練習(xí)】

1.(2020秋?荔城區(qū)校級期中)已知：x+y=5,孫=3.

求：①f+5肛+/；

【解答】解：①：x+y=5,xy=3,

.,.?+5^/=(x+y)2+3xy=52+3X3=34；

②：x+y=5,xy=3,

，7+)2=(x+y)2-2xy=52-2X3=19,

.*.x4+y4=(/+)2)2-2^/=192-2X32=343.

2.(2020?南關(guān)區(qū)校級四模)某學(xué)生化簡a(a+1)-(〃-2)2出現(xiàn)了錯誤，解答過程如下：

解：原式=/+〃-(/-4a+4)(第一步)

—a2+a-a2-4a+4(第二步)

=-34+4(第三步)

(1)該學(xué)生解答過程是從第二步開始出錯,其錯誤原因是去括號時沒有變號；

(2)請你幫助他寫出正確的簡化過程.

【解答】解：(1)第二步在去括號時，-44+4應(yīng)變?yōu)?a-4.故錯誤原因為去括號時沒

有變號.

222

(2)原式="2+。-(a-4a+4)=a+a-a+4a-4=5?-4.

知識點2利用完全平方公式進行整式與數(shù)的運算

利用完全平方公式進行整式與數(shù)的運算是完全平方公式的一種實際應(yīng)用，主要考察對公式

(。+份2=/+2"+戶；3—與2=。2—2。6+戶的掌握情況.

【典例】

例1(2020春?沙坪壩區(qū)校級月考)同學(xué)們知道，完全平方公式是：(a+匕)2=/+■+2",

(a-b)2^a1+b2-2ab,由此公式我們可以得出下列結(jié)論：

ab=^la+b)2-(aW)]0

(a-b)2—(a+t>)2-4ab@

利用公式①和②解決下列問題：已知根滿足(3，〃-2020)2+(2019-3.)2=5,

(1)求(3機-2020)(2019-3m)的值；

(2)求(6〃?-4039)2的值.

【解答】解：(1)設(shè)3〃?-2020=x,2019-3m=y,

.*.x2+y2=5且x+y=-1,

(3/n-2020)(2019-3/n)=x)，=1[(x+y)2-(?+/)]=-2；

(2)(6加-4039)2=f(3m-2020)-(2019-3m)]2

=(3m-2020)2+(2019-3m)2-2(2019-3/n)(3m-2020)

—x2+y2-2xy

=5+4

=9.

【方法總結(jié)】

此題考查了完全平方公式，熟練掌握完全平方公式是解本題的關(guān)鍵.

例2(2020秋?海淀區(qū)校級月考)計算：

(1)9992.

(2)計算(9X+1)2-(-%—1)2.

22

[解答]解：(1)9992=([000一])2=]0002_2X1000+1=1000000-2000+1=9980001；

r25r

(2)原式=丁/+5工+1-(—廠-5x+l)

44

=孕7+5工+1—^^+5]-1

44

=10尤.

【方法總結(jié)】

本題考查了完全平方公式:靈活運用完全平方公式.完全平方公式為(。土人)2=/±2帥+戶.

【隨堂練習(xí)】

1.(2020春?醴陵市期末)如果(x+〃?)(x+〃)—x^+Ax-1.

①填空：m+n—4,mn--1；

②根據(jù)①的結(jié)果，求下列代數(shù)式的值：

(1)n^+Smn+n2；

(2)Gn-7?)2.

【解答】解：①,二(元+小)(x+n)=/+(加+m)x+mn=x2,+4x-1,

/.m+n=4fmn=-1.

故答案為：4；-1；

@(1)n^+5mn+n2=(〃z+〃)2+3/nn=42+3X(-1)=16-3=13；

(2)(利-〃)2=(m+〃)2-4根〃=42-4義(-1)=16+4=20.

知識點3完全平方式

完全平方式的定義:對于一個具有若干個簡單變元的整式A，如果存在另一個實系數(shù)整式B,

使A=B2,則稱A是完全平方式.

a2±2ab+b2=(a±b)2

完全平方式分兩種，一種是完全平方和公式，就是兩個整式的和括號外的平方.另一種是完

全平方差公式，就是兩個整式的差括號外的平方.算時有一個口訣“首末兩項算平方，首末

項乘積的2倍中間放，符號隨中央.(就是把兩項的乘方分別算出來，再算出兩項的乘積，

再乘以2,然后把這個數(shù)放在兩數(shù)的乘方的中間，這個數(shù)以前一個數(shù)間的符號隨原式中間的

符號，完全平方和公式就用+,完全平方差公式就用［后邊的符號都用+廣

【典例】

例1(2020秋?南關(guān)區(qū)校級期末)若f+10x+A是一個完全平方式，那么k=25.

【解答】解：?."0x=2X5?x,

：.k=52=25.

【方法總結(jié)】

本題是完全平方公式的應(yīng)用，兩數(shù)的平方和，再加上或減去它們積的2倍，確定出另一

個數(shù)是5是求解的關(guān)鍵，是基礎(chǔ)題.

例2(2020春?泰興市期末)用等號或不等號填空：

(1)比較2%與的大?。?/p>

①當(dāng)x—2時，2rV7+1,

②當(dāng)X—1時，2x=，+1>

③當(dāng)x=-1時，2x<x1+\；

(2)通過上面的填空，猜想》與7+1的大小關(guān)系為2xWf+l；

(3)無論x取什么值，2x與7+1總有這樣的大小關(guān)系嗎？試說明理由.

【解答】解：(D比較M與7+1的大?。?/p>

當(dāng)x=2時，2x<j?+1

當(dāng)x=l時，2X=X2+1

當(dāng)x=-l時，2x<x1+l,

故答案為：<,=,V;

(2)由(1)可得

故答案為：2xW/+l；

(3)無論x取什么值，總有2xW/+l.

證明：-2x=(x-1)220,

；.2xW/+l.

【方法總結(jié)】

本題考查了不等式的性質(zhì)，利用完全平方公式是非負(fù)數(shù)是解題關(guān)鍵.

【隨堂練習(xí)】

1.(2020秋?朝陽縣期末)如果4/+h)'+25尸是一個完全平方公式，那么k的值是±20.

【解答】解：,..4?+5葉25)2=(2x)~+kxy+(5y)2,

：.kxy=+2X2x^5y,

解得k=±20.

故答案為:±20.

2.（2020?河北模擬）在求兩位數(shù)的平方時，可以用完全平方式及“列豎式”的方法進行速

算，求解過程如下.

例如：求322.

解：因為（3x+2y）2=9,+4）2+12孫，將上式中等號右邊的系數(shù)填入下面的表格中可得:

所以322=1024.

（1）下面是嘉嘉仿照例題求892的一部分過程，請你幫他填全表格及最后結(jié)果；

解：因為（8x+9y）2=64/+81尸+144孫，將上式中等號右邊的系數(shù)填入下面的表格中可

（2）仿照例題，速算672；

（3）琪琪用“列豎式”的方法計算一個兩位數(shù)的平方，部分過程如圖所示.若這個兩位

數(shù)的個位數(shù)字為“，則這個兩位數(shù)為“+50（用含。的代數(shù)式表示）.

【解答】解：（1）因為（&r+9y）2=647+81/+]44沖，將上式中等號右邊的系數(shù)填入下

面的表格中可得：

89,

□□□

□□□111

所以892=7921；

故答案為：7921；

（2）因為（6x+7y）2=36^+49^+84^,將上式中等號右邊的系數(shù)填入下面的表格中可

得：

所以672=4489.

(3)設(shè)這個兩位數(shù)的十位數(shù)字為6,

由題意得，2而=10小

解得6=5,

所以，這個兩位數(shù)是10X5+a=a+50.

HD

故答案為：a+50.

知識點4完全平方公式的幾何背景

(1)運用幾何直觀理解、解決完全平方公式的推導(dǎo)過程，通過幾何圖形之間的數(shù)量關(guān)系對

完全平方公式做出幾何解釋.

(2)常見驗證完全平方公式的幾何圖形

(a+b)2=a，+2ab+b2.(用大正方形的面積等于邊長為a和邊長為b的兩個正方形與兩個

長寬分別是a,b的長方形的面積和作為相等關(guān)系)

【典例】

例1(2020春?秦淮區(qū)期末)如圖，有A、B、C三種不同型號的卡片，每種各10張.A型

卡片是邊長為a的正方形，B型卡片是相鄰兩邊長分別為a、〃的長方形，C型卡片是邊

長為〃的正方形，從中取出若干張卡片(每種卡片至少一張)，把取出的這些卡片拼成一

個正方形，所有符合要求的正方形個數(shù)是()

D.7

【解答】解：???每一種卡片10張，并且每種卡片至少取1張，拼成的正方形,

正方形的邊長可以為：(a+b),(a+2b),(a+3h),C2a+h),(2a+2b),(3a+h)六種情

況；

(注意每一種卡片至少用1張，至多用10張)

即：(a+h)2=a2+2ah+b1,需要A卡片1張，B卡片2張，C卡片1張；

(a+26)2=/+4劭+4%需要A卡片1張，8卡片4張，C卡片4張；

Q+3b)2=/+6岫+9后，需要A卡片1張，8卡片6張，C卡片9張；

(2a+b)2=4a2+4ab+kr,需要A卡片4張，B卡片4張，C卡片1張；

(2a+2m2=4/+8出?+4序，需要A卡片4張，B卡片8張，C卡片4張;

(3a+b)2=9/+6"+戶，需要A卡片9張，8卡片6張，C卡片1張；

故選：C.

【方法總結(jié)】

考查完全平方公式的意義和應(yīng)用，面積法表示完全平方公式是得出答案的前提.

例2(2020秋?臥龍區(qū)期中)如圖①所示是一個長為2〃3寬為2〃的長方形，沿圖中虛線用

剪刀均分成四個小長方形，然后按圖②的方式拼成一個正方形，根據(jù)這一操作過程回答

下列問題：

(1)圖②中陰影部分的正方形的邊長為j

(2)請用兩種方法表示圖②中陰影部分的面積.

方法一：(加一〃)2;

方法二：(〃2+〃)2-4/1〃：

(3)觀察圖②，寫出代數(shù)式(nz+n)\Cm-n)2>之間的等量關(guān)系式：(〃？-，?)

2=(加+〃)2-4/7?"

(4)計算：(10.5+2)2-(10.5-2)2=84

①②

【解答】解：(1)由拼圖可知，陰影部分是邊長為(機-〃)的正方形，

故答案為：，"-〃；

(2)方法一：直接利用正方形的面積公式得正方形的面積為(,〃-〃)2；

方法二：從邊長為(〃?+〃)的大正方形減去四個長為m,寬為n的矩形面積即為陰影部

分的面積，

即(m+n)2-4nin；

故答案為：故-n)，(m+n)2-4mn；

(3)由(2)的兩種方法可得，(,〃-〃)2=(m+〃)2-4mn；

故答案為:(.m-n)2=(m+n)2-4mn；

(4)(10.5+2)2-(10.5-2)2

=(10.5-2)2+4X10.5X2-(10.5-2)2

=4X10.5X2

=84.

故答案為：84.

【方法總結(jié)】

本題考查完全平方公式的幾何背景，用不同的方法表示同一個圖形的面積是得出等量關(guān)

系式的關(guān)鍵.

例3(2020秋?興寧區(qū)校級期中)請認(rèn)真觀察圖形，解答下列問題：

(1)根據(jù)圖中條件，試用兩種不同方法表示陰影部分的面積.方法1：J+.；方法

2：(4+:)2-2ab.

(2)從中你能發(fā)現(xiàn)什么結(jié)論？請用乘法公式表示該結(jié)論：/+房=(”+b)2-2".

(3)運用你所得到的結(jié)論，解決問題：已知(x+y)2=25,3y=3,求的值.

【解答】解：(1)方法1,兩個正方形的面積和，即"+序，

方法2,大正方形的面積減去兩個長方形的面積，即(a+b)2-2ab,

故答案為：cP+)((/+/?)2-2ab；

(2)根據(jù)方法1與方法2所表示的面積相等得，aW=(a+b)2-2ab,

故答案為：“2+層=(a+b)2-2ah；

1

(3)，.F=3,

??xy=6,

又：(x+y)2=25,

.，.x2+_y2=(x+y)2-2xy=25-12=13.

【方法總結(jié)】

本題考查完全平方公式的幾何背景，用不同方法表示同一個圖形的面積是得出等式的關(guān)

鍵.

【隨堂練習(xí)】

1.(2020春?龍崗區(qū)校級月考)如圖,兩個正方形邊長分別為a、b,且滿足a+b=\Q,ab

=12,圖中陰影部分的面積為(）

B.32C.144D.36

【解答】解：S陰影=。2+序_*2—*(a+b)?b,

=#-豪+護

（。2-ab+伊）,

=，(a+b)2-3>ab\,

當(dāng)a+6=10,ab=12時，

i

原式=5(100-36)=32.

故選：B.

2.(2020秋?崇川區(qū)校級期中)完全平方公式：2=/±2岫+廿適當(dāng)?shù)淖冃?，可以?/p>

決很多的數(shù)學(xué)問題.

例如：若4+6=3,ab=\,求/+/的值.

解：因為a+〃=3,ab=\

所以(a+b)2=9,2ab=2

所以c^+tP-+lab=9,2ab=2

得a2+/>2=7

根據(jù)上面的解題思路與方法，解決下列問題：

(1)若x+y=8,/+)?=40,求xy的值；

(2)請直接寫出下列問題答案：

①若2a+b=5,ab=2,則2a-b=±3；

②若(4-x)(5-x)=8,則(4-x)2+(5-x)2=17.

(3)如圖，點C是線段A3上的一點，以AC,BC為邊向兩邊作正方形的，設(shè)AB=6,

兩正方形的面積和5I+52=18,求圖中陰影部分面積.

【解答】解：(1)'/(x+y)2-Ixy—x^+y2,x+y=8,x^+y^—AO,

A82-2xy=40,

/.xy=12,

答：孫的值為12；

(2)①；(2a-b)2=(2a+b)2-Sab,2a+b=5,ab=2,

(2a-b)2=52-8X2=9,

2a-b=+y/9=±3,

故答案為：±3；

②根據(jù)/+層=(a-b)2+2ab可得，

(4-x)2+(5-x)2=[(4-x)-(5-x)]2+2(4-x)(5-x),

又,:(4-x)(5-x)=8,

(4-x)2+(5一%)2=(_D2+2義8=17,

故答案為：17；

(3)設(shè)AC=/M,CF=n,

■：AB=6,

+〃=6,

又,.,SI+S2=18,

.'.W24-/t2=18,

由完全平方公式可得，(次+〃)2=m2+2〃7〃+〃2,

???62=18+2相〃,

mn=9f

.19

??S陰影部分=2’

9

答：陰影部分的面積為3

3.(2020秋?溫嶺市期中)如圖1,A紙片是邊長為。的正方形，B紙片是邊長為。的正方

形，C紙片是長為兒寬為。的長方形.現(xiàn)用A種紙片一張，8種紙片一張，C種紙片兩

張拼成如圖2的大正方形.

(1)請用兩種不同的方法求圖2大正方形的面積.

方法1：(a+b)2:方法2：6t^廬+2〃6；

(2)觀察圖2,請你寫出下列三個代數(shù)式：(a+匕戶，/+/,一之間的等量關(guān)系5)

2=/+廿+246；

(3)根據(jù)(2)題中的等量關(guān)系，解決如下問題：若a+b=5,aW-13,求"的值.

【解答】解：(1)方法一，直接利用正方形的面積公式可得圖2的面積為(“+〃)2

方法二，大正方形的面積等于4個部分面積和，可得/+層+2",

故答案為：(a+b),>a^+b^+2ab；

(2)由(1)得，Ca+b)2=b2+c^+2abi

故答案為：(a+b)2=序+2+2ab；

(3)'：a+b=5,/+必=13,(a+b)2=tr+^+2ab,

.?.52=13+2",

??cib~~6.

4.(2020秋?浦東新區(qū)期中)完全平方公式：(〃±加2=/±24計/適當(dāng)?shù)淖冃?，可以解決

很多的數(shù)學(xué)問題.

例如：若“+6=3,ab—\,求/+/的值.

解：因為。+方=3,

21

所以(。+〃)2=9,即：a+2ah+b=9f

又因為ab=\

所以足+f=7

根據(jù)上面的解題思路與方法，解決下列問題：

(1)若x+y=8,/+產(chǎn)=40,求孫的值；

(2)填空：①若(4-x)x=3,則(4-x)2+/=10.

②若(4-x)(5-x)=8,則(4-%)2+(5-x)2=17.

(3)如圖，點。是線段A8上的一點，以AC、BC為邊向兩邊作正方形，設(shè)A8=6,兩

正方形的面積和SI+S2=18,求圖中陰影部分面積.

，(x+y)2=64,

即，/+2xy+72=64,

又???7+y2=4o,

.9.2xy=24

xy=12；

(2)①(4-x)2+/=(4-x+x)2-2(4-x)x=\6-2X3=10,

故答案為：10;

②;(4-x)(5-x)=8,

???(4-x)(x-5)=-8,

(4-x)2+(5-x)2

=(4-x)2+(x-5)2

=[(4-x)+(x-5)]2-2(4-x)(x-5)

=1-2X(-8)

=1+16

=17,

故答案為：17；

(3)設(shè)AC=a,BC=b,則Si=d，Sz=B,

由Si+S2=18可得,Q2+/，=]8,而a+」=AB=6,

]

而S陰影部分=《ib,

?；a+b=6,

.\a2+2ab+b2=36,

又廬=18,

**-2ab=18,

?*?5陰影部分=2ab=H=力

9

即，陰影部分的面積為1

綜合運用

1.（2020秋?金昌期末）如果4/+3+9是完全平方式，則，"的值是±12.

【解答】解：???4X2+MX+9是完全平方式，

：.m=±\2,

故答案為：±12

2.（2020秋?江漢區(qū)期末）如果/+16x+A是一個完全平方式，那么火的值是64.

【解答】解：???，+16x+A是一個完全平方式，

二16=2迎，

解得々=64.

故答案是：64.

3.（2019秋?石獅市期末）如圖所示的圖形可以直接驗證的乘法公式是（）

A.a(a+b)—c^+abB.(a+b)Ca-b)—a2-b2

C.(?-b)2=/_2ab+b2D.Ca+b>2^a1+2ab+b2

【解答】解：圖中左下角的正方形面積可以表示為：(a-b)2,也可以表示為a2-lab+b1,

：.(a-b)2=?2-lab+b1,

故選：C.

4.(2020秋?偃師市期中)已知/+)2=29,x+y=7,求各式的值：

(1)到

(2)x-y.

【解答】解：(1)??"+y=7,

/.(x+y)2=49,

?*.x2+2x)H-y2=49,

：?+y2=29,

：.2xy=20,

.*.xy=10.

(2);(x-y)2=7-2x*=29-20=9,

.".x-y—±3.

5.(2020?裕華區(qū)校級模擬)已知多項式4=(x+2)2+x(1-x)-9.

(1)化簡多項式A時，小明的結(jié)果與其他同學(xué)的不同，請你檢查小明同學(xué)的解題過程.在

標(biāo)出①②③④的幾項中出現(xiàn)錯誤的是①，并寫出正確的解答過程；

(2)小亮說：“只要給出/-2x+l的合理的值，即可求出多項式A的值小明給出了

-2x+l的值為4,請你求出此時A的值.

【解答】解：(1)錯誤：①，

正確解答過程為：A—(x+2)2+x(1-x)-9=/+4x+4+x-，-9=5x-5；

故答案為：①；

(2)由題意得：x2-2x+]=4,

(x-1)2=4,

.,.x-1=+2,

由(1)得A=5x-5,

?,.A=5x-5—5(x-1),

/.5(x-1)=±10.

,此時A的值為±10.

6.(2020秋?朝陽區(qū)期中)如圖1,是一個長為4外寬為人的長方形，沿圖中虛線用剪刀平

均分成四塊小長方形，然后用四塊小長方形拼成的一個“回形”正方形(如圖2).

bba

a

圖1

圖2圖3

(1)圖2中的陰影部分的邊長為…

(2)觀察圖2請你寫出(4+8)2、(〃“)2、他之間的等量關(guān)系是(。+萬)2一(a-b)

2=4";

(3)根據(jù)(2)中的