高中數學第二章平面向量2-4-2平面向量數量積的坐標表示模夾角課件新人教A版必修4

2.4.2平面向量數量積的坐標表示、模、夾角必備知識·自主學習1.平面向量數量積的坐標表示設a=(x1,y1),b=(x2,y2),則a·b=________.導思(1)已知兩個向量a=(x1,y1),b=(x2,y2).如何用a,b的坐標表示a·b?|a|,|b|分別用坐標怎樣表示?(2)已知向量a=(x,y),與a共線的向量的坐標條件是什么?與a垂直的向量的坐標條件又是什么?x1x2+y1y2【思考】向量數量積的坐標表示公式有什么特點?應用時應注意什么?提示:公式的特點是“對應坐標相乘后再求和”,在解題時要注意坐標的順序.2.向量的模與夾角的坐標表示(1)向量模的公式:設a=(x1,y1),則|a|=_________.兩點間的距離公式:若A(x1,y1),B(x2,y2),則=__________________.(2)向量的夾角公式:設兩非零向量a=(x1,y1),b=(x2,y2),a與b的夾角為θ,則cosθ==________________.【思考】(1)||的計算公式與解析幾何中兩點間的距離公式一樣嗎?為什么?提示:||的計算公式與解析幾何中兩點間的距離公式是完全一致的,實際上||即為A,B兩點間的距離.(2)若向量a=(x1,y1),b=(x2,y2)的數量積大于0,有cosθ>0,則兩向量的夾角為銳角.這種說法對嗎?提示:不對,當兩向量的數量積大于0即cosθ>0時,θ為銳角或零角.3.向量垂直與共線的條件已知非零向量a=(x1,y1),b=(x2,y2).(1)a⊥b?__________.(2)a∥b?__________.x1x2+y1y2=0x1y2-x2y1=0【思考】向量垂直與共線的條件很相近,你覺得怎樣記憶比較好呢?提示:兩者比較接近,可以對比記憶,分別簡記為:垂直是橫橫縱縱積相反,共線是縱橫交錯積相等.【基礎小測】1.辨析記憶(對的打“√”,錯的打“×”)(1)兩個向量的數量積等于它們對應坐標乘積的和. (

)(2)已知a=(x1,y1),b=(x2,y2),a⊥b?x1x2-y1y2=0. (

)(3)兩個非零向量a=(x1,y1),b=(x2,y2),滿足x1y2-x2y1=0,則向量a,b的夾角為180°. (

)(4)若兩個向量的數量積小于零,則兩個向量的夾角一定為鈍角. (

)【基礎小測】1.辨析記憶(對的打“√”,錯的打“×”)(1)兩個向量的數量積等于它們對應坐標乘積的和. (

)(2)已知a=(x1,y1),b=(x2,y2),a⊥b?x1x2-y1y2=0. (

)(3)兩個非零向量a=(x1,y1),b=(x2,y2),滿足x1y2-x2y1=0,則向量a,b的夾角為180°. (

)(4)若兩個向量的數量積小于零,則兩個向量的夾角一定為鈍角. (

)提示:(1)√.由向量數量積的定義可知正確.(2)×.a⊥b?x1x2+y1y2=0.(3)×.因為當x1y2-x2y1=0時,向量a,b的夾角可能為0°或180°.(4)×.因為兩向量的夾角有可能為180°.2.已知a=(1,-1),b=(2,3),則a·b= (

)

A.5 B.4 C.-2 D.-1【解析】選D.a·b=(1,-1)·(2,3)=1×2+(-1)×3=-1.3.(教材二次開發(fā):習題改編)已知a=(3,4),b=(5,12),則a與b夾角的余弦值為________.

【解析】因為a·b=3×5+4×12=63,|a|==5,|b|==13,所以a與b夾角的余弦值為=答案:

關鍵能力·合作學習類型一數量積的坐標運算(數學抽象、數學運算)【題組訓練】1.(2020·宜賓高一檢測)已知向量a=(1,m),b=(2,-1),若(a-b)·b=-1,則實數m= (

)

A.2 B. C.- D.-22.(2020·新高考全國Ⅰ卷)已知P是邊長為2的正六邊形ABCDEF內的一點,則的取值范圍是 (

)A.(-2,6) B.(-6,2) C.(-2,4) D.(-4,6)3.已知a與b同向,b=(1,2),a·b=10.(1)求a的坐標;(2)若c=(2,-1),求a(b·c)及(a·b)c.3.已知a與b同向,b=(1,2),a·b=10.(1)求a的坐標;(2)若c=(2,-1),求a(b·c)及(a·b)c.【解析】1.選D.向量a=(1,m),b=(2,-1),則a-b=(-1,m+1),又(a-b)·b=-1,即-1×2-1×(m+1)=-1,解得m=-2.2.選A.設P(x,y),建立如圖所示的平面直角坐標系,則A(0,0),B(2,0),=(x,y),=(2,0),所以=2x,由題意可得點C的橫坐標為3,點F的橫坐標為-1,所以-1<x<3,所以-2<<6.3.(1)設a=λb=(λ,2λ)(λ>0),則有a·b=λ+4λ=10,所以λ=2,所以a=(2,4).(2)因為b·c=1×2-2×1=0,a·b=10,所以a(b·c)=0·a=0,(a·b)c=10(2,-1)=(20,-10).【解題策略】(1)進行數量積運算時,要正確使用公式a·b=x1x2+y1y2及向量的坐標運算,并注意與函數、方程等知識的聯(lián)系.(2)向量數量積的運算有兩種思路:一種是基向量法,另一種是坐標法,兩者相互補充.如果題目中的圖形是等腰三角形、矩形、正方形等特殊圖形時,一般選擇坐標法.【補償訓練】1.已知向量a=(-1,2),b=(3,2),則a·b=____,a·(a-b)=________.

【解析】a·b=(-1,2)·(3,2)=(-1)×3+2×2=1,a-b=(-4,0),a·(a-b)=(-1,2)·(-4,0)=4.答案:1

42.已知a=(2,-1),b=(3,2),若存在向量c,滿足a·c=2,b·c=5,則向量c=________.

【解析】設c=(x,y),因為a·c=2,b·c=5,答案:

3.已知正方形ABCD的邊長為1,點E是AB邊上的動點,則的值為________;

的最大值為________.

【解析】以射線AB,AD為x軸,y軸的正方向建立平面直角坐標系,則A(0,0),B(1,0),C(1,1),D(0,1),設E(t,0),t∈[0,1],則=(t,-1),=(0,-1),所以=(t,-1)·(0,-1)=1.因為=(1,0),所以=(t,-1)·(1,0)=t≤1,故的最大值為1.答案:1

1類型二平面向量的模(直觀想象、數學運算)【題組訓練】1.已知A,B,C是坐標平面上的三點,其坐標分別為A(1,2),B(4,1),C(0,-1),則△ABC的形狀為 (

)

A.直角三角形 B.等腰三角形C.等腰直角三角形 D.以上均不正確2.已知向量a=(x,y),b=(-1,2),且a+b=(1,3),則|a-2b|等于________.

3.已知a,b,e是平面向量,e是單位向量.若非零向量a與e的夾角為,向量b滿足b2-4e·b+3=0,則|a-b|的最小值是________.

【解析】1.選C.=(3,-1),=(-1,-3),=(-4,-2),所以||=,||=,||=,所以||=||,且||2+||2=||2=20,所以△ABC為等腰直角三角形.2.a+b=(x-1,y+2)=(1,3),所以x=2,y=1,所以a=(2,1).所以a-2b=(4,-3),所以|a-2b|==5.答案:53.設a=(x,y),e=(1,0),b=(m,n),則由<a,e>=得,a·e=|a|·|e|cos,x=所以y=±x,由b2-4e·b+3=0得m2+n2-4m+3=0,(m-2)2+n2=1,|a-b|的最小值為圓心(2,0)到直線y=±x的距離減去半徑,為-1.答案:-1【解題策略】向量模的問題的解題策略(1)字母表示的運算:利用公式:a·a=a2=|a|2或|a|=將向量運算轉化為實數運算.(2)坐標表示的運算:若a=(x,y),則|a|=【補償訓練】若向量a=(2x-1,3-x),b=(1-x,2x-1),則|a-b|的最小值為________.

【解析】因為a=(2x-1,3-x),b=(1-x,2x-1),所以a-b=(2x-1,3-x)-(1-x,2x-1)=(3x-2,4-3x),所以|a-b|=所以當x=1時,|a-b|取最小值為.答案:

類型三數量積坐標運算的應用(數學運算、邏輯推理)

角度1夾角、垂直的求解與證明

【典例】已知點A(2,1),B(3,2),D(-1,4).(1)求證:AB⊥AD.(2)要使四邊形ABCD為矩形,求點C的坐標以及矩形ABCD兩對角線所夾銳角的余弦值.【思路導引】(1)要證明AB⊥AD,只需證明=0.(2)對角線所夾銳角即為與的夾角(或其補角).【解析】(1)因為A(2,1),B(3,2),D(-1,4),=(1,1),=(-3,3),所以=1×(-3)+1×3=0,所以⊥,即AB⊥AD.(2)因為⊥,四邊形ABCD為矩形,所以,設C點的坐標為(x,y),則由=(1,1),=(x+1,y-4),得所以C點的坐標為(0,5),從而=(-2,4),=(-4,2),且

=8+8=16,設與的夾角為θ,則cosθ=所以矩形的兩條對角線所夾銳角的余弦值為.【變式探究】若本例改為:已知點A(-1,3),B(1,1),C(4,4),D(3,5).

(1)求證:四邊形ABCD是直角梯形.(2)求∠DAB的余弦值.【解析】(1)=(2,-2),=(1,-1),=(3,3),所以=2,所以∥.又因為=2×3+(-2)×3=0,所以又因為||≠||,所以四邊形ABCD為直角梯形.(2)因為=(4,2),=(2,-2),所以又因為=2×4+(-2)×2=4,所以cos∠DAB=角度2利用夾角、垂直求參數(或范圍)

【典例】已知a=(1,1),b=(0,-2),當k為何值時,(1)ka-b與a+2b垂直.(2)ka-b與a+b的夾角為120°.【思路導引】(1)分別求出ka-b與a+2b,利用兩向量垂直的坐標公式求k;(2)分別求出|ka-b|、|a+b|與(ka-b)·(a+b),結合題中已知夾角,利用夾角公式求k.【解析】因為a=(1,1),b=(0,-2),ka-b=k(1,1)-(0,-2)=(k,k+2),a+2b=(1,1)+(0,-4)=(1,-3).a+b=(1,1)+(0,-2)=(1,-1).(1)因為ka-b與a+2b垂直,所以k-3k-6=0,所以k=-3.即當k=-3時,ka-b與a+2b垂直.(2)因為|ka-b|=,|a+b|=,(ka-b)·(a+b)=(k,k+2)·(1,-1)=k-k-2=-2,而ka-b與a+b的夾角為120°,所以cos120°=,即化簡整理,得k2+2k-2=0,解之得k=-1±.即當k=-1±時,ka-b與a+b的夾角為120°.【解題策略】1.利用數量積的坐標表示求兩向量夾角的步驟(1)求向量的數量積.利用向量數量積的坐標表示求出這兩個向量的數量積.(2)求模.利用|a|=計算兩向量的模.(3)求夾角余弦值.由公式cosθ=求夾角余弦值.(4)求角.由向量夾角的范圍及cosθ求θ的值.2.非零向量a,b垂直問題的解決辦法涉及非零向量a,b垂直問題時,一般借助a⊥b?a·b=x1x2+y1y2=0來解決.【題組訓練】1.平面向量a=(1,2),b=(4,2),c=ma+b(m∈R),且c與a的夾角等于c與b的夾角,則m=________.

【解析】因為向量a=(1,2),b=(4,2),所以c=ma+b=(m+4,2m+2),所以a·c=m+4+2(2m+2)=5m+8,b·c=4(m+4)+2(2m+2)=8m+20.因為c與a的夾角等于c與b的夾角,所以所以解得m=2.答案:22.已知a=(1,2),b=(1,λ),分別確定實數λ的取值范圍,使得:(1)a與b的夾角為直角.(2)a與b的夾角為鈍角.(3)a與b的夾角為銳角.【解析】設a與b的夾角為θ,則a·b=(1,2)·(1,λ)=1+2λ.(1)因為a與b的夾角為直角,所以a·b=0,所以1+2λ=0,所以λ=-.(2)因為a與b的夾角為鈍角,所以cosθ<0且cosθ≠-1,所以a·b<0且a與b不共線反向.由a·b<0得1+2λ<0,故λ<-,由a與b共線得λ=2,故a與b不可能反向,所以λ的取值范圍為(3)因為a與b的夾角為銳角,所以cosθ>0,且cosθ≠1,所以a·b>0且a,b不共線同向.由a·b>0,得λ>-,由a與b同向得λ=2,所以λ的取值范圍為∪(2,+∞).【拓展延伸】1.線段垂直的坐標關系設A(x1,y1),B(x2,y2),C(x3,y3)是坐標平面內的三個點,則⊥?(x3-x1)·(x2-x1)+(y3-y1)(y2-y1)=0.2.向量共線的條件由cosθ=可知,若θ=0°或180°,則cosθ=±1,則有x1x2+y1y2=,利用此結論也可以判斷兩向量a=(x1,y1),b=(x2,y2)是否共線.【拓展訓練】已知在△ABC中,A(2,-1),B(3,2),C(-3,-1),AD為BC邊上的高,求||與點D的坐標.【解析】設點D的坐標為(x,y),則=(x-2,y+1),=(-6,-3),=(x-3,y-2).因為點D在直線BC上,即與共線,所以存在實數λ,使=λ,即(x-3,y-2)=λ(-6,-3),所以所以x-3=2(y-2),即x-2y+1=0①.又因為AD⊥BC,所以·=0,即(x-2,y+1)·(-6,-3)=0,所以-6(x-2)-3(y+1)=0,即2x+y-3=0②.由①②可得即D點坐標為(1,1),=(-1,2),所以||=綜上,||=,D(1,1).備選類型函數中的向量問題(直觀想象、數學運算)【典例】求函數y=3的最大值.【思路導引】觀察此函數解析式的特征,不難發(fā)現其形式與兩個坐標表示的平面向量的數量積公式類似,建立向量模型,嘗試利用|a·b|≤|a||b|求解.【解析】因為所以-2≤x≤5,y=設p=(3,1),q=(),則|p|=,|q|=,p·q≤|p|·|q|=當且僅當p與q平行且方向相同時不等式取等號,即解之得,當x=時,ymax=.【解題策略】平面向量中有關最值問題的求解通常有兩種思路:①“形化”,即利用平面向量的幾何意義將問題轉化為平面幾何中的最值或范圍問題,然后根據平面圖形的特征直接進行判斷;②“數化”,即利用平面向量的坐標運算,把問題轉化為代數中的函數最值與值域、不等式的解集、方程有解等問題,然后利用函數、不等式、方程的有關知識來解決.【跟蹤訓練】在△ABC中,BC邊上的中線AD的長為2,點P是△ABC所在平面上的任意一點,則的最小值為 (

)

A.1 B.2 C.-2 D.-1【解析】選C.以點D為坐標原點,DA所在直線為y軸,建立如圖所示的平面直角坐標系,則D(0,0),A(0,2).連接PD,設點P的坐標為(x,y),則=(-x,2-y),=(-x,-y),故

=2(x2+y2-2y),2(x2+y2-2y)=2[x2+(y-1)2]-2≥-2,當且僅當x=0,y=1時等號成立.所以的最小值為-2.1.已知平面向量a=(2,4),b=(-1,2),若c=a-(a·b)b,則|c|等于 (

)

A.4 B.2 C.8 D.8【解析】選D.易得a·b=2×(-1)+4×2=6,所以c=(2,4)-6(-1,2)=(8,-8),所以|c|=課堂檢測·素養(yǎng)達標2.在平面直角坐標系xOy中,已知四邊形ABCD是平行四邊形,=(1,-2),=(2,1),則·= (

)

A.2 B.3 C.4 D.5【解析】選D.=+=(3,-1),故·=(2,1)·(3,-1)=6-1=5.3.(教材二次開發(fā):練習改編)已知向量a=(1,),b=(-2,2),則a與b的夾角是 (

)【解析】選C.設a與b的夾角為θ,則cosθ==因為θ∈[0,π],所以θ=.4.已知a=(λ,2λ),b=(3λ,2),若a與b的夾角為銳角,則λ的取值范圍是________.

【解析】因為a與b的夾角為銳角,所以0<<1,即0<<1,解得λ<-或0<λ<或λ>.答案:

5.求證:(x1x2+y1y2)2≤()().【證明】由待證不等式出發(fā),聯(lián)想向量a,b的數量積a·b=x1x2+y1y2,于是設a=(x1,y1),b=(x2,y2),且它們的夾角為θ,則:a·b=|a|·|b|cosθ≤|a|·|b|,得:x1x2+y1y2≤·,即(x1x2+y1y2)2≤()().Thebestclassroomintheworldisatthefeetofanelderlyperson.世界上最好的課堂在老人的腳下.Havingachildfallasleepinyourarmsisoneofthemostpeacefulfeelingintheworld.讓一個孩子在你的臂彎入睡,你會體會到世間最安寧的感覺.Beingkindismoreimportantthanbeingright.善良比真理更重要.Youshouldneversaynotoagiftfromachild.永遠不要拒絕孩子送給你的禮物.Sometimesallapersonneedsisahandtoholdandahearttounderstand.有時候,一個人想要的只是一只可握的手和一顆感知的心.Love,nottime,healsallwounds.治愈一切創(chuàng)傷的并非時間,而是愛.Lifeistough,butI'mtougher.