高中數(shù)學(xué)第二章數(shù)列2-2-2等差數(shù)列的性質(zhì)同步課件新人教A版必修5

第2課時

等差數(shù)列的性質(zhì)

主題等差數(shù)列的性質(zhì)1.已知等差數(shù)列{an},對于數(shù)列中的任意兩項an,am存在怎樣的關(guān)系?提示:由等差數(shù)列的通項公式可知an=a1+(n-1)d,am=a1+(m-1)d,兩式相減,得an-am=(n-m)d,所以an=am+(n-m)d.2.觀察等差數(shù)列{an}的項與項數(shù),回答問題:

(1)3+6=4+5,a3+a6與a4+a5相等嗎?提示:相等.(2)若m+n=p+q(m,n,p,q∈N*),則am+an=ap+aq嗎?提示:相等.因為am=3m,an=3n,ap=3p,aq=3q,am+an=3(m+n),ap+aq=3(p+q),因為m+n=p+q,故am+an=ap+aq.3.試想一下問題2中等差數(shù)列若換為一般的等差數(shù)列還成立嗎?即對于任意的正整數(shù)m,n,p,q,若m+n=p+q,則在等差數(shù)列{an}中,am+an與ap+aq之間有怎樣的關(guān)系?為什么?提示:am+an=ap+aq.因為am+an=a1+(m-1)d+a1+(n-1)d=2a1+(n+m-2)d,而ap+aq=a1+(p-1)d+a1+(q-1)d=2a1+(p+q-2)d,又因為m+n=p+q,所以am+an=ap+aq.結(jié)論:等差數(shù)列的性質(zhì):{an}是公差為d的等差數(shù)列,(1)若正整數(shù)m,n,p,q滿足m+n=p+q,則am+an=_____.(2)an=am+________.ap+aq(n-m)d結(jié)論:等差數(shù)列的性質(zhì):{an}是公差為d的等差數(shù)列,(1)若正整數(shù)m,n,p,q滿足m+n=p+q,則am+an=_____.(2)an=am+________.ap+aq(n-m)d【對點訓(xùn)練】1.在等差數(shù)列{an}中,若a1=2,a3+a5=10,則a7= (

)A.5 B.8 C.10 D.14【解析】選B.由等差數(shù)列的性質(zhì),得a1+a7=a3+a5.因為a1=2,a3+a5=10,所以a7=8.2.在等差數(shù)列{an}中,若a2=1,a6=-1,則a4= (

)A.-1 B.1C.0 D.【解析】選C.由2a4=a6+a2=-1+1=0,所以a4=0.3.等差數(shù)列{an}中,已知a100=120,a90=100,則公差d=________.

【解析】由等差數(shù)列的性質(zhì)知d==2.答案:2類型一等差數(shù)列的性質(zhì)及應(yīng)用【典例1】(1)已知a3與a7是方程x2-8x+9=0的兩根,則a3+a4+a5+a6+a7=________.

(2)已知等差數(shù)列{an}中a5+a6+a7=15,a5·a6·a7=45,求{an}的通項公式.【解題指南】(1)先利用根與系數(shù)的關(guān)系求出a3+a7的值,再利用等差數(shù)列的性質(zhì)求解.(2)先利用性質(zhì)求出a6,然后解a5與a7的方程組,進(jìn)而求出a5與a7,最后再由性質(zhì)求an.【解題指南】(1)先利用根與系數(shù)的關(guān)系求出a3+a7的值,再利用等差數(shù)列的性質(zhì)求解.(2)先利用性質(zhì)求出a6,然后解a5與a7的方程組,進(jìn)而求出a5與a7,最后再由性質(zhì)求an.【解析】(1)因為a3與a7是方程x2-8x+9=0的兩根,所以a3+a7=8,故a4+a6=8,a5=(a3+a7)=4.因此原式=(a3+a7)+(a4+a6)+a5=8+8+4=20.答案:20(2)因為a5+a6+a7=3a6=15,所以a6=5,因此解得或若a5=1,a7=9,則d===4,an=a5+(n-5)×4=4n-19;若a5=9,a7=1,則d==-4,an=a5+(n-5)×(-4)=-4n+29.【方法總結(jié)】等差數(shù)列運算的兩條常用思路(1)根據(jù)已知條件,列出關(guān)于a1,d的方程(組),確定a1,d,然后求其他量.(2)利用性質(zhì)巧解,觀察等差數(shù)列中項的序號,若滿足m+n=p+q=2r(m,n,p,q,r∈N*),則am+an=ap+aq=2ar.【知識拓展】等差數(shù)列的常用性質(zhì){an}是公差為d的等差數(shù)列.(1)d==(m,n,k∈N*且n≠1,m≠k).(2)數(shù)列{λan+b}(λ,b是常數(shù))是公差為λd的等差數(shù)列.(3)下標(biāo)成等差數(shù)列且公差為m的項ak,ak+m,ak+2m,…(k,m∈N*)組成公差為md的等差數(shù)列.(4)若數(shù)列{bn}為等差數(shù)列,則{an±bn},{kan+bn}(k為非零常數(shù))也是等差數(shù)列.(5)項數(shù)間隔相等或連續(xù)等長的項之和仍構(gòu)成等差數(shù)列.【跟蹤訓(xùn)練】已知數(shù)列{an}為等差數(shù)列,且公差為d.(1)若a15=8,a60=20,求a105的值;(2)若a2+a3+a4+a5=34,a2a5=52,求公差d.【解析】(1)方法一:由題意得解得故a105=a1+104d=+104×=32.方法二:因為{an}為等差數(shù)列,所以d=,所以a105=a60+45×=32.方法三:因為{an}為等差數(shù)列,所以a15,a60,a105也成等差數(shù)列,則2a60=a15+a105,所以a105=2×20-8=32.(2)由a2+a3+a4+a5=34,得2(a2+a5)=34,所以a2+a5=17.由解得或所以d==3或d==-3.【補償訓(xùn)練】如果等差數(shù)列{an}中,a3+a4+a5=12,那么a1+a2+…+a7= (

)A.14

B.21

C.28

D.35【解析】選C.由等差數(shù)列的性質(zhì)知,a3+a4+a5=3a4=12?a4=4,故a1+a2+a3+…+a7=(a1+a7)+(a2+a6)+(a3+a5)+a4=7a4=28.類型二等差數(shù)列的設(shè)法與求解【典例2】已知四個數(shù)成等差數(shù)列,它們的和為26,中間兩項的積為40,求這四個數(shù).【解題指南】方法一:直接設(shè)首項和公差,將已知條件轉(zhuǎn)化為方程組求解.方法二:等差數(shù)列相鄰四項和為26,這四項有對稱性,用對稱設(shè)法求解.方法三:運用等差數(shù)列的性質(zhì)設(shè)項,求解.【解析】方法一:設(shè)此等差數(shù)列的首項為a1,公差為d,由已知,

化簡得解得或所以這四個數(shù)分別為2,5,8,11或11,8,5,2.方法二:設(shè)這四個數(shù)分別為a,b,c,d,由已知,

解得或所以這四個數(shù)分別為2,5,8,11或11,8,5,2.方法三:設(shè)這四個數(shù)分別為a-3d,a-d,a+d,a+3d,由已知,化簡得解得所以這四個數(shù)分別為2,5,8,11或11,8,5,2.【方法總結(jié)】等差數(shù)列的設(shè)法技巧(1)當(dāng)?shù)炔顢?shù)列{an}的項數(shù)n為奇數(shù)時,可設(shè)中間項為a,再以公差為d向兩邊分別設(shè)項:…,a-d,a,a+d,….(2)當(dāng)?shù)炔顢?shù)列{an}的項數(shù)n為偶數(shù)時,可設(shè)中間兩項為a-d,a+d,再以公差為2d向兩邊分別設(shè)項:…,a-3d,a-d,a+d,a+3d,….【跟蹤訓(xùn)練】1.若三個數(shù)成等差數(shù)列,它們的和為9,平方和為59,則這三個數(shù)的積為________.

【解析】設(shè)這三個數(shù)為a-d,a,a+d,則解得或所以這三個數(shù)為-1,3,7或7,3,-1,它們的積為-21.答案:-212.已知四個數(shù)構(gòu)成等差數(shù)列,前三個數(shù)的和為15,第一個數(shù)與第四個數(shù)的乘積為27,求這四個數(shù).【解析】設(shè)此等差數(shù)列的前4項分別為a-d,a,a+d,a+2d.由題意可得解得或所以這四個數(shù)是:3,5,7,9或類型三等差數(shù)列的實際應(yīng)用【典例3】梯子的最高一級寬33cm,最低一級寬110cm,中間還有10級,各級的寬度成等差數(shù)列,計算中間各級的寬度.【解題指南】可設(shè)a1=33,a12=110,n=12,求出{an}的通項公式,進(jìn)而求出各級的寬度.【解析】用{an}表示梯子自上而下各級寬度所成的等差數(shù)列,由已知,得a1=33,a12=110,n=12.由通項公式,得a12=a1+(12-1)d,即110=33+11d.解得d=7.因此,a2=33+7=40,a3=40+7=47,a4=54,a5=61,a6=68,a7=75,a8=82,a9=89,a10=96,a11=103.所以梯子中間各級的寬度從上到下依次是40cm,47cm,54cm,61cm,68cm,75cm,82cm,89cm,96cm,103cm.【方法總結(jié)】利用等差數(shù)列解決實際問題的注意點(1)實際應(yīng)用的關(guān)鍵是從實際問題中抽象出等差數(shù)列模型.(2)公差不為0的等差數(shù)列的圖象是一條直線上的均勻排列的孤立的點,反之給出這樣的圖象,那么它們之間構(gòu)成等差數(shù)列,利用等差數(shù)列的性質(zhì)解題.(3)在實際問題中,若涉及一組與順序有關(guān)的數(shù)的問題,可考慮利用數(shù)列方法解決,若這組數(shù)依次成直線上升或下降,則可考慮利用等差數(shù)列方法解決.(4)在利用數(shù)列方法解決實際問題時,一定要分清首項、公差、項數(shù)等關(guān)鍵量.【跟蹤訓(xùn)練】我國南北朝時的數(shù)學(xué)著作《張邱建算經(jīng)》有一道題為:“今有十等人,每等一人,宮賜金以等次差降之,上三人先入,得金四斤,持出,下三人后入得金三斤,持出,中間四人未到者,亦依次更給,問各得金幾何?”則在該問題中,中等級中的五等人與六等人所得黃金數(shù)為(

)

A. B. C. D.【解析】選C.設(shè)an為第n等人的得金數(shù),則{an}為等差數(shù)列,由題設(shè)可知a1+a2+a3=4,a8+a9+a10=3,故a2=,a9=1,而a5+a6=a2+a9=.【補償訓(xùn)練】某市2016年底綠地面積為560平方千米,預(yù)計每年都比上一年新增綠地面積4平方千米,問到2026年底該市綠地面積為多少平方千米?【解析】將該市2016年起每年年底的綠地面積依次排成數(shù)列,記為{an},由題意可知{an}為等差數(shù)列,其中a1=560,d=4,所以an=a1+(n-1)d=4n+556.2026年底的綠地面積在數(shù)列{an}中是第11項,所以a11=556+4×11=600(平方千米).答:到2026年底該市綠地面積為600平方千米.【知識思維導(dǎo)圖】Thebestclassroomintheworldisatthefeetofanelderlyperson.世界上最好的課堂在老人的腳下.Havingachildfallasleepinyourarmsisoneofthemostpeacefulfeelingintheworld.讓一個孩子在你的臂彎入睡,你會體會到世間最安寧的感覺.Beingkindismoreimportantthanbeingright.善良比真理更重要.Youshouldneversaynotoagiftfromachild.永遠(yuǎn)不要拒絕孩子送給你的禮物.Sometimesallapersonneedsisahandtoholdandahearttounderstand.有時候,一個人想要的只是一只可握的手和一顆感知的心.Love,nottime,healsallwounds.治愈一切創(chuàng)傷的并非時間,而是愛.Lifeistough,butI'mtougher.生活是艱苦的,但我應(yīng)更堅強.勵志名言請您欣賞【解析】將該市2016年起每年年底的綠地面積依次排成數(shù)列,記為{an},由題意可知{an}為等差數(shù)列,其中a1=560,d=4,所以an=a1+(n-1)d=4n+556.2026年底的綠地面積在數(shù)列{an}中是第11項,所以a11=556+4×11=600(平方千米).答:到2026年底