第14講 三角恒等變換、三角函數(shù)的應(yīng)用（7大考點(diǎn)）-2022-2023學(xué)年高一數(shù)學(xué)考試滿分全攻略（人教A版2019必修第一冊）（解析版）

第14講三角恒等變換、三角函數(shù)的應(yīng)用（7大考點(diǎn)）

u考點(diǎn)考向

1同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式：sin20+cos2^=l,tan6=^2,

COS。

2正弦、余弦的誘導(dǎo)公式(奇變偶不變，符號看象限)

3和角與差角公式

sin(6Z±/?)=sinacosp±cosasin/?;cos(a±/?)=cosacos(3「sinasin/7;

ana2

tan(cr±/?)=--^P_#(sina±cosa)=l±2sinacosa

1.tanatanP

asina+hcosa=yla2-i-h2sm(a+(p)由點(diǎn)(a,b)的象限決定，tan°=2).

a

3二倍角公式及降嘉公式

sin2a=2sinacosa.

cos2a=cos之a(chǎn)-sin2a=2cos2a-1=1-2sin2a

1-tan2a

.1-cos2a1+cos2a

sin2a=--------,cos2a----------

22

4三角函數(shù)的周期公式

2%

函數(shù)y=sin(@x+e),(A,3,0為常數(shù)，且AW0)的周期7=二一；

l(y|

7TTT

函數(shù)y=tan(cyx+°),XHeZ(A,3,。為常數(shù)，且AWO)的周期T=——.

2\a>\

三角函數(shù)的圖像：

口^考點(diǎn)精講

一.y=Asin（o）x+（p）中參數(shù)的物理意義（共2小題）

1.（2021秋?山西期末）簡諧運(yùn)動可用函數(shù)f（x）=4sin（8x4），xe[0,+~）表示，則這個簡諧運(yùn)動的

初相為（）

A.—TTB._JTC.o_JTD.8x

99Y9

【分析】當(dāng)函數(shù)y=AsinQa）x+（p）（A>0,3>0,AG[0,+°°））表示一個簡諧振動時(shí)，則1=0時(shí)的相位夕

叫做初相，由定義即可求解.

【解答】解：簡諧運(yùn)動可用函數(shù)f(x)=4sin(8x/-)，》日°，+8)表示，

9

當(dāng)x=o時(shí)，8xo-2L--2L,則這個簡諧運(yùn)動的初相為-工.

999

故選:B.

【點(diǎn)評】本題考查了復(fù)合三角函數(shù)的初相的求法，考查了對定義的運(yùn)用能力，屬于基礎(chǔ)題.

2.(2021?讓胡路區(qū)校級開學(xué))函數(shù)f(x)=Asin(O)x+。)(A>o，①>0，|。|〈卷，X€R)的

部分圖象如圖，M是圖象的一個最低點(diǎn)，圖象與x軸的一個交點(diǎn)的坐標(biāo)為6，0),與y軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為

(0,-V2).

(I)求A,3,(P的值；

(II)若關(guān)于x的方程/(x)-機(jī)=0在[0,2m上有一解，求實(shí)數(shù)相的取值范圍.

【分析】(I)由函數(shù)/(x)的部分圖象求出7、3和叩、A的值：

(II)由/(x)-,77=0得f(x)=〃?，畫出/(x)在x€[O,2n]上的圖象，結(jié)合圖象求出m的取值范圍.

【解答】解：(1)由函數(shù)/(x)的部分圖象可知，函數(shù)/(X)的周期為T=4X[*-(T)]=4加

冗，解得3」；

co2

又函數(shù)圖象與x軸的一個交點(diǎn)坐標(biāo)為0),

..17T..

,,Asin(yX—+(p)=0'

..n..

,,sin(—+(t>)=S

ITTT

?**—+*$?=k^：?蛇Z,即。二女兀-工(k€Z)；

由I。l<當(dāng)，得號<。〈字，

.?.?=今；

，函數(shù)y=f(x)=Asin(Xc--2L).

24

當(dāng)時(shí)，y=Asin=-V2,

，A=2；

綜上可知，4=2,3」，0=工.

24

(II)由/(x)-m=G得f(x)—m,

要使方程/(x)-，〃=o在x€[0,2m上有一解,

只需直線與函數(shù)/(x)的圖象在x€[0,2ir]上只有一個交點(diǎn)；

由(I)可知f(x)=2sin

畫出函數(shù)f(x)=2sinC|xT)在區(qū)間【°，2n]上的圖象，如圖所示;

由圖象知，當(dāng)一反《m〈后或m=2時(shí)，滿足題意，

所以〃?的取值范圍是[-&,V2)U(2).

【點(diǎn)評】本題考查了三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)的應(yīng)用問題，也考查了函數(shù)與方程的問題，是中檔題.

二.三角函數(shù)的最值(共6小題)

3.(2022秋?梧州期中)已知函數(shù)f(x)=Asin(a)x+<p)+b(A>0,w>0,0W(pW2ir)在同一周期內(nèi)有最

高點(diǎn)(三，1)和最低點(diǎn)(衛(wèi)，-3),則此函數(shù)在[-三，2□的值域?yàn)?)

121236

A.[-V3-1-1]B.[-V3-BV3-1]C.[-V3-1.2]D.[百-1,

2]

【分析】由函數(shù)的圖象的頂點(diǎn)坐標(biāo)求出A和6由周期求出3,由五點(diǎn)法作圖求出⑴的值，可得函數(shù)的解

析式，進(jìn)而利用正弦函數(shù)的性質(zhì)即可求解.

【解答】解：由題意可得b=1+(-3)=-A=1-(-1)=2,周期T=2(工三-三)=11=空_,

212123

求得3=2,

可得/(x)=2sin(2x+(p)-1,

再根據(jù)五點(diǎn)法作圖可得2X三+⑴=三，

122

所以年=三，

3

所以f(x)=2sin(2x+勺)-1,

因?yàn)樵赱-三，2L],

36

所以曰-322L],

333

所以sin(2X+2L)[-近，1],

32

所以f(x)=2sin(2X+A)-111].

3

故選：A.

【點(diǎn)評】本題主要考查由函數(shù)尸Asin(u)x+(p)的部分圖象求解析式，由函數(shù)的圖象的頂點(diǎn)坐標(biāo)求出A和4

由周期求出3,由五點(diǎn)法作圖求出年的值，考查了正弦函數(shù)的性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題.

4.(2022秋?平房區(qū)校級月考)函數(shù)/(x)=cos2x+V3sinx-A(xe[n,2n])的最大值是——_.

44

【分析】利用配方法可得/(%)=-(siar-近)2+1,利用正弦函數(shù)的性質(zhì)可求sinA-Gl-b0J,進(jìn)而即

2

可求解/(x)的最大值.

【解答】解：因?yàn)閒(x)—1-sin2A+V3sirir--

4

=-sin2x+5/3siru+A

4

=-(sinx-亞_)2+l,

2

又因?yàn)?n],可得sinx6[-l,0],

所以當(dāng)sinx=0時(shí)，函數(shù)/(x)取最大值

故答案為：1.

4

【點(diǎn)評】本題考查了正弦函數(shù)的性質(zhì)，考查了函數(shù)思想的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.

5.(2021秋?瓊海校級期末)已知函數(shù)y=2cos(2xf)-l，x€[；,兀]，則當(dāng)》=_等_時(shí)，函

數(shù)取得最小值為-3.

【分析】由xR三，川，知然-工日三，且L],再結(jié)合余弦函數(shù)的圖象與性質(zhì)，得解.

3333

【解答】解：因?yàn)閚],所以2x-匹日三，且L],

3333

當(dāng)2x-工=皿，即x=22L時(shí)，函數(shù)取得最小值，為2X(-1)-1=-3,

33

所以當(dāng)時(shí)，函數(shù)取得最小值為-3.

3

故答案為：22L；-3.

3

【點(diǎn)評】本題考查三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)，熟練掌握余弦函數(shù)的圖象與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵，考查邏輯推理

能力和運(yùn)算能力，屬于基礎(chǔ)題.

6.(2022秋?禪城區(qū)月考)(1)已知點(diǎn)P(2/M,-3m)(%>0)為角a終邊上一點(diǎn)，角B終邊上的點(diǎn)。與

點(diǎn)P關(guān)于y軸對稱，求cos(a+p)的值；

(2)函數(shù)f(x)=2sinxcosx-2V^cos2x+V^，求函數(shù)/(%)在區(qū)間［-^萬,-初］上的最值，

【分析】(1)方法1：根據(jù)三角函數(shù)的定義，結(jié)合和角的余弦公式求解即可；

方法2：由對稱性可得a+0=n+2E,從而利用誘導(dǎo)公式求解即可；

(2)由題知f(x)=2sin(2x工)，再整體代換求解即可.

3

【解答】解：(1)方法1：由題意得，點(diǎn)。的坐標(biāo)為(-2〃?，-3M,

所以sina=I3m=5-=^7=-'cosa=-i=====5-=-7=",

v(2m)+(-3m)013Y(2m)+(-3m)V13

Sin22

Q(-2m)2；(-3m)2V138s(-2m)+(-3m)池

所以cos(a+p)=cosacosP-sinasinp=—2=^x(X(-=-1-

V13V13V13V13

方法2：因?yàn)榻?的終邊與角a的終邊關(guān)于y軸對稱，

所以a+0=7T+2/nr,kWZ,

所以cos(a+p)=cos(冗+2日)=cosn=-1.

⑵f(x)=2sinxcosx-V3(2cos2x-l)=sin2x-V3cos2x=2sin

因?yàn)闀r(shí)，所以—<2X-；4WL

122633

所以，當(dāng)2x』=多時(shí)，函數(shù)/(X)有最小值為f(x)1111n=2sin(*)=-l；

當(dāng)■時(shí)，函數(shù)/(x)有最大值為f(x)111ax=2sin卷~=2?

【點(diǎn)評】本題主要考查任意角的三角函數(shù)，三角函數(shù)的最值，三角恒等變換的應(yīng)用，考查轉(zhuǎn)化思想與運(yùn)算

求解能力，屬于中檔題.

7.(2022秋?北樂期中)已知函數(shù)f(x)nW^sinxcosx+sin'x-cos%，

(1)求函數(shù)/(x)取最大值時(shí)x的取值集合；

（2）設(shè)函數(shù)f（x）在區(qū)間味，m］是減函數(shù)，求實(shí)數(shù)，〃的最大值.

【分析】Q）利用正余弦的二倍角公式，結(jié)合輔助角公式化簡/（x）,再求取得最大值時(shí)的x的取值集合即

可；

（2）求得/（x）的單調(diào)減區(qū)間，結(jié)合題意，即可求得加的最大值.

22=sin2jr-

［解答］解：(1)由題意，(x)=2V3sinxcosx+sinx-cosx^cos2x=2sin(2x

-2L),

6

當(dāng)/(x)取最大值時(shí)，B|jsin(2x--)=1,止匕時(shí)2x-JL=2KT+」L,k&Z,即X=KT+2L,kWZ,

6623

所以x的取值集合為{xk=E+N,依Z}.

3

(2)由2L+2knW2x-keZ,

262

得Z2L+2^nW2x＜且L+2E,keZ,

33

即2LbtnWxW且L+br,kez,

36

所以/(x)的減區(qū)間［匹+內(nèi)1,且I_+E］,依Z,

36

當(dāng)A=o,且口是一個減區(qū)間，且三曰3,且口，

36236

所以［2L,/M］CG［2L,

23

所以，花（匹，且L］,所以m的最大值為且L.

266

【點(diǎn)評】本題考查三角函數(shù)的應(yīng)用，屬于中檔題.

8.（2022秋?北京期中）已知函數(shù)/（X）=2COS2O）X-sinx.

（1）求/'（（））的值;

（2）從條件①、條件②、條件③這三個條件中選擇一個作為已知，求函數(shù)/（x）在［一,看］上的最小

值，并直接寫出函數(shù)f（x）的一個周期.

①3=2;②3=1;③(1)-

2

注：如果選擇條件①、條件②、條件③分別解答，按第一個解答計(jì)分.

【分析】（1）直接利用函數(shù)的關(guān)系式求出函數(shù)的值;

（2）選條件①②③首先把函數(shù)的關(guān)系式進(jìn)行變換，進(jìn)一步利用二次函數(shù)的性質(zhì)和正弦型函數(shù)的性質(zhì)的應(yīng)用

求出結(jié)果.

【解答】解：(1)f(0)=2COS20-sin0=2.

⑵選擇條件①，f(x)=2cos2x-sinx=2(l-sin2"-sinx=-2(sinx+1)2聶

因?yàn)閤€［4-，看］'所以sinxE［-1)-y］-

所以當(dāng)sinr=-1或sinx=a時(shí)，即x=$或看時(shí)，/⑴在［一^-，看］取得最小值1，

f(x)的一個周期為21T.

選條件②時(shí)，f(x)=2COS22X-sinx=(cos4x+l)-siar

當(dāng)xE0］時(shí)，，(X)＞。恒成立

當(dāng)(0,時(shí)，/(無)是減函數(shù)，

6

所以當(dāng)X吟時(shí)，f(X)在［一卷，卷］取得最小值0,

/(%)的一個周期為2a

選擇條件③時(shí)，f(x)=2c。s2"|-sinx=(cosx+1)-sin^=Mcos(+1，

囚為x€1F-，-T-］'

Nb

所后二l以、Ixg兀E廣「［工兀，5而兀r〉

所以當(dāng)衛(wèi)L時(shí)，

412

即X工時(shí)，/(X)在［工，工］取得最小值上。旦；

6262

f(x)的一個周期為2TT.

【點(diǎn)評】本題考查的知識要點(diǎn)：三角函數(shù)的值，函數(shù)的關(guān)系式的變換，函數(shù)的性質(zhì)的應(yīng)用，主要考查學(xué)生

的運(yùn)算能力和數(shù)學(xué)思維能力，屬于中檔題.

三.三角函數(shù)恒等式的證明(共1小題)

9.(2021秋?道里區(qū)校級期末)已知A,B,C為△ABC的內(nèi)角.

(1)若tart4=-2,求tanB?tanC的取值范圍；

(2)求證：tan?&'tan?旦+tan2上21；

222

(3)設(shè)a,B,ye(0,-2L),且tana=tanA?tanA,tanB=tanA?tan—,tanv=tan—,tanA,求證:

2222222

6sin2a+6sin2p+6sin2y^sin2a+sin2p+sin2Y.

【分析】(1)根據(jù)兩角和的正切公式及均值不等式求解；

⑵先證明tan--1any+tan--tan|-+tanytarr^-=T再由不等式〃2+/+c22"+bc+ac證明即可;

(3)找出不等式的等價(jià)條件，換元后再根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性構(gòu)造不等式，利用不等式性質(zhì)即可得證.

【解答】解：(1)VtanA=-2,:.B,。為銳角，JtanB〉。，tanOO,

tanB+tanC

2=-tanA=tan(B+C)-

l-tanB-tanC

.斗〉4tanBtanC

21-tanB-tanC

(1-tanBtanC)2

解得0<tanBtanC《苫手，當(dāng)且僅當(dāng)B=C時(shí)，等號成立,

即tanBtanCt]?

(2)證明：在AABC中，￡W=go。，

=B/AC、AC

-tarr^-(tarr^+tan,)+tarrytarr2

=B)(1-tan--tan1-)+tan--tair~

-tanytan

l-tanftanjnanf

2A2B、cAB+2c2B、cCB+2A2C、c卜C

tan-y+tan5,2tarrytany，tan萬+tanT-^Stan^tany，tan萬+tan-Z-^2tan'7-tarTZ"

乙乙乙乙乙乙乙乙乙乙乙乙

?2A2B2C、ABBCCA.

,?tan-+tan-+tantan-tarr^+tan-ytarr^+tan-ytarr^~=1?

(3)證明：由(2)知tana+tanB+tanY=l，

2

?-.2tana_2tanC(

?sinna=---------—，sin/a-----------方—

1+tana1+tana

6sin2a+6sin2p4-6sin2y^sin2a+sin2p+sin2Y

即證3tan2a+3±日+3」如2工_》tana+tanB+tanY

1+tan2a1+tan2P1+tan2Y1+tan2a1+tan2P1+tan2Y

令x=tana,y=tan0,z=tany,

222

原不等式等價(jià)于套4+3y:/z仔)o,

1+x1+y1+z2

y=廣在（0，1）上為增函數(shù)，

x?+lxd

X

二（i32-）（x4）＞0,1■-（3x-1）‘

32

X+1（1）+1X+11。

同理可得，平于$（的一1）,聿；$（3z-l），

.x(3x-l)y(3y-l)z(3z-l)>^(x4y+z)*>=0.

■*25+5

x+1y+1z+1

222

故不等式紅年且尋電子〉o成立,

l+x1+y21+z2

問題得證.

【點(diǎn)評】本題考查了同角三角函數(shù)的基本關(guān)系，基本不等式和三角不等式的證明問題，考查了轉(zhuǎn)化思想,

屬于難題.

四.兩角和與差的三角函數(shù)（共9小題）

10.（2022秋?金沙縣期中）若tana=Ltan（TT-p）=上，則tan（a+p）=（）

34

A.-LB..^LC.AD.二

131377

【分析】由已知利用誘導(dǎo)公式可求得tan（3的值，進(jìn)而利用兩角和的正切公式即可求解.

【解答】解：因?yàn)閠ana=』，tan（IT-p）=-tanp=A,

34

可得tanp=-A,

4

1z1s

—+（——）

則tan（a邛）=tand+tanB=————

1-tanCttanP］」x（二）1?

故選：A.

【點(diǎn)評】本題考查了誘導(dǎo)公式，兩角和的正切公式在三角函數(shù)化簡求值中的應(yīng)用，考查了計(jì)算能力和轉(zhuǎn)化

思想，屬于基礎(chǔ)題.

11.（2022秋?鞍山期中）若a是第二象限角，且sin（a+p）cosp-sinpcos（a+p）=也＞,則tan4-等于5.

132

【分析】由已知利用兩角差的正弦公式可求sina的值，結(jié)合a是第二象限角，利用同角三角函數(shù)基本關(guān)系

式可求cosa的值，進(jìn)而利用同角三角函數(shù)基本關(guān)系式，二倍角公式即可求解tanW的值.

2

【解答】解：因?yàn)閟in(a+p)cosp-sinPcos(a+p)=sin[(a+p)-0]=sina=-^-,

13

又a是第二象限角，

所以cosa=-_

VJ-Ox/115a=

a.aa5

sin2sin-^-cos-^-

所以頷旦=―^n-=—Sina=13=5.

2co干2cos2亍-cosa1+(系)

乙乙xo

故答案為：5.

【點(diǎn)評】本題考查了兩角差的正弦公式，同角三角函數(shù)基本關(guān)系式，二倍角公式在三角函數(shù)化簡求值中的

應(yīng)用，考查了計(jì)算能力和轉(zhuǎn)化思想，屬于中檔題.

12.(2022春?蘭陵縣月考)對于銳角a,若sin(a-2L)=旦，則cos(2a+2L)=-24.

1253—25—

【分析】觀察角與角之間的關(guān)系，利用誘導(dǎo)公式和二倍角公式將所求角轉(zhuǎn)化為己知角，能求出結(jié)果.

【解答】解：：a為銳角，二V且L,

121212

Vsin(a-2I_)=3,/.cos(Q-

125125

..71.兀、兀

?20.^--2(0.-)

OJL乙乙

貝Hi！l]lcos(、2a+I-/-1-)、=cos[r-兀--+,2/A(/a__T_T_)、]]=-si.n2G(/a__兀__)、

321212

=-2csi?n/(a__兀__)、cos(/a___兀_)、

1212

--2x3x—~一

5525

故答案為：

25

【點(diǎn)評】本題考查角與角之間的關(guān)系、誘導(dǎo)公式、二倍角公式等基礎(chǔ)知識，考查運(yùn)算求解能力，是基礎(chǔ)題.

13.(2022秋?和平區(qū)校級期中)若a,§￡(Q,且(l+sir^a)sinB=sinacosacosB，則tan0的最

大值為近.

—4―

【分析】由題意結(jié)合商數(shù)關(guān)系及平方關(guān)系可得tanB—，再利用基本不等式即可得出答案.

2tan2Ct+l

【解答】解：由(l+sin2a)sinp=sinacosacosp,

汨sinCIcosCIsinClcosCltanCt

^tanpc=-------5----=---------------3—=------3------，

1+sina2sina+cosa2tana+1

因?yàn)閍€(0,所以tanaE(0,+8),

則tan6=一=-------J—<—r---------冬

4

2tana+12tanCH一二-212tanaL-

tanCIVtanCL

當(dāng)且僅當(dāng)2tanCL=T-，即tana=挈時(shí)，取等號，

tan。2

所以tanp的最大值為亞.

4

故答案為：返_.

4

【點(diǎn)評】本題主要考查了同角三角函數(shù)間的基本關(guān)系，以及基本不等式的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.

14.(2021秋?如皋市校級期末)—+2sin2口sinll0°的值為1

cos200+vl-coS21600

【分析】根據(jù)誘導(dǎo)公式，平方關(guān)系即可解出.

［解答］解：原式=Vl+2sin20。cos20"=J(sin200+cos200)2=sin200+cos200

cos200+sinl600sin200+cos200sin200+cos20°

故答案為：1.

【點(diǎn)評】本題主要考查誘導(dǎo)公式，屬于中檔題.

15.(2022春?羅湖區(qū)校級期中)已知a,0為銳角，tana=2,sin(a-p)=丫乂).

10

(1)求cos2a的值；

(2)求tanp的值.

2,22

【分析】(1)由已知結(jié)合cos2a=cosa-sina=1-tana,代入即可求解；

cos2a+sin2a1+tan2a

(2)由題意得a-B<Z—>結(jié)合同角基本關(guān)系可求COS(a-p),tan(a-B),然后利用tan0=tan|a

22

-(a-0)片tana七5(a-8),代入可求.

1+tanCItan(a-B)

【解答】解：(1)因?yàn)閍,B為銳角，tana=2,

所以cos2a=*電里工29_上卻應(yīng)=4=_3：

cos2CL+sin2CL1+tan2a1+45

(2)由題意得

2-2

因?yàn)閟in(a-［?)

10

所以cos(a-P)=3'，"J，,tan(a-P)=—,

103

所以tan0=tan［a-(a-P)］=Tin(0-bJ=----:=L—=1.

1+tanCltan(a-B)］+2X—

3

【點(diǎn)評】本題考查了同角基本關(guān)系，二倍角公式，和差角公式在三角化簡求值中的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.

16.(2021秋?西青區(qū)校級期末)己知函數(shù)f(x)=sin(2x+^~)+sin(2x-^~)+cos2x-L

(1)求/(x)的最小正周期；

(2)當(dāng)xC［0,子］時(shí)，求/(X)的單調(diào)區(qū)間；

(3)在(2)的件下，求/(x)的最小值，以及取得最小值時(shí)相應(yīng)自變量x的取值范圍.

【分析】(1)根據(jù)周期公式計(jì)算即可.

(2)求出/(x)單調(diào)區(qū)間，然后與所給的范圍取交集即可.

(3)根據(jù)(2)的結(jié)論，對/(0)與廣(匹)進(jìn)行比較即可.

4

【解答】解：(1)f(x)=sin2xcos^-+cos2xsiir^-+sin2xcos^--cos2xsirr^_+cos2x-1

=V3sin2x+cos2x-l

=2sin(2r+—)-1.

6

T=22L_=22L=7r,故/(x)的最小正周期為it.

ICOI2

(2)先求出增區(qū)間,即：

令弓-+2k兀42x?t^<~^-+2k兀，(k€Z),

TTjr

解得［一丁+k兀，7~+k兀］,(kO

36

(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為［-2L+E,—+kn］,(髭Z),

36

f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間為［工+ATT,22L+內(nèi)r］,(kez),

63

所以在區(qū)間［0,A］±,當(dāng)了€［0,看］時(shí)，函數(shù)/(X)單調(diào)遞增，當(dāng)［看，--］時(shí)，函數(shù)/(X)

單調(diào)遞減；

所以f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為［0,看］，單調(diào)遞減區(qū)間為小，

(3)由(2)所得到的單調(diào)性可得/(0)=2sin—_1=0,/(2L)=2sin(2LJL)7=愿-1，

6426

所以f（x）在x=0時(shí)取得最小值0.

【點(diǎn)評】本題主要考查三角函數(shù)的最值，屬于中檔題.

17.（2021秋?西青區(qū)校級期末）已知a€（今，兀）?

（1）ia=—>求tana和cos2a的值；

sn3

（2）若cos（a=二應(yīng)，求cosa的值.

35

【分析】（1）根據(jù)Sin2（x+cos2（x=l,且（今，兀），可求得cosa,進(jìn)而得到tana,再利用二倍角公式

求得cos2a；

（2）根據(jù)兩角差的三角函數(shù)公式求解即可.

【解答】解：(1)*-*sinCl=—?aC(―-,兀)，siiAx+cos2a=1,

32

解得cosa=一2衣,則tana=sina=—^--=-退_,

3cosa卬24

S-

cos2a=l-2sin2a=1-2X(A)2=Z..

39

兀），.“守（看,手）,

(2)Va€(A.

22

cog(a-無)=,sin(a--2I_)+cos(a--1_)=1,

cos13/533

sin(a-=&5”,

35

cosa=cos[(a-2I_')+_2I_]=cos(a--2L)cos-sin(a--ZL.)sina=x=

__3333344-￥4

10

【點(diǎn)評】本題考查的知識點(diǎn)是二倍角公式、兩角和與差的余弦公式，難度不大，屬于基礎(chǔ)題.

18.（2021秋?呈貢區(qū)校級期末）己知函數(shù)f（x）=2sin?（T~+x）-A/ECOS2X。

（1）求/（x）的最小正周期.

（2）求/G）的單調(diào)遞增區(qū)間.

（3）若關(guān)于x的方程F（x）-m=2在xE卷］上有解，求實(shí)數(shù)m的取值范圍.

【分析】（1）先將函數(shù)解析式化簡整理得到f（x）=2sin（2xf）+l，再由正弦函數(shù)的周期性，即可求出

結(jié)果;

(2)根據(jù)正弦函數(shù)的單調(diào)性可求/(x)的單調(diào)遞增區(qū)間；

(3)關(guān)于x的方程f(x)-m=2在xC吁，子］上有解，則關(guān)于x的方程f(x)=m+2在xC,-y］

上有解，求出f(x)=2sin(2x工)+1值域，即可得到關(guān)于機(jī)的不等式，求解即可.

3

【解答】解：(1)函數(shù)

71

冗1-cos(］-+2x)冗

f(x)=2sin2(~^~+x)-V3cos2x=2----------------V3cos2x=sin2x-V3cos2x+l=2sin(2x-^-)+1

故函數(shù)的最小正周期為"二兀.

2

(2)令2k兀專2x《W2k兀吟,解得kir兀5兀

《xWk兀+■

^272

二單調(diào)遞增區(qū)間為［k兀令，k兀+^］，(k€Z)-

(3)因?yàn)閤6[―,—1-

xcL42J

所福i以、i2x兀=￡尸「[-兀T-.不2兀一卜1

O0O

所以sin(2xW~)E[/，1],

所以/(x)的值域?yàn)椋?,3］,

關(guān)于x的方程/(x)-m=2在xE耳，三］上有解，

則關(guān)于x的方程/(x)=〃?+2在x￡6，今］上有解,

所以〃任242,3］,

所以機(jī)曰0,1］,

所以實(shí)數(shù)的取值范圍是［0,1］.

【點(diǎn)評】本題考查了三角函數(shù)的恒等變換和三角函數(shù)的性質(zhì)，考查了方程的有解問題，屬于中檔題.

五.二倍角的三角函數(shù)(共8小題)

19.(2022秋?雨花區(qū)校級月考)已知sin(aj-)」，則cos(2CtZ^)=()

633

A.1B.J.C.迤D./

9999

【分析】由已知利用誘導(dǎo)公式可求cos(a+3)的值，進(jìn)而利用二倍角的余弦公式即可求解cos(2a

的值.

【解答】解：因?yàn)閟in(a」=sin[a-(---)]=-cos(a+-2L),

sink623233

所以cos(a+-^-)=-―,

33

22

貝ijcos(2d/：)=cos2(a+-^-)=2cos(a+-^-)-1=2*(-A)-1=--Z.

故選：B.

【點(diǎn)評】本題考查了誘導(dǎo)公式，二倍角的余弦公式在三角函數(shù)化簡求值中的應(yīng)用，考查了計(jì)算能力和轉(zhuǎn)化

思想，屬于基礎(chǔ)題.

20.(2021秋?泉州期末)將整體一分為二，較大部分與整體部分的比值等于較小部分與較大部分的比值,

這樣的分割被稱為黃金分割.黃金分割蘊(yùn)藏著豐富的數(shù)學(xué)知識和美學(xué)價(jià)值，被廣泛運(yùn)用于藝術(shù)創(chuàng)作、工藝

設(shè)計(jì)等領(lǐng)域.黃金分割的比值為無理數(shù)近二1該值恰好等于2sinl8°,則cos36°=()

2_

A.V5-2B.辰-IC.娓+1D.娓7

442

【分析】由題意，利用二倍角的余弦公式，計(jì)算cos36。的值.

【解答】解：由題意，2sinl80=近二1,AsinlS0=近二1,

24

.,.cos36°=1-2sin2180=1-2X海二L)=1-2義生逅=近旦

'4'84

故選：C.

【點(diǎn)評】本題主要考查二倍角的余弦公式的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.

21.(2021秋?長安區(qū)校級期末)若a€(0,tan2a=—,則cosa=_Yq_.

22-sinCl4

【分析】由已知化切為弦求得sina,再由平方關(guān)系求得cosa.

[解答]解：由tan2a,c°sa,得絲皿弩5

2-sinal-2sin2a2-sinJ

JT

丁a￡(0,,cosaWO,

則2sinCl1,,得sina=A,

l-2sin2a2-sina4

V15

..cosa=

故答案為:

【點(diǎn)評】本題考查三角函數(shù)的化簡求值，考查同角三角函數(shù)基本關(guān)系式及倍角公式的應(yīng)用，是基礎(chǔ)題.

22.(2021秋?玉溪期末)，3-§inl6g的值等于2.

l+sin2350

【分析】利用誘導(dǎo)公式，二倍角公式化簡即可求解.

3-sinl60°_3-sin(90°+彳0°)3-cos700

【解答】解:

23-cos700

l+sin35°1+l-cos700

2

故答案為：2.

【點(diǎn)評】本題主要考查了誘導(dǎo)公式，二倍角公式在三角函數(shù)求值中的應(yīng)用，考查了轉(zhuǎn)化思想，屬于基礎(chǔ)題.

23.（2021秋?天津期末）已知點(diǎn)尸（"2,2m）（機(jī)W0）是角a終邊上任一點(diǎn)，貝!jcos2a+l=—.

一5一

【分析】利用三角函數(shù)的定義，求出tana,然后利用同角三角函數(shù)基本關(guān)系式轉(zhuǎn)化求解即可.

【解答】解：：點(diǎn)尸（m,2/T?）（〃?W0）是角a終邊上任一點(diǎn)，則tana=2,

:2cos2a22=2

cos2a+1=2cos2a-

siNa+cos2atan2a+12^+15

故答案為：2.

5

【點(diǎn)評】本題考查三角函數(shù)的定義，以及同角三角函數(shù)基本關(guān)系式的應(yīng)用，考查計(jì)算能力，是基礎(chǔ)題.

24.(2021秋?濱江區(qū)校級期末)設(shè)f(x)=cos2(x」^)+cosjos2x.

126

（1）求￡（"）的值及/（X）的單調(diào)遞增區(qū)間；

（2）若ae（0,微f（a）=y-求sin（2&4*|■兀）的值.

【分析】（1）利用倍角公式降幕，再由輔助角公式化簡，得到了（X）=iin(2x+—)+1,再利用正弦函

232

數(shù)的圖像與性質(zhì)求解即可.

（2）先求出sin2a,cos2a,再利用兩角和的正弦公式求解即可.

1+cos(2x-^-r-)歷

2cos2x

【解答】解：(1)f(x)=cos(x+,^)+cos~^~~------------2_+XA_COS2X

22

=l-lcos(2x+—)+叵OS2X=A-Y^cos2x+」sin2x+義Zcos2v=1-sin2v+1^cos2x+工

22622442442

=Asin(2X+-2I_)+A,

232

貝Ijf(2L)=Lin(2XJL+JL)+工=」sin-U=l；

、12121232222

-2L+2kn^2x+—^JL+2lai,kwZ,

232

則-5兀+而k€Z,

1212

：.f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為[-§￡+內(nèi)r,2L+hr],kCZ.

1212

(2)若ae(0,2L),貝112a+2Le(2L,

2323

?:f(a)=2,AAsin(2a+2L)+工=2,

32323

/.sin(2a+2L)=工，cos(2a+2L)=-.212,

3333

.".sin2a=sin[(2a+—1-)-^L]=sin[(2a+-ZL)cos-2L-cos(2a+-7r、K_2A/6+1

——)sin------------,

3333336

JI、.7T-V3-2V2

cos2a=cos|(2a+---)-—I_J=cosl(2a+-^-)cos-^-+sin(2a+—-)sin——---------------,

3333336

貝I]sin（2Ct+^~兀）=sin2acos2兀+cos2asin2兀=+1x（-A）義^^_=.

33362626

【點(diǎn)評】本題考查三角函數(shù)的恒等變換應(yīng)用，考查y=Asin（3x+（p）型函數(shù)的圖象與性質(zhì)，考查計(jì)算能力,

是中檔題.

25.（2021秋?天津期末）已知sina=1",aG（―,n）

52

（I）求tana,sin2a的值；

（II）求cos（a4）的值.

o

【分析】（I）由已知利用同角三角函數(shù)基本關(guān)系式以及二倍角的正弦公式即可求解tana,sin2a的值;

（II）利用兩角差的余弦公式即可求解.

【解答】解：（I）?.?sina=Y^，且aE（工，兀），

5