工程數(shù)學(xué)復(fù)變函數(shù)習(xí)題課

工程數(shù)學(xué)（復(fù)變函數(shù)）習(xí)題課[例1][例3]計算下列各式的值（1）[例4]求滿足下列條件的所有復(fù)數(shù)
:（1）
是實數(shù),且
；（2）
的實部和虛部都是整數(shù),且
實部為奇數(shù)。[解]：設(shè)
,
且
不同時為零,則由條件（1）得:y=0或:
當(dāng)
,由
,知這樣的x不存在。當(dāng)
時,由
,知
。又由（2）知
為整數(shù),且為奇數(shù),即:x=1,3則當(dāng)
時,
；當(dāng)
時,
。但由于
不是整數(shù),應(yīng)除去,最后滿足條件的復(fù)數(shù)為：
,
[例6]計算或討論下列各式的值,其中
為復(fù)數(shù)。（1）[解]設(shè)
,則
,有
顯然,m不同,
的值不同,故極限不存在。（2）[解]由
得:
所以:
（3）[解]:由于
所以:
（4）[解]:設(shè)
,則
,于是當(dāng)
,即z沿正實軸→0時,f(z)→0；當(dāng)
,即z沿直線y=x→0時,f(z)→1；所以:
不存在。[例9][例10][例11][例20][例23]討論函數(shù)
在復(fù)平面上何處可導(dǎo)?何處解析?[解]：
,令則:



由上可知,在復(fù)平面上處處滿足C-R條件,且偏導(dǎo)數(shù)連續(xù),即u,v可微,所以函數(shù)在復(fù)平面上處處可導(dǎo),處處解析。[例24]討論函數(shù)
在復(fù)平面上何處可導(dǎo)?何處解析?[解]：
,令則:

由上可知,對于
,解析函數(shù)的C-R條件處處不滿足,所以函數(shù)
處處不可導(dǎo),處處不解析。[例25]討論函數(shù)
在復(fù)平面上何處可導(dǎo)?何處解析?[解]：令
,
則:



由上可知,當(dāng)y=1/2時才滿足C-R條件,故函數(shù)僅在直線y=1/2上可導(dǎo),在復(fù)平面處處不解析。[例28]設(shè)f(z)=my3+nx2y+i(x3+lxy2)為解析函數(shù),試擬定l,m和n的值。[解]:由于



由解析函數(shù)的C-R條件,
,得:l=n同例,由
,得：3my2+nx2=–3x2–ly2最后得:和
[例29]設(shè)
,求
的值使
為調(diào)和函數(shù),并求出解析函數(shù)
。[解]:由于
,
及
,
由
,可得:
當(dāng)
時,
,則由
,得：
則又由
,得:
得:
其中C是一個常數(shù)項。最后得:
同理,當(dāng)
時,
[例33]證明:
和
都是調(diào)和函數(shù),但
不是解析函數(shù)。[例34][例41]計算積分
,
為直線段0到
。[解]：直線段方程為y=x,0≤x≤1,所以：
[例42]計算積分
,C為圓周|z|=1上從1到–1的上半圓周。[解]：
,
,
,所以：[例44]、[例45]計算或討論下列各式的值,其中
為復(fù)數(shù)。（每小題5分,共25分）（1）[解]在|z|=3內(nèi)有奇點z=0,–1,1,分解被積函數(shù)為部分分式,再應(yīng)用柯西積分公式（2）[解]:由于
所以:
[例61]討論級數(shù)的斂散性。[解]:由于級數(shù)的部分和
當(dāng)|z|<1時,
,故級數(shù)收斂于–1；當(dāng)
時,
,故級數(shù)收斂于0；當(dāng)
時,
不唯一,故級數(shù)發(fā)散；當(dāng)
,而
時,zn=cosnθ+isinnθ,由于cosnθ和sinnθ的極限都不存在,所以
不存在,級數(shù)發(fā)散。[例62]求下列級數(shù)的收斂半徑。（每小題3分,共6分）（1）[解]:由于
,而
,所以
的收斂半徑為
。（2）[解]:用根值法
由于
,所以則,級數(shù)
的收斂半徑為max{a,b}。（3）[解]:用根值法:
則,級數(shù)
的收斂半徑為
（4）[解]:由于
,所以
的收斂半徑為∞。[例63][例65]計算或討論下列各式的值,其中z為復(fù)數(shù)。（1）[解]:由
得:
（2）[解]:由
,兩邊求導(dǎo)得:
兩邊再對z求導(dǎo)得:
兩邊同乘以z2得:
令
,代入上式得：
（3）[解]:
當(dāng)|z|=1,及z≠1時,
不存在,所以有[例70][例81]鑒定
的孤立奇點的類型,并求其留數(shù)。[解]:由
可知
是其本性奇點。又由于
次項為
,即
[例83]鑒定
的奇點