第12講 直線與圓、圓與圓的位置關(guān)系（十大題型）（學(xué)生版）-2024年高中數(shù)學(xué)新高二暑期銜接講義

第12講直線與圓、圓與圓的位置關(guān)系【題型歸納目錄】題型一：不含參數(shù)(含參數(shù))的直線與圓的位置關(guān)系題型二：由直線與圓的位置關(guān)系求參數(shù)、求直線與圓的交點(diǎn)坐標(biāo)題型三：切線與切線長問題題型四：弦長問題題型五：判斷圓與圓的位置關(guān)系題型六：由圓的位置關(guān)系確定參數(shù)題型七：公共弦與切點(diǎn)弦問題題型八：公切線問題題型九：圓中范圍與最值問題題型十：圓系問題【知識點(diǎn)梳理】知識點(diǎn)一：直線與圓的位置關(guān)系1、直線與圓的位置關(guān)系：(1)直線與圓相交，有兩個(gè)公共點(diǎn)；(2)直線與圓相切，只有一個(gè)公共點(diǎn)；(3)直線與圓相離，沒有公共點(diǎn)．2、直線與圓的位置關(guān)系的判定：(1)代數(shù)法：判斷直線與圓C的方程組成的方程組是否有解．如果有解，直線與圓C有公共點(diǎn)．有兩組實(shí)數(shù)解時(shí)，直線與圓C相交；有一組實(shí)數(shù)解時(shí)，直線與圓C相切；無實(shí)數(shù)解時(shí)，直線與圓C相離．(2)幾何法：由圓C的圓心到直線的距離與圓的半徑的關(guān)系判斷：當(dāng)時(shí)，直線與圓C相交；當(dāng)時(shí)，直線與圓C相切；當(dāng)時(shí)，直線與圓C相離．知識點(diǎn)詮釋：(1)當(dāng)直線和圓相切時(shí)，求切線方程，一般要用到圓心到直線的距離等于半徑，記住常見切線方程，可提高解題速度；求切線長，一般要用到切線長、圓的半徑、圓外點(diǎn)與圓心連線構(gòu)成的直角三角形，由勾股定理解得．(2)當(dāng)直線和圓相交時(shí)，有關(guān)弦長的問題，要用到弦心距、半徑和半弦構(gòu)成的直角三角形，也是通過勾股定理解得，有時(shí)還用到垂徑定理．(3)當(dāng)直線和圓相離時(shí)，常討論圓上的點(diǎn)到直線的距離問題，通常畫圖，利用數(shù)形結(jié)合來解決．知識點(diǎn)二：圓的切線方程的求法1、點(diǎn)在圓上，如圖．法一：利用切線的斜率與圓心和該點(diǎn)連線的斜率的乘積等于，即．法二：圓心到直線的距離等于半徑．2、點(diǎn)在圓外，則設(shè)切線方程：，變成一般式：，因?yàn)榕c圓相切，利用圓心到直線的距離等于半徑，解出．知識點(diǎn)詮釋：因?yàn)榇藭r(shí)點(diǎn)在圓外，所以切線一定有兩條，即方程一般是兩個(gè)根，若方程只有一個(gè)根，則還有一條切線的斜率不存在，務(wù)必要把這條切線補(bǔ)上．常見圓的切線方程：(1)過圓上一點(diǎn)的切線方程是；(2)過圓上一點(diǎn)的切線方程是．知識點(diǎn)三：求直線被圓截得的弦長的方法1、應(yīng)用圓中直角三角形：半徑，圓心到直線的距離，弦長具有的關(guān)系，這也是求弦長最常用的方法．2、利用交點(diǎn)坐標(biāo)：若直線與圓的交點(diǎn)坐標(biāo)易求出，求出交點(diǎn)坐標(biāo)后，直接用兩點(diǎn)間的距離公式計(jì)算弦長．知識點(diǎn)四：圓與圓的位置關(guān)系1、圓與圓的位置關(guān)系：(1)圓與圓相交，有兩個(gè)公共點(diǎn)；(2)圓與圓相切(內(nèi)切或外切)，有一個(gè)公共點(diǎn)；(3)圓與圓相離(內(nèi)含或外離)，沒有公共點(diǎn)．2、圓與圓的位置關(guān)系的判定：(1)代數(shù)法：判斷兩圓的方程組成的方程組是否有解．有兩組不同的實(shí)數(shù)解時(shí)，兩圓相交；有一組實(shí)數(shù)解時(shí)，兩圓相切；方程組無解時(shí)，兩圓相離．(2)幾何法：設(shè)的半徑為，的半徑為，兩圓的圓心距為．當(dāng)時(shí)，兩圓相交；當(dāng)時(shí)，兩圓外切；當(dāng)時(shí)，兩圓外離；當(dāng)時(shí)，兩圓內(nèi)切；當(dāng)時(shí)，兩圓內(nèi)含．知識點(diǎn)詮釋：判定圓與圓的位置關(guān)系主要是利用幾何法，通過比較兩圓的圓心距和兩圓的半徑的關(guān)系來確定，這種方法運(yùn)算量?。部衫么鷶?shù)法，但是利用代數(shù)法解決時(shí)，一是運(yùn)算量大，二是方程組僅有一解或無解時(shí)，兩圓的位置關(guān)系不明確，還要比較兩圓的圓心距和兩圓半徑的關(guān)系來確定．因此，在處理圓與圓的位置關(guān)系時(shí)，一般不用代數(shù)法．3、兩圓公共弦長的求法有兩種：方法一：將兩圓的方程聯(lián)立，解出兩交點(diǎn)的坐標(biāo)，利用兩點(diǎn)間的距離公式求其長．方法二：求出公共弦所在直線的方程，利用勾股定理解直角三角形，求出弦長．4、兩圓公切線的條數(shù)與兩個(gè)圓都相切的直線叫做兩圓的公切線，圓的公切線包括外公切線和內(nèi)公切線兩種．(1)兩圓外離時(shí)，有2條外公切線和2條內(nèi)公切線，共4條；(2)兩圓外切時(shí)，有2條外公切線和1條內(nèi)公切線，共3條；(3)兩圓相交時(shí)，只有2條外公切線；(4)兩圓內(nèi)切時(shí)，只有1條外公切線；(5)兩圓內(nèi)含時(shí)，無公切線．【典例例題】題型一：不含參數(shù)(含參數(shù))的直線與圓的位置關(guān)系例1．(2023·新疆克拉瑪依·高二克拉瑪依市高級中學(xué)?？计谥?直線與圓的位置關(guān)系是(

)A．相交 B．相切 C．相離 D．無法判斷例2．(2023·遼寧·高二校聯(lián)考期中)圓與直線的位置關(guān)系是(

)A．相交 B．相切 C．相離 D．不能確定例3．(2023·北京順義·高二北京市順義區(qū)第一中學(xué)校考期中)直線與圓的位置關(guān)系是(

)A．相交 B．相切 C．相離 D．都有可能例4．(2023·四川資陽·高二四川省資陽中學(xué)?？计谥?圓與直線的位置關(guān)系為(

)A．相離 B．相切 C．相交 D．以上都有可能例5．(2023·四川眉山·高二眉山中學(xué)校考期末)直線與圓的位置關(guān)系為(

)A．相交 B．相切 C．相離 D．與的值有關(guān)例6．(2023·北京東城·高二北京市第五中學(xué)?？计谥?已知直線與圓，則下列說法錯(cuò)誤的是(

)A．對，直線恒過一定點(diǎn)B．，使直線與圓相切C．對，直線與圓一定相交D．直線與圓相交且直線被圓所截得的最短弦長為例7．(2023·高二課時(shí)練習(xí))直線：與圓C：的位置關(guān)系為(

)A．相交或相切 B．相交或相離 C．相切 D．相交例8．(2023·河北邢臺·高二邢臺市第二中學(xué)校考期末)已知直線和圓，則直線與圓的位置關(guān)系為(

)A．相離 B．相切 C．相交 D．不能確定題型二：由直線與圓的位置關(guān)系求參數(shù)、求直線與圓的交點(diǎn)坐標(biāo)例9．(2023·高二單元測試)直線與圓沒有公共點(diǎn)，則的取值范圍是(

)A．或 B．C． D．或例10．(2023·高二課時(shí)練習(xí))若直線與圓相交，則(

)A． B． C． D．例11．(2023·高二?？颊n時(shí)練習(xí))過點(diǎn)的直線中，被圓截得的弦最長的直線的方程是(

)A． B．C． D．例12．(2023·河南商丘·高二商丘市實(shí)驗(yàn)中學(xué)校聯(lián)考期中)已知圓與直線相切，則實(shí)數(shù)(

)A．5 B．10 C．25 D．100例13．(2023·湖南長沙·高二?？计谥?關(guān)于的方程有兩解，則k的范圍為(

)A． B．C． D．例14．(2023·江蘇宿遷·高二統(tǒng)考期中)直線與曲線的交點(diǎn)個(gè)數(shù)為(

)A．0 B．1 C．2 D．3例15．(2023·云南昆明·高二?？计谥?直線y=0與圓C：x2+y2-2x-4y=0相交于A?B兩點(diǎn)，則△ABC的面積是(

)A．4 B．3 C．2 D．1題型三：切線與切線長問題例16．(2023·天津西青·高二天津市西青區(qū)楊柳青第一中學(xué)?？茧A段練習(xí))過點(diǎn)作圓的切線，則切線的方程為__________.例17．(2023·云南昆明·高二統(tǒng)考期末)圓在點(diǎn)處的切線方程為____________.例18．(2023·湖北·高二統(tǒng)考期末)直線l過且與圓相切，則直線l的方程為________．例19．(2023·北京·高二北京一七一中校考階段練習(xí))過點(diǎn)的圓的切線方程為_________________．例20．(2023·高二單元測試)經(jīng)過點(diǎn)作圓的切線，則切線的方程為_______.例21．(2023·上海楊浦·高二校考期中)由直線上一點(diǎn)向圓引切線，則切線長的最小值為______．例22．(2023·河北邢臺·高二統(tǒng)考期中)過點(diǎn)作圓的一條切線，切點(diǎn)為，則___________.例23．(2023·黑龍江綏化·高二校考期中)已知圓，直線，為直線上的動點(diǎn)，過作圓的切線，切點(diǎn)為，則四邊形的面積的最小值為________例24．(2023·高二單元測試)已知圓與直線相切，則___________.題型四：弦長問題例25．(2023·江蘇揚(yáng)州·高二統(tǒng)考開學(xué)考試)若直線與圓相交于兩點(diǎn)，則弦的長為______．例26．(2023·廣東深圳·高二深圳中學(xué)?？计谀?圓的一條弦以點(diǎn)為中點(diǎn)，則該弦的斜率為__．例27．(2023·湖南永州·高二統(tǒng)考期末)已知直線與圓交于，兩點(diǎn)，則__________．例28．(2023·云南昆明·高二昆明市第三中學(xué)校考階段練習(xí))設(shè)為實(shí)數(shù)，若直線與圓相交于M，N兩點(diǎn)，且，則_________.例29．(2023·新疆烏魯木齊·高二烏市一中?？计谥?設(shè)圓的圓心為，直線過，且與圓交于，兩點(diǎn)，若，則直線的方程為___________.例30．(2023·高二課時(shí)練習(xí))直線l經(jīng)過點(diǎn)P(5，5)且和圓C：相交，截得弦長為，則l的方程是______．題型五：判斷圓與圓的位置關(guān)系例31．(2023·江蘇揚(yáng)州·高二統(tǒng)考開學(xué)考試)圓與圓的位置關(guān)系為(

)．A．相交 B．內(nèi)切 C．外切 D．外離例32．(2023·安徽·高二池州市第一中學(xué)校聯(lián)考階段練習(xí))圓與圓的位置關(guān)系是(

)A．外離 B．外切 C．相交 D．內(nèi)切例33．(2023·廣東深圳·高二統(tǒng)考期末)已知圓與圓，則圓與圓的位置關(guān)系為(

)A．相交 B．外切 C．外離 D．內(nèi)含例34．(2023·廣東梅州·高二?？计谀?兩圓和的位置關(guān)系是(

)A．內(nèi)切 B．內(nèi)含 C．外切 D．外離例35．(2023·四川成都·高二校考期中)圓與圓的位置關(guān)系是(

)A．外切 B．內(nèi)切 C．相交 D．相離題型六：由圓的位置關(guān)系確定參數(shù)例36．(2023·廣西·高二校聯(lián)考期中)已知圓心在原點(diǎn)的單位圓和圓外切，________．例37．(2023·上海浦東新·高二統(tǒng)考期中)已知圓：和圓：外切，則實(shí)數(shù)m的值為_________.例38．(2023·遼寧沈陽·高二校聯(lián)考期末)已知圓，以點(diǎn)為圓心，半徑為r的圓與圓C有公共點(diǎn)，則r的取值范圍為______．例39．(2023·廣東清遠(yuǎn)·高二統(tǒng)考期末)已知兩圓與外離，則整數(shù)m的取值是______．例40．(2023·黑龍江佳木斯·高二富錦市第一中學(xué)?？茧A段練習(xí))圓和圓相切，則a＝______．題型七：公共弦與切點(diǎn)弦問題例41．(2023·全國·高二衛(wèi)輝一中校聯(lián)考階段練習(xí))已知圓：過圓：的圓心，則兩圓相交弦的方程為______.例42．(2023·黑龍江大慶·高二大慶實(shí)驗(yàn)中學(xué)?？计谀?圓與圓的公共弦所在直線方程為___________.例43．(2023·全國·高二合肥市第六中學(xué)校聯(lián)考開學(xué)考試)圓與圓的公共弦長為______．例44．(2023·廣東湛江·高二湛江二十一中?？计谥?已知圓和圓，則圓與圓的公共弦的弦長__________．例45．(2023·廣東廣州·高二廣州市第六十五中學(xué)?？计谥?過點(diǎn)作圓的兩條切線，設(shè)兩切點(diǎn)分別為A、B，則直線的方程為_________.例46．(2023·全國·高二專題練習(xí))過圓O:外一點(diǎn)作圓O的切線，切點(diǎn)分別為A、B，則___________.例47．(2023·重慶北碚·高二西南大學(xué)附中校考期中)過點(diǎn)向圓引兩條切線，切點(diǎn)為、，則________.題型八：公切線問題例48．(2023·高二課時(shí)練習(xí))到點(diǎn)、的距離分別為和的直線有________條．例49．(2023·四川資陽·高二四川省資陽中學(xué)?？计谥?已知圓與圓恰有兩條公切線，則實(shí)數(shù)的取值范圍________．例50．(2023·湖南益陽·高二校聯(lián)考階段練習(xí))圓和圓公切線的條數(shù)為__________．例51．(2023·廣東深圳·高二?？茧A段練習(xí))圓與圓的公切線方程為__________．例52．(2023·浙江金華·高二校聯(lián)考期末)已知圓與圓，則圓與圓的公切線方程是___________________．例53．(2023·遼寧沈陽·高二東北育才學(xué)校?？计谀?已知圓與圓，則圓與圓的公切線方程是___________.題型九：圓中范圍與最值問題例54．(2023·高二課時(shí)練習(xí))圓上恰好有兩點(diǎn)到直線的距離為，則實(shí)數(shù)的取值范圍是___________.例55．(2023·江西南昌·高二階段練習(xí))在平面直角坐標(biāo)系中，已知圓，直線(其中為常數(shù))．下列有關(guān)直線與圓的命題中正確命題的序號是________．①當(dāng)時(shí)，圓上有四個(gè)不同的點(diǎn)到直線的距離為1；②若圓上有四個(gè)不同的點(diǎn)到直線的距離為1，則；③若圓上恰有三個(gè)不同的點(diǎn)到直線的距離為1，則；④若圓上恰有兩個(gè)不同的點(diǎn)到直線的距離為1，則；⑤當(dāng)時(shí)，圓上只有一個(gè)點(diǎn)到直線的距離為1.例56．(2023·上海靜安·高二上海市新中高級中學(xué)校考期中)若圓上有四個(gè)點(diǎn)到直線的距離為，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是______．例57．(2023·高二課時(shí)練習(xí))已知圓，直線，點(diǎn)在直線l上．若存在圓C上的點(diǎn)Q，使得(O為坐標(biāo)原點(diǎn))，則的取值范圍是__________．例58．(2023·高二校考課時(shí)練習(xí))設(shè)圓：上有且僅有兩個(gè)點(diǎn)到直線的距離等于,則圓半徑的取值范圍是_________.例59．(2023·上海浦東新·高二華師大二附中?？计谥?平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知點(diǎn)，若直線l：上總存在P、Q兩點(diǎn)，使得恒成立，則線段PQ長度的取值范圍是_______例60．(2023·安徽阜陽·高二安徽省太和中學(xué)?？茧A段練習(xí))若直線與圓交于兩點(diǎn)，則面積的最大值為____.例61．(2023·高二單元測試)若在圓上運(yùn)動，則的最大值為___.例62．(2023·全國·高二專題練習(xí))已知實(shí)數(shù)x，y滿足方程，則(1)的最大值和最小值分別為________和________；(2)y－x的最大值和最小值分別為________和________；(3)的最大值和最小值分別為_______和_______．例63．(2023·貴州·高二校聯(lián)考階段練習(xí))已知圓：，為圓上任一點(diǎn)，則的最大值為________.例64．(2023·遼寧朝陽·高二北票市高級中學(xué)校考階段練習(xí))已知圓和兩點(diǎn)若圓C上存在點(diǎn)P，使得，則m的最大值為______.例65．(2023·廣西玉林·高二博白縣中學(xué)?？计谥?若直線與圓交于兩點(diǎn)，則面積的最大值為__________例66．(2023·四川成都·高二?？茧A段練習(xí))若直線與圓相交于兩點(diǎn)，則弦長的最小值為_______.例67．(2023·上海浦東新·高二上海市實(shí)驗(yàn)學(xué)校?？计谥?已知，是曲線上的動點(diǎn)，為直線上的一個(gè)動點(diǎn)，則的最小值為______.例68．(2023·福建福州·高二福建省連江第一中學(xué)校聯(lián)考期中)已知圓，為過的圓的切線，A為上任一點(diǎn)，過A作圓的切線AP，AQ，切點(diǎn)分別是P和Q，則四邊形APNQ的面積最小值是__________．題型十：圓系問題例69．(2023·高二課時(shí)練習(xí))求經(jīng)過點(diǎn)以及圓與交點(diǎn)的圓的方程________.例70．(2023·全國·高二專題練習(xí))求經(jīng)過圓與直線的交點(diǎn)且在軸上的弦長為的圓的方程．例71．(2023·江蘇·高二專題練習(xí))已知圓：與：相交于A、B兩點(diǎn)．(1)求公共弦AB所在的直線方程；(2)求圓心在直線y＝－x上，且經(jīng)過A、B兩點(diǎn)的圓的方程；(3)求經(jīng)過A、B兩點(diǎn)且面積最小的圓的方程．例72．過圓與的交點(diǎn)，且圓心在直線上的圓的方程是_______．例73．已知圓與圓相交于A、B兩點(diǎn)．(1)求公共弦AB所在直線方程；(2)求過兩圓交點(diǎn)A、B，且過原點(diǎn)的圓的方程．【過關(guān)測試】一、單選題1．(2023·江蘇南京·高二江蘇省江浦高級中學(xué)校聯(lián)考期中)直線被圓截得的弦長為1，則半徑(

)A． B． C．2 D．2．(2023·高二課時(shí)練習(xí))已知圓與圓，求兩圓的公共弦所在的直線方程(

)A． B．C． D．3．(2023·高二課時(shí)練習(xí))兩圓外切，則正實(shí)數(shù)r的值是(

)A． B． C． D．54．(2023·福建寧德·高二統(tǒng)考期中)已知，圓，圓，若直線過點(diǎn)且與圓相切，則直線被圓所截得的弦長為(

)A． B． C． D．5．(2023·浙江麗水·高二統(tǒng)考期末)若圓與圓外切，則實(shí)數(shù)(

)A．－1 B．1 C．1或4 D．46．(2023·高二課時(shí)練習(xí))若圓與圓外切，則＝(

)A．21 B．19 C．9 D．7．(2023·高二課時(shí)練習(xí))已知過圓外一點(diǎn)做圓的兩條切線，切點(diǎn)為兩點(diǎn)，求所在的直線方程為(

)A． B．C． D．8．(2023·河北石家莊·高二石家莊一中校考階段練習(xí))在平面直角坐標(biāo)系中，為坐標(biāo)原點(diǎn)，已知圓的半徑為3，直線，互相垂直，垂足為，且與圓相交于，兩點(diǎn)，與圓相交于，兩點(diǎn)，則四邊形的面積的最大值為(

)A．10 B．12 C．13 D．15二、多選題9．(2023·廣西·高二校聯(lián)考階段練習(xí))圓心在軸上，半徑為2，且與直線相切的圓的方程可能是(

)A． B．C． D．10．(2023·福建福州·高二福州三中?？计谥?已知圓和圓相交于A，B兩點(diǎn)，下列說法正確的是(

)A．圓M的圓心為，半徑為1B．直線的方程為C．線段的長為D．取圓M上的點(diǎn)，則的最大值為3611．(2023·甘肅蘭州·高二蘭大附中校考階段練習(xí))已知圓和圓，則下列結(jié)論正確的是(

)A．圓與圓外切B．直線與圓相切C．直線被圓所截得的弦長為2D．若分別為圓和圓上一點(diǎn)，則的最大值為1012．(2023·山東日照·高二?？茧A段練習(xí))實(shí)數(shù)x，y滿足，則的值可能為()A．