第18講 y=Asin(ωx+φ)（教師版）-2023年新高一（初升高）暑期數學銜接（新人教版）

第18講y=Asin(ωx+φ)三角恒等變換【學習目標】了解的實際意義，能借助圖象理解參數的意義，了解參數的變化對函數圖象的影響【基礎知識】一、參數A，ω，φ對函數y＝Asin(ωx＋φ)圖象的影響1.φ對函數y＝sin(x＋φ)，x∈R的圖象的影響2.ω(ω＞0)對y＝sin(ωx＋φ)的圖象的影響3.A(A＞0)對y＝Asin(ωx＋φ)的圖象的影響二、由函數y＝sinx的圖象得到函數y＝Asin(ωx＋φ)的圖象的途徑由函數y＝sinx的圖象通過變換得到y(tǒng)＝Asin(ωx＋φ)的圖象有兩種主要途徑：“eq\o(□,\s\up4(01))先平移后伸縮”與“eq\o(□,\s\up4(02))先伸縮后平移”．(1)先平移后伸縮(2)先伸縮后平移三、函數y＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0)的性質【考點剖析】考點一：左右平移變換例1．(2022學年貴州省黔東南州凱里市第一中學高一下學期期中)將函數的圖像向右平移個單位得到的圖像，則(

)A． B． C．0 D．【答案】B【解析】由題得，所以．故選B考點二：沿x軸方向的伸縮變換例2．(2022學年浙江省溫州市高一上學期期期末)已知函數，若特它的圖象向左平移個單位，再將橫坐標變?yōu)樵瓉淼谋?縱坐標不變)，則得到的函數解析式是(

)A． B．C． D．【答案】A【解析】由題意知，將函數圖象向左平移個單位，得，再將橫坐標變?yōu)樵瓉淼?縱坐標不變)，得，故選A考點三：沿y軸方向的伸縮變換例3．(2020-2021學年河北省石家莊市第二中學高一下學期3月教學銜接測量)將函數的圖象向左平移個單位長度，將所得圖象上所有點的橫坐標擴大為原來的2倍，再將所得圖象上所有點的縱坐標伸長到原來的2倍，得到函數的圖象，則下列說法不正確的是(

)A．函數的最小正周期為B．函數的單調遞減區(qū)間為C．直線是函數圖象的一條對稱軸D．函數圖象的一個對稱中心為點【答案】D【解析】將函數的圖象向左平移個單位長度，得到，將所得圖象上所有點的橫坐標擴大為原來的2倍，得，再將所得圖象上所有點的縱坐標伸長到原來的2倍，得到函數，則的最小正周期，故A正確，由，得，，即函數的單調遞減區(qū)間為，故B正確，是最大值，則直線是函數圖象的一條對稱軸，故C正確，D錯誤.故選D．考點四：y=Asin(ωx＋φ)的性質例4．(2022學年山西省長治市第四中學校高一上學期期末)設函數，則下列結論不正確的是(

)A．函數的值域是；B．點是函數的圖像的一個對稱中心；C．直線是函數的圖像的一條對稱軸；D．將函數的圖像向右平移個單位長度后，所得圖像對應的函數是偶函數．【答案】B【解析】因為，，所以，即函數的值域是，故A正確；因為，所以函數關于對稱，故B錯誤；因為，所以函數關于直線對稱，故C正確；將函數的圖像向右平移個單位長度得到為偶函數，故D正確；故選B考點五：三角變換與三角函數性質的交匯例5.(2022學年陜西省西安市長安區(qū)高一上學期期末)已知函數，則下列說法正確的有________.①的圖象可由的圖象向右平移個單位長度得到②在上單調遞增③在內有2個零點④在上的最大值為【答案】②③【解析】由函數，對于①中，將函數的圖象向右平移個單位長度，得到，所以①不正確；對于②中，令，解得，當時，可得，即函數在上單調遞增，所以函數在上單調遞增，所以②正確；對于③中，令，可得，解得，當時，可得；當時，可得，所以在內有2個零點，所以③正確；對于④中，由，可得，當時，即時，函數取得最大值，最大值為，所以④不正確.故答案為②③.考點六：由圖象確定函數解析式例6．(2022學年甘肅省定西市高一下學期統(tǒng)一檢測)函數的部分圖象如圖所示，將的圖象向右平移單位長度得到函數的圖象，則函數的解析式是(

)A．B．C．D．【答案】C【解析】由圖可知；設周期為，則，所以；又，所以.由，，令，得.所以；因為將的圖象向右平移單位長度得到函數的圖象，所以.故選C.【真題演練】1．(2022學年河南省駐馬店市高一下學期期中)要得到函數的圖像，只需將的圖像(

)A．向左平移個單位長度 B．向右平移個單位長度C．向左平移個單位長度 D．向右平移個單位長度【答案】B【解析】將的圖像向右平移個單位長度可得.故選B.2.(2020年高考數學課標Ⅰ卷理科)設函數在的圖像大致如下圖，則f(x)的最小正周期為 () ()A． B． C． D．【答案】C【解析】由圖可得：函數圖象過點，將它代入函數可得：又是函數圖象與軸負半軸的第一個交點，所以，解得：所以函數的最小正周期為，故選C3.(2022學年山東省濰坊市高一下學期5月優(yōu)秀生測試)關于函數有如下四個命題：甲：該函數在上單調遞減；乙：該函數圖象向左平移個單位長度得到一個偶函數；丙：該函數圖象的一條對稱軸方程為丁：該函數圖象的一個對稱中心為．如果只有一個假命題．則該命題是(

)A．甲 B．乙 C．丙 D．丁【答案】C【解析】設，若丙丁都正確，則且，但，故矛盾，所以丙丁中有一個是錯誤的，故甲乙都正確，函數的圖象向左平移個單位長度后所得圖象對應的解析式為：，因為平移后的圖象對應的函數為偶函數，故，故，若為偶數，則，當，，因為在為減函數，故在為減函數，符合，若為奇數，則，當，，因為在為減函數，故在為增函數，舍，故.而，故該函數圖象的對稱中心為，丙錯誤，，故該函數圖象的對稱中心為，丁正確.故選C4.(2021年高考全國甲卷理科)已知函數的部分圖像如圖所示，則滿足條件的最小正整數x為________．【答案】2【解析】由圖可知，即，所以；由五點法可得，即；所以．因為，；所以由可得或；因為，所以，方法一：結合圖形可知，最小正整數應該滿足，即，解得，令，可得，可得的最小正整數為2．方法二：結合圖形可知，最小正整數應該滿足，又，符合題意，可得的最小正整數為2．5.(多選)(2022學年山東省臨沂第一中學高一下學期6月月考)已知函數的最小正周期為，則下列說法正確的是(

)A．的圖象關于直線對稱B．在上單調遞減C．的圖象的一個對稱中心是D．將的圖象向右平移個單位長度得到函數的圖象【答案】AC【解析】由題意可得，所以，所以.對于A，由于，可知A正確；對于B，當，，，函數先增后減，故B錯誤；對于C，令，求得，故函數的圖象關于點中心對稱，故C正確；對于D，把的圖象向右平移個單位可得的圖象，故D不正確.故選AC.6.(多選)(2022學年遼寧省遼南協(xié)作體高一下學期期中)函數的部分圖像如圖所示，則下列結論正確的是(

)A．B．若把函數的圖像向左平移個單位，則所得函數是偶函數C．函數的圖像關于直線對稱D．若把函數圖像上所有點的橫坐標縮短為原來的倍，縱坐標不變，得到的函數在上是增函數【答案】AC【解析】對A，由圖，，則，故，所以，又，即，所以，即，因為，故，所以，故A正確；對B，把函數的圖像向左平移個單位可得為奇函數，故B錯誤；對C，當時，為的對稱軸，故C正確；對D，把函數圖像上所有點的橫坐標縮短為原來的倍，得到，當時，不為的增區(qū)間，故D錯誤；故選AC7.(2022學年吉林省長春市長春吉大附中實驗學校高一下學期期中)已知函數的部分圖象如圖所示，則的值為______．【答案】【解析】由圖象可知：，最小正周期，因為，所以，解得：，將，即代入解析式得：，解得：，因為，所以8.(2022學年山東省淄博市高一下學期期中)已知的最小正周期為，圖像關于直線對稱.(1)求函數的解析式；(2)將的圖像上所有點向左平移個單位長度，再將得到的圖像上每個點的橫坐標縮短到原來的(縱坐標不變)，得到函數的圖像，求的單調遞增區(qū)間．【解析】(1)因為的最小正周期為，所以；因為圖像關于直線對稱，所以，即，因為，所以；所以.(2)由題意得；，，即，；所以的單調遞增區(qū)間為.【過關檢測】1.(2022學年青海省海南藏族自治州高級中學高一上學期期末)簡諧運動可用函數表示，則這個簡諧運動的初相為(

)A． B． C． D．【答案】B【解析】由初相定義可知，當時的相位稱為初相，所以，函數的初相為.故選B2.為了得到函數的圖象，只需將函數的圖象(

)A．向右平移個單位長度 B．向左平移個單位長度C．向右平移個單位長度 D．向左平移個單位長度【答案】D【解析】函數；將函數的圖象向左平移個單位長度得到，故選D．3.(2022學年北京市第三十五中學高一下學期期中)已知函數的圖象如圖所示，則函數的解析式的值為(

)A． B．C． D．【答案】A【解析】由圖象可知：，所以，解得：，將點代入解析式得：，所以，因為，所以，此時，故選A4.(2022學年重慶市西南大學附屬中學校高一下學期期中)已知函數，下列結論錯誤的是(

)A．的值域為B．的圖象關于直線對稱C．的圖象關于點對稱D．的圖象可由函數圖象上所有點的縱坐標不變，橫坐標變?yōu)樵瓉淼?倍得到【答案】C【解析】A：因為，所以，即的值域為，故A正確；B：當時，為最小值，故函數的圖象關于對稱，故B正確；C：若函數的圖象關于對稱，由，得其一條對稱軸為，當時，，不是最值，所以不是函數的對稱軸，即函數不關于對稱，故C錯誤；D：將函數圖象縱坐標不變，橫坐標變?yōu)樵瓉淼?倍得到，故D正確.故選C5.(多選)(2022學年甘肅省張掖市高臺縣第一中學高一下學期4月月考)要得到函數的圖象，只需將函數圖象上所有點的坐標(

)A．向右平移個單位長度，再將橫坐標縮短到原來的倍(縱坐標不變)B．向左平移個單位長度，再將橫坐標縮短到原來的倍(縱坐標不變)C．橫坐標縮短到原來的倍(縱坐標不變)，再向左平移個單位長度D．橫坐標縮短到原來的倍(縱坐標不變)，再向右平移個單位長度【答案】BC【解析】函數的圖象向左平移個長度單位，得，再將橫坐標縮短為原來的倍(縱坐標不變)，得；函數圖象將橫坐標縮短為原來的倍(縱坐標不變)，得，再向左平移個長度單位，得，即.故選BC6.(多選)(2022學年貴州省六枝特區(qū)高一下學期期中)函數的圖像如圖，把函數的圖像上所有的點向右平移個單位長度，可得到函數的圖像，下列結論正確的是(

)A．B．函數的單調遞減區(qū)間為，C．函數在區(qū)間上單調遞增D．直線是函數的一條對稱軸【答案】BC【解析】根據圖形可得：，則，∴圖像過點，即∵，則或當時，不是最大值，不合題意當時，，符合題意，則，A錯誤；，，則∴函數的單調遞減區(qū)間為，，B正確；∵，則∴函數在區(qū)間上單調遞增，C正確；不是最值，D錯誤；故選BC．7.(2022學年山東省濟寧市泗水縣高一下學期期中)關于函數，下列命題中是真命題的為(

)A．為偶函數B．要得到函數的圖象，只需將的圖象向右平移個單位長度C．的圖象關于直線對稱D．在內的增區(qū)間為和【答案】BC【解析】對于A選項，，所以，函數為非奇非偶函數，A錯；對于B選項，因為，所以，要得到函數的圖象，只需將的圖象向右平移個單位長度，B對；對于C選項，因為，所以，的圖象關于直線對稱，C對；對于D選項，由，解得，記，，所以，函數在內的增區(qū)間為、和，D錯.故選BC.8.(2022學年山東省臨沂市羅莊區(qū)高一下學期期中)將函數()圖象向左平移個單位長度后得到函數的圖象，若直線是的圖象的一條對稱軸，則_________.【答案】【解析】，因為是的圖象的一條對稱軸，所以，，解得：，因為，所以時，符合要求，所以.9．(2022學年浙江省衢州市高一下學期6月教學質量檢測)已知函數(1)求函數的最小正周期及單調遞增區(qū)間；(2)把的圖像向左平移個單位長度，得到函數的圖像，已知關于x的方程在上有兩個不同的解.①求實數m的取值范圍；②證明：.【解析】(1)∴函數的最小正周期又∵，即函數的單調遞增區(qū)間(2)①由題意可得且方程在上有兩個不同的解∵，則∴結合正弦函數可得②結合正弦函數對稱性可得且即