新高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)專題九計(jì)數(shù)原理、概率與統(tǒng)計(jì)微專題一概率與函數(shù)綜合問題練習(xí)含答案

微專題一概率與函數(shù)綜合問題1.(2024湖南邵陽第二次聯(lián)考,16)為了選拔創(chuàng)新型人才,某大學(xué)對(duì)高三年級(jí)學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)科和物理學(xué)科進(jìn)行了檢測(檢測分為初試和復(fù)試),共有4萬名學(xué)生參加初試.組織者隨機(jī)抽取了200名學(xué)生的初試成績,繪制了頻率分布直方圖,如圖所示.(1)根據(jù)頻率分布直方圖,求a的值及樣本平均數(shù)的估計(jì)值;(2)若所有學(xué)生的初試成績X近似服從正態(tài)分布N(μ,σ2),其中μ為樣本平均數(shù)的估計(jì)值,σ=10.5.規(guī)定初試成績不低于90分的學(xué)生才能參加復(fù)試,試估計(jì)能參加復(fù)試的人數(shù);(3)復(fù)試筆試試題包括兩道數(shù)學(xué)題和一道物理題,已知小明進(jìn)入了復(fù)試,且在復(fù)試筆試中答對(duì)每一道數(shù)學(xué)題的概率均為x,答對(duì)物理題的概率為y.若小明全部答對(duì)的概率為18,答對(duì)兩道題的概率為P,求概率P的最小值附:若隨機(jī)變量X服從正態(tài)分布N(μ,σ2),則P(μ-σ≤X≤μ+σ)≈0.6827,P(μ-2σ≤X≤μ+2σ)≈0.9545,P(μ-3σ≤X≤μ+3σ)≈0.9973.解析(1)∵10×(0.012+0.026+0.032+a+0.010)=1,∴a=0.02.樣本平均數(shù)的估計(jì)值為50×0.12+60×0.26+70×0.32+80×0.2+90×0.1=69.(2)∵μ=69,σ=10.5,∴P(X≥90)=P(X≥μ+2σ)≈1?0.95452=0.02275∴能參加復(fù)試的人數(shù)約為40000×0.02275=910.(3)由題意有x2y=18答對(duì)兩道題的概率P=x2(1-y)+C21x(1-x)y=x2+2xy-3x2y=x2+14令f(x)=x2+14x-38(0<x≤1),則f'(x)=2x-1∴當(dāng)x∈0,12時(shí),f'(x)<0,f(x)在0,當(dāng)x∈12,1時(shí),f'(x)>0,f(x)在1∴當(dāng)x=12時(shí),f(x)min=38.故概率P的最小值為2.(2024湖北武漢漢陽部分學(xué)校一模,17)某校為了豐富課余活動(dòng),同時(shí)訓(xùn)練學(xué)生的邏輯思維能力,在高中三個(gè)年級(jí)舉辦中國象棋比賽,經(jīng)過各年級(jí)初賽,高一、高二、高三分別有3人,4人,5人進(jìn)入決賽,決賽采取單循環(huán)方式,即每名隊(duì)員與其他隊(duì)員都要進(jìn)行1場比賽(每場比賽都采取5局3勝制,初賽、決賽的賽制相同,記分方式相同),最后根據(jù)積分選出冠軍,積分規(guī)則如下:比賽中以3∶0或3∶1取勝的隊(duì)員積3分,失敗的隊(duì)員積0分;而在比賽中以3∶2取勝的隊(duì)員積2分,失敗的隊(duì)員積1分.(1)從進(jìn)入決賽的12人中隨機(jī)抽取2人進(jìn)行表演賽,這2人恰好來自不同年級(jí)的概率是多少?(2)初賽時(shí),高三甲、乙兩同學(xué)對(duì)局,設(shè)每局比賽甲取勝的概率均為p(0<p<1),記甲以3∶1取勝的概率為f(p),當(dāng)f(p)最大時(shí),甲處于最佳競技狀態(tài).在決賽階段甲、乙對(duì)局,而且甲的競技狀態(tài)最佳,求甲所得積分X的分布列及期望.解析(1)由題意可知這2人恰好來自不同年級(jí)的概率是P=C31C(2)由題意可知f(p)=C32p2(1-p)p=3p3-3p4,(提示:以3∶1取勝需滿足前3局勝2局,第4所以f'(p)=3p2(3-4p),顯然34<p<1時(shí),f'(p)<0,即f(p)單調(diào)遞減0<p<34時(shí),f'(p)>0,即f(p)單調(diào)遞增則p=34時(shí),f(p)取得最大值由題意可知X的可能取值為3,2,1,0,則P(X=3)=343+C32342P(X=2)=C42×342×1?3P(X=1)=C42×342×1?3P(X=0)=1?343+C31×34×則X的分布列為X0123P132781189所以E(X)=0×13256+1×27512+2×81512+3×1893.(2024浙江杭州二模,19)在概率統(tǒng)計(jì)中,常常用頻率估計(jì)概率.已知袋中有若干個(gè)紅球和白球,有放回地隨機(jī)摸球n次,紅球出現(xiàn)m次.假設(shè)每次摸出紅球的概率為p,根據(jù)頻率估計(jì)概率的思想,則每次摸出紅球的概率p的估計(jì)值為p^=m(1)若袋中這兩種顏色球的個(gè)數(shù)之比為1∶3,不知道哪種顏色的球多.有放回地隨機(jī)摸取3個(gè)球,設(shè)摸出的球?yàn)榧t球的次數(shù)為Y,則Y~B(3,p).(注:Pp(Y=k)表示當(dāng)每次摸出紅球的概率為p時(shí),摸出紅球次數(shù)為k的概率)(i)完成下表:k0123P14(Y=271P34(Y=927(ii)在統(tǒng)計(jì)理論中,把使得Pp(Y=k)的取值達(dá)到最大時(shí)的p,作為p的估計(jì)值,記為p^,請(qǐng)寫出p^(2)把(1)中“使得Pp(Y=k)的取值達(dá)到最大時(shí)的p作為p的估計(jì)值p^”的思想稱為最大似然原理.基于最大似然原理的最大似然參數(shù)估計(jì)方法稱為最大似然估計(jì)具體步驟:先對(duì)參數(shù)θ構(gòu)建對(duì)數(shù)似然函數(shù)l(θ),再對(duì)其關(guān)于參數(shù)θ求導(dǎo),得到似然方程l'(θ)=0,最后求解參數(shù)θ的估計(jì)值.已知Y~B(n,p)的參數(shù)p的對(duì)數(shù)似然函數(shù)為l(p)=i=1nXilni=1npi=1n+(1-Xi)ln(1-p),其中Xi=0,第i次摸出白球,解析(1)因?yàn)榇羞@兩種顏色球的個(gè)數(shù)之比為1∶3,且Y~B(3,p),所以p的值為14或3(i)當(dāng)p=14時(shí),P14(Y=1)=C31p1(1-p)2=2764,P14(Y=2)=C3當(dāng)p=34時(shí),P34(Y=0)=C30p0(1-p)3=164,P34(Y=2)=C32表格為k0123P14(272791P34(192727(ii)由(i)中表可知Pp(Y=k)=C3kpk(1-p)3-當(dāng)Y=0或1時(shí),參數(shù)p=14的概率最大;當(dāng)Y=2或3時(shí),參數(shù)p=34所以p^=(2)對(duì)l(p)=i=1nXilnp+i=1n(1-Xi)ln(1-p)求導(dǎo)得l'(p)=1pi=1nX令1pi=1nXi-11?pi即1?pp=i=1n(1?X故p=1ni=1nXi,即當(dāng)p∈0,1ni=1當(dāng)p∈1ni=1nXi,1時(shí)故l(p)在0,1ni=1nXi上單調(diào)遞增,在1ni=1nXi,1上單調(diào)遞減,即當(dāng)p=1ni=1因此,用最大似然估計(jì)的參數(shù)p^與頻率估計(jì)概率的p^是一致的,4.(2024廣東廣州一模,19)某校開展科普知識(shí)團(tuán)隊(duì)接力闖關(guān)活動(dòng),該活動(dòng)共有兩關(guān),每個(gè)團(tuán)隊(duì)由n(n≥3,n∈N*)位成員組成,成員按預(yù)先安排的順序依次上場,具體規(guī)則如下:若某成員第一關(guān)闖關(guān)成功,則該成員繼續(xù)闖第二關(guān),否則該成員結(jié)束闖關(guān)并由下一位成員接力去闖第一關(guān);若某成員第二關(guān)闖關(guān)成功,則該團(tuán)隊(duì)接力闖關(guān)活動(dòng)結(jié)束,否則該成員結(jié)束闖關(guān)并由下一位成員接力去闖第二關(guān);當(dāng)?shù)诙P(guān)闖關(guān)成功或所有成員全部上場參加了闖關(guān),該團(tuán)隊(duì)接力闖關(guān)活動(dòng)結(jié)束.已知某團(tuán)隊(duì)每位成員闖過第一關(guān)和第二關(guān)的概率分別為34和12,且每位成員闖關(guān)是否成功互不影響,(1)若n=3,用X表示該團(tuán)隊(duì)闖關(guān)活動(dòng)結(jié)束時(shí)上場闖關(guān)的成員人數(shù),求X的均值;(2)記該團(tuán)隊(duì)第k(1≤k≤n-1,k∈N*)位成員上場且闖過第二關(guān)的概率為pk,集合k∈N*pk<3128中元素的最小值為k0,規(guī)定團(tuán)隊(duì)人數(shù)n=k0+1,求n.解析(1)依題意,知X的所有可能取值為1,2,3,P(X=1)=34×12=38,P(X=2)=14×38+34×12×12=932,P(X所以X的分布列為X123P3911數(shù)學(xué)期望E(X)=1×38+2×932+3×1132(2)由題意第k(1≤k≤n-1,k∈N*)位成員上場且闖過第二關(guān)的概率為pk.依據(jù)“哪位成員成功闖過第一關(guān)”對(duì)所求事件A:“團(tuán)隊(duì)第k位成員上場闖過第二關(guān)”進(jìn)行分類,記“第i(1≤i≤k)位成員成功闖過第一關(guān)且第k位成員闖過第二關(guān)”為事件Ai,則A=Ak+Ak-1+…+A1,A1表示第1位成員成功闖過第一關(guān),且第1~(k-1)位成員均沒有闖過第二關(guān),最后由第k位成員闖過第二關(guān),則P(A1)=34·1?12k?1·1同理,P(A2)=1?34·34·1?12k?2P(A3)=1?342·34·1?12k……Ai表示第1~(i-1)位成員沒有闖過第一關(guān),由第i位成員闖過第一關(guān),然后第i~(k-1)位成員均沒有闖過第二關(guān),最后第k位成員闖過第二關(guān),則P(Ai)=1?34i?1·34·1?12……Ak-1表示第1~(k-2)位成員沒有闖過第一關(guān),然后第(k-1)位成員闖過第一關(guān),沒有闖過第二關(guān),最后第k位成員闖過第二關(guān),則P(Ak-1)=1?34k?2·34·1?12Ak表示第1~