新高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)專題命題點(diǎn)9計(jì)數(shù)原理、概率與統(tǒng)計(jì)練習(xí)含答案

命題點(diǎn)9計(jì)數(shù)原理、概率與統(tǒng)計(jì)預(yù)測說明計(jì)數(shù)原理作為高考的常考內(nèi)容,可單獨(dú)考查,也會(huì)與古典概型結(jié)合考查.概率與統(tǒng)計(jì)是高考考查的熱點(diǎn),各種題型均有涉及,通常以實(shí)際生活為背景命題.主要考查古典概型、相互獨(dú)立事件的概率、條件概率、離散型隨機(jī)變量的分布列和數(shù)學(xué)期望、獨(dú)立性檢驗(yàn)等問題,同時(shí)注重概率與統(tǒng)計(jì)、概率與其他知識(如數(shù)列和函數(shù))結(jié)合的綜合問題.命題方向:1.二項(xiàng)式定理的應(yīng)用,考查特定項(xiàng)的系數(shù)、系數(shù)和的性質(zhì)等.2.統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)的分析,多以統(tǒng)計(jì)圖表形式提供數(shù)據(jù),并對數(shù)據(jù)的數(shù)字特征進(jìn)行分析;統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)的數(shù)字特征與回歸分析,獨(dú)立性檢驗(yàn)等的綜合.3.計(jì)數(shù)原理、概率與統(tǒng)計(jì)等知識相結(jié)合,考查隨機(jī)變量的分布列和均值、獨(dú)立事件的概率、條件概率、二項(xiàng)分布和正態(tài)分布等.4.統(tǒng)計(jì)與概率和函數(shù)、數(shù)列、不等式等內(nèi)容結(jié)合,這有可能成為新的命題熱點(diǎn).預(yù)測探究識透高頻考點(diǎn)1.(2024重慶八中5月模擬,7)已知盤子A中有3顆糖,盤子B中有4顆糖,小琨每次隨機(jī)從其中一個(gè)盤子中選擇吃一顆糖,直到7顆糖全部吃完為止,則盤子A中的糖先吃完的概率為(C)A.714B.916C.21322.(多選)(2024廣東佛山質(zhì)檢(二),11)在一個(gè)有限樣本空間中,假設(shè)P(A)=P(B)=P(C)=13,且A與B相互獨(dú)立,A與C互斥,則(BCD)A.P(A∪B)=2B.P(C|A)=2P(A|C)C.P(C|AB)=1D.若P(C|B)+P(C|B)=12,則B與C3.(2024山東省實(shí)驗(yàn)中學(xué)模擬,12)已知(ax-2)1+1x4的展開式中常數(shù)項(xiàng)為-2,則實(shí)數(shù)a的值為4.(2024廣東深圳二模,17)某大型企業(yè)準(zhǔn)備把某一型號的零件交給甲工廠或乙工廠生產(chǎn).經(jīng)過調(diào)研和試生產(chǎn),質(zhì)檢人員抽樣發(fā)現(xiàn):甲工廠試生產(chǎn)的一批零件的合格品率為94%;乙工廠試生產(chǎn)的另一批零件的合格品率為98%;若將這兩批零件混合放在一起,則合格品率為97%.(1)從混合放在一起的零件中隨機(jī)抽取3個(gè),用頻率估計(jì)概率,記這3個(gè)零件中來自甲工廠的個(gè)數(shù)為X,求X的分布列和數(shù)學(xué)期望;(2)為了爭取獲得該零件的生產(chǎn)訂單,甲工廠提高了生產(chǎn)該零件的質(zhì)量指標(biāo).已知在甲工廠提高質(zhì)量指標(biāo)的條件下,該大型企業(yè)把零件交給甲工廠生產(chǎn)的概率,大于在甲工廠不提高質(zhì)量指標(biāo)的條件下,該大型企業(yè)把零件交給甲工廠生產(chǎn)的概率.設(shè)事件A=“甲工廠提高了生產(chǎn)該零件的質(zhì)量指標(biāo)”,事件B=“該大型企業(yè)把零件交給甲工廠生產(chǎn)”,已知0<P(B)<1,證明:P(A|B)>P(A|B).基礎(chǔ)知識運(yùn)用離散型隨機(jī)變量的分布列和數(shù)學(xué)期望;條件概率公式解析(1)設(shè)甲工廠試生產(chǎn)的這批零件有m件,乙工廠試生產(chǎn)的這批零件有n件,事件M=“混合放在一起零件來自甲工廠”,事件N=“混合放在一起零件來自乙工廠”,事件C=“混合放在一起的某一零件是合格品”,則P(M)=mm+n,P(N)P(C)=P(C|M)P(M)+P(C|N)P(N)=94%×mm+n+98%×nm+n=97%所以P(M)=mm+nX的可能取值為0,1,2,3,X~B3,1P(X=0)=C301P(X=1)=C311P(X=2)=C321P(X=3)=C331所以X的分布列為X0123P272791數(shù)學(xué)期望E(X)=3×14=3(2)證明:因?yàn)樵诩坠S提高質(zhì)量指標(biāo)的條件下,該大型企業(yè)把零件交給甲工廠生產(chǎn)的概率,大于在甲工廠不提高質(zhì)量指標(biāo)的條件下,該大型企業(yè)把零件交給甲工廠生產(chǎn)的概率,所以P(B|A)>P(B|A),即P(AB)因?yàn)镻(A)>0,P(A)>0,所以P(AB)P(A)>P(AB)P(A).因?yàn)镻(A)=1-P(A),P(AB)=P(B)-P(AB),所以P(AB)(1-P(A))>(P(B)-P(AB))P(A),即P(AB)>P(A)P(B),所以P(AB)-P(AB)P(B)>P(A)P(B)-P(AB)P(B),即P(AB)(1-P(B))>P(B)(P(A)-P(AB)).又因?yàn)?-P(B)=P(B),P(A)-P(AB)=P(AB),所以P(AB)P(B)>P(B)P(AB).因?yàn)?<P(B)<1,0<P(B)<1,所以P(AB)即得證P(A|B)>P(A|B).5.(2024湖南長沙長郡中學(xué)適應(yīng)性測試(四),16)為了研究學(xué)生每天整理數(shù)學(xué)錯(cuò)題情況,某課題組在某市中學(xué)生中隨機(jī)抽取了100名學(xué)生,調(diào)查他們期中考試的數(shù)學(xué)成績和平時(shí)整理數(shù)學(xué)錯(cuò)題情況,并繪制了兩個(gè)統(tǒng)計(jì)圖,圖1為學(xué)生期中考試數(shù)學(xué)成績的頻率分布直方圖,圖2為學(xué)生一個(gè)星期內(nèi)整理數(shù)學(xué)錯(cuò)題天數(shù)的扇形圖.若本次數(shù)學(xué)成績在110分及以上視為優(yōu)秀,將一個(gè)星期內(nèi)有4天及以上整理數(shù)學(xué)錯(cuò)題視為“經(jīng)常整理”,少于4天視為“不經(jīng)常整理”.已知數(shù)學(xué)成績優(yōu)秀的學(xué)生中,經(jīng)常整理錯(cuò)題的學(xué)生占70%.整理錯(cuò)題情況數(shù)學(xué)成績優(yōu)秀數(shù)學(xué)成績不優(yōu)秀合計(jì)經(jīng)常整理不經(jīng)常整理合計(jì)(1)求圖1中m的值以及學(xué)生期中考試數(shù)學(xué)成績的上四分位數(shù);(2)根據(jù)圖1、圖2中的數(shù)據(jù),補(bǔ)全上方2×2列聯(lián)表,并根據(jù)小概率值α=0.05的獨(dú)立性檢驗(yàn),分析數(shù)學(xué)成績優(yōu)秀與經(jīng)常整理數(shù)學(xué)錯(cuò)題是否有關(guān)?(3)用頻率估計(jì)概率,在全市中學(xué)生中按“經(jīng)常整理錯(cuò)題”與“不經(jīng)常整理錯(cuò)題”進(jìn)行分層隨機(jī)抽樣,隨機(jī)抽取5名學(xué)生,再從這5名學(xué)生中隨機(jī)抽取2人進(jìn)行座談.求這2名同學(xué)中經(jīng)常整理錯(cuò)題且數(shù)學(xué)成績優(yōu)秀的人數(shù)X的分布列和數(shù)學(xué)期望.附:χ2=n(α0.100.050.0250.0100.0050.001xα2.7063.8415.0246.6357.87910.828綜合知識考查統(tǒng)計(jì)圖表;獨(dú)立性檢驗(yàn);分布列和數(shù)學(xué)期望解析(1)由題意可得(0.0025+0.005+0.0175+m+0.01)×20=1,解得m=0.015,因?yàn)?0.0025+0.005+0.0175)×20=0.5,(0.0025+0.005+0.0175+0.015)×20=0.8,所以學(xué)生期中考試數(shù)學(xué)成績的上四分位數(shù)在區(qū)間[110,130)內(nèi),所以學(xué)生期中考試數(shù)學(xué)成績的上四分位數(shù)為110+20×0.75?0.50.3=3803(2)數(shù)學(xué)成績優(yōu)秀的有100×50%=50人,不優(yōu)秀的有100×50%=50人,經(jīng)常整理錯(cuò)題的有100×(40%+20%)=60人,不經(jīng)常整理錯(cuò)題的有100-60=40人,經(jīng)常整理錯(cuò)題且成績優(yōu)秀的有50×70%=35人,則2×2列聯(lián)表為整理錯(cuò)題情況數(shù)學(xué)成績優(yōu)秀數(shù)學(xué)成績不優(yōu)秀合計(jì)經(jīng)常整理352560不經(jīng)常整理152540合計(jì)5050100零假設(shè)為H0:數(shù)學(xué)成績優(yōu)秀與經(jīng)常整理數(shù)學(xué)錯(cuò)題無關(guān),χ2=100×(35×25?15×25)250×50×60×40=256>3.841=x根據(jù)小概率值α=0.05的獨(dú)立性檢驗(yàn),我們推斷H0不成立,即認(rèn)為數(shù)學(xué)成績優(yōu)秀與經(jīng)常整理數(shù)學(xué)錯(cuò)題有關(guān)聯(lián),此推斷犯錯(cuò)誤的概率不大于0.05.(3)由分層隨機(jī)抽樣知,隨機(jī)抽取的5名學(xué)生中經(jīng)常整理錯(cuò)題的有3人,不經(jīng)常整理錯(cuò)題的有2人,則X的可能取值為0,1,2,經(jīng)常整理錯(cuò)題的3名學(xué)生中,恰抽到k人記為事件Ak(k=0,1,2),則P(Ak)=C3k·C22?kC參與座談的2名學(xué)生中經(jīng)常整理錯(cuò)題且數(shù)學(xué)成績優(yōu)秀的恰好抽到m人記為事件Bm(m=0,1,2),則P(B0|A0)=1,P(B0|A1)=512,P(B0|A2)=5122=25144,P(B1|A1)=712,P(B1|A2)=C21P(B2|A2)=7122=P(X=0)=P(A0)·P(B0|A0)+P(A1)·P(B0|A1)+P(A2)·P(B0|A2)=C22C52×1+C31C2P(X=1)=P(A1)P(B1|A1)+P(A2)P(B1|A2)=C31C21C52×P(X=2)=P(A2)·P(B2|A2)=C32C52故X的分布列如下:X012P19323849所以E(X)=0×193480+1×238480+2×49480=0悟透新型考法(2024河北邯鄲三模,17)2021年教育部印發(fā)的《進(jìn)一步加強(qiáng)中小學(xué)生體質(zhì)健康管理工作的通知》中提出,中小學(xué)校要保障學(xué)生每天校內(nèi)、校外各1小時(shí)體育活動(dòng)時(shí)間,每天統(tǒng)一安排30分鐘的大課間體育活動(dòng).一學(xué)校某體育項(xiàng)目測試有40%的人滿分,而該校有20%的學(xué)生每天運(yùn)動(dòng)時(shí)間超過兩個(gè)小時(shí),這些人體育項(xiàng)目測試滿分率為50%.(1)從該校隨機(jī)抽取三人,三人中體育項(xiàng)目測試相互獨(dú)立,求三人中滿分人數(shù)的分布列和期望;(2)現(xiàn)從每天運(yùn)動(dòng)時(shí)間不超過兩個(gè)小時(shí)的學(xué)生中任意調(diào)查一名學(xué)生,求他體育項(xiàng)目測試滿分的概率;(3)體育測試前甲、乙、丙三人傳球做熱身訓(xùn)練,每次傳球,傳球者等可能地將球傳給另外兩個(gè)人中的任何一人,第1次由甲將球傳出,求第n次傳球后球在乙手中的概率.創(chuàng)新考法概率與數(shù)列相結(jié)合解析(1)從該校隨機(jī)抽取三人,每個(gè)人滿分的概率為40%.設(shè)抽取的三人中滿分人數(shù)為X,則X=0,1,2,3.則P(X=0)=1?253P(X=1)=C312P(X=2)=C322P(X=3)=C332則X的分布列為X0123P2754368因?yàn)閄~B3,2所以數(shù)學(xué)期望E(X)=3×25=6(2)用A表示事件“抽到每天運(yùn)動(dòng)時(shí)間超過兩個(gè)小時(shí)的學(xué)生”,則P(A)=20%,P(A)=1-20%=80%.用B表示事件“抽到體育項(xiàng)目測試滿分的學(xué)生”,則P(B)=40%,P(B|A)=50%.又P(AB)=P(A)P(B|A)=20%×50%=10%,P(B)=P(AB)+P(AB)=10%+P(AB)=40%,故P(AB)=30%.P(B|A)=P(AB)P(3)記An表示事件“經(jīng)過n次傳球后,球在乙的手中”,設(shè)n次傳球后球在乙手中的概率為pn,n∈N*,則有p1=12,An+1=AnAn+1+AnAn所以pn+1=P(AnAn+1+AnAn+1=P(AnAn+1)+P(AnAn+1=P(An)P(An+1|An)+P(An)P(An+1|A=(1-pn)·12+pn=12(1-pn即pn+1=-12pn+12,n∈N所以pn+1-13=-12pn?13,且所以pn?13是以16為首項(xiàng)所以pn-13=16×所以pn=16×?12n?1即n次傳球后球在乙手中的概率是13參透創(chuàng)新情境(2024湖北武漢武昌5月質(zhì)檢,19)利用方程的方法可以將無限循環(huán)小數(shù)化為分?jǐn)?shù),例如將0.3·1·化為分?jǐn)?shù)的方法如下:設(shè)0.3·1·=x,則31.3·1·=100x,即31+x=100x,解得0已知甲、乙兩人進(jìn)行乒乓球比賽,每局比賽甲獲勝的概率為23,乙獲勝的概率為13,每局比賽的結(jié)果互不影響.規(guī)定:凈勝m局指的是一方比另一方多勝m(1)如果約定先獲得凈勝兩局者獲勝,求恰好4局結(jié)束比賽的概率.(2)如果約定先獲得凈勝三局者獲勝,那么在比賽過程中,甲可能凈勝i(i=-3,-2,-1,0,1,2,3)局,設(shè)甲在凈勝i局時(shí),繼續(xù)比賽甲獲勝的概率為Pi,比賽結(jié)束(甲、乙有一方先凈勝三局)時(shí)需進(jìn)行的局?jǐn)?shù)為Xi,期望為E(Xi).(i)求甲獲勝的概率P0;(ii)求E(X0).創(chuàng)新情境利用無限過程的方程求解思想,解決題設(shè)問題解析(1)若4局結(jié)束比賽時(shí)甲獲勝,則在前2局甲、乙各勝一局,并且第3,4局甲勝.概率為C21×23×13×若4局結(jié)束比賽時(shí)乙獲勝,則在前2局甲、乙各勝一局,并且第3,4局乙勝.概率為C21×23×13×所以恰好4局結(jié)束比賽的概率為1681+481=(2)(i)在甲凈勝-2局的前提下,繼續(xù)比賽一局:若甲贏,則甲的狀態(tài)變?yōu)閮魟?1局,繼續(xù)比賽獲勝的概率為P-1;若甲輸,則甲的狀態(tài)變?yōu)閮魟?3局,比賽結(jié)束.根據(jù)全概率公式,得P-2=23P-1同理P-1=23P0+13P-2,P0=23P1+13P-1,P1=23P2+13P0,P2=聯(lián)立解得P0=89,