新高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)真題分類(lèi)3-2利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性極值和最值練習(xí)含答案

3.2利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、極值和最值考點(diǎn)1導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的單調(diào)性1.（2023課標(biāo)II，6）已知函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，則a的最小值為（）．A. B.e C. D.【答案】C【解析】依題可知，在上恒成立，顯然，所以，設(shè)，所以，所以在上單調(diào)遞增，，故，即，即a的最小值為．故選：C．2.(2022全國(guó)甲,理6,文8,5分)當(dāng)x=1時(shí),函數(shù)f(x)=alnx+bx取得最大值-2則f'(2)=()A.-1B.-12答案Bf'(x)=ax由題可知x=1為f(x)的極大值點(diǎn),∴f'(1)=0,f(1)=?2,∴∴f'(x)=?2x+2x2,∴f'(2)=-1解后反思:若定義域?yàn)殚_(kāi)區(qū)間的函數(shù)存在最值,則此最值必為函數(shù)的極值.3.(2022全國(guó)甲文,12,5分)已知9m=10,a=10m-11,b=8m-9,則()A.a>0>bB.a>b>0C.b>a>0D.b>0>a答案A由9m=10可得m=log910>1,令f(x)=xm-(x+1),則f'(x)=mxm-1-1,易知當(dāng)x>1時(shí),f'(x)>0,所以f(x)在(1,+∞)上單調(diào)遞增,所以f(8)<f(9)<f(10),所以8m-9<9m-10<10m-11,即a>0>b,故選A.4.(2022新高考Ⅰ,7,5分)設(shè)a=0.1e0.1,b=19,c=-ln0.9,則()A.a<b<cB.c<b<aC.c<a<bD.a<c<b答案Ca=0.1e0.1=110e0.1,b=19,則ab=110e0.119=910e0.1,構(gòu)造f(x)=(1-x)ex,則f'(x)=-xex,當(dāng)x>0時(shí),f'(x)<0,f(x)單調(diào)遞減,∴f(0.1)<f下面比較a與c.令g(x)=xex+ln(1-x),0<x<14,則g'(x)=(x+1)ex-1令H(x)=(1-x2)ex-1,0<x<14,則H'(x)=(1-x2-2x)ex,易知H'(x)>0,則H(x)在0,1∴H(x)>H(0)=0.∴g(x)在0,14上為增函數(shù),∴g(0.1)>g(0),∴0.1e0.1+ln0.9>0,∴a>c,∴b>a5.(2021全國(guó)乙理,12,5分)設(shè)a=2ln1.01,b=ln1.02,c=1.04-1,則()A.a<b<cB.b<c<aC.b<a<cD.c<a<b答案B解題指導(dǎo):注意到a,b為同底的對(duì)數(shù)值,考慮用對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性比較大小,c與a、b的結(jié)構(gòu)不同,可構(gòu)造與lnx相關(guān)的不等式,放縮后再比較大小.解析解法一:a=ln1.012,因?yàn)?.012=(1+0.01)2=1+0.02+0.012>1.02,所以a>b,排除選項(xiàng)A與選項(xiàng)D.設(shè)f(x)=lnx-2(x?1)x+1(x>1),則f'(x)所以f(x)在(1,+∞)上單調(diào)遞增,從而f(x)>f(1)=0,即lnx>2(x故a=2ln1.01>2×2×0.011.01+1c=1.04?1=因?yàn)?.012=(1+0.01)2=1+0.02+0.012<1.04,所以1.01<1.04,所以2.01<1.04+1,所以0.042.01>0.041.04+1,即a>故選B.解法二:因?yàn)閍=2ln1.01=ln1.012=ln1.0201,所以a>b,下面比較a與c的大小.令f(x)=2ln(1+x)-1+4x+1,x∈[0,1則f'(x)=21+∵(1+4x)-(1+x)2=1+4x-1-2x-x2=2x-x2=x(2-x)≥0(x∈[0,1)),∴f'(x)≥0,∴f(x)在[0,1)上為增函數(shù),∴f(0.01)>f(0)=0,得a>c.再比較b與c的大小,b=ln(1+0.02),c=1+0.04-1,令g(x)=1+2x-1-ln(1+x),x∈[0,1則g'(x)=11+2而(1+x)2-(1+2x)=x2≥0,∴g(x)在[0,1)上為增函數(shù),∴g(0.02)>g(0)=0,∴c>b.綜上,a>c>b,故選B.拓展延伸:關(guān)于lnx的重要不等式(1)1-1x≤lnx≤x-1(x>0)(2)lnx≥12x?1x,0<x≤1;lnx≤(3)lnx≥2(x?1)x+1,x≥1;lnx≤2(x(4)ln(x+1)≥x-x22,x(5)lnx≤x?1,x≥1(6)x1x2<x1?x2lnx1?lnx2<6.(2016課標(biāo)Ⅰ文,12,5分)若函數(shù)f(x)=x-13sin2x+asinx在(-∞,+∞)單調(diào)遞增,則a的取值范圍是A.[-1,1]B.?C.?13答案Cf'(x)=1-23cos2x+acosx=1-23(2cos2x-1)+acosx=-43cos2x+acosx+53,f(x)在R上單調(diào)遞增,則f'(x)≥0在R上恒成立,令cosx=t,t∈[-1,1],則-43t2+at+53≥0在[-1,1]上恒成立,即4t2-3at-5令g(t)=4t2-3at-5,則g(1)=4?3a?5≤0,g(疑難突破由函數(shù)的單調(diào)性求參數(shù)范圍,利用導(dǎo)數(shù)將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為恒成立問(wèn)題,再利用二次函數(shù)來(lái)解決.評(píng)析本題考查由函數(shù)的單調(diào)性求參數(shù)范圍,利用導(dǎo)數(shù)將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為恒成立問(wèn)題,再利用二次函數(shù)來(lái)解決即可.7.(2015課標(biāo)Ⅱ理,12,5分)設(shè)函數(shù)f'(x)是奇函數(shù)f(x)(x∈R)的導(dǎo)函數(shù),f(-1)=0,當(dāng)x>0時(shí),xf'(x)-f(x)<0,則使得f(x)>0成立的x的取值范圍是()A.(-∞,-1)∪(0,1)B.(-1,0)∪(1,+∞)C.(-∞,-1)∪(-1,0)D.(0,1)∪(1,+∞)答案A令g(x)=f(x)x,則g'(x)=xf'(x)?f(x∵f(x)是奇函數(shù),f(-1)=0,∴f(1)=-f(-1)=0,∴g(1)=f(1)∴當(dāng)x∈(0,1)時(shí),g(x)>0,從而f(x)>0;當(dāng)x∈(1,+∞)時(shí),g(x)<0,從而f(x)<0.又∵g(-x)=f(?x)?x=∴當(dāng)x∈(-∞,-1)時(shí),g(x)<0,從而f(x)>0;當(dāng)x∈(-1,0)時(shí),g(x)>0,從而f(x)<0.綜上,所求x的取值范圍是(-∞,-1)∪(0,1).評(píng)析出現(xiàn)xf'(x)+f(x)>0(<0)時(shí),考慮構(gòu)造函數(shù)F(x)=xf(x);出現(xiàn)xf'(x)-f(x)>0(<0)時(shí),考慮構(gòu)造函數(shù)g(x)=f(8.(2014課標(biāo)Ⅱ文,11,5分)若函數(shù)f(x)=kx-lnx在區(qū)間(1,+∞)單調(diào)遞增,則k的取值范圍是()A.(-∞,-2]B.(-∞,-1]C.[2,+∞)D.[1,+∞)答案D依題意得f'(x)=k-1x≥0在(1,+∞)上恒成立,即k≥1x在(1,+∞)∵x>1,∴0<1x∴k≥1,故選D.9.（2023全國(guó)乙理，16）設(shè)，若函數(shù)在上單調(diào)遞增，則a的取值范圍是______.【答案】【解析】由函數(shù)的解析式可得在區(qū)間上恒成立，則，即在區(qū)間上恒成立，故，而，故，故即，故，結(jié)合題意可得實(shí)數(shù)的取值范圍是.10.（2023課標(biāo)I，19）已知函數(shù)．（1）討論的單調(diào)性；（2）證明：當(dāng)時(shí)，．【解析】（1）因?yàn)?，定義域?yàn)?，所以，?dāng)時(shí)，由于，則，故恒成立，所以在上單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，令，解得，當(dāng)時(shí)，，則在上單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，，則在上單調(diào)遞增；綜上：當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.（2）方法一：由（1）得，，要證，即證，即證恒成立，令，則，令，則；令，則；所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以，則恒成立，所以當(dāng)時(shí)，恒成立，證畢.方法二：令，則，由于在上單調(diào)遞增，所以在上單調(diào)遞增，又，所以當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，故，則，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，因?yàn)?，?dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號(hào)成立，所以要證，即證，即證，令，則，令，則；令，則；所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以，則恒成立，所以當(dāng)時(shí)，恒成立，證畢.11.（2023全國(guó)甲文，20）已知函數(shù)．（1）當(dāng)時(shí)，討論的單調(diào)性；（2）若，求的取值范圍．【解析】（1）因?yàn)椋?，則，令，由于，所以，所以，因?yàn)?，，，所以在上恒成立，所以在上單調(diào)遞減.（2）法一：構(gòu)建，則，若，且，則，解得，當(dāng)時(shí)，因?yàn)?，又，所以，，則，所以，滿(mǎn)足題意；當(dāng)時(shí)，由于，顯然，所以，滿(mǎn)足題意；綜上所述：若，等價(jià)于，所以的取值范圍為.法二：因?yàn)椋驗(yàn)椋裕?，故在上恒成立，所以?dāng)時(shí)，，滿(mǎn)足題意；當(dāng)時(shí)，由于，顯然，所以，滿(mǎn)足題意；當(dāng)時(shí)，因?yàn)?，令，則，注意到，若，，則在上單調(diào)遞增，注意到，所以，即，不滿(mǎn)足題意；若，，則，所以在上最靠近處必存在零點(diǎn)，使得，此時(shí)在上有，所以在上單調(diào)遞增，則在上有，即，不滿(mǎn)足題意；綜上：.12.(2019課標(biāo)Ⅲ文,20,12分)已知函數(shù)f(x)=2x3-ax2+2.(1)討論f(x)的單調(diào)性;(2)當(dāng)0<a<3時(shí),記f(x)在區(qū)間[0,1]的最大值為M,最小值為m,求M-m的取值范圍.解析本題考查函數(shù)的導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用的基礎(chǔ)知識(shí),考查導(dǎo)數(shù)與函數(shù)單調(diào)性之間的關(guān)系以及利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)最值的方法,考查學(xué)生的運(yùn)算求解能力、推理論證能力以及分類(lèi)討論思想的應(yīng)用.(1)f'(x)=6x2-2ax=2x(3x-a).令f'(x)=0,得x=0或x=a3若a>0,則當(dāng)x∈(-∞,0)∪a3,+∞時(shí),當(dāng)x∈0,a3時(shí),f故f(x)在(-∞,0),a3,+∞單調(diào)遞增,在若a=0,f(x)在(-∞,+∞)單調(diào)遞增;若a<0,則當(dāng)x∈?∞,a3∪(0,+∞)時(shí),當(dāng)x∈a3,0時(shí),f故f(x)在?∞,a3,(0,+∞)單調(diào)遞增,(2)當(dāng)0<a<3時(shí),由(1)知,f(x)在0,a3單調(diào)遞減,在a3,1單調(diào)遞增,所以f(x)在[0,1]的最小值為fa3=-a于是m=-a327所以M-m=2當(dāng)0<a<2時(shí),可知2-a+a327單調(diào)遞減,所以M-m的取值范圍是當(dāng)2≤a<3時(shí),a327單調(diào)遞增,所以M-m的取值范圍是綜上,M-m的取值范圍是827規(guī)律總結(jié)含參函數(shù)單調(diào)性的討論,關(guān)鍵在于確定參數(shù)的分界值,確定分界值的順序:(1)f'(x)最高次項(xiàng)系數(shù)是否等于0;(2)方程f'(x)=0是否有實(shí)數(shù)解;(3)方程f'(x)=0的解是否在定義域內(nèi);(4)f'(x)=0的解x1,x2之間的大小比較.易錯(cuò)警示解題時(shí),易犯以下兩個(gè)錯(cuò)誤:①對(duì)參數(shù)a未討論或?qū)分類(lèi)討論不全面,尤其易忽略a=0的情形而導(dǎo)致失分;②當(dāng)a>0時(shí),f(x)在(-∞,0),a3,+∞單調(diào)遞增,將這兩個(gè)區(qū)間合并表示為f(x)在(-∞,0)∪a313.(2017課標(biāo)Ⅰ文,21,12分)已知函數(shù)f(x)=ex(ex-a)-a2x.(1)討論f(x)的單調(diào)性;(2)若f(x)≥0,求a的取值范圍.解析本題考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、最值.(1)函數(shù)f(x)的定義域?yàn)?-∞,+∞),f'(x)=2e2x-aex-a2=(2ex+a)(ex-a).①若a=0,則f(x)=e2x,在(-∞,+∞)單調(diào)遞增.②若a>0,則由f'(x)=0得x=lna.當(dāng)x∈(-∞,lna)時(shí),f'(x)<0;當(dāng)x∈(lna,+∞)時(shí),f'(x)>0.故f(x)在(-∞,lna)單調(diào)遞減,在(lna,+∞)單調(diào)遞增.③若a<0,則由f'(x)=0得x=ln?a當(dāng)x∈?∞,ln?a當(dāng)x∈ln?a2,+∞時(shí)故f(x)在?∞,ln?a2單調(diào)遞減(2)①若a=0,則f(x)=e2x,所以f(x)≥0.②若a>0,則由(1)得,當(dāng)x=lna時(shí),f(x)取得最小值,最小值為f(lna)=-a2lna,從而當(dāng)且僅當(dāng)-a2lna≥0,即a≤1時(shí),f(x)≥0.③若a<0,則由(1)得,當(dāng)x=ln?a2時(shí),f(x)取得最小值,最小值為fln?a從而當(dāng)且僅當(dāng)a234?即a≥-2e34時(shí),f(x)綜上,a的取值范圍是[-2e314.(2021全國(guó)甲文,20,12分)設(shè)函數(shù)f(x)=a2x2+ax-3lnx+1,其中a>0.(1)討論f(x)的單調(diào)性;(2)若y=f(x)的圖象與x軸沒(méi)有公共點(diǎn),求a的取值范圍.解題指導(dǎo):(1)對(duì)函數(shù)f(x)求導(dǎo)并因式分解得到f'(x)=(2ax+3)(ax?1)x,根據(jù)a>0,x>0,可以判斷f'(x)的正負(fù),即可判斷出f(2)根據(jù)題意得到函數(shù)f(x)在(0,+∞)上沒(méi)有零點(diǎn).由(1)可得f(x)min=f1a,使f1a>0,即可求出a解析(1)f(x)=a2x2+ax-3lnx+1,x∈(0,+∞),∴f'(x)=2a2x+a-3x∵a>0,x>0,∴2ax+3當(dāng)x∈0,1a時(shí),f'(x)當(dāng)x∈1a,+∞時(shí),f'(x∴函數(shù)f(x)在0,1a上單調(diào)遞減,在1(2)∵y=f(x)的圖象與x軸沒(méi)有公共點(diǎn),∴函數(shù)f(x)在(0,+∞)上沒(méi)有零點(diǎn),由(1)可得函數(shù)f(x)在0,1a上單調(diào)遞減,在1a,+∞上單調(diào)遞增,∴f(x)min=f∴l(xiāng)na>-1,解得a>1e故實(shí)數(shù)a的取值范圍是1e關(guān)鍵點(diǎn)撥利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)性時(shí),要注意:①題目中函數(shù)的定義域是否有限制;②多個(gè)同單調(diào)性的區(qū)間不能用并集符號(hào)相連;③在對(duì)含參數(shù)問(wèn)題進(jìn)行分類(lèi)討論時(shí),分類(lèi)要做到“不重不漏、層次分明”.15.(2021全國(guó)乙文,21,12分)已知函數(shù)f(x)=x3-x2+ax+1.(1)討論f(x)的單調(diào)性;(2)求曲線y=f(x)過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)的切線與曲線y=f(x)的公共點(diǎn)的坐標(biāo).解題指導(dǎo):由題設(shè)求出函數(shù)f(x)的導(dǎo)函數(shù)f'(x),因?yàn)閰?shù)a影響了判別式,故對(duì)a進(jìn)行分類(lèi)討論,設(shè)出切點(diǎn)P(x0,y0),結(jié)合導(dǎo)數(shù)的幾何意義求出切線方程,再由切點(diǎn)在曲線y=f(x)上、切線經(jīng)過(guò)原點(diǎn)列出關(guān)于x0的方程,進(jìn)而求解.解析(1)由f(x)=x3-x2+ax+1可得f'(x)=3x2-2x+a,對(duì)于3x2-2x+a=0,Δ=4-12a.①當(dāng)a≥13時(shí),Δ≤0,即f'(x)≥0在R上恒成立,此時(shí)f(x)在R上單調(diào)遞增②當(dāng)a<13時(shí),Δ>0,方程3x2-2x+a=0的兩個(gè)根為x1=1?1?3a3,x2=1+1?3a3,故當(dāng)x∈?∞,1?1?3a3∪1+1?3a3,+∞時(shí),f'(x)>0,當(dāng)x∈所以f(x)在?∞,1?1?3a3(2)設(shè)過(guò)原點(diǎn)的切線與曲線y=f(x)相切于點(diǎn)P(x0,y0),則切線的斜率為f'(x0)=3x02-2x0+故以點(diǎn)P為切點(diǎn)的切線方程為y=(3x02-2x0+a)(x-x0)+y0.由y0=x03?x02+ax0+1,且切線過(guò)原點(diǎn),得2x03?x02-1=0,即(x0-1)(2x02+x0+1)所以切線方程為y=(1+a)x,聯(lián)立y消去y得x3-x2-x+1=0,即(x-1)2(x+1)=0,∴x=1或-1,∴公共點(diǎn)為(1,1+a)與(-1,-1-a).疑難點(diǎn)撥:單調(diào)性問(wèn)題的本質(zhì)為解不等式,利用導(dǎo)函數(shù)的圖象確定符號(hào),當(dāng)參數(shù)影響到導(dǎo)函數(shù)的符號(hào)時(shí),對(duì)其分類(lèi)討論;切線問(wèn)題的核心是切點(diǎn),而切線與曲線的公共點(diǎn)不一定只有切點(diǎn),這是一個(gè)易錯(cuò)點(diǎn).16.(2021全國(guó)甲理,21,12分)已知a>0且a≠1,函數(shù)f(x)=xaax(x(1)當(dāng)a=2時(shí),求f(x)的單調(diào)區(qū)間;(2)若曲線y=f(x)與直線y=1有且僅有兩個(gè)交點(diǎn),求a的取值范圍.解題指導(dǎo):(1)對(duì)原函數(shù)求導(dǎo),利用導(dǎo)數(shù)的正負(fù)來(lái)確定增減區(qū)間.(2)將兩圖象的交點(diǎn)個(gè)數(shù)問(wèn)題轉(zhuǎn)化為方程解的個(gè)數(shù)問(wèn)題,將a和x分離,通過(guò)構(gòu)造函數(shù)分析函數(shù)的性質(zhì)及圖象的變化趨勢(shì),進(jìn)而求解參數(shù)的范圍.解析(1)當(dāng)a=2時(shí),f(x)=x22x=x2·2-x(則f'(x)=2x·2-x+x2·(-ln2·2-x)=x·2-x(2-xln2).令f'(x)=0,則x=2ln2f'(x),f(x)的情況如下:x0,22f'(x)+0-f(x)↗極大值↘所以函數(shù)f(x)在0,2ln2上單調(diào)遞增,在2(2)令f(x)=1,則xaax=1,所以xa=兩邊同時(shí)取對(duì)數(shù),可得alnx=xlna,即lnx根據(jù)題意可知,方程lnxx設(shè)g(x)=lnxx,則g'(x)=令g'(x)=0,則x=e.當(dāng)x∈(0,e)時(shí),g'(x)>0,g(x)單調(diào)遞增;當(dāng)x∈(e,+∞)時(shí),g'(x)<0,g(x)單調(diào)遞減.又知g(1)=0,limx→+∞g(x)=0,g(x)max=g(e)所以要使曲線y=f(x)與直線y=1有且僅有兩個(gè)交點(diǎn),則只需lnaa∈0,1e,即g(a)=lnaa∈0,1e,所以a∈綜上,實(shí)數(shù)a的取值范圍為(1,e)∪(e,+∞).17.(2021北京,19,15分)已知函數(shù)f(x)=3?2x(1)若a=0,求曲線y=f(x)在(1,f(1))處的切線方程;(2)若函數(shù)f(x)在x=-1處取得極值,求f(x)的單調(diào)區(qū)間,以及最大值和最小值.解析(1)當(dāng)a=0時(shí),f(x)=3?2xx2,∴f(1)=1,又f'(x)=2x?6x3,故f'(1)=-4,故曲線y=f(x)在(1,f(1))處的切線方程為y=-4(x-1)+1,(2)由題意得f'(x)=2x2?6x?2a(x2+a)2,且f'(故f(x)=3?2xx2+4,x∈R,f'(x令f'(x)>0,解得x>4或x<-1;令f'(x)<0,解得-1<x<4,故函數(shù)f(x)的單調(diào)增區(qū)間為(-∞,-1)和(4,+∞),單調(diào)減區(qū)間為(-1,4).所以f(x)的極大值為f(-1)=1,f(x)的極小值為f(4)=-14又當(dāng)x∈(-∞,-1)時(shí),3-2x>0,故f(x)>0;當(dāng)x∈(4,+∞)時(shí),3-2x<0,故f(x)<0,∴f(x)max=f(-1)=1,f(x)min=f(4)=-14解題指導(dǎo):(1)當(dāng)a=0時(shí),求出f(1)與f'(1)的值,再寫(xiě)出切線方程;(2)由f'(-1)=0求出a的值,再通過(guò)導(dǎo)函數(shù)的符號(hào)求出f(x)的單調(diào)區(qū)間和最值.18.(2022北京,20,15分)已知函數(shù)f(x)=exln(1+x).(1)求曲線y=f(x)在點(diǎn)(0,f(0))處的切線方程;(2)設(shè)g(x)=f'(x),討論函數(shù)g(x)在[0,+∞)上的單調(diào)性;(3)證明:對(duì)任意的s,t∈(0,+∞),有f(s+t)>f(s)+f(t).解析(1)∵f'(x)=exln(1+x)+ex1+x=exln(1+x)+11+x,∴f'(0)=e0ln(1+0)+11+0又f(0)=e0ln1=0,∴曲線y=f(x)在點(diǎn)(0,f(0))處的切線方程為y=x.(2)易得g(x)=f'(x)=exln(1+x)+11+x,∴g'(x)=exln(1+x)+11+x+11+x?1(1+x)2=ex∵x∈[0,+∞),∴l(xiāng)n(1+x)≥0,11+x>0,x又ex>0,∴g'(x)>0在[0,+∞)上恒成立.∴g(x)在[0,+∞)上單調(diào)遞增.(3)證明:由(2)知g(x)=f'(x)在(0,+∞)上單調(diào)遞增,∴f'(x)≥f'(0)=1>0,∴f(x)在(0,+∞)上單調(diào)遞增,不妨設(shè)s≥t,令h(x)=f(x)-f(x+s)(s>0),則h'(x)=f'(x)-f'(x+s)<0.因此h(x)在(0,+∞)上單調(diào)遞減,∴h(0)>h(t),∴f(0)-f(s)>f(t)-f(t+s),又f(0)=0,∴f(s+t)>f(s)+f(t).考點(diǎn)2導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的極（最）值1.（2023全國(guó)乙文，8）函數(shù)存在3個(gè)零點(diǎn)，則的取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】，則，若要存在3個(gè)零點(diǎn)，則要存在極大值和極小值，則，令，解得或，且當(dāng)時(shí)，，當(dāng)，，故的極大值為，極小值為，若要存在3個(gè)零點(diǎn)，則，即，解得，故選：B.2.（2023課標(biāo)II，11）若函數(shù)既有極大值也有極小值，則（）．A. B. C. D.【答案】BCD【解析】函數(shù)的定義域?yàn)?，求?dǎo)得，因?yàn)楹瘮?shù)既有極大值也有極小值，則函數(shù)在上有兩個(gè)變號(hào)零點(diǎn)，而，因此方程有兩個(gè)不等的正根，于是，即有，，，顯然，即，A錯(cuò)誤，BCD正確，故選：BCD3.(2017浙江,7,5分)函數(shù)y=f(x)的導(dǎo)函數(shù)y=f'(x)的圖象如圖所示,則函數(shù)y=f(x)的圖象可能是()答案D本題考查函數(shù)圖象的識(shí)辨,利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性和極值.不妨設(shè)導(dǎo)函數(shù)y=f'(x)的零點(diǎn)依次為x1,x2,x3,其中x1<0<x2<x3,由導(dǎo)函數(shù)圖象可知,y=f(x)在(-∞,x1)上為減函數(shù),在(x1,x2)上為增函數(shù),在(x2,x3)上為減函數(shù),在(x3,+∞)上為增函數(shù),從而排除A,C.y=f(x)在x=x1,x=x3處取到極小值,在x=x2處取到極大值,又x2>0,排除B,故選D.方法總結(jié)函數(shù)圖象的識(shí)辨方法:1.利用函數(shù)圖象上的特殊點(diǎn)(如函數(shù)圖象與x軸、y軸的交點(diǎn),函數(shù)圖象上的最高點(diǎn)、最低點(diǎn)等)來(lái)識(shí)辨.2.利用函數(shù)的定義域,在某個(gè)區(qū)間上的值域來(lái)識(shí)辨.3.利用函數(shù)的單調(diào)性、極值(常用導(dǎo)數(shù)來(lái)判斷)和函數(shù)的周期性來(lái)識(shí)辨.4.利用函數(shù)的零點(diǎn)來(lái)識(shí)辨.5.利用函數(shù)的奇偶性來(lái)識(shí)辨,若函數(shù)是奇(或偶)函數(shù),則其圖象關(guān)于原點(diǎn)(或y軸)對(duì)稱(chēng).6.利用函數(shù)圖象的中心對(duì)稱(chēng)和軸對(duì)稱(chēng)來(lái)識(shí)辨.7.利用函數(shù)圖象的漸近線來(lái)識(shí)辨.如指數(shù)型函數(shù)、對(duì)數(shù)型函數(shù)、冪函數(shù)(指數(shù)為負(fù))型函數(shù)(含反比例函數(shù))、正切型函數(shù)等,其圖象都有漸近線.4.(2016四川文,6,5分)已知a為函數(shù)f(x)=x3-12x的極小值點(diǎn),則a=()A.-4B.-2C.4D.2答案D由題意可得f'(x)=3x2-12=3(x-2)(x+2),令f'(x)=0,得x=-2或x=2,則f'(x),f(x)隨x的變化情況如下表:x(-∞,-2)-2(-2,2)2(2,+∞)f'(x)+0-0+f(x)↗極大值↘極小值↗∴函數(shù)f(x)在x=2處取得極小值,則a=2.故選D.評(píng)析本題考查了函數(shù)的極值問(wèn)題.正確理解函數(shù)的極值點(diǎn)的概念是解題的關(guān)鍵.5.(2014課標(biāo)Ⅱ理,12,5分)設(shè)函數(shù)f(x)=3sinπxm.若存在f(x)的極值點(diǎn)x0滿(mǎn)足x02+[f(x0)]2<m2,A.(-∞,-6)∪(6,+∞)B.(-∞,-4)∪(4,+∞)C.(-∞,-2)∪(2,+∞)D.(-∞,-1)∪(1,+∞)答案Cf'(x)=3πmcos∵f(x)的極值點(diǎn)為x0,∴f'(x0)=0,∴3πmcos∴πmx0=kπ+π2,k∈∴x0=mk+m2,k∈Z又∵x02+[f(x0)]2<m∴mk+m22+3sink即m2k+122+3<m2∵m≠0,∴k+122<m又∵存在x0滿(mǎn)足x02+[f(x0)]2<m2,即存在k∈Z∴m2?3∴m2?3m2>122,∴m2-3>m評(píng)析本題考查了函數(shù)的極值問(wèn)題,三角函數(shù)求值、恒成立等問(wèn)題.考查分析問(wèn)題、解決問(wèn)題的能力.6.(2013課標(biāo)Ⅱ,理10,文11,5分)已知函數(shù)f(x)=x3+ax2+bx+c,下列結(jié)論中錯(cuò)誤的是()A.?x0∈R,f(x0)=0B.函數(shù)y=f(x)的圖象是中心對(duì)稱(chēng)圖形C.若x0是f(x)的極小值點(diǎn),則f(x)在區(qū)間(-∞,x0)單調(diào)遞減D.若x0是f(x)的極值點(diǎn),則f'(x0)=0答案C由三次函數(shù)值域?yàn)镽知f(x)=0有解,所以A項(xiàng)正確;因?yàn)閥=x3的圖象為中心對(duì)稱(chēng)圖形,而f(x)=x3+ax2+bx+c的圖象可以由y=x3的圖象平移得到,故B項(xiàng)正確;若f(x)有極小值點(diǎn),則f'(x)=0有兩個(gè)不等實(shí)根x1,x2(x1<x2),f'(x)=3x2+2ax+b=3(x-x1)(x-x2),則f(x)在(-∞,x1)上為增函數(shù),在(x1,x2)上為減函數(shù),在(x2,+∞)上為增函數(shù),故C項(xiàng)錯(cuò)誤;D項(xiàng)正確.故選C.評(píng)析本題考查了三次函數(shù)的圖象和性質(zhì),考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)極值與單調(diào)性.7.(2022全國(guó)乙文,11,5分)函數(shù)f(x)=cosx+(x+1)sinx+1在區(qū)間[0,2π]的最小值、最大值分別為()A.-πC.-π2答案Df'(x)=(x+1)cosx,x∈[0,2π],令f'(x)=0得x=π2或x=3π當(dāng)x在[0,2π]上變化時(shí),f'(x),f(x)的變化情況如表所示:x00,ππ33π2,2π2πf'(x)+0-0+f(x)2↗極大值π2↘極小值-3↗2由表可知,f(x)在[0,2π]上的最大值為π2+2,最小值為-3π2,故選8.(2021全國(guó)乙理,10,5分)設(shè)a≠0,若x=a為函數(shù)f(x)=a(x-a)2(x-b)的極大值點(diǎn),則()A.a<bB.a>bC.ab<a2D.ab>a2答案D解題指導(dǎo):求出f'(x)=0的兩根,根據(jù)已知條件x=a為函數(shù)f(x)的極大值點(diǎn),分類(lèi)討論比較根的大小,得出滿(mǎn)足條件的不等式即可.解析f(x)=a(x-a)2(x-b)=a[x3-(2a+b)x2+(2ab+a2)x-a2b],∴f'(x)=a[3x2-(4a+2b)x+2ab+a2]=a(x-a)[3x-(a+2b)].令f'(x)=0,得x1=a,x2=a+2(i)若a>0,要使函數(shù)f(x)在x=a處取得極大值,則需f(x)在(-∞,a)上單調(diào)遞增,在a,a+2b3上單調(diào)遞減,此時(shí)需a<a+2b3,得0<a(ii)若a<0,要使函數(shù)f(x)在x=a處取得極大值,則需f(x)在a+2b3,a上單調(diào)遞增,在(a,+∞)上單調(diào)遞減,此時(shí)需滿(mǎn)足a>a+2b3,得b<a<0,∴a2<ab.綜上可知,解題通法求解析式中含有參數(shù)的函數(shù)極值問(wèn)題時(shí),需要用分類(lèi)討論的思想才能解決,討論的依據(jù)有兩種:一是看參數(shù)是否對(duì)f'(x)的零點(diǎn)有影響,若有影響,則需要分類(lèi)討論;二是看f'(x)在其零點(diǎn)附近的符號(hào)的確定是否與參數(shù)有關(guān),若有關(guān),則需分類(lèi)討論.9.(多選)(2022新高考Ⅰ,10,5分)已知函數(shù)f(x)=x3-x+1,則()A.f(x)有兩個(gè)極值點(diǎn)B.f(x)有三個(gè)零點(diǎn)C.點(diǎn)(0,1)是曲線y=f(x)的對(duì)稱(chēng)中心D.直線y=2x是曲線y=f(x)的切線答案AC∵f(x)=x3-x+1,∴f'(x)=3x2-1,令f'(x)=0,得x=±33,當(dāng)x∈?∞,?33時(shí),f'(x)>0,f(x)單調(diào)遞增,當(dāng)x∈?33,33時(shí),f'(x)<0,f(x)單調(diào)遞減,當(dāng)x∈33,+∞時(shí),f'(x)>0,f(x)∵f33=39?33+1=9?239>0,∴f(x)的極小值大于0,由于函數(shù)f(x)的圖象是由奇函數(shù)y=x3-x的圖象向上平移1個(gè)單位長(zhǎng)度得到的,故f(x)的圖象關(guān)于點(diǎn)(0,1)對(duì)稱(chēng),即點(diǎn)(0,1)是曲線y=f(x)的對(duì)稱(chēng)中心,故選項(xiàng)C正確.曲線y=f(x)的切線斜率為2,即f'(x)=2,得x=±1,故曲線y=f(x)的斜率為2的切線方程為y=2x-1或y=2x+3,故選項(xiàng)D錯(cuò)誤.故選AC.10.(2021新高考Ⅰ,15,5分)函數(shù)f(x)=|2x-1|-2lnx的最小值為.

答案1解題指導(dǎo):先分類(lèi)討論去掉絕對(duì)值符號(hào),然后用函數(shù)的單調(diào)性分析其最小值.解析①當(dāng)x>12時(shí),f(x)=2x-1-2lnx,∴f'(x)=2-2x=2x?2x,∴當(dāng)x∈12,1時(shí),f'(x)<0,當(dāng)x∈(1,+∞)時(shí),∴f(x)在12,1上單調(diào)遞減,在(1,+∞)∴f(x)min=f(1)=1.②當(dāng)0<x≤12時(shí),f(x)=1-2x-2lnx此時(shí)f'(x)=-2-2x<0恒成立∴f(x)在0,12∴f(x)min=f12=2ln2∵2ln2>1,∴f(x)min=1.方法總結(jié):絕對(duì)值問(wèn)題的常見(jiàn)處理策略:1.分類(lèi)討論去掉絕對(duì)值符號(hào);2.利用絕對(duì)值的幾何意義畫(huà)圖分析.11.(2022全國(guó)乙理,16,5分)已知x=x1和x=x2分別是函數(shù)f(x)=2ax-ex2(a>0且a≠1)的極小值點(diǎn)和極大值點(diǎn).若x1<x2,則a的取值范圍是.

答案1解析∵f(x)=2ax-ex2,∴f'(x)=2axlna-2ex.根據(jù)題意,得x1,x2是f'(x)=0的兩個(gè)不相等的實(shí)根.由f'(x)=0得,axlna=ex.由題意得函數(shù)y=axlna與y=ex的圖象有兩個(gè)不同的交點(diǎn).

當(dāng)a>1時(shí),畫(huà)出函數(shù)y=axlna與y=ex的圖象,如圖①所示,當(dāng)x∈(-∞,x1)時(shí),f'(x)=2axlna-2ex>0,f(x)在(-∞,x1)上單調(diào)遞增;當(dāng)x∈(x1,x2)時(shí),f'(x)=2axlna-2ex<0,f(x)在(x1,x2)上單調(diào)遞減;當(dāng)x∈(x2,+∞)時(shí),f'(x)=2axlna-2ex>0,f(x)在(x2,+∞)上單調(diào)遞增.∴x=x1和x=x2分別是f(x)的極大值點(diǎn)和極小值點(diǎn),這與已知矛盾.∴當(dāng)a>1時(shí),不滿(mǎn)足題意,舍去.圖①圖②當(dāng)0<a<1時(shí),畫(huà)出函數(shù)y=axlna與y=ex的圖象,如圖②所示,設(shè)過(guò)原點(diǎn)的切線l與y=axlna的圖象相切于點(diǎn)(x0,ax0lna),而y'=ax(lna)2,此時(shí)切線l的斜率k=ax0·(lna)2,∴ax0(lna)2=∴k=e(lna)2,要使函數(shù)y=axlna與y=ex的圖象有兩個(gè)不同的交點(diǎn),則k<e,即e(lna)2<e.∴(lna)2<1,即-1<lna<1,∴1e<a<e.又0<a<1,∴1e<a綜上所述,a的取值范圍是1e12.（2023課標(biāo)II，22）（1）證明：當(dāng)時(shí)，；（2）已知函數(shù)，若是的極大值點(diǎn)，求a的取值范圍．【解析】（1）構(gòu)建，則對(duì)恒成立，則在上單調(diào)遞增，可得，所以；構(gòu)建，則，構(gòu)建，則對(duì)恒成立，則在上單調(diào)遞增，可得，即對(duì)恒成立，則在上單調(diào)遞增，可得，所以；綜上所述：.（2）令，解得，即函數(shù)的定義域?yàn)?，若，則，因?yàn)樵诙x域內(nèi)單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，則在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，故是的極小值點(diǎn)，不合題意，所以.當(dāng)時(shí)，令因?yàn)?，且，所以函?shù)在定義域內(nèi)為偶函數(shù)，由題意可得：，（i）當(dāng)時(shí)，取，，則，由（1）可得，且，所以，即當(dāng)時(shí)，，則在上單調(diào)遞增，結(jié)合偶函數(shù)的對(duì)稱(chēng)性可知：在上單調(diào)遞減，所以是極小值點(diǎn)，不合題意；（ⅱ）當(dāng)時(shí)，取，則，由（1）可得，構(gòu)建，則，且，則對(duì)恒成立，可知在上單調(diào)遞增，且，所以在內(nèi)存在唯一的零點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，則，且，則，即當(dāng)時(shí)，，則在上單調(diào)遞減，結(jié)合偶函數(shù)的對(duì)稱(chēng)性可知：在上單調(diào)遞增，所以是的極大值點(diǎn)，符合題意；綜上所述：，即，解得或，故a的取值范圍為.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：1.當(dāng)時(shí)，利用，換元放縮；2.當(dāng)時(shí)，利用，換元放縮.13.（2023全國(guó)乙理，21）已知函數(shù).（1）當(dāng)時(shí)，求曲線在點(diǎn)處的切線方程；（2）是否存在a，b，使得曲線關(guān)于直線對(duì)稱(chēng)，若存在，求a，b的值，若不存在，說(shuō)明理由.（3）若在存在極值，求a的取值范圍.【解析】（1）當(dāng)時(shí)，，則，據(jù)此可得，函數(shù)在處的切線方程為，即.（2）由函數(shù)的解析式可得，函數(shù)的定義域滿(mǎn)足，即函數(shù)的定義域?yàn)?，定義域關(guān)于直線對(duì)稱(chēng)，由題意可得，由對(duì)稱(chēng)性可知，取可得，即，則，解得，經(jīng)檢驗(yàn)滿(mǎn)足題意，故.即存在滿(mǎn)足題意.（3）由函數(shù)的解析式可得，由區(qū)間存在極值點(diǎn)，則在區(qū)間上存在變號(hào)零點(diǎn);令，則，令，在區(qū)間存在極值點(diǎn)，等價(jià)于在區(qū)間上存在變號(hào)零點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，，在區(qū)間上單調(diào)遞減，此時(shí)，在區(qū)間上無(wú)零點(diǎn)，不合題意;當(dāng)，時(shí)，由于，所以在區(qū)間上單調(diào)遞增，所以，在區(qū)間上單調(diào)遞增，，所以在區(qū)間上無(wú)零點(diǎn)，不符合題意；當(dāng)時(shí)，由可得，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，故的最小值為，令，則，函數(shù)在定義域內(nèi)單調(diào)遞增，，據(jù)此可得恒成立，則，令，則，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減，故，即(取等條件為)，所以，，且注意到，根據(jù)零點(diǎn)存在性定理可知:在區(qū)間上存在唯一零點(diǎn).當(dāng)時(shí)，，單調(diào)減，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，所以.令，則，則單調(diào)遞減，注意到，故當(dāng)時(shí)，，從而有，所以，令得，所以，所以函數(shù)在區(qū)間上存在變號(hào)零點(diǎn)，符合題意.綜合上面可知:實(shí)數(shù)得取值范圍是.14.(2023北京,20,15分,中)設(shè)函數(shù)f(x)=x-x3eax+b,曲線y=f(x)在點(diǎn)(1,f(1))處的切線方程為y=-x+1.(1)求a,b的值;(2)設(shè)函數(shù)g(x)=f'(x),求g(x)的單調(diào)區(qū)間;(3)求f(x)的極值點(diǎn)個(gè)數(shù).解析(1)∵點(diǎn)(1,f(1))在切線y=-x+1上,∴f(1)=0,f'(1)=-1,而f(1)=1-ea+b=0,即ea+b=1①,又知f'(x)=1-3x2eax+b-ax3eax+b,∴f'(1)=1-3ea+b-aea+b=-1②,由①②得a=-1,b=1.(2)g(x)=f'(x)=e1-x(x3-3x2)+1,g'(x)=-e1-x(x3-3x2)+e1-x(3x2-6x)=e1-x(-x3+6x2-6x)=-xe1-x(x2-6x+6),令g'(x)=0,得x=0或x=3±3.x,g'(x),g(x)的變化情況如下表:x(-∞,0)0(0,3-3)3-3(3-3,3+3)3+3(3+3,+∞)g'(x)+0-0+0-g(x)單調(diào)遞增極大值單調(diào)遞減極小值單調(diào)遞增極大值單調(diào)遞減故g(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(-∞,0)和(3-3,3+3),單調(diào)遞減區(qū)間為(0,3-3)和(3+3,+∞).(3)由(2)知g(x)=e1-x(x3-3x2)+1,∴g(0)=1>0,g(-1)=-4e2+1<0,∴g(x)在區(qū)間(-∞,0)上有一個(gè)變號(hào)零點(diǎn),故f(x)在(-∞,0)上有一個(gè)極值點(diǎn).又∵g(1)=-1<0,且g(3-3)<g(1)<0,∴g(x)在(0,3-3)上有一個(gè)變號(hào)零點(diǎn),故f(x)在(0,3-3)上有一個(gè)極值點(diǎn).∵g(3)=1>0,且g(3+3)>g(3)>0,∴g(x)在(3-3,3+3)上有一個(gè)變號(hào)零點(diǎn),故f(x)在(3-3,3+3)上有一個(gè)極值點(diǎn).當(dāng)x>3時(shí),g(x)=x2e1-x(x-3)+1>0,故g(x)在(3+3,+∞)上無(wú)零點(diǎn),即f(x)無(wú)極值點(diǎn).綜上,f(x)有3個(gè)極值點(diǎn).15.(2022新高考Ⅰ,22,12分)已知函數(shù)f(x)=ex-ax和g(x)=ax-lnx有相同的最小值.(1)求a;(2)證明:存在直線y=b,其與兩條曲線y=f(x)和y=g(x)共有三個(gè)不同的交點(diǎn),并且從左到右的三個(gè)交點(diǎn)的橫坐標(biāo)成等差數(shù)列.解析(1)f'(x)=ex-a,g'(x)=a-1x當(dāng)a≤0時(shí),f'(x)>0恒成立,f(x)在R上無(wú)最小值,不符合題意.∴a>0.令f'(x)=0,得x=lna,令g'(x)=0,得x=1a易知f(x)min=f(lna)=a-alna,g(x)min=g1a=1+lna∴a-alna=1+lna,即lna=a?1a令h(x)=lnx-x?1x+1(則h'(x)=1x?∴h(x)在(0,+∞)上單調(diào)遞增,則h(x)最多有一個(gè)零點(diǎn).又h(1)=ln1-1?11+1=0∴方程①有且僅有一解,為a=1,即為所求.(2)證明:由(1)知,f(x)=ex-x,g(x)=x-lnx,當(dāng)x<0時(shí),f(x)單調(diào)遞減,當(dāng)x>0時(shí),f(x)單調(diào)遞增;當(dāng)0<x<1時(shí),g(x)單調(diào)遞減,當(dāng)x>1時(shí),g(x)單調(diào)遞增.不妨設(shè)直線y=b與y=f(x)的圖象的兩交點(diǎn)的橫坐標(biāo)分別為x1,x2,與y=g(x)的圖象的兩交點(diǎn)的橫坐標(biāo)分別為x2,x3,且x1<x2<x3.則ex1?x1=ex2-x2=x2-ln∴ex1?x易知x1∈(-∞,0),x2∈(0,1),則lnx2∈(-∞,0),又f(x)在(-∞,0)上單調(diào)遞減,∴x1=lnx2,同理x2=lnx3,x3=ex又ex2-x2=x2-lnx2,∴l(xiāng)nx2+ex2∴x1+x3=lnx2+ex2=2x∴x1,x2,x3成等差數(shù)列.16.(2019課標(biāo)Ⅱ文,21,12分)已知函數(shù)f(x)=(x-1)lnx-x-1.證明:(1)f(x)存在唯一的極值點(diǎn);(2)f(x)=0有且僅有兩個(gè)實(shí)根,且兩個(gè)實(shí)根互為倒數(shù).解析本題主要考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值點(diǎn)及方程根的問(wèn)題,考查推理論證能力、運(yùn)算求解能力,考查函數(shù)與方程思想、轉(zhuǎn)化與化歸思想,考查的核心素養(yǎng)是邏輯推理及數(shù)學(xué)運(yùn)算.(1)f(x)的定義域?yàn)?0,+∞).f'(x)=x?1x+lnx-1=ln因?yàn)閥=lnx單調(diào)遞增,y=1x單調(diào)遞減,所以f'(x)單調(diào)遞增.又f'(1)=-1<0,f'(2)=ln2-12=ln4?12>0,故存在唯一x0∈(1,2),使得又當(dāng)x<x0時(shí),f'(x)<0,f(x)單調(diào)遞減;當(dāng)x>x0時(shí),f'(x)>0,f(x)單調(diào)遞增.因此,f(x)存在唯一的極值點(diǎn).(2)由(1)知f(x0)<f(1)=-2,又f(e2)=e2-3>0,所以f(x)=0在(x0,+∞)內(nèi)存在唯一根x=α.由α>x0>1得1α<1<x0又f1α=1α?1ln1α故1α是f(x)=0在(0,x0)的唯一根綜上,f(x)=0有且僅有兩個(gè)實(shí)根,且兩個(gè)實(shí)根互為倒數(shù).思路分析(1)求函數(shù)極值點(diǎn)的個(gè)數(shù),實(shí)質(zhì)是求導(dǎo)函數(shù)零點(diǎn)的個(gè)數(shù),注意應(yīng)用零點(diǎn)存在性定理;(2)由第(1)問(wèn)易知方程f(x)=0在(x0,+∞)上存在唯一根α,根據(jù)所要證明的結(jié)論,只需求出f1α=0即可17.(2019江蘇,19,16分)設(shè)函數(shù)f(x)=(x-a)(x-b)(x-c),a,b,c∈R,f'(x)為f(x)的導(dǎo)函數(shù).(1)若a=b=c,f(4)=8,求a的值;(2)若a≠b,b=c,且f(x)和f'(x)的零點(diǎn)均在集合{-3,1,3}中,求f(x)的極小值;(3)若a=0,0<b≤1,c=1,且f(x)的極大值為M,求證:M≤427解析本小題主要考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的性質(zhì),考查綜合運(yùn)用數(shù)學(xué)思想方法分析與解決問(wèn)題以及邏輯推理能力.(1)因?yàn)閍=b=c,所以f(x)=(x-a)(x-b)(x-c)=(x-a)3.因?yàn)閒(4)=8,所以(4-a)3=8,解得a=2.(2)因?yàn)閎=c,所以f(x)=(x-a)(x-b)2=x3-(a+2b)x2+b(2a+b)x-ab2,從而f'(x)=3(x-b)x?令f'(x)=0,得x=b或x=2a因?yàn)閍,b,2a+b3都在集合{-3,1,3}中,所以2a此時(shí),f(x)=(x-3)(x+3)2,f'(x)=3(x+3)(x-1).令f'(x)=0,得x=-3或x=1.列表如下:x(-∞,-3)-3(-3,1)1(1,+∞)f'(x)+0-0+f(x)↗極大值↘極小值↗所以f(x)的極小值為f(1)=(1-3)×(1+3)2=-32.(3)因?yàn)閍=0,c=1,所以f(x)=x(x-b)(x-1)=x3-(b+1)x2+bx,f'(x)=3x2-2(b+1)x+b.因?yàn)?<b≤1,所以Δ=4(b+1)2-12b=(2b-1)2+3>0,則f'(x)有2個(gè)不同的零點(diǎn),設(shè)為x1,x2(x1<x2).由f'(x)=0,得x1=b+1?b2?列表如下:x(-∞,x1)x1(x1,x2)x2(x2,+∞)f'(x)+0-0+f(x)↗極大值↘極小值↗所以f(x)的極大值M=f(x1).解法一:M=f(x1)=x13-(b+1)x=[3x12-2(b+1)x1+b]x13?b=?2(b2?b+1)(b+1)=b(b+1)27-2(b?≤b(b+1)27+因此M≤427解法二:因?yàn)?<b≤1,所以x1∈(0,1).當(dāng)x∈(0,1)時(shí),f(x)=x(x-b)(x-1)≤x(x-1)2.令g(x)=x(x-1)2,x∈(0,1),則g'(x)=3x?令g'(x)=0,得x=13.列表如下x0,11g'(x)+0-g(x)↗極大值↘所以當(dāng)x=13時(shí),g(x)取得極大值,且是最大值,故g(x)max=g13=所以當(dāng)x∈(0,1)時(shí),f(x)≤g(x)≤427.因此M≤418.(2017江蘇,20,16分)已知函數(shù)f(x)=x3+ax2+bx+1(a>0,b∈R)有極值,且導(dǎo)函數(shù)f'(x)的極值點(diǎn)是f(x)的零點(diǎn).(極值點(diǎn)是指函數(shù)取極值時(shí)對(duì)應(yīng)的自變量的值)(1)求b關(guān)于a的函數(shù)關(guān)系式,并寫(xiě)出定義域;(2)證明:b2>3a;(3)若f(x),f'(x)這兩個(gè)函數(shù)的所有極值之和不小于-72,求a的取值范圍解析本小題主要考查利用導(dǎo)數(shù)研究初等函數(shù)的單調(diào)性、極值及零點(diǎn)問(wèn)題,考查綜合運(yùn)用數(shù)學(xué)思想方法分析與解決問(wèn)題以及邏輯推理能力.(1)由f(x)=x3+ax2+bx+1,得f'(x)=3x2+2ax+b=3x+a3當(dāng)x=-a3時(shí),f'(x)有極小值b-a因?yàn)閒'(x)的極值點(diǎn)是f(x)的零點(diǎn),所以f?a3=-a327+a39-ab3+1=0,又因?yàn)閒(x)有極值,故f'(x)=0有實(shí)根,從而b-a23=19a(27-a3)≤0,當(dāng)a=3時(shí),f'(x)>0(x≠-1),故f(x)在R上是增函數(shù),f(x)沒(méi)有極值;當(dāng)a>3時(shí),f'(x)=0有兩個(gè)相異的實(shí)根x1=?a?a2?列表如下:x(-∞,x1)x1(x1,x2)x2(x2,+∞)f'(x)+0-0+f(x)↗極大值↘極小值↗故f(x)的極值點(diǎn)是x1,x2.從而a>3.因此b=2a29+3(2)證明:由(1)知,ba=2aa設(shè)g(t)=2t9+3t,則g'(t)=29-當(dāng)t∈362,+∞時(shí),g'(t)>0,從而g(t)因?yàn)閍>3,所以aa>33,故g(aa)>g(33)=3,即ba>3因此b2>3a.(3)由(1)知,f(x)的極值點(diǎn)是x1,x2,且x1+x2=-23a,x12+x從而f(x1)+f(x2)=x13+ax12+bx1+1+x2=x13(3x12+2ax1+b)+x23(3x22+2ax2+b)+13a(x12+x記f(x),f'(x)所有極值之和為h(a),因?yàn)閒'(x)的極值為b-a23=-19a2所以h(a)=-19a2+3因?yàn)閔'(a)=-29a-3于是h(a)在(3,+∞)上單調(diào)遞減.因?yàn)閔(6)=-72,于是h(a)≥h(6),故a≤因此a的取值范圍為(3,6].易錯(cuò)警示(1)函數(shù)f(x)的極值點(diǎn)x0滿(mǎn)足f'(x0)=0,函數(shù)f(x)的零點(diǎn)x0滿(mǎn)足f(x0)=0,而f'(x)的極值點(diǎn)x0應(yīng)滿(mǎn)足f″(x0)=0.(2)求函數(shù)的關(guān)系式必須確定函數(shù)的定義域.19.(2017北京理,19,13分)已知函數(shù)f(x)=excosx-x.(1)求曲線y=f(x)在點(diǎn)(0,f(0))處的切線方程;(2)求函數(shù)f(x)在區(qū)間0,π2解析本題考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義,考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、最值.(1)因?yàn)閒(x)=excosx-x,所以f'(x)=ex(cosx-sinx)-1,f'(0)=0.又因?yàn)閒(0)=1,所以曲線y=f(x)在點(diǎn)(0,f(0))處的切線方程為y=1.(2)設(shè)h(x)=ex(cosx-sinx)-1,則h'(x)=ex(cosx-sinx-sinx-cosx)=-2exsinx.當(dāng)x∈0,π2所以h(x)在區(qū)間0,π2所以對(duì)任意x∈0,π2有h(x)<h(0)=0,即f所以函數(shù)f(x)在區(qū)間0,π2因此f(x)在區(qū)間0,π2上的最大值為f(0)=1,最小值為fπ2解題思路(1)先求導(dǎo),再利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求出切線的斜率,最后利用點(diǎn)斜式求出切線方程.(2)設(shè)h(x)=ex(cosx-sinx)-1,對(duì)h(x)求導(dǎo),進(jìn)而確定h(x)的單調(diào)性,最后求出最值.方法總結(jié)1.求切線方程問(wèn)題:(1)根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義求出指定點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)值,即切線的斜率;(2)求出指定點(diǎn)處的函數(shù)值;(3)求出切線方程.利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性:(1)求出函數(shù)f(x)的定義域;(2)求出函數(shù)f(x)的導(dǎo)函數(shù)f'(x);(3)令f'(x)>0得到f(x)在定義域內(nèi)的單調(diào)遞增區(qū)間,令f'(x)<0得到f(x)在定義域內(nèi)的單調(diào)遞減區(qū)間.20.(2017浙江,20,15分)已知函數(shù)f(x)=(x-2x?1)e(1)求f(x)的導(dǎo)函數(shù);(2)求f(x)在區(qū)間12,+解析本題主要考查函數(shù)的最大(小)值,導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算及其應(yīng)用,同時(shí)考查分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的能力.(1)因?yàn)?x-2x?1)'=1-12x所以f'(x)=1?12x?1=(1?(2)由f'(x)=(1?x)(2x?1因?yàn)閤1111,55f'(x)-0+0-f(x)1↘0↗1↘又f(x)=12(2x?1-1)2所以f(x)在區(qū)間12,+∞解后反思1.在導(dǎo)數(shù)大題中,求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)至關(guān)重要,因此,必須熟練掌握求導(dǎo)公式和求導(dǎo)法則.2.利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的值域的一般步驟:(1)求函數(shù)f(x)的導(dǎo)函數(shù)f'(x);(2)解方程f'(x)=0;(3)用f'(x)=0的根把函數(shù)的定義域分成若干個(gè)區(qū)間;(4)判斷每個(gè)區(qū)間上f'(x)的符號(hào),得函數(shù)的單調(diào)性;(5)求函數(shù)在各個(gè)區(qū)間上的值域,再求并集.3.本題最易忽略f(x)≥0這個(gè)條件,從而得出:f(x)在12,+∞上的值域?yàn)橐虼?在求函數(shù)f(x)在區(qū)間(a,+∞)或(-∞,a)上的值域時(shí),一定要觀察f(x)圖象的趨勢(shì),或先判斷f(x)何時(shí)為正,何時(shí)為負(fù)(通常是求出函數(shù)f(x)的零點(diǎn)).21.(2016山東文,20,13分)設(shè)f(x)=xlnx-ax2+(2a-1)x,a∈R.(1)令g(x)=f'(x),求g(x)的單調(diào)區(qū)間;(2)已知f(x)在x=1處取得極大值.求實(shí)數(shù)a的取值范圍.解析(1)由f'(x)=lnx-2ax+2a,可得g(x)=lnx-2ax+2a,x∈(0,+∞).則g'(x)=1x-2a=1當(dāng)a≤0時(shí),x∈(0,+∞)時(shí),g'(x)>0,函數(shù)g(x)單調(diào)遞增;當(dāng)a>0時(shí),x∈0,12a時(shí),g'(x)>0,函數(shù)x∈12a,+∞時(shí),所以當(dāng)a≤0時(shí),g(x)的單調(diào)增區(qū)間為(0,+∞);當(dāng)a>0時(shí),g(x)的單調(diào)增區(qū)間為0,12a,(2)由(1)知,f'(1)=0.①當(dāng)a≤0時(shí),f'(x)單調(diào)遞增,所以當(dāng)x∈(0,1)時(shí),f'(x)<0,f(x)單調(diào)遞減.當(dāng)x∈(1,+∞)時(shí),f'(x)>0,f(x)單調(diào)遞增.所以f(x)在x=1處取得極小值,不合題意.②當(dāng)0<a<12時(shí),12a>1,由(1)知f'(x)在0,12a內(nèi)單調(diào)遞增,可得當(dāng)x∈(0,1)時(shí),ff'(x)>0.所以f(x)在(0,1)內(nèi)單調(diào)遞減,在1,12所以f(x)在x=1處取得極小值,不合題意.③當(dāng)a=12時(shí),12a=1,f'(x)在在(1,+∞)內(nèi)單調(diào)遞減,所以當(dāng)x∈(0,+∞)時(shí),f'(x)≤0,f(x)單調(diào)遞減,不合題意.④當(dāng)a>12時(shí),0<1當(dāng)x∈12a,1時(shí),f'(x)>0,當(dāng)x∈(1,+∞)時(shí),f'(x)<0,f(x)單調(diào)遞減,所以f(x)在x=1處取極大值,合題意.綜上可知,實(shí)數(shù)a的取值范圍為a>12思路分析(1)求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù),對(duì)a進(jìn)行分類(lèi)討論;(2)由第(1)問(wèn)知f'(1)=0,對(duì)a進(jìn)行分類(lèi)討論,然后利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性和極值來(lái)驗(yàn)證是否滿(mǎn)足條件,從而求出a的取值范圍.評(píng)析本題考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用,利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)性和極值要注意“定義域優(yōu)先”原則,注意對(duì)a分類(lèi)討論.22.(2016課標(biāo)Ⅱ理,21,12分)(1)討論函數(shù)f(x)=x?2x+2ex的單調(diào)性,并證明當(dāng)x>0(2)證明:當(dāng)a∈[0,1)時(shí),函數(shù)g(x)=ex?ax?ax2(x>0)有最小值.設(shè)解析(1)f(x)的定義域?yàn)?-∞,-2)∪(-2,+∞).(2分)f'(x)=(x?1)(x且僅當(dāng)x=0時(shí),f'(x)=0,所以f(x)在(-∞,-2),(-2,+∞)單調(diào)遞增.因此當(dāng)x∈(0,+∞)時(shí),f(x)>f(0)=-1.所以(x-2)ex>-(x+2),(x-2)ex+x+2>0.(4分)(2)g'(x)=(x?2)ex由(1)知,f(x)+a單調(diào)遞增.對(duì)任意a∈[0,1),f(0)+a=a-1<0,f(2)+a=a≥0.因此,存在唯一xa∈(0,2],使得f(xa)+a=0,即g'(xa)=0.(6分)當(dāng)0<x<xa時(shí),f(x)+a<0,g'(x)<0,g(x)單調(diào)遞減;當(dāng)x>xa時(shí),f(x)+a>0,g'(x)>0,g(x)單調(diào)遞增.(7分)因此g(x)在x=xa處取得最小值,最小值為g(xa)=exa?a(xa于是h(a)=exaxa+2,由exx+2所以,由xa∈(0,2],得12=e00+2<h(a)=exaxa因?yàn)閥=exx+2單調(diào)遞增,對(duì)任意λ∈12,e24,存在唯一的xa∈(0,2],a=-f(xa)∈綜上,當(dāng)a∈[0,1)時(shí),g(x)有最小值h(a),h(a)的值域是12,e疑難突破本題求解的關(guān)鍵是“設(shè)而不求”方法的運(yùn)用,另外,注意將對(duì)g'(x)符號(hào)的判斷靈活地轉(zhuǎn)化為對(duì)f(x)+a符號(hào)的判斷.評(píng)析本題主要考查導(dǎo)數(shù)的運(yùn)用,求單調(diào)區(qū)間及最值,考查不等式的證明.屬難題.22.(2016天津理,20,14分)設(shè)函數(shù)f(x)=(x-1)3-ax-b,x∈R,其中a,b∈R.(1)求f(x)的單調(diào)區(qū)間;(2)若f(x)存在極值點(diǎn)x0,且f(x1)=f(x0),其中x1≠x0,求證:x1+2x0=3;(3)設(shè)a>0,函數(shù)g(x)=|f(x)|,求證:g(x)在區(qū)間[0,2]上的最大值不小于···解析(1)由f(x)=(x-1)3-ax-b,可得f'(x)=3(x-1)2-a.下面分兩種情況討論:①當(dāng)a≤0時(shí),有f'(x)=3(x-1)2-a≥0恒成立,所以f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(-∞,+∞).②當(dāng)a>0時(shí),令f'(x)=0,解得x=1+3a3或x=1-當(dāng)x變化時(shí),f'(x),f(x)的變化情況如下表:x-∞,1-3a31-31-3a3,1+31+31+3a3,+∞f'(x)+0-0+f(x)單調(diào)遞增極大值單調(diào)遞減極小值單調(diào)遞增所以f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間為1?3a3,1+3(2)證明:因?yàn)閒(x)存在極值點(diǎn),所以由(1)知a>0,且x0≠1.由題意,得f'(x0)=3(x0-1)2-a=0,即(x0-1)2=a3,進(jìn)而f(x0)=(x0-1)3-ax0-b=-2a3x0又f(3-2x0)=(2-2x0)3-a(3-2x0)-b=8a3(1-x0)+2ax0-3a-b=-2a3x0-a3-b=f(x0),且3-2x由題意及(1)知,存在唯一實(shí)數(shù)x1滿(mǎn)足f(x1)=f(x0),且x1≠x0,因此x1=3-2x0.所以x1+2x0=3.(3)證明:設(shè)g(x)在區(qū)間[0,2]上的最大值為M,max{x,y}表示x,y兩數(shù)的最大值.下面分三種情況討論:①當(dāng)a≥3時(shí),1-3a3≤0<2≤1+3a3,由(1)知,f(x)在區(qū)間[0,2]上單調(diào)遞減,所以f(x)在區(qū)間[0,2]上的取值范圍為M=max{|f(2)|,|f(0)|}=max{|1-2a-b|,|-1-b|}=max{|a-1+(a+b)|,|a-1-(a+b)|}=a所以M=a-1+|a+b|≥2.②當(dāng)34≤a<3時(shí),1-23a3≤0<1-3a3<1+3a3<2≤1+23a3,由(1)和(2)知f(0)≥f1所以f(x)在區(qū)間[0,2]上的取值范圍為f1+因此M=maxf=max?=max2=2a93a+|a+b|≥29×3③當(dāng)0<a<34時(shí),0<1-23a由(1)和(2)知f(0)<f1?23af(2)>f1+23a所以f(x)在區(qū)間[0,2]上的取值范圍為[f(0),f(2)],因此M=max{|f(0)|,|f(2)|}=max{|-1-b|,|1-2a-b|}=max{|1-a+(a+b)|,|1-a-(a+b)|}=1-a+|a+b|>14綜上所述,當(dāng)a>0時(shí),g(x)在區(qū)間[0,2]上的最大值不小于14易錯(cuò)警示(1)對(duì)參數(shù)a討論時(shí)易忽略a≤0的情形,導(dǎo)致忽略f(x)在R上遞增的情況.(3)討論0<a<3時(shí),未意識(shí)到仍需將a分成0<a<34與34≤a<3兩段來(lái)討論,評(píng)析本題主要考查導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算、利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的性質(zhì)、證明不等式等基礎(chǔ)知識(shí)和方法.考查分類(lèi)討論思想和化歸思想.考查綜合分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的能力.23.(2015課標(biāo)Ⅱ文,21,12分)已知函數(shù)f(x)=lnx+a(1-x).(1)討論f(x)的單調(diào)性;(2)當(dāng)f(x)有最大值,且最大值大于2a-2時(shí),求a的取值范圍.解析(1)f(x)的定義域?yàn)?0,+∞),f'(x)=1x若a≤0,則f'(x)>0,所以f(x)在(0,+∞)上單調(diào)遞增.若a>0,則當(dāng)x∈0,1a時(shí),f'(x)>0;當(dāng)x∈1a,+∞時(shí),f'(x)<0.所以f(x)在0,1(2)由(1)知,當(dāng)a≤0時(shí),f(x)在(0,+∞)上無(wú)最大值;當(dāng)a>0時(shí),f(x)在x=1a處取得最大值,最大值為f1a=ln1a+a1因此f1a>2a-2等價(jià)于ln令g(a)=lna+a-1,則g(a)在(0,+∞)上單調(diào)遞增,g(1)=0.于是,當(dāng)0<a<1時(shí),g(a)<0;當(dāng)a>1時(shí),g(a)>0.因此,a的取值范圍是(0,1).20.(2013課標(biāo)Ⅰ文,20,12分)已知函數(shù)f(x)=ex(ax+b)-x2-4x,曲線y=f(x)在點(diǎn)(0,f(0))處的切線方程為y=4x+4.(1)求a,b的值;(2)討論f(x)的單調(diào)性,并求f(x)的極大值.解析(1)f'(x)=ex(ax+a+b)-2x-4.由已知得f(0)=4,f'(0)=4.故b=4,a+b=8.從而a=4,b=4.(2)由(1)知f(x)=4ex(x+1)-x2-4x,f'(x)=4ex(x+2)-2x-4=4(x+2)ex令f'(x)=0,得x=-ln2或x=-2.從而當(dāng)x∈(-∞,-2)∪(-ln2,+∞)時(shí),f'(x)>0;當(dāng)x∈(-2,-ln2)時(shí),f'(x)<0.故f(x)在(-∞,-2),(-ln2,+∞)上單調(diào)遞增,在(-2,-ln2)上單調(diào)遞減.當(dāng)x=-2時(shí),函數(shù)f(x)取得極大值,極大值為f(-2)=4(1-e-2).評(píng)析本題考查導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算及幾何意義、利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性和極值等基礎(chǔ)知識(shí),考查了運(yùn)算求解能力.24.(2013課標(biāo)Ⅱ文,21,12分)已知函數(shù)f(x)=x2e-x.(1)求f(x)的極小值和極大值;(2)當(dāng)曲線y=f(x)的切線l的斜率為負(fù)數(shù)時(shí),求l在x軸上截距的取值范圍.解析(1)f(x)的定義域?yàn)?-∞,+∞),f'(x)=-e-xx(x-2).①當(dāng)x∈(-∞,0)或x∈(2,+∞)時(shí),f'(x)<0;當(dāng)x∈(0,2)時(shí),f'(x)>0.所以f(x)在(-∞,0),(2,+∞)上單調(diào)遞減,在(0,2)上單調(diào)遞增.故當(dāng)x=0時(shí),f(x)取得極小值,極小值為f(0)=0;當(dāng)x=2時(shí),f(x)取得極大值,極大值為f(2)=4e-2.(2)設(shè)切點(diǎn)為(t,f(t)),則l的方程為y=f'(t)(x-t)+f(t).所以l在x軸上的截距為m(t)=t-f(t)f'(由已知和①得t∈(-∞,0)∪(2,+∞).令h(x)=x+2x(x≠0),則當(dāng)x∈(0,+∞)時(shí),h(x)的取值范圍為[22,+∞);當(dāng)x∈(-∞,-2)時(shí),h(x)的取值范圍是所以當(dāng)t∈(-∞,0)∪(2,+∞)時(shí),m(t)的取值范圍是(-∞,0)∪[22+3,+∞).綜上,l在x軸上的截距的取值范圍是(-∞,0)∪[22+3,+∞).評(píng)析本題考查了導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用,均值定理求最值,考查了綜合解題的能力,正確地求導(dǎo)是解題的關(guān)鍵.25.(2012課標(biāo)理,21,12分)已知函數(shù)f(x)滿(mǎn)足f(x)=f'(1)ex-1-f(0)x+12x2(1)求f(x)的解析式及單調(diào)區(qū)間;(2)若f(x)≥12x2+ax+b,求(a+1)b的最大值解析(1)由已知得f'(x)=f'(1)ex-1-f(0)+x,所以f'(1)=f'(1)-f(0)+1,即f(0)=1.又f(0)=f'(1)e-1,所以f'(1)=e.從而f(x)=ex-x+12x2由于f'(x)=ex-1+x,故當(dāng)x∈(-∞,0)時(shí),f'(x)<0;當(dāng)x∈(0,+∞)時(shí),f'(x)>0.從而,f(x)在(-∞,0)上單調(diào)遞減,在(0,+∞)上單調(diào)遞增.(2)由已知條件得ex-(a+1)x≥b.①(i)若a+1<0,則對(duì)任意常數(shù)b,當(dāng)x<0,且x<1?ba+1時(shí),可得ex-(a+1)x<b,(ii)若a+1=0,則(a+1)b=0.(iii)若a+1>0,設(shè)g(x)=ex-(a+1)x,則g'(x)=ex-(a+1).當(dāng)x∈(-∞,ln(a+1))時(shí),g'(x)<0;當(dāng)x∈(ln(a+1),+∞)時(shí),g'(x)>0.從而g(x)在(-∞,ln(a+1))上單調(diào)遞減,在(ln(a+1),+∞)上單調(diào)遞增.故g(x)有最小值g(ln(a+1))=a+1-(a+1)ln(a+1).所以f(x)≥12x2+ax+b等價(jià)于b≤a+1-(a+1)·因此(a+1)b≤(a+1)2-(a+1)2ln(a+1).設(shè)h(a)=(a+1)2-(a+1)2ln(a+1),則h'(a)=(a+1)[1-2ln(a+1)].所以h(a)在(-1,e12-1)上單調(diào)遞增,在(e12-1,+∞)上單調(diào)遞減,故h(a)在a=從而h(a)≤e2,即(a+1)b≤e當(dāng)a=e12-1,b=e122時(shí),②式成立,故f(x)綜合得,(a+1)b的最大值為e2評(píng)析本題考查了函數(shù)與導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用,難度較大,考查了分類(lèi)討論和函數(shù)與方程的思想方法,直線斜率以零為分界點(diǎn)進(jìn)行分類(lèi)是解題關(guān)鍵.26.(2012課標(biāo)文,21,12分)設(shè)函數(shù)f(x)=ex-ax-2.(1)求f(x)的單調(diào)區(qū)間;(2)若a=1,k為整數(shù),且當(dāng)x>0時(shí),(x-k)·f'(x)+x+1>0,求k的最大值.解析(1)f(x)的定義域?yàn)?-∞,+∞),f'(x)=ex-a.若a≤0,則f'(x)>0,所以f(x)在(-∞,+∞)上單調(diào)遞增.若a>0,則當(dāng)x∈(-∞,lna)時(shí),f'(x)<0;當(dāng)x∈(lna,+∞)時(shí),f'(x)>0,所以,f(x)在(-∞,lna)上單調(diào)遞減,在(lna,+∞)上單調(diào)遞增.(2)由于a=1,所以(x-k)f'(x)+x+1=(x-k)(ex-1)+x+1.故當(dāng)x>0時(shí),(x-k)f'(x)+x+1>0等價(jià)于k<x+1令g(x)=x+1ex?1+x,則由(1)知,函數(shù)h(x)=ex-x-2在(0,+∞)上單調(diào)遞增.而h(1)<0,h(2)>0,所以h(x)在(0,+∞)上存在唯一的零點(diǎn).故g'(x)在(0,+∞)上存在唯一的零點(diǎn).設(shè)此零點(diǎn)為α,則α∈(1,2).當(dāng)x∈(0,α)時(shí),g'(x)<0;當(dāng)x∈(α,+∞)時(shí),g'(x)>0.所以g(x)在(0,+∞)上的最小值為g(α).又由g'(α)=0,可得eα=α+2,所以g(α)=α+1∈(2,3).由于①式等價(jià)于k<g(α),故整數(shù)k的最大值為2.評(píng)析本題考查了函數(shù)與導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用,判斷出導(dǎo)數(shù)的零點(diǎn)范圍是求解第(2)問(wèn)的關(guān)鍵.27.(2017課標(biāo)Ⅲ理,21,12分)已知函數(shù)f(x)=x-1-alnx.(1)若f(x)≥0,求a的值;(2)設(shè)m為整數(shù),且對(duì)于任意正整數(shù)n,1+121+122…解析本題考查導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用.(1)f(x)的定義域?yàn)?0,+∞).①若a≤0,因?yàn)閒12=-12+aln2<0,②若a>0,由f'(x)=1-ax=x?ax知,當(dāng)x∈(0,a)時(shí),f'(x)<0;當(dāng)x∈(a,+∞)時(shí),f'(x)>0.所以f(x)在(0,a)單調(diào)遞減,在(a,+∞)單調(diào)遞增.故x=a是f(x)由于f(1)=0,所以當(dāng)且僅當(dāng)a=1時(shí),f(x)≥0.故a=1.(2)由(1)知當(dāng)x∈(1,+∞)時(shí),x-1-lnx>0.令x=1+12n,得ln1+1從而ln1+12+ln1+122+…+ln1+12n<12故1+121+而1+121+12思路分析(1)對(duì)a分類(lèi)討論,并利用導(dǎo)數(shù)研究f(x)的單調(diào)性,找出最小值點(diǎn),從而求出a.(2)由(1)得當(dāng)x>1時(shí),x-1-lnx>0.令x=1+12n,換元后可求出1+12一題多解(1)f'(x)=1-ax=x?ax(x>0).當(dāng)a≤0時(shí),f'(x)>0,而f(1)=0,不合題意,∴a>0,∴f(x)在(0,a)上單調(diào)遞減,在(a,+∞)上單調(diào)遞增.又f(x)≥0,∴f(a)≥0,即a-1-alna≥0①,記h(x)=x-1-xlnx,則h'(x)=1-lnx-1=-lnx.∴h(x)在(0,1)上單調(diào)遞增,在(1,+∞)上單調(diào)遞減,∴h(x)≤h(1)=0,即當(dāng)且僅當(dāng)x=1時(shí),h(x)≥0,∴當(dāng)且僅當(dāng)a=128.(2016課標(biāo)Ⅱ文,20,12分)已知函數(shù)f(x)=(x+1)lnx-a(x-1).(1)當(dāng)a=4時(shí),求曲線y=f(x)在(1,f(1))處的切線方程;(2)若當(dāng)x∈(1,+∞)時(shí),f(x)>0,求a的取值范圍.解析(1)f(x)的定義域?yàn)?0,+∞).當(dāng)a=4時(shí),f(x)=(x+1)lnx-4(x-1),f'(x)=lnx+1x-3,f'(1)=-2,f(1)=0.曲線y=f(x)在(1,f(1))處的切線方程為2x+y-2=0.(3分)(2)當(dāng)x∈(1,+∞)時(shí),f(x)>0等價(jià)于lnx-a(x?設(shè)g(x)=lnx-a(xg'(x)=1x-2a(x+1(i)當(dāng)a≤2,x∈(1,+∞)時(shí),x2+2(1-a)x+1≥x2-2x+1>0,故g'(x)>0,g(x)在(1,+∞)上單調(diào)遞增,因此g(x)>0;(8分)(ii)當(dāng)a>2時(shí),令g'(x)=0得x1=a-1-(a?1)2?1由x2>1和x1x2=1得x1<1,故當(dāng)x∈(1,x2)時(shí),g'(x)<0,g(x)在(1,x2)上單調(diào)遞減,因此g(x)<0.(11分)綜上,a的取值范圍是(-∞,2].(12分)評(píng)析本題主要考查了導(dǎo)數(shù)的幾何意義及導(dǎo)數(shù)的綜合運(yùn)用,對(duì)分類(lèi)討論的思想方法考查到位,屬難題.29.(2016課標(biāo)Ⅲ理,21,12分)設(shè)函數(shù)f(x)=αcos2x+(α-1)(cosx+1),其中α>0,記|f(x)|的最大值為A.(1)求f'(x);(2)求A;(3)證明|f'(x)|≤2A.解析(1)f'(x)=-2αsin2x-(α-1)sinx.(2分)(2)當(dāng)α≥1時(shí),|f(x)|=|αcos2x+(α-1)(cosx+1)|≤α+2(α-1)=3α-2=f(0).因此A=3α-2.(4分)當(dāng)0<α<1時(shí),將f(x)變形為f(x)=2αcos2x+(α-1)cosx-1.設(shè)t=cosx,則t∈[-1,1],令g(t)=2αt2+(α-1)t-1,則A是|g(t)|在[-1,1]上的最大值,g(-1)=α,g(1)=3α-2,且當(dāng)t=1?α4α?xí)r,g(t)取得最小值,最小值為g1?令-1<1?α4α<1,解得α<-13(舍去),或(i)當(dāng)0<α≤15時(shí),g(t)在(-1,1)內(nèi)無(wú)極值點(diǎn),|g(-1)|=α,|g(1)|=2-3α,|g(-1)|<|g(1)|,所以(ii)當(dāng)15<α<1時(shí),由g(-1)-g(1)=2(1-α)>0,知g(-1)>g(1)>g1又g1?α所以A=g1?α綜上,A=2?3α(3)由(1)得|f'(x)|=|-2αsin2x-(α-1)sinx|≤2α+|α-1|.當(dāng)0<α≤15時(shí),|f'(x)|≤1+α≤當(dāng)15<α<1時(shí),A=α8+18α+34>1,所以當(dāng)α≥1時(shí),|f'(x)|≤3α-1≤6α-4=2A.所以|f'(x)|≤2A.(12分)評(píng)析本題主要考查導(dǎo)數(shù)的計(jì)算及導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用,考查了二次函數(shù)的性質(zhì),解題時(shí)注意分類(lèi)討論,本題綜合性較強(qiáng),屬于難題.30.(2015天津理,20,14分)已知函數(shù)f(x)=nx-xn,x∈R,其中n∈N*,且n≥2.(1)討論f(x)的單調(diào)性;(2)設(shè)曲線y=f(x)與x軸正半軸的交點(diǎn)為P,曲線在點(diǎn)P處的切線方程為y=g(x),求證:對(duì)于任意的正實(shí)數(shù)x,都有f(x)≤g(x);(3)若關(guān)于x的方程f(x)=a(a為實(shí)數(shù))有兩個(gè)正實(shí)數(shù)根x1,x2,求證:|x2-x1|<a1解析(1)由f(x)=nx-xn,可得f'(x)=n-nxn-1=n(1-xn-1),其中n∈N*,且n≥2.下面分兩種情況討論:①當(dāng)n為奇數(shù)時(shí).令f'(x)=0,解得x=1,或x=-1.當(dāng)x變化時(shí),f'(x),f(x)的變化情況如下表:x(-∞,-1)(-1,1)(1,+∞)f'(x)-+-f(x)↘↗↘所以,f(x)在(-∞,-1),(1,+∞)上單調(diào)遞減,在(-1,1)內(nèi)單調(diào)遞增.②當(dāng)n為偶數(shù)時(shí).當(dāng)f'(x)>0,即x<1時(shí),函數(shù)f(x)單調(diào)遞增;當(dāng)f'(x)<0,即x>1時(shí),函數(shù)f(x)單調(diào)遞減.所以,f(x)在(-∞,1)上單調(diào)遞增,在(1,+∞)上單調(diào)遞減.證明:設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(x0,0),則x0=n1n?1,f'(x0)=n-n2.曲線y=f(x)f'(x0)(x-x0),即g(x)=f'(x0)(x-x0).令F(x)=