12 概率與統(tǒng)計（基礎卷）（解析版）

2025年普通高等學校對口招生考試數(shù)學二輪復習單元專項卷第十一章概率與統(tǒng)計（基礎卷）選擇題（本大題共10小題，每小題4分，共40分）1．的展開式中含的項是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】先寫出二項式展開式的通項，令的指數(shù)位置等于可得的值，即可求解.【詳解】的展開式的通項公式為，則，得，所以含的項是．故選：C.2．音樂播放器里有15首中文歌曲和5首英文歌曲，任選1首歌曲進行播放，則不同的選法共有（

）A．30種 B．75種 C．10種 D．20種【答案】D【分析】由簡單計數(shù)原理求不同選法數(shù).【詳解】在15首中文歌曲和5首英文歌曲，共20首歌中任選一首播放，不同的選法共有種.故選：D3．的展開式中，二項式系數(shù)最大的是（

）A．第3項 B．第4項 C．第5項 D．第6項【答案】C【分析】根據(jù)二項展開式的二項式系數(shù)的性質，即可求解.【詳解】由二項式，可得其展開式共有9項，根據(jù)二項式系數(shù)的性質，可得中間項第5項的二項式系數(shù)最大.故選：C.4．甲?乙兩人下棋，甲獲勝的概率為，乙獲勝的概率為，則甲?乙兩人下成平局的概率是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)概率的基本性質求甲?乙兩人下成平局的概率.【詳解】由題設，甲獲勝概率為，乙獲勝（即甲輸）概率為，所以甲乙平局的概率為.故選：A5．已知數(shù)據(jù)的平均數(shù)是5，則這組數(shù)據(jù)的標準差為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)平均數(shù)得到，進而利用方程和標準差公式求出答案.【詳解】由題意得，解得，故這組數(shù)據(jù)的方差為，故標準差為.故選：D6．樣本數(shù)據(jù)16，24，14，10，20，30，12，14，40的中位數(shù)為（

）A．14 B．16 C．18 D．20【答案】B【分析】由中位數(shù)定義即可得.【詳解】將這些數(shù)據(jù)從小到大排列可得：10，12，14，14，16，20，24，30，40，則其中位數(shù)為16.故選：B.7．某學校高三年級有男生640人，女生360人．為了解高三學生參加體育運動的情況，采用分層抽樣的方法抽取樣本，現(xiàn)從男、女學生中共抽取50名學生，則男、女學生的樣本容量分別為（

）A．30，20 B．18，32 C．25，25 D．32，18【答案】D【分析】由分層抽樣的定義求解即可.【詳解】根據(jù)分層抽樣的定義，知男生共抽?。ㄈ耍?，女生共抽?。ㄈ耍蔬x：D．8．某校高二年級有學生1400人，其中女生714人，用分層抽樣方法抽取容量為100的一個樣本，則所抽男生人數(shù)是（

）A．52 B．51 C．49 D．48【答案】C【分析】直接根據(jù)男生占總人數(shù)的比例來求解即可.【詳解】根據(jù)男女生人數(shù)情況可得所抽男生人數(shù)是.故選：C.9．某學生要從5門選修課中選擇1門，從4個課外活動中選擇2個，則不同的選擇種數(shù)為（

）A．11 B．10 C．20 D．30【答案】D【分析】由分步乘法計數(shù)原理即可得到結果.【詳解】先從5門選修課中選擇1門，有5種選法；再從4個課外活動中選擇2個，有種選法.所以該學生不同的選擇種數(shù)為.故選：D.10．甲、乙、丙、丁、戊5人站成一排，要求甲、乙均不與丙相鄰，則不同的排法種數(shù)為A．72種 B．36種 C．54種 D．24種【答案】B【詳解】試題分析：乙如果與兩人相鄰，則一定是丁與戊，而丁和戊可交換位置共有兩種，則乙和丁戊共同構成人一團，從五個位置中選個相鄰的位置共有種方法，而甲乙互換又有兩種，則有種，乙如果在首末兩位，則有兩種選擇與乙相鄰的只有丁和戊，其余的三個位置隨便排種結果，根據(jù)分步計數(shù)原理知共有種，根據(jù)分類計數(shù)原理，可得不同的排法種數(shù)為種，故選B．考點：計數(shù)原理的應用．【方法點晴】本題主要考查了排列、組合和計數(shù)原理的應用，對于站隊問題是排列、組合的典型問題，解答時，要先排有限制條件多的元素，再排其它元素，本題解答的關鍵是看清題目的實質，把實際問題轉化為數(shù)學問題，解出結果后再還原為實際問題，著重考查了分析問題和解答問題的能力，試題有一定的難度，屬于中檔試題．二、填空題（本大題共5小題，每小題4分，共20分）11．在的展開式中，所有二項式系數(shù)的和是16，則.【答案】【分析】由二項式系數(shù)的和為即可得.【詳解】，所以.故答案為：.12．6名同學排隊站成一排，要求甲乙兩人不相鄰，共有種不同的排法.【答案】【分析】先安排除甲乙之外的四個人，再在5個空位上插空安排甲乙二人可得答案.【詳解】插空法，.故答案為：480.13．某學校要從6名男生和4名女生中選出3人擔任進博會志愿者，則所選3人中男女生都有的選法有種.（用數(shù)字作答）【答案】96【分析】分兩種情況，結合組合知識進行求解【詳解】當所選3人中男生1人，女生2人，此時有種選擇，當所選3人中男生2人，女生1人，此時有種選擇，故共有種選擇.故答案為：9614．的展開式中項的系數(shù)為．【答案】【分析】根據(jù)二項式展開式的通項公式求得正確答案.【詳解】的展開式中項的系數(shù)為.故答案為：15．名男生和名女生站成一排照相，則男生站在一起的概率為．【答案】/【分析】根據(jù)排列以及古典概型概率計算公式求得正確答案.【詳解】名男生和名女生站成一排照相，基本事件有種，其中男生站一起的事件有種，所以男生站在一起的概率為.故答案為：三、解答題（本大題共7小題，滿分60分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟）16．（5分）在一次猜燈速的活動中，共有20道燈謎，甲乙兩名同學之間獨立競猜.甲同學猜對了16道，乙同學猜對了12道，假設猜對每道燈謎都是等可能的.(1)任選一道燈謎，求甲和乙各自猜對的概率；(2)任選一道燈謎，求甲和乙至少一人猜對的概率.【答案】(1)甲猜對概率為，乙猜對概率為(2)【分析】（1）根據(jù)古典概型的知識求得正確答案.（2）利用對立事件的知識求得正確答案.【詳解】（1）甲猜對的概率為，乙猜對的概率為.（2）甲乙都沒有猜對的概率為，所以甲和乙至少一人猜對的概率為.17．（5分）已知的展開式中二項式系數(shù)之和與各項系數(shù)之和的乘積為64.(1)求的值；(2)求展開式中二項式系數(shù)最大的項.【答案】(1)(2)【分析】（1）令可得，展開式中各項系數(shù)之和，展開式中的二項式系數(shù)之和為，由題意列方程求解；（2）根據(jù)二項式系數(shù)的性質可知第4項的二項式系數(shù)最大，再根據(jù)二項展開式的通項公式運算求解.【詳解】（1）令，得展開式中各項系數(shù)之和為，且二項式系數(shù)之和為，由題意可得：，解得.（2）由（1）知，展開式共有7項，則第4項的二項式系數(shù)最大，所以二項式系數(shù)最大的項為.18．（10分）某縣教育局從縣直學校推薦的6名教師中任選3人去參加進修活動，這6名教師中，語文、數(shù)學、英語教師各2人．(1)求選出的數(shù)學教師人數(shù)多于語文教師人數(shù)的概率；(2)設X表示選出的3人中數(shù)學教師的人數(shù)，求X的分布列．【答案】(1)(2)分布列見解析【分析】（1）首先計算出所有基本事件數(shù)，再求出“選出的數(shù)學老師人數(shù)多于語文老師的人數(shù)”的基本事件數(shù)，利用古典概型計算公式可求得結果.（2）根據(jù)題意，列出的所有可能的取值，求出對應的概率，即可列出分布列.【詳解】（1）從6名老師中選3人的方法種數(shù)有：.數(shù)學老師多于語文老師的選法有：①1名數(shù)學，2名英語的選法：種；②2名數(shù)學的選法有：種.所以數(shù)學老師多于語文老師的選法有：種.故數(shù)學老師多于語文老師的概率為：.（2）由題意，的可能取值為：0，1，2.，，.所以的分布列為：0120.20.60.219．（10分）己知的展開式二項式系數(shù)和為64.(1)求展開式中的常數(shù)項；(2)求展開式中二項式系數(shù)最大的項.【答案】(1)60(2).【分析】（1）由二項系數(shù)和確定n,再利用二項展開式的通項公式求解（2）利用二項式系數(shù)增減性質確定最大項即可求解【詳解】（1）由題意得：，解得由通項公式，令，可得：.則常數(shù)項為（2）是偶數(shù)，展開式共有7項，則第四項最大，∴展開式中二項式系數(shù)最大的項為.20．（10分）袋子里有大小相同但標有不同號碼的3個紅球和4個黑球，從袋子里隨機取出4個球，(1)求取出的紅球數(shù)的概率分布列；(2)若取到每個紅球得2分，取到每個黑球得1分，求得分不超過5分的概率．【答案】(1)分布列見解析(2)【分析】（1）根據(jù)題意得到隨機變量的可能取值，求出相對應的概率，列出分布列即可．（2）根據(jù)題意取出的球中有1個紅球和3個黑球的情況或4個黑球的情況的概率即可求解.【詳解】（1）由題意，隨機變量的可能取值為0，1，2，3所以，，，所以隨機變量的分布列為：0123（2）設“取出4個球得分不超過5分”的事件記為，則事件表示取出的球中有1個紅球和3個黑球的情況或4個黑球的情況，則.21．（10分）甲乙兩人進行乒乓球比賽，現(xiàn)約定：誰先贏3局誰就贏得比賽，且比賽結束．若每局比賽甲獲勝的概率為，乙獲勝的概率為．(1)求甲贏得比賽的概率；(2)記比賽結束時的總局數(shù)為，寫出的分布列，并求出的期望值．【答案】(1)(2)分布列見詳解，.【分析】（1）根據(jù)題意，求出甲勝共進行3局，4局，5局的概率，再利用互斥事件的概率公式求解；（2）的可能值為3，4，5，分別求出每種情況的概率，按照步驟求分布列即可.【詳解】（1）比賽采用5局3勝，甲贏得比賽有以下3種情況：①

甲連贏3局：；②

前3局2勝1負，第4局甲贏：;③

前4局甲2勝2負，第5局甲贏：，所以甲贏得比賽的概率為.（2）可以取3，4，5所以,,,由此可得的分布列為：345所以.22．（10分）某地要從2名男運動員?4名