高中數(shù)學(xué)第三章數(shù)系的擴(kuò)充與復(fù)數(shù)的引入3-1-2復(fù)數(shù)的幾何意義課件新人教A版選修1-2

3.1.2復(fù)數(shù)的幾何意義

1.復(fù)平面復(fù)數(shù)z=a+bi(a,b∈R)可以用直角坐標(biāo)平面內(nèi)的一個(gè)點(diǎn)Z(a,b)來(lái)表示,如圖:必備知識(shí)·自主學(xué)習(xí)2.復(fù)數(shù)的幾何意義【思考】復(fù)平面上的點(diǎn)和復(fù)數(shù)如何建立起一一對(duì)應(yīng)關(guān)系?提示:建立直角坐標(biāo)系,橫軸為實(shí)軸,縱軸為虛軸,復(fù)數(shù)a+bi(a,b∈R)與點(diǎn)(a,b)對(duì)應(yīng).3.復(fù)數(shù)的模(1)定義:向量的模r叫做復(fù)數(shù)z=a+bi(a,b∈R)的模.(2)記法:復(fù)數(shù)z=a+bi的模記為|z|或|a+bi|.(3)公式:|z|=|a+bi|=r=_______(r≥0,r∈R).【思考】?jī)蓚€(gè)虛數(shù)是不能比較大小的,兩個(gè)虛數(shù)的模能比較大小嗎?提示:復(fù)數(shù)的模就是復(fù)數(shù)的長(zhǎng)度,它是一個(gè)實(shí)數(shù),所以兩個(gè)虛數(shù)的模是能夠比較大小的.【基礎(chǔ)小測(cè)】1.辨析記憶(對(duì)的打“√”,錯(cuò)的打“×”)(1)原點(diǎn)是實(shí)軸和虛軸的交點(diǎn). (

)(2)實(shí)軸和虛軸的單位都是1. (

)(3)實(shí)軸上的點(diǎn)表示實(shí)數(shù),虛軸上的點(diǎn)表示純虛數(shù). (

)(4)復(fù)數(shù)與復(fù)平面內(nèi)的無(wú)數(shù)多個(gè)向量對(duì)應(yīng). (

)提示:(1)√.原點(diǎn)既在實(shí)軸上又在虛軸上,所以原點(diǎn)是實(shí)軸和虛軸的交點(diǎn).(2)×.實(shí)軸的單位是1,而虛軸的單位是虛數(shù)的單位i.(3)×.實(shí)軸上的點(diǎn)表示實(shí)數(shù),而虛軸上的點(diǎn)除原點(diǎn)外都表示純虛數(shù),原點(diǎn)表示實(shí)數(shù)0.(4)√.復(fù)數(shù)與復(fù)平面內(nèi)的無(wú)數(shù)多個(gè)向量對(duì)應(yīng),與以原點(diǎn)為起點(diǎn)的向量是一一對(duì)應(yīng)的,故這種說(shuō)法是正確的.提示:(1)√.原點(diǎn)既在實(shí)軸上又在虛軸上,所以原點(diǎn)是實(shí)軸和虛軸的交點(diǎn).(2)×.實(shí)軸的單位是1,而虛軸的單位是虛數(shù)的單位i.(3)×.實(shí)軸上的點(diǎn)表示實(shí)數(shù),而虛軸上的點(diǎn)除原點(diǎn)外都表示純虛數(shù),原點(diǎn)表示實(shí)數(shù)0.(4)√.復(fù)數(shù)與復(fù)平面內(nèi)的無(wú)數(shù)多個(gè)向量對(duì)應(yīng),與以原點(diǎn)為起點(diǎn)的向量是一一對(duì)應(yīng)的,故這種說(shuō)法是正確的.2.(教材二次開發(fā):習(xí)題改編)在復(fù)平面內(nèi),O為原點(diǎn),向量對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)為8+3i,

與關(guān)于y軸對(duì)稱,則點(diǎn)B對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)為 (

)A.8-3i B.-8-3i C.3+8i D.-8+3i【解析】選D.關(guān)于y軸對(duì)稱的復(fù)數(shù)虛部相同,實(shí)部互為相反數(shù).3.在復(fù)平面內(nèi),復(fù)數(shù)6+5i,-2+3i對(duì)應(yīng)的點(diǎn)分別為A,B.若C為線段AB的中點(diǎn),則點(diǎn)C對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)是 (

)A.4+8i B.8+2i C.2+4i D.4+i【解析】選C.由題意知A(6,5),B(-2,3),則AB中點(diǎn)C(2,4)對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)為2+4i.關(guān)鍵能力·合作學(xué)習(xí)類型一復(fù)數(shù)與復(fù)平面內(nèi)點(diǎn)的關(guān)系(直觀想象)【題組訓(xùn)練】1.已知復(fù)數(shù)z=-i,其復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)點(diǎn)Z的坐標(biāo)為 (

)

A.(0,-1) B.(-1,0) C.(0,0) D.(-1,-1)2.點(diǎn)(-2,1)所對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)是 (

)A.z=1+2i B.z=1-2i C.z=-1+2i D.z=-2+i3.求實(shí)數(shù)a分別取何值時(shí),復(fù)數(shù)

對(duì)應(yīng)的點(diǎn)Z滿足下列條件:(1)在復(fù)平面的第二象限內(nèi);(2)在復(fù)平面內(nèi)的x軸上方.【解析】1.選A.復(fù)數(shù)z=-i的實(shí)部為0,虛部為-1,故復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)點(diǎn)Z的坐標(biāo)為(0,-1).2.選D.點(diǎn)(-2,1)所對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)是z=-2+i.3.(1)點(diǎn)Z在復(fù)平面的第二象限內(nèi),則解得a<-3.(2)點(diǎn)Z在x軸上方,則即(a+3)(a-5)>0,解得a>5或a<-3.【解題策略】利用復(fù)數(shù)與點(diǎn)的對(duì)應(yīng)解題的步驟

(1)找對(duì)應(yīng)關(guān)系:復(fù)數(shù)的幾何表示法即復(fù)數(shù)z=a+bi(a,b∈R)可以用復(fù)平面內(nèi)的點(diǎn)Z(a,b)來(lái)表示,是解決此類問題的根據(jù).(2)列出方程(組)或不等式(組):此類問題可尋求復(fù)數(shù)的實(shí)部與虛部應(yīng)滿足的條件,通過解方程(組)或不等式(組)求解.提醒:復(fù)數(shù)與復(fù)平面內(nèi)的點(diǎn)是一一對(duì)應(yīng)關(guān)系,因此復(fù)數(shù)可以用點(diǎn)來(lái)表示.【解題策略】利用復(fù)數(shù)與點(diǎn)的對(duì)應(yīng)解題的步驟

(1)找對(duì)應(yīng)關(guān)系:復(fù)數(shù)的幾何表示法即復(fù)數(shù)z=a+bi(a,b∈R)可以用復(fù)平面內(nèi)的點(diǎn)Z(a,b)來(lái)表示,是解決此類問題的根據(jù).(2)列出方程(組)或不等式(組):此類問題可尋求復(fù)數(shù)的實(shí)部與虛部應(yīng)滿足的條件,通過解方程(組)或不等式(組)求解.提醒:復(fù)數(shù)與復(fù)平面內(nèi)的點(diǎn)是一一對(duì)應(yīng)關(guān)系,因此復(fù)數(shù)可以用點(diǎn)來(lái)表示.【補(bǔ)償訓(xùn)練】在復(fù)平面內(nèi),若復(fù)數(shù)z=(m2-m-2)+(m2-3m+2)i的對(duì)應(yīng)點(diǎn)(1)在虛軸上;(2)在第二象限;(3)在直線y=x上,分別求實(shí)數(shù)m的取值(范圍).【解析】復(fù)數(shù)z=(m2-m-2)+(m2-3m+2)i的實(shí)部為m2-m-2,虛部為m2-3m+2.(1)由題意得m2-m-2=0,解得m=2或m=-1.(2)由題意得所以所以-1<m<1.(3)由已知得m2-m-2=m2-3m+2,所以m=2.類型二復(fù)數(shù)與平面向量的關(guān)系(直觀想象)【典例】1.向量對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)為1+4i,向量對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)為-3+6i,則向量

+對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)為 (

)

A.-3+2i B.-2+10i C.4-2i D.-12i2.復(fù)數(shù)4+3i與-2-5i分別表示向量與,則向量表示的復(fù)數(shù)是________.

3.在復(fù)平面內(nèi)的長(zhǎng)方形ABCD的四個(gè)頂點(diǎn)中,點(diǎn)A,B,C對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)分別是2+3i,3+2i,-2-3i,求點(diǎn)D對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù).【思路導(dǎo)引】1.在復(fù)平面內(nèi),向量對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)為z=a+bi(a,b∈R),則向量的坐標(biāo)是(a,b),點(diǎn)Z的坐標(biāo)也是(a,b).2.=-.3.結(jié)合復(fù)數(shù)的幾何意義以及平行四邊形的特征進(jìn)行求解.【解析】1.選B.向量對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)為1+4i,向量對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)為-3+6i,所以

=(1,4),=(-3,6),所以+=(1,4)+(-3,6)=(-2,10),所以向量+對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)為-2+10i.2.因?yàn)閺?fù)數(shù)4+3i與-2-5i分別表示向量與,所以=(4,3),=(-2,-5),又=-=(-2,-5)-(4,3)=(-6,-8),所以向量表示的復(fù)數(shù)是-6-8i.答案:-6-8i3.記O為復(fù)平面的原點(diǎn),由題意得=(2,3),=(3,2),=(-2,-3).設(shè)=(x,y),則=(x-2,y-3),=(-5,-5).由題知,,所以即故點(diǎn)D對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)為-3-2i.【解題策略】復(fù)數(shù)與平面向量的對(duì)應(yīng)關(guān)系

(1)根據(jù)復(fù)數(shù)與平面向量的對(duì)應(yīng)關(guān)系,可知當(dāng)平面向量的起點(diǎn)在原點(diǎn)時(shí),向量的終點(diǎn)對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)即為向量對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù).反之復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)確定后,從原點(diǎn)引出的指向該點(diǎn)的有向線段,即為復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)的向量.(2)解決復(fù)數(shù)與平面向量一一對(duì)應(yīng)的問題時(shí),一般以復(fù)數(shù)與復(fù)平面內(nèi)的點(diǎn)一一對(duì)應(yīng)為工具,實(shí)現(xiàn)復(fù)數(shù)、復(fù)平面內(nèi)的點(diǎn)、向量之間的轉(zhuǎn)化.【跟蹤訓(xùn)練】1.已知平面直角坐標(biāo)系中O是原點(diǎn),向量,對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)分別為2-3i,-3+2i,那么向量對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)是 (

)A.-5+5i B.5-5iC.5+5i D.-5-5i【解析】選B.向量對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)分別為z1=2-3i,z2=-3+2i,根據(jù)復(fù)數(shù)與復(fù)平面內(nèi)的點(diǎn)一一對(duì)應(yīng),可得向量=(2,-3),=(-3,2).由向量減法的坐標(biāo)運(yùn)算可得向量=-=(2+3,-3-2)=(5,-5),根據(jù)復(fù)數(shù)與復(fù)平面內(nèi)的點(diǎn)一一對(duì)應(yīng),可得向量對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)是5-5i.2.已知M(1,3),N(4,-1),P(0,2),Q(-4,0),O為復(fù)平面的原點(diǎn),試寫出所表示的復(fù)數(shù).【解析】表示的復(fù)數(shù)為1+3i;表示的復(fù)數(shù)為4-i;表示的復(fù)數(shù)為2i;

表示的復(fù)數(shù)為-4.【補(bǔ)償訓(xùn)練】

1.在復(fù)平面內(nèi)把復(fù)數(shù)3-

i對(duì)應(yīng)的向量按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)

所得向量對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)是________.

【解析】3-i對(duì)應(yīng)向量為(3,-),與x軸正半軸夾角為30°,位于第四象限,順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°后所得向量終點(diǎn)在y軸非正半軸上,且模為2.故所得向量對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)是-2i.答案:-2i2.已知復(fù)數(shù)1,-1+2i,-3i,6-7i,在復(fù)平面內(nèi)畫出這些復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)的向量.【解析】復(fù)數(shù)1對(duì)應(yīng)的向量為,其中A(1,0);復(fù)數(shù)-1+2i對(duì)應(yīng)的向量為,其中B(-1,2);復(fù)數(shù)-3i對(duì)應(yīng)的向量為,其中C(0,-3);復(fù)數(shù)6-7i對(duì)應(yīng)的向量為,其中D(6,-7).如圖所示.

類型三復(fù)數(shù)的模的計(jì)算與幾何意義的應(yīng)用(直觀想象、數(shù)學(xué)運(yùn)算)【典例】1.已知復(fù)數(shù)z1=x2+

i,z2=(x2+a)i,對(duì)于任意x∈R均有|z1|>|z2|成立,試求實(shí)數(shù)a的取值范圍.2.復(fù)數(shù)z1=3+4i,z2=0,z3=c+(2c-6)i在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)分別為A,B,C,若∠BAC是鈍角,求實(shí)數(shù)c的取值范圍.【思路導(dǎo)引】1.解決有關(guān)復(fù)數(shù)模的問題的一般思路是利用所給復(fù)數(shù)的實(shí)部和虛部,求出復(fù)數(shù)的?；驈?fù)數(shù)模的平方,再利用相關(guān)的條件解題.2.不共線.【解析】1.因?yàn)閨z1|>|z2|,所以x4+x2+1>(x2+a)2,所以(1-2a)x2+(1-a2)>0對(duì)x∈R恒成立.當(dāng)1-2a=0,即a=時(shí),不等式成立;當(dāng)1-2a≠0,即a≠時(shí),需所以-1<a<,綜上,a∈.2.在復(fù)平面內(nèi)三點(diǎn)坐標(biāo)為A(3,4),B(0,0),C(c,2c-6),由∠BAC為鈍角,得cos∠BAC<0,且A,B,C不共線.=(-3,-4),=(c-3,2c-10),<0,且不共線,得c的取值范圍是.【解題策略】求解與復(fù)數(shù)模有關(guān)問題的兩種方法(1)將z=x+yi(x,y∈R)直接代入所要求的式子中去,把所要求的模用x,y的式子表示出來(lái),轉(zhuǎn)化為代數(shù)問題.(2)因?yàn)閺?fù)數(shù)和圖形有著密切的關(guān)系,可以利用這種關(guān)系把所給條件轉(zhuǎn)化為幾何問題或向量問題.【跟蹤訓(xùn)練】1.已知z1=5+3i,z2=5+4i,下列選項(xiàng)中正確的是 (

)

A.z1>z2 B.z1<z2C.|z1|>|z2| D.|z1|<|z2|【解析】選D.|z1|=|5+3i|=,|z2|=|5+4i|=.因?yàn)?所以|z1|<|z2|.2.已知復(fù)數(shù)z=3+ai(a∈R),且|z|<4,求實(shí)數(shù)a的取值范圍.【解析】方法一:因?yàn)閦=3+ai(a∈R),所以|z|=,由已知得32+a2<42,所以a2<7,所以a∈.方法二:由|z|<4知z在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在以原點(diǎn)為圓心,以4為半徑的圓內(nèi)(不包括邊界),由z=3+ai知z對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在直線x=3上,所以線段AB(除去端點(diǎn))為動(dòng)點(diǎn)Z(3,a)的集合,由圖可知-<a<.【補(bǔ)償訓(xùn)練】已知復(fù)數(shù)z滿足z+|z|=2+8i,求復(fù)數(shù)z.【解析】方法一:設(shè)z=a+bi(a,b∈R),則|z|=,代入原方程得a+bi+=2+8i,根據(jù)復(fù)數(shù)相等的充要條件,得解得所以z=-15+8i.方法二:由原方程得z=2-|z|+8i(*).因?yàn)閨z|∈R,所以2-|z|為z的實(shí)部,故|z|=,即|z|2=4-4|z|+|z|2+64,得|z|=17.將|z|=17代入(*)式得z=-15+8i.課堂檢測(cè)·素養(yǎng)達(dá)標(biāo)1.下列說(shuō)法中,錯(cuò)誤的是 (

)

A.復(fù)數(shù)的模是非負(fù)實(shí)數(shù)B.“復(fù)數(shù)等于零”的充要條件是“復(fù)數(shù)的模等于零”C.“兩個(gè)復(fù)數(shù)的模相等”是“這兩個(gè)復(fù)數(shù)相等”的必要條件D.“復(fù)數(shù)z1>z2”的充要條件是“|z1|>|z2|”【解析】選D.任意復(fù)數(shù)z=a+bi(a,b∈R)的模|z|=≥0恒成立,故A說(shuō)法正確.由z=a+bi=0,得所以|z|=0;反之亦成立,故B說(shuō)法正確.設(shè)z1=a1+b1i,z2=a2+b2i(a1,b1,a2,b2∈R),若z1=z2,則有a1=a2,b1=b2,所以|z1|=|z2|;反之,由|z1|=|z2|,推不出z1=z2,如當(dāng)z1=1+3i,z2=1-3i時(shí),|z1|=|z2|,但z1≠z2,故C說(shuō)法正確.兩個(gè)復(fù)數(shù)不一定能比較大小,但任意兩個(gè)復(fù)數(shù)的?？偰鼙容^大小,故D說(shuō)法錯(cuò)誤.2.已知a∈R,且0<a<1,i為虛數(shù)單位,則復(fù)數(shù)z=a+(a-1)i在復(fù)平面內(nèi)所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于 (

)A.第一象限 B.第二象限C.第三象限 D.第四象限【解析】選D.因?yàn)?<a<1,所以a>0且a-1<0,故復(fù)數(shù)z=a+(a-1)i在復(fù)平面內(nèi)所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)(a,a-1)位于第四象限.3.已知復(fù)數(shù)z對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在第二象限,它的模是3,實(shí)部為-

,則z為 (

)A.-

+2i B.-

-2iC.-

+3i D.-

-3i【解析】選A.設(shè)z=-+bi(b∈R),由|z|==3,解得b=±2,又復(fù)數(shù)z對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在第二象限,則b=2,所以z=-+2i.4.已知0<a<2,復(fù)數(shù)z的實(shí)部為a,虛部為1,則|z|的取值范圍是________.

【解析】依題意,可知z=a+i,則|z|2=a2+1.因?yàn)?<a<2,所以a2+1∈(1,5),即|z|∈(1,).答案:(1,)5.如果復(fù)數(shù)z=(m2+m-1)+(4m2-8m+3)i(m∈R)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在第一象限,求實(shí)數(shù)m的取值范圍.【解析】因?yàn)閺?fù)數(shù)z對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在第一象限,所以解得m<或m>.所以實(shí)數(shù)m的取值范圍為Thebestclassroomintheworldisatthefeetofanelderlyperson.世界上最好的課堂在老人的腳下.Havingachildfallasleepinyourarmsisoneofthemostpeacefulfeelingintheworld.讓一個(gè)孩子在你的臂彎入睡,你會(huì)體會(huì)到世間最安寧的感覺.Beingkindismoreimportantthanbeingright.善良比真理更重要.Youshouldneversaynotoagiftfromachild.永遠(yuǎn)不要拒絕孩子送給你的禮物.Sometimesallapersonneedsisahandtoholdandahearttounderstand.有時(shí)候,一個(gè)人想要的只是一只可握的手和一顆感知的心.Love,nottime,healsallwounds.治愈一切創(chuàng)傷的并非時(shí)間,而是愛.Lifeistough,butI'mtougher.生活是艱苦的,但我應(yīng)更堅(jiān)強(qiáng).勵(lì)志名言請(qǐng)您欣賞4.已知0<a<2