全等三角形的七大模型壓軸題訓練(一)(原卷版+解析)

全等三角形的七大模型壓軸題訓練（一）1．數(shù)學課上，小白遇到這樣一個問題：如圖1，在等腰中，，，，求證；在此問題的基礎上，老師補充：過點作于點交于點，過作交于點，交于點，試探究線段，，之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由．小白通過研究發(fā)現(xiàn)，與有某種數(shù)量關(guān)系；小明通過研究發(fā)現(xiàn)，將三條線段中的兩條放到同一條直線上，即“截長補短”，再通過進一步推理，可以得出結(jié)論．閱讀上面材料，請回答下面問題：（1）求證；（2）猜想與的數(shù)量關(guān)系，并證明；（3）探究線段，，之間的數(shù)量關(guān)系，并證明．2．如圖，在中，為銳角，點為直線上一動點，以為直角邊且在的右側(cè)作等腰直角三角形，，.（1）如果，.①當點在線段上時，如圖1，線段、的位置關(guān)系為___________，數(shù)量關(guān)系為_____________②當點在線段的延長線上時，如圖2，①中的結(jié)論是否仍然成立，請說明理由.（2）如圖3，如果，，點在線段上運動．探究：當多少度時，？小明通過（1）的探究，猜想時，.他想過點作的垂線，與的延長線相交，構(gòu)建圖2的基本圖案，尋找解決此問題的方法．小明的想法對嗎？如不對寫出你的結(jié)論；如對按此方法解決問題并寫出理由.3．在△ABC中，AB=AC，將線段AC繞著點C逆時針旋轉(zhuǎn)得到線段CD，旋轉(zhuǎn)角為，且，連接AD、BD．（1）如圖1，當∠BAC=100°，時，∠CBD的大小為_________；（2）如圖2，當∠BAC=100°，時，求∠CBD的大??；（3）已知∠BAC的大小為m（），若∠CBD的大小與（2）中的結(jié)果相同，請直接寫出的大?。?．如圖，四邊形ABCD是正方形，點E是邊BC的中點，∠AEF=90°，且EF交正方形外角平分線CF于點F．（1）求證：AE=EF；（2）如圖2，若把條件“點E是邊BC的中點”改為“點E是邊BC上的任意一點”，其余條件不變，（1）中的結(jié)論是否仍然成立？；（填“成立”或“不成立”）；（3）如圖3，若把條件“點E是邊BC的中點”改為“點E是邊BC延長線上的一點”，其余條件仍不變，那么結(jié)論AE=EF是否成立呢？若成立請證明，若不成立說明理由．5．已知等腰△ABC中，AB=AC，點D在直線AB上，DE∥BC，交直線AC與點E，且BD=BC，CH⊥AB，垂足為H．（1）當點D在線段AB上時，如圖1，求證DH=BH+DE；（2）當點D在線段BA延長線上時，如圖2，當點D在線段AB延長線上時，如圖3，直接寫出DH，BH，DE之間的數(shù)量關(guān)系，不需要證明．6．（1）方法呈現(xiàn)：如圖①：在中，若，，點D為BC邊的中點，求BC邊上的中線AD的取值范圍．解決此問題可以用如下方法：延長AD到點E使，再連接BE，可證，從而把AB、AC，集中在中，利用三角形三邊的關(guān)系即可判斷中線AD的取值范圍是_______________，這種解決問題的方法我們稱為倍長中線法；（2）探究應用：如圖②，在中，點D是BC的中點，于點D，DE交AB于點E，DF交AC于點F，連接EF，判斷與EF的大小關(guān)系并證明；（3）問題拓展：如圖③，在四邊形ABCD中，，AF與DC的延長線交于點F、點E是BC的中點，若AE是的角平分線．試探究線段AB，AF，CF之間的數(shù)量關(guān)系，并加以證明．7．如圖，△ABD和△BCE都是等邊三角形，∠ABC＜105°，AE與DC交于點F．（1）求證：AE＝DC；（2）求∠BFE的度數(shù)；（3）若AF＝9.17cm，BF＝1.53cm，CF＝7.53cm，求CD．8．如圖，△CAB與△CDE為等腰直角三角形，∠ACB＝∠DCE＝90°，CA＝CB，CD＝CE，∠CAB＝∠CBA＝45°，∠CDE＝∠CED＝45°，連接AD、BE．（1）如圖1，若∠CAD＝28°，∠DCB＝10°，則∠DEB的度數(shù)為________度；（2）如圖2，若A、D、E三點共線，AE與BC交于點F，且CF＝BF，AD＝3，求△CEF的面積；（3）如圖3，BE與AC的延長線交于點G，若CD⊥AD，延長CD與AB交于點N，在BC上有一點M且BM＝CG，連接NM，請猜想CN、NM、BG之間的數(shù)量關(guān)系并證明你的猜想．9．如圖，在四邊形中，．點從點出發(fā)，以的速度沿向點勻速運動設運動時間為．（1）如圖①，連接，當時，求的值；（2）如圖②，當點開始運動時，點同時從點出發(fā)，以的速度沿向點勻速運動，當兩點中有一個點到達終點時，另一個點也隨之停止運動．當與全等時，求和的值；（3）如圖③，當（2）中的點開始運動時，點同時從點出發(fā)，以的速度沿向點運動，連接，交于點．連接當時，，請求出此時的值．10．（1）問題發(fā)現(xiàn)：如圖1，△ACB和△DCE均為等邊三角形，當△DCE旋轉(zhuǎn)至點A，D，E在同一直線上，連接BE．則：①∠AEB的度數(shù)為°；②線段AD、BE之間的數(shù)量關(guān)系是．（2）探究發(fā)現(xiàn)：圖1中的△ACB和△DCE，在△DCE旋轉(zhuǎn)過程中，當點A，D，E不在同一直線上時，設直線AD與BE相交于點O，試在備用圖中探索∠AOE的度數(shù)，直接寫出結(jié)果，不必說明理由．11．如圖所示，中，，，點為上一點，過點作直線的垂線，垂足為，連接，過點作的垂線交于點．（1）如圖1，求的度數(shù)；（2）如圖2，連接，且，求證：；（3）如圖3，在（2）的條件下，為上一點，連接，若，，求的長．12．（1）問題引入：如圖1，點F是正方形ABCD邊CD上一點，連接AF，將ADF繞點A順時針旋轉(zhuǎn)90°與ABG重合（D與B重合，F(xiàn)與G重合，此時點G，B，C在一條直線上），∠GAF的平分線交BC于點E，連接EF，判斷線段EF與GE之間有怎樣的數(shù)量關(guān)系，并說明理由．（2）知識遷移：如圖2，在四邊形ABCD中，∠ADC+∠B＝180°，AB＝AD，E，F(xiàn)分別是邊BC，CD延長線上的點，連接AE，AF，且∠BAD＝2∠EAF，試寫出線段BE，EF，DF之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由．（3）實踐創(chuàng)新：如圖3，在四邊形ABCD中，∠ABC＝90°，AC平分∠DAB，點E在AB上，連接DE，CE，且∠DAB＝∠DCE＝60°，若DE＝a，AD＝b，AE＝c，求BE的長．（用含a，b，c的式子表示）13．在△ABM中，AM⊥BM，垂足為M，AM＝BM，點D是線段AM上一動點．（1）如圖1，點C是BM延長線上一點，MD＝MC，連接AC，若BD＝17，求AC的長；（2）如圖2，在（1）的條件下，點E是△ABM外一點，EC＝AC，連接ED并延長交BC于點F，且點F是線段BC的中點，求證：∠BDF＝∠CEF．（3）如圖3，當E在BD的延長上，且AE⊥BE，AE＝EG時，請你直接寫出∠1、∠2、∠3之間的數(shù)量關(guān)系．（不用證明）14．綜合與實踐數(shù)學活動課上，老師讓同學們以“過等腰三角形頂點的直線”為主題開展數(shù)學探究．(1)操作發(fā)現(xiàn)：如圖甲，在中，，且，直線l經(jīng)過點A．小華分別過B、C兩點作直線l的垂線，垂足分別為點D、E．易證，此時，線段、、的數(shù)量關(guān)系為：_________；(2)拓展應用：如圖乙，為等腰直角三角形，，已知點C的坐標為，點B的坐標為．請利用小華的發(fā)現(xiàn)直接寫出點A的坐標：_____；(3)遷移探究：①如圖丙，小華又作了一個等腰，，且，她在直線l上取兩點D、E，使得，請你幫助小華判斷（1）中線段、、的數(shù)量關(guān)系是否變化，若不變，請證明；若變化，寫出它們的關(guān)系式并說明理由；②如圖丁，中，，，點D、E在直線上，且，請直接寫出線段、、的數(shù)量關(guān)系．全等三角形的七大模型壓軸題訓練（一）1．數(shù)學課上，小白遇到這樣一個問題：如圖1，在等腰中，，，，求證；在此問題的基礎上，老師補充：過點作于點交于點，過作交于點，交于點，試探究線段，，之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由．小白通過研究發(fā)現(xiàn)，與有某種數(shù)量關(guān)系；小明通過研究發(fā)現(xiàn)，將三條線段中的兩條放到同一條直線上，即“截長補短”，再通過進一步推理，可以得出結(jié)論．閱讀上面材料，請回答下面問題：（1）求證；（2）猜想與的數(shù)量關(guān)系，并證明；（3）探究線段，，之間的數(shù)量關(guān)系，并證明．答案:（1）見解析；（2），證明見解析；（3），證明見解析分析：（1）利用SAS證明可得結(jié)論；（2）設，推出，，即可證明；（3）過點作交延長線于點，延長交于點，證明△ABE≌△CAM，得出和，從而證明△NFC≌△MFC，得到和，可得PN=PE，從而得出BP=AF+PF.【詳解】解：（1）∵在△ABE和△ACD中，，（SAS），；（2）設，，，，，，，，；（3）過點作交延長線于點，延長交于點，，，，在△ABE和△CAM中，，（ASA），，，，，，（ASA），，，，，∴.【點睛】本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)、等腰直角三角形的性質(zhì)以及等角對等邊等知識點，解題的關(guān)鍵是根據(jù)截長補短法添加適當?shù)妮o助線，構(gòu)造全等三角形證明結(jié)論，有一定難度.2．如圖，在中，為銳角，點為直線上一動點，以為直角邊且在的右側(cè)作等腰直角三角形，，.（1）如果，.①當點在線段上時，如圖1，線段、的位置關(guān)系為___________，數(shù)量關(guān)系為_____________②當點在線段的延長線上時，如圖2，①中的結(jié)論是否仍然成立，請說明理由.（2）如圖3，如果，，點在線段上運動．探究：當多少度時，？小明通過（1）的探究，猜想時，.他想過點作的垂線，與的延長線相交，構(gòu)建圖2的基本圖案，尋找解決此問題的方法．小明的想法對嗎？如不對寫出你的結(jié)論；如對按此方法解決問題并寫出理由.答案:（1）①垂直，相等；②都成立；（2）當時，分析：（1）①根據(jù)∠BAD=∠CAE，BA=CA，AD=AE，運用“SAS”證明△ABD≌△ACE，根據(jù)全等三角形性質(zhì)得出對應邊相等，對應角相等，即可得到線段CE、BD之間的關(guān)系；②先根據(jù)“SAS”證明△ABD≌△ACE，再根據(jù)全等三角形性質(zhì)得出對應邊相等，對應角相等，即可得到①中的結(jié)論仍然成立；（2）先過點A作AG⊥AC交BC于點G，畫出符合要求的圖形，再結(jié)合圖形判定△GAD≌△CAE，得出對應角相等，即可得出結(jié)論．【詳解】解：（1）①CE與BD位置關(guān)系是CE⊥BD，數(shù)量關(guān)系是CE=BD．理由：如圖1，∵∠BAD=90°-∠DAC，∠CAE=90°-∠DAC，∴∠BAD=∠CAE．又BA=CA，AD=AE，∴△ABD≌△ACE（SAS）∴∠ACE=∠B=45°且CE=BD．∵∠ACB=∠B=45°，∴∠ECB=45°+45°=90°，即CE⊥BD．故答案為垂直，相等；②都成立∵，∴，∴，在與中，∴，∴，∴，即；（2）當時，（如圖）．理由：過點作交的延長線于點，則，∵，∴，∴，∴，在與中，∴，∴，∴，即．【點睛】此題為三角形綜合題，主要考查了全等三角形的判定與性質(zhì)及等腰直角三角形的性質(zhì)，解決問題的關(guān)鍵是作輔助線構(gòu)造全等三角形，根據(jù)全等三角形的對應邊相等，對應角相等進行求解．3．在△ABC中，AB=AC，將線段AC繞著點C逆時針旋轉(zhuǎn)得到線段CD，旋轉(zhuǎn)角為，且，連接AD、BD．（1）如圖1，當∠BAC=100°，時，∠CBD的大小為_________；（2）如圖2，當∠BAC=100°，時，求∠CBD的大??；（3）已知∠BAC的大小為m（），若∠CBD的大小與（2）中的結(jié)果相同，請直接寫出的大?。鸢?（1）30°；（2）30°；（3）為或或．分析：（1）由，，可以確定，旋轉(zhuǎn)角為，時是等邊三角形，且，知道的度數(shù)，進而求得的大??；（2）由，，可以確定，連接、．，，，由案．依次證明，．利用角度相等可以得到答案．（3）結(jié)合（1）（2）的解題過程可以發(fā)現(xiàn)規(guī)律，是等邊三角形時，在內(nèi)部時，在外部時，求得答案．【詳解】解：（1）解（1）∵，，∴，∵，，∴為等邊三角形，∴．又∵，∴為等腰三角形，∴，∴．（2）方法1：如圖作等邊，連接、．，．，，．，．．①，，．②，③由①②③，得，，．，，．，，．．．④，，．⑤，⑥由④⑤⑥，得．．．．．方法2如下圖所示，構(gòu)造等邊三角形ADE，連接CE．∵在等腰三角形ACD中，，∴，∵，∴．可證．結(jié)合角度，可得，．在和中，，∴，∴．∵，∴．方法3如下圖所示，平移CD至AE，連接ED，EB，則四邊形ACDE是平行四邊形．∵，∴四邊形ACDE是菱形，∴，．∴，∴，∴是等邊三角形，是等腰三角形，∴，，∴．∴．（3）由（1）知道，若，時，則；①由（1）可知，設時可得，，，．②由（2）可知，翻折到△，則此時，，，③以為圓心為半徑畫圓弧交的延長線于點，連接，，．綜上所述，為或或時，．【點睛】本題是一道幾何結(jié)論探究題，解答這類題目的關(guān)鍵是要善于從探究特殊結(jié)論中歸納出一般性解題方法，并靈活運用這種方法解答一般性的問題，真正達到舉一反三的目的．4．如圖，四邊形ABCD是正方形，點E是邊BC的中點，∠AEF=90°，且EF交正方形外角平分線CF于點F．（1）求證：AE=EF；（2）如圖2，若把條件“點E是邊BC的中點”改為“點E是邊BC上的任意一點”，其余條件不變，（1）中的結(jié)論是否仍然成立？；（填“成立”或“不成立”）；（3）如圖3，若把條件“點E是邊BC的中點”改為“點E是邊BC延長線上的一點”，其余條件仍不變，那么結(jié)論AE=EF是否成立呢？若成立請證明，若不成立說明理由．答案:（1）證明見解析；（2）成立；（3）成立，證明見解析.分析：（1）取AB中點M，連接EM，求出BM=BE，得出∠BME=45°，求出∠AME=∠ECF=135°，求出∠MAE=∠FEC，根據(jù)ASA推出△AME和△ECF全等即可；（2）截取BE=BM，連接EM，求出AM=EC，得出∠BME=45°，求出∠AME=∠ECF=135°，求出∠MAE=∠FEC，根據(jù)ASA推出△AME和△ECF全等即可；（3）在BA的延長線上取一點N，使AN=CE，連接NE，根據(jù)已知利用ASA判定△ANE≌△ECF，因為全等三角形的對應邊相等，所以AE=EF．【詳解】解：（1）證明：取AB中點M，連接EM，∵AB=BC，E為BC中點，M為AB中點，∴AM=CE=BE，∴∠BME=∠BME=45°，∴∠AME=135°=∠ECF，∵∠B=90°，∴∠BAE+∠AEB=90°，∵∠AEF=90°，∴∠AEB+∠FEC=90°，∴∠BAE=∠FEC，在△AME和△ECF中，，∴△AME≌△ECF（ASA），∴AE=EF；（2）成立，理由是：如圖，在AB上截取BM=BE，連接ME，∵∠B=90°，∴∠BME=∠BEM=45°，∴∠AME=135°=∠ECF，∵AB=BC，BM=BE，∴AM=EC，在△AME和△ECF中，，∴△AME≌△ECF（ASA），∴AE=EF；（3）成立．證明：如圖，在BA的延長線上取一點N．使AN=CE，連接NE，∴BN=BE，∴∠N=∠NEC=45°，∵CF平分∠DCG，∴∠FCE=45°，∴∠N=∠ECF，∵四邊形ABCD是正方形，∴AD∥BE，∴∠DAE=∠BEA，即∠DAE+90°=∠BEA+90°，∴∠NAE=∠CEF，∴△ANE≌△ECF（ASA），∴AE=EF．【點睛】本題考查了正方形的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)，閱讀材料，理清解題的關(guān)鍵是去AM=EC，然后構(gòu)造出△AME和△ECF全等是解題的關(guān)鍵.5．已知等腰△ABC中，AB=AC，點D在直線AB上，DE∥BC，交直線AC與點E，且BD=BC，CH⊥AB，垂足為H．（1）當點D在線段AB上時，如圖1，求證DH=BH+DE；（2）當點D在線段BA延長線上時，如圖2，當點D在線段AB延長線上時，如圖3，直接寫出DH，BH，DE之間的數(shù)量關(guān)系，不需要證明．答案:（1）見詳解；（2）圖2：，圖3：分析：（1）在線段上截取，連接，，證明，可得到，即可求解．（2）當點在線段延長線上時，在的延長線上截取，連接，，由題意可證，可得，由題意可得，即可證，可得，則可得；當點在線段延長線上時，在線段上截取，連接，，由題意可證，可得，由題意可得，即可證，可得，則可得．【詳解】解：（1）證明：在線段上截取，連接，∵，∴∴∵∴∵∴，∴∴∵∴∵∴∴∴（2）當點在線段延長線上時，如圖2：在的延長線上截取，連接，∵∴∵∴∵∴∵，，∴∴∴∵，∴又∵，∴∴∵∴當點在線段延長線上時，如圖3：當點在線段延長線上時，在線段上截取，連接，∵，，∴∴∵∴∵∴∵∴，∴，，且∴∴∵∴【點睛】本題主要考查了三角形綜合題，等腰三角形的性質(zhì)，全等三角形的性質(zhì)和判定，合理添加輔助線證全等是解題的關(guān)鍵．6．（1）方法呈現(xiàn)：如圖①：在中，若，，點D為BC邊的中點，求BC邊上的中線AD的取值范圍．解決此問題可以用如下方法：延長AD到點E使，再連接BE，可證，從而把AB、AC，集中在中，利用三角形三邊的關(guān)系即可判斷中線AD的取值范圍是_______________，這種解決問題的方法我們稱為倍長中線法；（2）探究應用：如圖②，在中，點D是BC的中點，于點D，DE交AB于點E，DF交AC于點F，連接EF，判斷與EF的大小關(guān)系并證明；（3）問題拓展：如圖③，在四邊形ABCD中，，AF與DC的延長線交于點F、點E是BC的中點，若AE是的角平分線．試探究線段AB，AF，CF之間的數(shù)量關(guān)系，并加以證明．答案:（1）1＜AD＜5，（2）BE+CF＞EF，證明見解析；（3）AF+CF＝AB，證明見解析．分析：（1）由已知得出AC﹣CE＜AE＜AC+CE，即5﹣4＜AE＜5+3，據(jù)此可得答案；（2）延長FD至點M，使DM＝DF，連接BM、EM，同（1）得△BMD≌△CFD，得出BM＝CF，由線段垂直平分線的性質(zhì)得出EM＝EF，在△BME中，由三角形的三邊關(guān)系得出BE+BM＞EM即可得出結(jié)論；（3）如圖③，延長AE，DF交于點G，根據(jù)平行和角平分線可證AF＝FG，易證△ABE≌△GEC，據(jù)此知AB＝CG，繼而得出答案．【詳解】解：（1）延長AD至E，使DE＝AD，連接BE，如圖①所示，∵AD是BC邊上的中線，∴BD＝CD，在△BDE和△CDA中，∵，∴△BDE≌△CDA（SAS），∴BE＝AC＝4，在△ABE中，由三角形的三邊關(guān)系得：AB﹣BE＜AE＜AB+BE，∴6﹣4＜AE＜6+4，即2＜AE＜10，∴1＜AD＜5；故答案為：1＜AD＜5，（2）BE+CF＞EF；證明：延長FD至點M，使DM＝DF，連接BM、EM，如圖②所示．同（1）得：△BMD≌△CFD（SAS），∴BM＝CF，∵DE⊥DF，DM＝DF，∴EM＝EF，在△BME中，由三角形的三邊關(guān)系得：BE+BM＞EM，∴BE+CF＞EF；（3）AF+CF＝AB．如圖③，延長AE，DF交于點G，∵AB∥CD，∴∠BAG＝∠G，在△ABE和△GCE中

CE＝BE，∠BAG＝∠G，∠AEB＝∠GEC，∴△ABE≌△GEC（AAS），∴CG＝AB，∵AE是∠BAF的平分線，∴∠BAG＝∠GAF，∴∠FAG＝∠G，∴AF＝GF，∵FG+CF＝CG，∴AF+CF＝AB．【點睛】此題是三角形綜合題，主要考查了三角形的三邊關(guān)系、全等三角形的判定與性質(zhì)、角的關(guān)系等知識；本題綜合性強，有一定難度，通過作輔助線證明三角形全等是解決問題的關(guān)鍵．7．如圖，△ABD和△BCE都是等邊三角形，∠ABC＜105°，AE與DC交于點F．（1）求證：AE＝DC；（2）求∠BFE的度數(shù)；（3）若AF＝9.17cm，BF＝1.53cm，CF＝7.53cm，求CD．答案:（1）見解析；（2）60°；（3）18.23cm分析：（1）由等邊三角形的性質(zhì)可知∠DBA＝∠EBC＝60°，BD＝AB，BC＝BE．從而可證∠DBC＝∠ABE．即可利用“SAS”可證明△DBC≌△ABE，得出結(jié)論AE＝DC．（2）過點B作BN⊥CD于N，BH⊥AE于H．由△DBC≌△ABE可知∠BEH＝∠BCN，∠BDF＝∠BAF．再結(jié)合等邊三角形的性質(zhì)可求出∠FDA+∠DAF＝120°，進而求出∠DFA＝180°-120°＝60°，即求出∠DFE＝180°-60°＝120°．即可利用“AAS”證明△BEH≌△BCN，得出結(jié)論BH＝BN，即得出BF平分∠DFE，即可求出∠BFE＝60°．（3）延長BF至Q，使FQ＝AF，連接AQ．根據(jù)所作輔助線可知∠AFQ＝∠BFE＝60°，即證明△AFQ是等邊三角形，得出結(jié)論AF＝AQ＝BQ，∠FAQ＝60°．又可證明∠DAF＝∠BAQ．利用“SAS”可證明△DAF≌△BAQ，即得出DF＝BQ＝BF+FQ＝BF+AF，最后即可求出CD＝DF+CF＝BF+AF+CF＝1.53+9.17+7.53＝18.23cm．【詳解】（1）證明：∵△ABD和△BCE都是等邊三角形，∴∠DBA＝∠EBC＝60°，BD＝AB，BC＝BE，∴∠DBA+∠ABC＝∠EBC+∠ABC，即∠DBC＝∠ABE，∵在△DBC和△ABE中，，∴△DBC≌△ABE（SAS），∴AE＝DC；（2）解：如圖，過點B作BN⊥CD于N，BH⊥AE于H．∵△DBC≌△ABE，∴∠BEH＝∠BCN，∠BDF＝∠BAF，∵△ABD是等邊三角形，∴∠BDA+∠BAD＝120°，∴∠FDA+∠DAF＝120°，∴∠DFA＝180°-120°＝60°，∴∠DFE＝180°-60°＝120°，在△BEH和△BCN中，，∴△BEH≌△BCN（AAS），∴BH＝BN，∴BF平分∠DFE，∴∠BFE＝∠DFE＝×120°＝60°；（3）解：如圖，延長BF至Q，使FQ＝AF，連接AQ．則∠AFQ＝∠BFE＝60°，∴△AFQ是等邊三角形，∴AF＝AQ＝BQ，∠FAQ＝60°，∵△ABD是等邊三角形，∴AD＝AB，∠DAB＝60°，∴∠DAB+∠BAF＝∠BAF+∠FAQ，即∠DAF＝∠BAQ，在△DAF和△BAQ中，，∴△DAF≌△BAQ（SAS），∴DF＝BQ＝BF+FQ＝BF+AF，∴CD＝DF+CF＝BF+AF+CF＝1.53+9.17+7.53＝18.23cm．【點睛】本題為三角形綜合題．考查等邊三角形的判定和性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理以及角平分線的判定和性質(zhì)．正確的作出輔助線也是解答本題的關(guān)鍵．8．如圖，△CAB與△CDE為等腰直角三角形，∠ACB＝∠DCE＝90°，CA＝CB，CD＝CE，∠CAB＝∠CBA＝45°，∠CDE＝∠CED＝45°，連接AD、BE．（1）如圖1，若∠CAD＝28°，∠DCB＝10°，則∠DEB的度數(shù)為________度；（2）如圖2，若A、D、E三點共線，AE與BC交于點F，且CF＝BF，AD＝3，求△CEF的面積；（3）如圖3，BE與AC的延長線交于點G，若CD⊥AD，延長CD與AB交于點N，在BC上有一點M且BM＝CG，連接NM，請猜想CN、NM、BG之間的數(shù)量關(guān)系并證明你的猜想．答案:（1）27；（2）；（3）BG=MN+CN，證明見解析．分析：（1）證明△ACD≌△BCE得∠CEB=∠ADC，∠CAD=∠CBE，再求出∠ACD，由三角形內(nèi)角和定理可解決問題；（2）過C作CG⊥DE于點G，由（）1）可證△ACD≌△BCE得BE=AD=3，證明△CGF≌△BEF得CG=3，EF=，根據(jù)三角形面積公式可計算出結(jié)果；（3）過點C作CF//AB交BG于點F，證明四邊形CNBF是平行四邊形得CN=BF，CF=BN，證明得GF=MN，進一步可得結(jié)論．【詳解】解：（1）∵∠ACB＝∠DCE＝90°，∴∵,∴△ACD≌△BCE∴∠CEB=∠ADC，∠CAD=∠CBE=28°∵∠DCB=10°∴∠ACD=∠ACB-∠DCB=90°-10°=80°∴∠BCE=80°∴∠CEB=180°-∠CBE-∠BCE=72°∴∠DEB=∠CEB-∠CED=72°-45°=27°；故答案為27；（2）過C作CG⊥DE于點G，如圖，∵△DCE是等腰直角三角形，∴,∠CGE=90°由（1）同理可證明：△ACD≌△BCE∴BE=AD=3，∠CEB=∠CDA=180°-45°=135°∴∠GEB=∠CEB-∠CED=135°-45°=90°=∠CGF∵CF=BF，∠CFG=∠EFB∴△CGF≌△BEF∴GF=EF=，GC=BE=AD=3∵CG=GE∴GF=EF=∵∠CGF=90°∴（3）過點C作CF//AB交BG于點F，∴∠GCF=∠CAB=∠CBA=45°由（1）同理可得，△ACD≌△BCE∴∠BEC=∠ADC∵AD⊥CD∴∠ADC=90°∴∠BEC=90°=∠DCE∴CN//BF∵CF//BN∴四邊形CNBF是平行四邊形∴CN=BF，CF=BN在△BMN和△CGF中，∴∴GF=MN∴BG=GF+BF=MN+CN【點睛】本題考查三角形綜合題、等腰三角形的性質(zhì)、等腰直角三角形的性質(zhì)、全等三角形的判定和性質(zhì)，平行四邊形的判定等知識，解題的關(guān)鍵是熟練掌握全等三角形的判定和性質(zhì)．9．如圖，在四邊形中，．點從點出發(fā)，以的速度沿向點勻速運動設運動時間為．（1）如圖①，連接，當時，求的值；（2）如圖②，當點開始運動時，點同時從點出發(fā)，以的速度沿向點勻速運動，當兩點中有一個點到達終點時，另一個點也隨之停止運動．當與全等時，求和的值；（3）如圖③，當（2）中的點開始運動時，點同時從點出發(fā)，以的速度沿向點運動，連接，交于點．連接當時，，請求出此時的值．答案:（1）；（2），或，；（3）分析：（1）由“”可證，可得，可求解；（2）分兩種情況討論，由全等三角形的性質(zhì)可求解；（3）由，可求的值，由面積和差關(guān)系可求，可求的值．【詳解】解：（1），，，，，在和中，，，，，；（2）若，，，，，，，，，若，，，，，，，；綜上所述：，或，；（3）如圖，連接，過點作于，過點作于，，，，，，，，，，，，．【點睛】本題是四邊形綜合題，考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，三角形的面積公式，直角三角形的性質(zhì)，利用分類討論思想解決問題是本題的關(guān)鍵．10．（1）問題發(fā)現(xiàn)：如圖1，△ACB和△DCE均為等邊三角形，當△DCE旋轉(zhuǎn)至點A，D，E在同一直線上，連接BE．則：①∠AEB的度數(shù)為°；②線段AD、BE之間的數(shù)量關(guān)系是．（2）探究發(fā)現(xiàn)：圖1中的△ACB和△DCE，在△DCE旋轉(zhuǎn)過程中，當點A，D，E不在同一直線上時，設直線AD與BE相交于點O，試在備用圖中探索∠AOE的度數(shù)，直接寫出結(jié)果，不必說明理由．答案:（1）①60；②AD＝BE；（2）60°或120°分析：（1）由條件易證△ACD≌△BCE，從而得到：AD=BE，∠ADC=∠BEC．由點A，D，E在同一直線上可求出∠ADC，從而可以求出∠AEB的度數(shù)；（2）由（1）知△ACD≌△BCE，得∠CAD=∠CBE，由∠CAB=∠ABC=60°，可知∠EAB+∠ABE=120°，根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理可知∠AOE=60°．【詳解】解：（1）①如圖1，∵△ACB和△DCE均為等邊三角形，∴CA=CB，CD=CE，∠ACB=∠DCE=60°，∴∠ACD=∠BCE，在△ACD和△BCE中，，∴△ACD≌△BCE（SAS）．∴∠ADC=∠BEC．∵△DCE為等邊三角形，∴∠CDE=∠CED=60°，∵點A，D，E在同一直線上，∴∠ADC=120°，∴∠BEC=120°，∴∠AEB=∠BEC-∠CED=60°，故答案為：60；②∵△ACD≌△BCE，∴AD=BE，故答案為：AD=BE；（2）如圖3，由（1）知△ACD≌△BCE，∴∠CAD=∠CBE，∵∠CAB=∠CBA=60°，∴∠OAB+∠OBA=120°，∴∠AOE=180°-120°=60°，如圖4，同理求得∠AOB=60°，∴∠AOE=120°，∴∠AOE的度數(shù)是60°或120°．【點睛】本題是幾何變換綜合題，主要考查了等邊三角形的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，勾股定理，三角形全等的判定與性質(zhì)等知識，解題的關(guān)鍵是靈活運用所學知識解決問題．11．如圖所示，中，，，點為上一點，過點作直線的垂線，垂足為，連接，過點作的垂線交于點．（1）如圖1，求的度數(shù)；（2）如圖2，連接，且，求證：；（3）如圖3，在（2）的條件下，為上一點，連接，若，，求的長．答案:（1）45°；（2）見解析；（3）2分析：（1）先證明再證明再利用全等三角形的性質(zhì)結(jié)合等腰直角三角形的性質(zhì)可得答案；（2）利用全等三角形的性質(zhì)先求解，證明再求解，從而可得結(jié)論；（3）如圖，過作于交于連接證明為等邊三角形，再證明，再利用全等三角形的性質(zhì)可得答案.【詳解】解：（1），即，，．（2），,∴，∵，∴．（3）如圖，過作于交于連接為等邊三角形，，，∴，∴．【點睛】本題考查的是全等三角形的判定與性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，直角三角形斜邊上的中線等腰斜邊的一半，等邊三角形的判定與性質(zhì)，含的直角三角形的性質(zhì)，熟練的應用以上知識解題的關(guān)鍵.12．（1）問題引入：如圖1，點F是正方形ABCD邊CD上一點，連接AF，將ADF繞點A順時針旋轉(zhuǎn)90°與ABG重合（D與B重合，F(xiàn)與G重合，此時點G，B，C在一條直線上），∠GAF的平分線交BC于點E，連接EF，判斷線段EF與GE之間有怎樣的數(shù)量關(guān)系，并說明理由．（2）知識遷移：如圖2，在四邊形ABCD中，∠ADC+∠B＝180°，AB＝AD，E，F(xiàn)分別是邊BC，CD延長線上的點，連接AE，AF，且∠BAD＝2∠EAF，試寫出線段BE，EF，DF之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由．（3）實踐創(chuàng)新：如圖3，在四邊形ABCD中，∠ABC＝90°，AC平分∠DAB，點E在AB上，連接DE，CE，且∠DAB＝∠DCE＝60°，若DE＝a，AD＝b，AE＝c，求BE的長．（用含a，b，c的式子表示）答案:（1）EF＝GE，理由見詳解；（2）BE?DF＝EF，理由見詳解；（3）BE＝，理由見詳解分析：（1）根據(jù)SAS直接可證△GAE≌△FAE即得GE＝EF；（2）在BE上取BG＝DF，連接AG，由∠ADC＋∠B＝180°，∠ADF＋∠ADC＝180°，得∠B＝∠ADF，從而SAS證△ABG≌△ADF，再通過SAS證△GAE≌△FAE，得GE＝EF，從而解決問題；（3）作CF⊥AD，交AD的延長線于F，取FG＝BE，連接CG，由（2）同理可兩次全等證明出DE＝GD即可．【詳解】解：（1）EF＝GE，理由如下：∵△ADF繞點A順時針旋轉(zhuǎn)90°與△ABG重合，∴AG＝AF，∵AE平分∠GAF，∴∠GAE＝∠FAE，在△GAE和△FAE中，，∴△GAE≌△FAE（SAS），∴GE＝EF；（2）BE?DF＝EF，理由如下：如圖2，在BE上取BG＝DF，連接AG，∵∠ADC＋∠B＝180°，∠ADF＋∠ADC＝180°，∴∠B＝∠ADF，在△ABG和△ADF中，，∴△ABG≌△ADF（SAS），∴∠BAG＝∠FAD，AG＝AF，∵∠BAD＝2∠EAF，∴∠GAF＝2∠EAF，∴∠GAE＝∠EAF，在△GAE和△FAE中，∴△GAE≌△FAE（SAS），∴GE＝EF，∴BE?DF＝EF；（3）如圖，作CF⊥AD，交AD的延長線于F，取FG＝BE，連接CG，∵AC平分∠BAD，CF⊥AF，CB⊥AB，∴CF＝CB，∠EBC＝∠GFC，∵BE＝GF，∴△CBE≌△CFG（SAS），∴∠BCE＝∠FCG，CG＝CE，∵∠DAB＝60°，∴∠FCB＝120°，∵∠DCE＝60°，∴∠DCF＋∠BCE＝60°，∴∠DCG＝60°，又∵CG＝CE，∴△ECD≌△GCD（SAS），∴GD＝DE，∵Rt△ACF≌Rt△ACB（HL），∴AF＝AB，∴b＋a?BE＝c＋BE，∴BE＝．【點睛】本題主要考查了全等的判定與性質(zhì)，結(jié)合問題引入，構(gòu)造出全等三角形是解題的關(guān)鍵．13．在△ABM中，AM⊥BM，垂足為M，AM＝BM，點D是線段AM上一動點．（1）如圖1，點C是BM延長線上一點，MD＝MC，連接AC，若BD＝17，求AC的長；（2）如圖2，在（1）的條件下，點E是△ABM外一點，EC＝AC，連接ED并延長交BC于點F，且點F是線段BC的中點，求證：∠BDF＝∠CEF．（3）如圖3，當E在BD的延長上，且AE⊥BE，AE＝EG時，請你直接寫出∠1、∠2、∠3之間的數(shù)量關(guān)系．（不用證明）答案:（1）17；（2）見解析；（3）∠3＝2∠1+∠2分析：