專題05一元二次方程根與系數(shù)的關系(5種題型1個易錯點4種中考考法)(原卷版+解析)

專題05一元二次方程根與系數(shù)的關系（5種題型1個易錯點4種中考考法）【目錄】倍速學習五種方法【方法一】脈絡梳理法知識點：一元二次方程根與系數(shù)的關系【方法二】實例探索法題型1：利用根與系數(shù)的關系式求代數(shù)式的值題型2：已知含字母的一元二次方程的一個根，求另一個根及字母的值題型3：已知一元二次方程的兩根關系求字母的取值（范圍）題型4：已知兩數(shù)的和與積，構造一元二次方程求這個數(shù)題型5：有關一元二次方程的根與系數(shù)關系的創(chuàng)新題【方法三】差異對比法易錯點：沒有判斷一元二次方程根的情況，直接用一元二次方程的根與系數(shù)的關系?！痉椒ㄋ摹糠抡鎸崙?zhàn)法考法1：由已知方程直接求出兩根之和或之積考法2：已知方程一根，求方程另一根考法3：由已知方程求關于兩根的對稱式的值考法4：由一元二次方程兩根的關系求字母的取值（范圍）【方法五】成果評定法【倍速學習五種方法】【方法一】脈絡梳理法知識點：一元二次方程根與系數(shù)的關系韋達定理：如果是一元二次方程的兩個根,由解方程中的公式法得,．那么可推得這是一元二次方程根與系數(shù)的關系．例1.如果，是方程的兩個根，那么=_____________；=_______________．【方法二】實例探索法題型1：利用根與系數(shù)的關系式求代數(shù)式的值例2.已知是方程的兩根，求下列各式的值：（1）；（2）；（3）；（4）．例3.已知的值．例4.已知是方程：的兩根，求代數(shù)式的值．題型2：已知含字母的一元二次方程的一個根，求另一個根及字母的值例5.若方程：的一個根為，則k=________；另一個根為________．題型3：已知一元二次方程的兩根關系求字母的取值（范圍）例6.已知是關于x的方程的兩根，求b的值．題型4：已知兩數(shù)的和與積，構造一元二次方程求這個數(shù)例7.寫出一個一元二次方程，使它的兩個根分別是，．題型5：有關一元二次方程的根與系數(shù)關系的創(chuàng)新題例8.已知一個直角三角形的兩個直角邊的長恰好是方程：兩個根，求這個直角三角形的周長．例9.已知關于x的方程有兩根，其中且，求m的取值范圍．例10.已知方程：的一個根大于3，另一個根小于3，求a的取值范圍．【方法三】差異對比法易錯點：沒有判斷一元二次方程根的情況，直接用一元二次方程的根與系數(shù)的關系。例11.已知關于x的方程有兩個正整數(shù)根，求整數(shù)k和p的值．【方法四】仿真實戰(zhàn)法考法1：由已知方程直接求出兩根之和或之積1．(2023·江蘇徐州·統(tǒng)考中考真題）若是方程的兩個根，則_________．考法2：已知方程一根，求方程另一根2．(2023·山東濟寧·統(tǒng)考中考真題）已知是方程的一個根，則方程的另一個根是_____．3．(2023·湖南婁底·統(tǒng)考中考真題）已知實數(shù)是方程的兩根，則______．4．(2023·湖北黃岡·統(tǒng)考中考真題）已知一元二次方程x2﹣4x+3＝0的兩根為x1、x2，則x1?x2＝_____．考法3：由已知方程求關于兩根的對稱式的值5．(2023·湖北鄂州·統(tǒng)考中考真題）若實數(shù)a、b分別滿足a2﹣4a+3＝0，b2﹣4b+3＝0，且a≠b，則的值為_____．6．(2023·四川雅安·統(tǒng)考中考真題）已知一元二次方程的兩根分別為m，n，則的值為______．考法4：由一元二次方程兩根的關系求字母的取值（范圍）7．(2023·四川巴中·統(tǒng)考中考真題）、是關于的方程的兩個實數(shù)根，且，則的值為________．8．(2023·山東日照·統(tǒng)考中考真題）關于x的一元二次方程2x2+4mx+m=0有兩個不同的實數(shù)根x1，x2，且，則m=__________．9．(2023·四川內江·統(tǒng)考中考真題）已知x1、x2是關于x的方程x2﹣2x+k﹣1＝0的兩實數(shù)根，且＝x12+2x2﹣1，則k的值為_____．10．(2023·貴州銅仁·統(tǒng)考中考真題）已知關于的方程有兩個相等的實數(shù)根，則的值是______．【方法五】成果評定法一、單選題1．（2023春·江蘇南京·九年級專題練習）若，是一元二次方程的兩個根，則的值是（

）A． B． C． D．2．（2023秋·江蘇南通·九年級統(tǒng)考期末）若一元二次方程的兩個根為、，則是（

）A．1 B． C．2 D．3．（2023春·江蘇泰州·九年級?？茧A段練習）已知、是關于x的方程的兩根，下列結論中不一定正確的是（

）A． B． C． D．方程的根有可能為04．（2023·江蘇泰州·一模）若關于x的一元二次方程有兩個實數(shù)根，，且，則（

）A．2或6 B．2或8 C．2 D．65．（2023春·江蘇南京·九年級專題練習）關于的方程（為常數(shù)）根的情況，下列結論中正確的是（

）A．有兩個相異正根 B．有兩個相異負根 C．有一個正根和一個負根 D．無實數(shù)根6．（2023春·江蘇南京·九年級專題練習）若m，n分別是一元二次方程的兩個根，則的值為（

）A．3 B．4 C．5 D．67．（2023春·江蘇南通·九年級專題練習）有兩個關于x的一元二次方程：，，其中a+c=0，以下列四個結論中，①如果，那么方程M和方程N有一個公共根為1；②方程M和方程N的兩根符號異號，而且它們的兩根之積必相等；③如果2是方程M的一個根，那么一定是方程N的一個根；④如果方程M和方程N有一個相同的根，那么這個根必定是．其中錯誤的結論的個數(shù)是（）A．0個 B．1個 C．2個 D．3個8．（2023·江蘇揚州·?？家荒＃┮阎?，是一元二次方程的兩個根，則的值為（

）A． B． C． D．9．（2023春·江蘇南京·九年級專題練習）下列給出的四個命題，真命題的有（

）個①若方程兩根為-1和2，則；②若，則；③若，則方程一定無解；④若方程的兩個實根中有且只有一個根為0，那么，．A．4個 B．3個 C．2個 D．1個二、填空題10．(2023秋·江蘇淮安·九年級統(tǒng)考期末），是方程的兩個實數(shù)根，則________．11．（2023春·江蘇徐州·九年級?？茧A段練習）已知關于的方程的一個根為，則另一個根是______．12．（2023·江蘇南京·校聯(lián)考模擬預測）設、是方程的兩個根，且，則________．13．（2023春·江蘇鹽城·九年級校聯(lián)考階段練習）一元二次方程的兩個根為，則___________．14．（2023·江蘇揚州·統(tǒng)考一模）一元二次方程的兩根是和，則的最大值為________．15．（2023春·江蘇泰州·九年級姜堰區(qū)實驗初中?？茧A段練習）關于x的一元二次方程的兩根是、，若，則m=_____．16．（2023·江蘇南通·南通田家炳中學?？寄M預測）已知是方程的兩個根，且滿足，則___________．17．（2023春·江蘇南京·九年級南師附中樹人學校?？茧A段練習）設，是一元二次方程的兩個根，且，則________．18．（2023春·江蘇鹽城·九年級?？茧A段練習）若是一元二次方程的兩個根，則的值是_____．19．（2023秋·江蘇泰州·九年級統(tǒng)考期末）若a，b是方程的兩根，則______．20．（2023春·江蘇泰州·九年級統(tǒng)考期中）設、是方程的兩個不等的根，則的值______.21．（2023春·江蘇南京·九年級統(tǒng)考期中）設，是一元二次方程的兩個實數(shù)根，則的值為________．三、解答題22．（2023春·江蘇無錫·九年級校聯(lián)考期末）已知關于的一元二次方程有兩個實數(shù)根，分別記為，．(1)求的取值范圍；(2)若．求的值．23．（2023·江蘇蘇州·蘇州市立達中學校?？家荒＃┰谄矫嬷苯亲鴺讼抵?，過一點分別作坐標軸的垂線，若兩垂線與坐標軸圍成矩形的周長C數(shù)值和面積S數(shù)值相等，則稱這個點為“等值點”，例如：點，因為，，所以A是“等值點”．(1)在點，，中，是“等值點”的有：_____；(2)若點E為雙曲線，上任意一點，將點E向右平移2個單位，再向上平移2個單位得到點F，求證：點F為“等值點”；(3)若一次函數(shù)的圖象在第一象限內有兩個“等值點”，求b的取值范圍．24．（2023春·江蘇蘇州·九年級蘇州中學?？奸_學考試）已知關于的一元二次方程．（1）求證：該方程總有兩個實數(shù)根；（2）若，且該方程的兩個實數(shù)根的差為2，求的值．25．（2023秋·江蘇南京·九年級統(tǒng)考期中）如果關于x的一元二次方程有兩個實數(shù)根，且其中一個根是另一個根的3倍，那么稱這樣的方程為“三倍根方程”．例如，方程的兩個根是1和3，則這個方程就是“三倍根方程”．(1)下列方程是三倍根方程的是___________；①

②

③(2)若關于x的方程是“三倍根方程”，則c=___________；(3)若是關于x的“三倍根方程”，求代數(shù)式的值．26．（2023·江蘇蘇州·統(tǒng)考一模）平面直角坐標系中，反比例函數(shù)的圖象與一次函數(shù)圖象交于A、B兩點（點A在點B左側）．(1)求A、B兩點的坐標（用含k的代數(shù)式表示）；(2)當時，過y軸正半軸上一動點作平行于x軸的直線，分別與一次函數(shù)、反比例函數(shù)的圖象相交于D、E兩點，若，求n的值；(3)若一次函數(shù)圖象與x軸交于點F，，直接寫出k的取值范圍．專題05一元二次方程根與系數(shù)的關系（5種題型1個易錯點4種中考考法）【目錄】倍速學習五種方法【方法一】脈絡梳理法知識點：一元二次方程根與系數(shù)的關系【方法二】實例探索法題型1：利用根與系數(shù)的關系式求代數(shù)式的值題型2：已知含字母的一元二次方程的一個根，求另一個根及字母的值題型3：已知一元二次方程的兩根關系求字母的取值（范圍）題型4：已知兩數(shù)的和與積，構造一元二次方程求這個數(shù)題型5：有關一元二次方程的根與系數(shù)關系的創(chuàng)新題【方法三】差異對比法易錯點：沒有判斷一元二次方程根的情況，直接用一元二次方程的根與系數(shù)的關系?！痉椒ㄋ摹糠抡鎸崙?zhàn)法考法1：由已知方程直接求出兩根之和或之積考法2：已知方程一根，求方程另一根考法3：由已知方程求關于兩根的對稱式的值考法4：由一元二次方程兩根的關系求字母的取值（范圍）【方法五】成果評定法【倍速學習五種方法】【方法一】脈絡梳理法知識點：一元二次方程根與系數(shù)的關系韋達定理：如果是一元二次方程的兩個根,由解方程中的公式法得,．那么可推得這是一元二次方程根與系數(shù)的關系．例1.如果，是方程的兩個根，那么=_____________；=_______________．答案:；．解析：由韋達定理，可得：，．【總結】本題考查韋達定理，的應用．【方法二】實例探索法題型1：利用根與系數(shù)的關系式求代數(shù)式的值例2.已知是方程的兩根，求下列各式的值：（1）；（2）；（3）；（4）．答案:（1）；（2）或；（3）；（4）．解析：解：由韋達定理，得：，．原式=；原式；原式=；原式．【總結】本題考查韋達定理，的靈活應用．例3.已知的值．答案:．解析：由，可得：，整理得：，又由于，所以可知、是方程的兩根，由韋達定理，可得：．【總結】本題考查韋達定理，的靈活應用，而且還考查了一元二次方程的根的靈活應用，要注意觀察．例4.已知是方程：的兩根，求代數(shù)式的值．答案:．解析：由題及韋達定理可得：，，得：．=====．【總結】本題考查韋達定理，的靈活應用，運用了降次等的思想方法．題型2：已知含字母的一元二次方程的一個根，求另一個根及字母的值例5.若方程：的一個根為，則k=________；另一個根為________．答案:；．解析：將代入方程，可得：，再由韋達定理可得：，得另一根為．【總結】本題考查韋達定理，的應用．題型3：已知一元二次方程的兩根關系求字母的取值（范圍）例6.已知是關于x的方程的兩根，求b的值．答案:．解析：由韋達定理，得：，，而，所以得：，代入可得：．【總結】本題考查韋達定理，的應用．題型4：已知兩數(shù)的和與積，構造一元二次方程求這個數(shù)例7.寫出一個一元二次方程，使它的兩個根分別是，．答案:．解析：由，，可得方程為：．【總結】本題考查韋達定理，的應用．題型5：有關一元二次方程的根與系數(shù)關系的創(chuàng)新題例8.已知一個直角三角形的兩個直角邊的長恰好是方程：兩個根，求這個直角三角形的周長．答案:．解析：解：設直角三角形的三邊長為，，，且是斜邊長，由題知，，，由勾股定理，可得：，所以，所以直角三角形的周長．【總結】本題考查韋達定理，的靈活應用，并且考查了直角三角形的性質，即勾股定理的應用．例9.已知關于x的方程有兩根，其中且，求m的取值范圍．答案:．解析：因為方程有兩根，所以，即；由韋達定理，可得：，，因為且，所以，，即，解得：．【總結】本題考查韋達定理的應用和一元二次方程的概念以及解不等式的應用．例10.已知方程：的一個根大于3，另一個根小于3，求a的取值范圍．答案:．解析：解：設方程的兩根為，，由，，可得：，即，而由韋達定理可得，，所以，即．【總結】本題考查韋達定理，的靈活應用．【方法三】差異對比法易錯點：沒有判斷一元二次方程根的情況，直接用一元二次方程的根與系數(shù)的關系。例11.已知關于x的方程有兩個正整數(shù)根，求整數(shù)k和p的值．答案:．解析：設是原方程的兩根，因為是正整數(shù)根，所以且都是正整數(shù)，由韋達定理，得：，所以是正整數(shù)，所以是正整數(shù)，即是正整數(shù)，所以，代入原方程可得：，方程的兩根為，所以．【總結】本題考查韋達定理的靈活應用，結合正整數(shù)根，題目較綜合．【方法四】仿真實戰(zhàn)法考法1：由已知方程直接求出兩根之和或之積1．(2023·江蘇徐州·統(tǒng)考中考真題）若是方程的兩個根，則_________．答案:-3分析：根據(jù)一元二次方程根與系數(shù)的關系，即可求解．【詳解】解：∵是方程的兩個根，∴，故答案是：-3．【點睛】本題主要考查一元二次方程根與系數(shù)的關系，掌握是一元二次方程的兩個根，則，是解題的關鍵．考法2：已知方程一根，求方程另一根2．(2023·山東濟寧·統(tǒng)考中考真題）已知是方程的一個根，則方程的另一個根是_____．答案:分析：根據(jù)根與系數(shù)的關系即可求出答案．【詳解】解：設另外一個根為x，由根與系數(shù)的關系可知：，即．故答案為：．【點睛】本題考查了根與系數(shù)的關系，一元二次方程的解，解題的關鍵是熟練運用根與系數(shù)的關系．若是一元二次方程的兩根時，．3．(2023·湖南婁底·統(tǒng)考中考真題）已知實數(shù)是方程的兩根，則______．答案:分析：由一元二次方程根與系數(shù)的關系直接可得答案．【詳解】解：實數(shù)是方程的兩根，故答案為：【點睛】本題考查的是一元二次方程根與系數(shù)的關系，掌握“”是解本題的關鍵．4．(2023·湖北黃岡·統(tǒng)考中考真題）已知一元二次方程x2﹣4x+3＝0的兩根為x1、x2，則x1?x2＝_____．答案:3分析：直接根據(jù)一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根與系數(shù)的關系求解即可．【詳解】解：∵一元二次方程x2﹣4x+3＝0的兩根為x1、x2，∴x1?x2＝＝3．故答案為3．【點睛】此題考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根與系數(shù)的關系，解題關鍵在于掌握若方程的兩根分別為x1，x2，則x1+x2=-考法3：由已知方程求關于兩根的對稱式的值5．(2023·湖北鄂州·統(tǒng)考中考真題）若實數(shù)a、b分別滿足a2﹣4a+3＝0，b2﹣4b+3＝0，且a≠b，則的值為_____．答案:分析：先根據(jù)題意可以把a、b看做是一元二次方程的兩個實數(shù)根，利用根與系數(shù)的關系得到a+b=4，ab=3，再根據(jù)進行求解即可．【詳解】解：∵a、b分別滿足a2﹣4a+3＝0，b2﹣4b+3＝0，∴可以把a、b看做是一元二次方程的兩個實數(shù)根，∴a+b=4，ab=3，∴，故答案為：．【點睛】本題主要考查了分式的求值，一元二次方程根與系數(shù)的關系，熟知一元二次方程根與系數(shù)的關系是解題的關鍵．6．(2023·四川雅安·統(tǒng)考中考真題）已知一元二次方程的兩根分別為m，n，則的值為______．答案:分析：根據(jù)一元二次方程根與系數(shù)關系的性質計算，即可得到答案．【詳解】∵一元二次方程的兩根分別為m，n∴，∴故答案為：．【點睛】本題考查了一元二次方程的知識；解題的關鍵是熟練掌握一元二次方程根與系數(shù)的性質，從而完成求解．考法4：由一元二次方程兩根的關系求字母的取值（范圍）7．(2023·四川巴中·統(tǒng)考中考真題）、是關于的方程的兩個實數(shù)根，且，則的值為________．答案:分析：，然后根據(jù)方程的解的定義以及一元二次方程根與系數(shù)的關系，得到關于k的一元一次方程，即可解得答案．【詳解】解：∵是方程的根∴，∴∴k=-4故答案是-4．【點睛】本題考查了一元二次方程的解以及根與系數(shù)的關系，掌握相關知識并熟練使用，同時注意解題中需注意的問題是本題的解題關鍵．8．(2023·山東日照·統(tǒng)考中考真題）關于x的一元二次方程2x2+4mx+m=0有兩個不同的實數(shù)根x1，x2，且，則m=__________．答案:/-0.125分析：根據(jù)根與系數(shù)的關系得到x1+x2=-2m，x1x2=，再由x12+x22=變形得到（x1+x2）2-2x1x2=，即可得到4m2-m=，然后解此方程即可．【詳解】解：根據(jù)題意得x1+x2=-2m，x1x2=，∵x12+x22=，∴（x1+x2）2-2x1x2=，∴4m2-m=，∴m1=-，m2=，∵Δ=16m2-8m＞0，∴m＞或m＜0時，∴m=不合題意，故答案為：．【點睛】本題考查了根與系數(shù)的關系：若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的兩根時，，．9．(2023·四川內江·統(tǒng)考中考真題）已知x1、x2是關于x的方程x2﹣2x+k﹣1＝0的兩實數(shù)根，且＝x12+2x2﹣1，則k的值為_____．答案:2分析：根據(jù)一元二次方程根與系數(shù)的關系以及解的定義得到x1+x2＝2，x1?x2＝k﹣1，x12﹣2x1+k﹣1＝0，再根據(jù)＝x12+2x2﹣1，推出＝4﹣k，據(jù)此求解即可．【詳解】解：∵x1、x2是關于x的方程x2﹣2x+k﹣1＝0的兩實數(shù)根，∴x1+x2＝2，x1?x2＝k﹣1，x12﹣2x1+k﹣1＝0，∴x12＝2x1﹣k+1，∵＝x12+2x2﹣1，∴＝2（x1+x2）﹣k，∴＝4﹣k，解得k＝2或k＝5，當k＝2時，關于x的方程為x2﹣2x+1＝0，Δ≥0，符合題意；當k＝5時，關于x的方程為x2﹣2x+4＝0，Δ＜0，方程無實數(shù)解，不符合題意；∴k＝2，故答案為：2．【點睛】本題主要考查了一元二次方程根與系數(shù)的關系，一元二次方程解的定義，熟知一元二次方程根與系數(shù)的關系是解題的關鍵．10．(2023·貴州銅仁·統(tǒng)考中考真題）已知關于的方程有兩個相等的實數(shù)根，則的值是______．答案:1分析：由一元二次方程根的判別式列方程可得答案．【詳解】解：一元二次方程有兩個相等的實數(shù)根，可得判別式，∴，解得：．故答案為：【點睛】本題考查的是一元二次方程根的判別式，掌握根的判別式的含義是解題的關鍵．【方法五】成果評定法一、單選題1．（2023春·江蘇南京·九年級專題練習）若，是一元二次方程的兩個根，則的值是（

）A． B． C． D．答案:A分析：根據(jù)一元二次方程根與系數(shù)的關系可得的值．【詳解】解：一元二次方程的二次項系數(shù)是，一次項系數(shù)，由根與系數(shù)的關系，得．故選：A．【點睛】本題考查了一元二次方程根與系數(shù)的關系：若，是一元二次方程的兩根，，，牢記公式是解題的關鍵．2．（2023秋·江蘇南通·九年級統(tǒng)考期末）若一元二次方程的兩個根為、，則是（

）A．1 B． C．2 D．答案:D分析：利用兩根之積等于即可解決問題．【詳解】解：一元二次方程的兩個根為、，，故選：D．【點睛】本題考查了根與系數(shù)的關系以及一元二次方程的解，牢記“兩根之和等于，兩根之積等于”是解題的關鍵．3．（2023春·江蘇泰州·九年級校考階段練習）已知、是關于x的方程的兩根，下列結論中不一定正確的是（

）A． B． C． D．方程的根有可能為0答案:B分析：根據(jù)根與系數(shù)關系及判別式與根的關系即可得到答案；【詳解】解：由題意可得，，故A正確，不符合題意；，故B錯誤，符合題意；，故方程有兩個不相等的實數(shù)根，故C正確，不符合題意；當時，方程有一個根為0，故D正確，不符合題意；故選B．【點睛】本題考查一元二次方程根與系數(shù)關系及判別式與根的關系，解題的關鍵是熟練掌握，，．4．（2023·江蘇泰州·一模）若關于x的一元二次方程有兩個實數(shù)根，，且，則（

）A．2或6 B．2或8 C．2 D．6答案:A分析：根據(jù)一元二次方程有實數(shù)根先確定m的取值范圍，再根據(jù)一元二次方程根與系數(shù)的關系得出，把變形為，再代入得方程，求出m的值即可．【詳解】解:∵關于x的一元二次方程有兩個實數(shù)根,∴,∴∵是方程的兩個實數(shù)根,∵，又∴把代入整理得,解得,故選A【點睛】本題考查了根的判別式、根與系數(shù)的關系以及解一元二次方程，解題的關鍵是：（1）牢記“當△≥0時，方程有兩個實數(shù)根”；（2）由根與系數(shù)的關系結合，找出關于m的一元二次方程．5．（2023春·江蘇南京·九年級專題練習）關于的方程（為常數(shù)）根的情況，下列結論中正確的是（

）A．有兩個相異正根 B．有兩個相異負根 C．有一個正根和一個負根 D．無實數(shù)根答案:C分析：先對方程進行化簡，然后再根據(jù)一元二次方程根的判別式可進行求解．【詳解】解：由題意得：方程可化為，∴，∴該方程有兩個不相等的實數(shù)根，設該方程的兩個根為，則根據(jù)根與系數(shù)的關系可知：，∴該方程的兩個根為一正一負，故選C．【點睛】本題主要考查一元二次方程根的判別式及根與系數(shù)的關系，熟練掌握一元二次方程根的判別式及根與系數(shù)的關系是解題的關鍵．6．（2023春·江蘇南京·九年級專題練習）若m，n分別是一元二次方程的兩個根，則的值為（

）A．3 B．4 C．5 D．6答案:A分析：根據(jù)一元二次方程解的定義和根與系數(shù)的關系得到，m＋n＝4，然后利用整體代入的方法計算．【詳解】解：∵m，n分別是一元二次方程的兩個根，∴，m＋n＝4，∴，∴，故選：A．【點睛】本題考查了一元二次方程的解，根與系數(shù)的關系，若，是一元二次方程（a≠0）的兩根時，，，熟練掌握一元二次方程根與系數(shù)的關系是解題的關鍵．7．（2023春·江蘇南通·九年級專題練習）有兩個關于x的一元二次方程：，，其中a+c=0，以下列四個結論中，①如果，那么方程M和方程N有一個公共根為1；②方程M和方程N的兩根符號異號，而且它們的兩根之積必相等；③如果2是方程M的一個根，那么一定是方程N的一個根；④如果方程M和方程N有一個相同的根，那么這個根必定是．其中錯誤的結論的個數(shù)是（）A．0個 B．1個 C．2個 D．3個答案:B分析：當時，得出，得出即可判斷①；根據(jù)根與系數(shù)的關系，由即可判斷②；將代入方程中可得出，方程兩邊同時除以4可得出，由此可得出是方程的一個根，即可判斷③；設相同的根為，將其代入兩方程中作差后可得出，解之可得出，進而可得出兩方程有相同的根，即可判斷④．【詳解】解：，方程的一個根為1，方程有一個根為1，如果，那么方程和方程有一個公共根為1，結論①正確；，，，，方程和方程的兩根之積必相等，結論②正確；是方程的一個根，，即，是方程的一個根，結論③正確；設相同的根為，則，①②得：，．，，，，，．即有相同的根，結論④錯誤．故選：B．【點睛】本題考查了一元二次方程的解以及根與系數(shù)的關系，逐一分析四條選項的正誤是解題的關鍵．8．（2023·江蘇揚州·?？家荒＃┮阎?，是一元二次方程的兩個根，則的值為（

）A． B． C． D．答案:B分析：利用根與系數(shù)的關系得到，然后利用整體代入的方法計算的值．【詳解】解：根據(jù)題意得，所以．故選：B．【點睛】本題考查了根與系數(shù)的關系：若，是一元二次方程的兩根時，．9．（2023春·江蘇南京·九年級專題練習）下列給出的四個命題，真命題的有（

）個①若方程兩根為-1和2，則；②若，則；③若，則方程一定無解；④若方程的兩個實根中有且只有一個根為0，那么，．A．4個 B．3個 C．2個 D．1個答案:A分析：①根據(jù)一元二次方程根與系數(shù)的關系可得，即可判斷；②利用求根公式求出方程的根，求得1﹣a＜0，即可判斷；③由△＝b2﹣4ac＜0，即可判斷；④利用根與系數(shù)的關系進行判斷．【詳解】①若方程兩根為-1和2，則，則，即；故此選項符合題意；②∵a2﹣5a+5＝0，∴a＝＞1或a＝＞1，∴1﹣a＜0，∴；此選項符合題意；③∵，∴方程ax2+bx+c＝0（a≠0）一定無解，故此選項符合題意；④若方程x2+px+q＝0的兩個實根中有且只有一個根為0，∴兩根之積為0，那么p≠0，q＝0，故此選項符合題意；故選：A．【點睛】此題考查了一元二次方程的根，涉及到了一元二次方程的求根公式，根的判別式，根與系數(shù)的關系等，熟記各計算方法是解題的關鍵．二、填空題10．(2023秋·江蘇淮安·九年級統(tǒng)考期末），是方程的兩個實數(shù)根，則________．答案:分析：根據(jù)一元二次方程根與系數(shù)的關系解答即可．【詳解】∵，是方程的兩個實數(shù)根，∴．故答案為：-3．【點睛】本題考查了一元二次方程跟與系數(shù)的關系．11．（2023春·江蘇徐州·九年級校考階段練習）已知關于的方程的一個根為，則另一個根是______．答案:分析：根據(jù)一元二次方程根與系數(shù)的關系即可求解．【詳解】解：設方程的另一個根為，則解得：，故答案為：．【點睛】本題考查了一元二次方程根與系數(shù)的關系：若是一元二次方程的兩根，，，掌握一元二次方程根與系數(shù)的關系是解題的關鍵．12．（2023·江蘇南京·校聯(lián)考模擬預測）設、是方程的兩個根，且，則________．答案:4分析：根據(jù)根與系數(shù)的關系，得出，，代入，即可求出m的值．【詳解】解：∵、是方程的兩個根，∴，，∵，∴，∴．故答案為：4．【點睛】本題考查了根與系數(shù)的關系，熟練掌握、是一元二次方程的兩根時，，．13．（2023春·江蘇鹽城·九年級校聯(lián)考階段練習）一元二次方程的兩個根為，則___________．答案:/分析：根據(jù)根與系數(shù)的關系求出和的值，然后代入計算即可．【詳解】解：∵，∴，，∴．故答案為：．【點睛】本題考查了一元二次方程根與系數(shù)的關系，若，為方程的兩個根，則，與系數(shù)的關系式：，．14．（2023·江蘇揚州·統(tǒng)考一模）一元二次方程的兩根是和，則的最大值為________．答案:1分析：根據(jù)一元二次方程根的判別式，根與系數(shù)的關系，即可求解．【詳解】解：∵方程有兩個根是和，∴，，解得：，∴的最大值為1．故答案為：1【點睛】本題主要考查了一元二次方程根的判別式，根與系數(shù)的關系，熟練掌握一元二次方程根的判別式，根與系數(shù)的關系是解題的關鍵．15．（2023春·江蘇泰州·九年級姜堰區(qū)實驗初中?？茧A段練習）關于x的一元二次方程的兩根是、，若，則m=_____．答案:分析：先根據(jù)根與系數(shù)的關系得，，則，然后解方程即可．【詳解】根據(jù)根與系數(shù)的關系得：，，∴解得：故答案為：．【點睛】本題考查了一元二次方程根與系數(shù)的關系，解題的關鍵是掌握根與系數(shù)關系表達式，并會熟練計算．16．（2023·江蘇南通·南通田家炳中學?？寄M預測）已知是方程的兩個根，且滿足，則___________．答案:分析：根據(jù)一元二次方程中根與系數(shù)的關系可以表示出兩個根的和與積，代入即，即可得到一個關于k的方程，從而求得k的值．【詳解】解：∵、是方程的兩個根，∴，，∵，∴，∴，解得：，當時，方程為，，不合題意舍去；當時，方程為，，符合題意．∴所求k的值為．故答案為：．【點睛】本題考查了一元二次方程的根與系數(shù)的關系：若是一元二次方程的兩根，則，．注意：運用根與系數(shù)的關系的前提條件是：一元二次方程的根的判別式．17．（2023春·江蘇南京·九年級南師附中樹人學校校考階段練習）設，是一元二次方程的兩個根，且，則________．答案:分析：根據(jù)根與系數(shù)的關系求解即可．【詳解】解：、是一元二次方程的兩個根，，，．故答案為：．【點睛】本題考查一元二次方程根與系數(shù)的關系，熟練掌握一元二次方程，若方程有兩根為，，則，是解題的關鍵．18．（2023春·江蘇鹽城·九年級?？茧A段練習）若是一元二次方程的兩個根，則的值是_____．答案:分析：直接根據(jù)一元二次方程根與系數(shù)的關系解答即可．【詳解】解：∵是一元二次方程的兩個根，∴．故答案為．【點睛】本題考查了根與系數(shù)的關系：是一元二次方程的兩根時，．19．（2023秋·江蘇泰州·九年級統(tǒng)考期末）若a，b是方程的兩根，則______．答案:分析：根據(jù)、是一元二次方程的兩個根，則有，進行求解即可．【詳解】解：由韋達定理得：，．故答案：．【點睛】本題考查了韋達定理，掌握定理是解題的關鍵．20．（2023春·江蘇泰州·九年級統(tǒng)考期中）設、是方程的兩個不等的根，則的值______.答案:分析：由一元二次方程的解可帶入原方程得出的值，再由根與系數(shù)的關系得的值，再計算即可得到解．【詳解】、是方程的兩個不等的根，，則原式．【點睛】本題考查方程的解的性質及一元二次方程的根與系數(shù)關系，遇到解的平方則為將該解代入原方程，得出式子的值．通常求解整式的值需要進行拆解，由已知部分整式和剩余整式的形式采用整體帶入的方式進行值的計算．將整式變形計算和正確使用根與系數(shù)關系公式是解題的關鍵．21．（2023春·江蘇南京·九年級統(tǒng)考期中）設，是一元二次方程的兩個實數(shù)根，則的值為________．答案:分析：根據(jù)一元二次方程的根與系數(shù)的關系可得，，然后將所求式子變形為，再整體代入求解即可．【詳解】解：∵是一元二次方程的兩個實數(shù)根，∴，，∴．故答案為：．【點睛】本題考查了一元二次方程的根與系數(shù)的關系，屬于?？碱}型，熟練掌握方程的兩根之和與兩根之積與方程各系數(shù)之間的關系是解題的關鍵．三、解答題22．（2023春·江蘇無錫·九年級校聯(lián)考期末）已知關于的一元二次方程有兩個實數(shù)根，分別記為，．(1)求的取值范圍；(2)若．求的值．答案:(1)(2)分析：（1）根據(jù)一元二次方程由兩個實數(shù)根，得出，解不等式即可求解；（2）根據(jù)一元二次方程根與系數(shù)的關系得出，代入，進而解方程即可求解．【詳解】（1）解：∵關于的一元二次方程有兩個實數(shù)根，∴解得：；（2）解：∵關于的一元二次方程有兩個實數(shù)根，分別記為，∴，∵，∴解得：【點睛】本題考查了一元二次方程根的判別式與一元二次方程根與系數(shù)的關系：若是一元二次方程的兩根，，，綜合運用以上知識是解題的關鍵．23．（2023·江蘇蘇州·蘇州市立達中學校?？家荒＃┰谄矫嬷苯亲鴺讼抵?，過一點分別作坐標軸的垂線，若兩垂線與坐標軸圍成矩形的周長C數(shù)值和面積S數(shù)值相等，則稱這個點為“等值點”，例如：點，因為，，所以A是“等值點”．(1)在點，，中，是“等值點”的有：_____；(2)若點E為雙曲線，上任意一點，將點E向右平移2個單位，再向上平移2個單位得到點F，求證：點F為“等值點”；(3)若一次函數(shù)的圖象在第一象限內有兩個“等值點”，求b的取值范圍．答案:(1)D；(2)見解析；(3)．分析：（1）根據(jù)“等值點”的定義分別進行判斷即可；（2）由點E為雙曲線，上任意一點可設點，將點E向右平移2個單位，再向上平移2個單位得到點F，則點F的坐標是，根據(jù)“等值點”的定義進行計算后即可證明；（3）設一次函數(shù)的圖象在第一象限內“等值點”坐標為，由“等值點”的定義得到，由在第一象限內有兩個“等值點”得到，，即可得到b的取值范圍．【詳解】（1）解：點，因為，，∴，∴不是“等值點”；點，因為，，∴，∴不是“等值點”；點，因為，，∴，∴是“等值點”,故答案為：（2）∵點E為雙曲線()上任意一點，∴可設點，將點E向右平移2個單位，再向上平移2個單位得到點F，則點F的坐標是，∵，，∴，∴點F為“等值點”．（3）設一次函數(shù)的圖象在第一象限內“等值點”坐標為，∵，，∵，∴，∴，∵在第一象限內有兩個“等值點”，∴，，∴．【點睛】此題是新定義題，考查了一次函數(shù)和反比例函數(shù)的性質，分式的混合運算，一元二次方程根的判別式和根與系數(shù)關系，讀懂題意，準確計算