廣東詩(shī)莞市2024-2025學(xué)年高二數(shù)學(xué)上學(xué)期學(xué)習(xí)效率監(jiān)測(cè)一試題

Page192024-2025學(xué)年高二數(shù)學(xué)上學(xué)期學(xué)習(xí)效率監(jiān)測(cè)（一）一?單項(xiàng)選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.已知向量，若，則（）A. B.5 C.1 D.【答案】B【解析】【分析】依據(jù)向量坐標(biāo)運(yùn)算，向量平行可列方程，從而解出的值【詳解】因?yàn)?，所以，得：故選：B2.在中，，，，則A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】由已知利用正弦定理即可解得的值．【詳解】∵中，，，，∴由正弦定理，可得：，解得：．故選B．【點(diǎn)睛】本題主要考查了正弦定理在解三角形中的應(yīng)用，考查了計(jì)算實(shí)力和轉(zhuǎn)化思想，屬于基礎(chǔ)題．3.若復(fù)數(shù)(為虛數(shù)單位)，則（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】依據(jù)復(fù)數(shù)運(yùn)算性質(zhì)，化簡(jiǎn)求值，并計(jì)算模.【詳解】，∴.故選:A.4.已知向量，則與共線的一個(gè)單位向量（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】設(shè)，依據(jù)求得實(shí)數(shù)的值，即可求得單位向量的坐標(biāo).【詳解】設(shè)，由已知可得，解得.因此，或.故選：B.【點(diǎn)睛】結(jié)論點(diǎn)睛：與非零向量共線的單位向量為.5.國(guó)慶期間我校數(shù)學(xué)愛(ài)好小組的同學(xué)開(kāi)展了測(cè)量校內(nèi)旗桿高度的活動(dòng)，如圖所示，在操場(chǎng)上選擇了C，D兩點(diǎn)，在C，D處測(cè)得旗桿的仰角分別為.在水平面上測(cè)得且C?D的距離為15米，則旗桿的高度為多少米？（）A.13 B. C.15 D.【答案】C【解析】【分析】設(shè)旗桿的高度為，在中，利用余弦定理求解.【詳解】如圖所示：設(shè)旗桿的高度為，所以，在中，由余弦定理得，即，即，解得或（舍去），故選：C6.長(zhǎng)方體中，，，為的中點(diǎn)，則異面直線與之間的距離是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，得出各點(diǎn)坐標(biāo)，求出與的公垂線的一個(gè)方向向量，由空間向量的數(shù)量積求得結(jié)論．【詳解】建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則，，，，，，，設(shè)與的公垂線的一個(gè)方向向量為，則，取，得，，即，又，所以異面直線與之間的距離為．故選：D．7.設(shè)是正三棱錐，G是的重心，D是PG上的一點(diǎn)，且，若，則為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】G是等邊的重心，可得，再由，可得，而，從而可以將用表示出，進(jìn)而可求出【詳解】因?yàn)槿忮F是正三棱錐，G是的重心，所以，因?yàn)镈是PG上的一點(diǎn)，且，所以，因?yàn)?，所以因?yàn)?，所以，所以?故選：B8.正三棱柱ABC﹣A1B1C1中，全部棱長(zhǎng)均為2，點(diǎn)E，F(xiàn)分別為棱BB1，A1C1的中點(diǎn)，若過(guò)點(diǎn)A，E，F(xiàn)作一截面，則截面的周長(zhǎng)為（）A.2+2 B. C. D.【答案】B【解析】【分析】依據(jù)題意先作出截面，進(jìn)而算出截面各邊的長(zhǎng)度，最終得到答案.【詳解】如圖，在正三棱柱中，延長(zhǎng)AF與CC1的延長(zhǎng)線交于M，連接EM交B1C1于P，連接FP，則四邊形AEPF為所求截面.過(guò)E作EN平行于BC交CC1于N，則N為線段CC1的中點(diǎn)，由相像于可得MC1=2，由相像于可得：，在中，，則，在中，，則，在中，，則，在中，，由余弦定理：，則，所以截面周長(zhǎng)為：.故選：B.【點(diǎn)睛】本題主要考查幾何體的截面問(wèn)題，其中依據(jù)空間幾何體的結(jié)構(gòu)特征，利用平面的性質(zhì)作出幾何體的截面是問(wèn)題的關(guān)鍵，平常留意方法的總結(jié)和歸納.二?多項(xiàng)選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得5分，有選錯(cuò)的得0分，部分選對(duì)的得2分.9.下列關(guān)于空間向量的命題中，正確的是（）A.三個(gè)非零向量能構(gòu)成空間的一個(gè)基底，則它們不共面B.不相等的兩個(gè)空間向量的?？赡芟嗟菴.模長(zhǎng)為3的空間向量大于模長(zhǎng)為1的空間向量D.若是兩個(gè)不共線的向量，且（且），則構(gòu)成空間的一個(gè)基底【答案】AB【解析】【分析】依據(jù)空間向量的概念、向量相等，向量的模，空間向量的基底逐項(xiàng)推斷即可得解.【詳解】因?yàn)槿齻€(gè)非零向量能構(gòu)成空間一個(gè)基底，故三個(gè)向量不共面，故A正確；向量既有大小又有方向，所以不相等的兩個(gè)空間向量的?？赡芟嗟?，故B正確；因?yàn)橄蛄考扔写笮∮钟蟹较?，所以向量不能比較大小，故C錯(cuò)誤；由是兩個(gè)不共線的向量，且（且）可知，向量與向量共面，所以不能構(gòu)成空間向量的一組基底，故D錯(cuò)誤.故選：AB10.設(shè)，為不同的直線，，為不同的平面，則下列結(jié)論中正確的是（）A.若，，則 B.若，，則C.若，，則 D.若，，，則【答案】BD【解析】【分析】依據(jù)線線、線面、面面的位置關(guān)系，逐一分析各選項(xiàng)即可得答案.【詳解】解：對(duì)A：若，，則或與相交或與異面，故選項(xiàng)A錯(cuò)誤；對(duì)B：若，，則，故選項(xiàng)B正確；對(duì)C：若，，則或與相交，故選項(xiàng)C正確；對(duì)D：若，，，則，故選項(xiàng)D正確.故選：BD.11.在中，內(nèi)角所對(duì)的邊分別為a、b、c，則下列說(shuō)法正確的是（）A.B若，則C.D.若，且，則為等邊三角形【答案】ACD【解析】【分析】利用正弦定理以及邊角互化可推斷A、B、C，利用向量數(shù)量積可推斷D.詳解】對(duì)于A，由，故A正確；對(duì)于B，若，當(dāng)，時(shí)，則，故B不正確；對(duì)于C，，故C正確；對(duì)于D，由，可得的角平分線與垂直，所以為等腰三角形又，可得，所以為等邊三角形，故D正確；故選：ACD12.如圖，在棱長(zhǎng)為的正方體中，點(diǎn)為線段上的動(dòng)點(diǎn)（含端點(diǎn)），下列四個(gè)結(jié)論中，正確的有（）A.存在點(diǎn)，使得平面B.存在點(diǎn)，使得直線與直線所成的角為C.存在點(diǎn)，使得三棱錐的體積為D.不存在點(diǎn)，使得，其中為二面角的大小，為直線與直線所成的角【答案】ACD【解析】【分析】以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，、、所在直線分別為、、軸建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量法可推斷各選項(xiàng)的正誤.【詳解】以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，、、所在直線分別為、、軸建立如下圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則、、、、、、、，設(shè)，即點(diǎn)，其中.對(duì)于A選項(xiàng)，假設(shè)存在點(diǎn)，使得平面，，，，則，解得，故當(dāng)點(diǎn)為線段的中點(diǎn)時(shí)，平面，A對(duì)；對(duì)于B選項(xiàng)，，，由已知可得，則，B錯(cuò)；對(duì)于C選項(xiàng)，，點(diǎn)到平面的距離為，則，解得，C對(duì)；對(duì)于D選項(xiàng)，，，設(shè)平面的法向量為，則，取，可得，易知平面的一個(gè)法向量為，由圖可得，，，，因?yàn)?，，則，、，且余弦函數(shù)在上單調(diào)遞減，則，D對(duì).故選：ACD.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：求空間角的常用方法：（1）定義法：由異面直線所成角、線面角、二面角的定義，結(jié)合圖形，作出所求空間角，再結(jié)合題中條件，解對(duì)應(yīng)的三角形，即可求出結(jié)果；（2）向量法：建立適當(dāng)?shù)目臻g直角坐標(biāo)系，通過(guò)計(jì)算向量的夾角（兩直線的方向向量、直線的方向向量與平面的法向量、兩平面的法向量）的余弦值，即可求得結(jié)果.三?填空題，本大題共4小題，每小題5分，共20分.13.已知，，則在上的投影向量的長(zhǎng)度為_(kāi)_______．【答案】【解析】【分析】利用空間向量投影的定義求解即可．【詳解】解：因?yàn)?，，所以，，所以在上的投影為．所以在上的投影向量的長(zhǎng)度為；故答案為：．14.已知圓錐的母線長(zhǎng)為1，側(cè)面綻開(kāi)圖的圓心角為，則該圓錐的體積是______.【答案】【解析】【分析】依據(jù)題意得，解得，求得圓錐的高，利用體積公式，即可求解．【詳解】設(shè)圓錐底面的半徑為，依據(jù)題意得，解得，所以圓錐的高，所以圓錐的體積.【點(diǎn)睛】本題主要考查了圓錐的體積的計(jì)算，以及圓錐的側(cè)面綻開(kāi)圖的應(yīng)用，其中解答中依據(jù)圓錐的側(cè)面綻開(kāi)圖，求得圓錐的底面圓的半徑是解答的關(guān)鍵，著重考查了推理與運(yùn)算實(shí)力，屬于基礎(chǔ)題．15.已知是的中線，若，，則的最小值是____________．【答案】1【解析】【詳解】試題分析：因?yàn)?，又，所以，即，的最小值?.考點(diǎn)：向量數(shù)量積16.在長(zhǎng)方體中，已知，E、F分別為、的中點(diǎn)，則三棱錐的外接球半徑為_(kāi)_____，平面被三棱錐外接球截得的截面圓面積為_(kāi)_____．【答案】①.②.##【解析】【分析】建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量坐標(biāo)，可以證明，取為中點(diǎn)，有，因此點(diǎn)為三棱錐外接球的球心，則，球心到平面的距離為，勾股定理可得截面圓的半徑為，即得解【詳解】解：以點(diǎn)為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系如圖所示：依題意得：，，，則，，所以，則即；設(shè)為中點(diǎn)，因?yàn)?，，則，所以點(diǎn)為三棱錐外接球的球心，則三棱錐外接球的半徑為，設(shè)球心到平面的距離為，又因?yàn)闉橹悬c(diǎn)，所以點(diǎn)到平面的距離為，由于，所以，故截面圓的半徑為，所以截面圓面積為，故答案為：；四?解答題：本大題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出必要的文字說(shuō)明?證明過(guò)程或演算步驟.17.已知復(fù)數(shù)在復(fù)平面上對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為Z，（1）求點(diǎn)Z在實(shí)軸上時(shí)，實(shí)數(shù)m的取值；（2）求點(diǎn)Z在虛軸上時(shí)，實(shí)數(shù)m的取值；（3）求點(diǎn)Z在第一象限時(shí)，實(shí)數(shù)m的取值范圍.【答案】（1）或；（2）或；（3）或.【解析】【分析】（1）由實(shí)軸上點(diǎn)對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)虛部為0求解；（2）由虛軸上的點(diǎn)對(duì)應(yīng)的實(shí)部為0求解；（3）依據(jù)第一象限中點(diǎn)的坐標(biāo)對(duì)應(yīng)實(shí)部、虛部正負(fù)列不等式組求解.【小問(wèn)1詳解】因?yàn)辄c(diǎn)Z在實(shí)軸上，所以虛部，解得或.【小問(wèn)2詳解】點(diǎn)Z在虛軸上時(shí),復(fù)數(shù)的實(shí)部為0，所以，解得或.【小問(wèn)3詳解】點(diǎn)Z在第一象限，復(fù)數(shù)的實(shí)部與虛部都大于0，即，解得或.18.已知的內(nèi)角的對(duì)邊分別是，且.（1）求；（2）若，求的面積.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）依據(jù)正弦定理，結(jié)合兩角和的正弦公式，特別角的三角函數(shù)值進(jìn)行求解即可；（2）依據(jù)余弦定理，結(jié)合三角形面積公式進(jìn)行求解即可.【詳解】（1）依據(jù)正弦定理，，因?yàn)?，所以，因此有，因?yàn)椋?；?）由余弦定理可知：，解得，（舍去），因此的面積為.19.已知向量，，若向量同時(shí)滿意下列三個(gè)條件：①；②；③與垂直.（1）求向量的坐標(biāo)；（2）若向量與向量共線，求向量與夾角的余弦值.【答案】(1)或；(2).【解析】【詳解】試題分析：（1）設(shè)，結(jié)合空間向量的運(yùn)算法則及模長(zhǎng)公式，列出方程組，即可求出的坐標(biāo)；（2）依據(jù)數(shù)量積運(yùn)算公式可得，依據(jù)空間向量夾角公式可得余弦值.試題解析：（1）設(shè)，則由題可知解得或所以或（2）因?yàn)橄蛄颗c向量共線，所以.又，，所以，，所以，且，，所以與夾角的余弦值為.20.在中，點(diǎn)是邊上的一點(diǎn)，，．（1）求線段的長(zhǎng)度；（2）求線段的長(zhǎng)度．【答案】（1）（2）或【解析】【分析】（1）先由求，由正弦定理可求得；（2）先求出，再依據(jù)余弦定理解得或.【小問(wèn)1詳解】∵，∴，又∵，∴由正弦定理，得，∴，【小問(wèn)2詳解】∵，又∵，∴由余弦定理得，解得．21.如圖，在三棱錐中，，O為中點(diǎn).（1）證明：平面平面；（2）若點(diǎn)M在棱上，，且，求直線與平面所成角的正弦值.【答案】（1）證明見(jiàn)解析；（2）.【解析】【分析】（1）依據(jù)線面垂直的判定定理證得平面，再由面面垂直的判定定理可得證；（2）建立空間直角坐標(biāo)系，由線面角的向量求解方法可得答案.【詳解】（1）證明：∵，且為中點(diǎn)，∴，∵，且為中點(diǎn)，∴，∵，且為中點(diǎn)，∴，∵，，，∴，∴，∵，平面，且，∴平面，∵平面，∴平面平面.（2）∵，且為中點(diǎn)，∴，從而，，兩兩垂直，如圖，建立以為原點(diǎn)，且，，分別為，，軸的空間直角坐標(biāo)系，則，，，，設(shè)，由，即，所以，所以，解得，∴，，，不妨設(shè)平面的一個(gè)法向量為，故，，∴令，則，，∴，設(shè)直線與平面所成角為，∴，∴直線與平面所成角的正弦值為.22.如圖（1），在正方形ABCD中，M?N?E分別為AB?AD?BC的中點(diǎn)，點(diǎn)P在對(duì)角線AC上，且，將分別沿MN?MC?NC折起，使A?B?D三點(diǎn)重合（記為F），得四面體MNCF（如圖（2），在圖（2）中.（1）求證：平面FMN；（2）在NC上，求一點(diǎn)H，使二面角的大小為.【答案】（1）證明見(jiàn)解析；（2）存在H點(diǎn)在NC上靠近N的三等分點(diǎn)處.【解析】【分析】（1）在圖1中，連接AC，連接BD、ES，在圖2中證明EPFG，即可利用線面平行的判定定理證明；（2）以F為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以直線FN,FM,FC所在直線分別為x，y,z軸建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法求解.【小問(wèn)1詳解】證明：在圖1中，連接AC，設(shè)AC∩MN=G，S為DC的中點(diǎn)，連接BD、ES，AC∩BD=Q，