初中數(shù)學(xué)易錯(cuò)題17.1勾股定理

17.1勾股定理

一.選擇題（共9小題）

1.如圖，在aABC中，點(diǎn)M是AC邊上一個(gè)動(dòng)點(diǎn).若AB=AC=10,BC=12,則BM

A.8B.9.6C.10D.45

【分析】作AD_LBC于D,則NADB=90。，由等腰三角形的性質(zhì)和勾股定理求出

AD,當(dāng)BMLAC時(shí)，BM最??；由4ABC的面積的計(jì)算方法求出BM的最小值.

【解答】解：作AD_LBC于D,如圖所示:

則NADB=90°,

VAB=AC,

.*.BD=1BC=6,

2

由勾股定理得：AD=,AB?-BD2=4102-62=8

當(dāng)BMLAC時(shí)，BM最小，

此時(shí)，ZBMC=90°,

vAABC的面積=1TKC?BMJBJAD,

22

即“10XBM="12X8,

22

解得：BM=9.6,

故選:B.

【點(diǎn)評】本題考查了勾股定理、等腰三角形的性質(zhì)、垂線段最短、三角形面積的

計(jì)算方法；熟練掌握勾股定理，由三角形面積的計(jì)算方法求出BM的最小值

是解決問題的關(guān)鍵.

2.在RtZ^ABC中，若斜邊AB=3,則AC2+BC?等于（）

A.6B.9C.12D.18

【分析】利用勾股定理將AC2+BC2轉(zhuǎn)化為AB2,再求值.

【解答】解：’.,"△ABC中,AB為斜邊,

.,.AC2+BC2=AB2,

.*.AB2+AC2=AB2=32=9.

故選:B.

【點(diǎn)評】本題考查了勾股定理；熟練掌握勾股定理，由勾股定理得出AC2+BC2=AB2

是解決問題的關(guān)鍵.

3.如圖，^ABC的頂點(diǎn)A,B,C在邊長為1的正方形網(wǎng)格的格點(diǎn)上，BD±AC

于點(diǎn)D,則BD的長為（）

D?譽(yù)

【分析】根據(jù)圖形和三角形的面積公式求出4ABC的面積，根據(jù)勾股定理求出

AC,根據(jù)三角形的面積公式計(jì)算即可.

【解答】解：如圖所示：

SAABC=^XBCXAE=1XBDXAC,

22

VAE=4,AC=^42+32=5,BC=4

即“4X4JX5XBD,

22

解得：BD=11.

5

故選：C.

【點(diǎn)評】本題主要考查了勾股定理的知識(shí)，解題的關(guān)鍵是利用勾股定理求出AC

的長，此題難度一般.

4.如圖，由邊長為1的正方形組成的6義5網(wǎng)格中，一塊含45。的三角板ABC的

斜邊AB始終經(jīng)過格點(diǎn)N,AC始終經(jīng)過格點(diǎn)M,點(diǎn)A在MN下方運(yùn)動(dòng)，格點(diǎn)P

到A的距離最小值為（）

r

■

A.1B.V2C.V13-1D.2^2-2

【分析】根據(jù)勾股定理解答即可.

【解答】解：當(dāng)AC與CM重合，AB與BN重合時(shí)，格點(diǎn)P到A的距離最小，由

運(yùn)動(dòng)可得：點(diǎn)A的軌跡為圓弧，

此時(shí)PA=q[2+]2;版

故選：B.

【點(diǎn)評】此題考查勾股定理，關(guān)鍵是根據(jù)勾股定理得出PA的值.

5.如圖所示的圖形中，所有的四邊形都是正方形，所有的三角形都是直角三角

形，其中最大的正方形的邊長為8cm,則圖中所有正方形的面積的和是()

C.128D.192

【分析】根據(jù)正方形的面積公式，連續(xù)運(yùn)用勾股定理，利用四個(gè)小正方形的面積

和等于最大正方形的面積進(jìn)而求出即可.

【解答】解：???所有的三角形都是直角三角形，所有的四邊形都是正方形，

正方形A的面積=a2,正方形B的面積=b2,

正方形C的面積=c2,正方形D的面積=cP,

X'/a2+b2=x2,c2+d2=y2,

正方形A、B、C>D的面積和=(a2+b2)+(c2+d2)=x2+y2=82=64(cm2),

則所有正方形的面積的和是：64X3=192(cm2).

故選：D.

【點(diǎn)評】本題主要考查了勾股定理，根據(jù)數(shù)形結(jié)合得出正方形之間面積關(guān)系是解

題關(guān)鍵.

【分析】根據(jù)圖形的面積得出a,b,c的關(guān)系，即可證明勾股定理，分別分析得

出即可.

【解答】解：A,B,C都可以利用圖形面積得出a,b,c的關(guān)系，即可證明勾股

定理；故A,B,C選項(xiàng)不符合題意；

D、不能利用圖形面積證明勾股定理，故此選項(xiàng)正確.

故選：D.

【點(diǎn)評】此題主要考查了勾股定理的證明方法，根據(jù)圖形面積得出是解題關(guān)鍵.

7.如圖RtaABC,ZC=90°,分別以各邊為直徑作半圓，圖中陰影部分在數(shù)學(xué)史

上稱為"希波克拉底月牙"；當(dāng)AC=3,BC=4時(shí)，計(jì)算陰影部分的面積為（）

C.10KD.12

【分析】根據(jù)勾股定理求出AB,分別求出三個(gè)半圓的面積和4ABC的面積，即

可得出答案.

【解答】解：在RtAACB中，ZACB=90°,AC=3,BC=4,由勾股定理得：

AB=7AC2+BC2=V32+42=5，

2

所以陰影部分的面積S=LxnX(2)+lXJlX(A)2+lX3X4-lxnX(1)

22222q22

2=6,

故選：A.

【點(diǎn)評】本題考查了勾股定理和三角形的面積、圓的面積，能把不規(guī)則圖形的面

積轉(zhuǎn)化成規(guī)則圖形的面積是解此題的關(guān)鍵.

8.如圖，在四邊形ABCD中，AD/7BC,NABC+NDCB=90。，且BO2AD,分別以

AB、BC、DC為邊向外作正方形,它們的面積分別為Si、Sz、S3.若Sz=48,S3=9,

A.18B.12C.9D.3

【分析】過A作AH〃CD交BC于H,根據(jù)題意得到NBAE=90。，根據(jù)勾股定理計(jì)

算即可.

【解答】解：VS2=48,

/.BC=4?,

過A作AH〃CD交BC于H,

則NAHB=NDCB,

VAD//BC,

???四邊形AHCD是平行四邊形，

，CH=BH=AD=2心AH=CD=3,

VZABC+ZDCB=90°,

.,.ZAHB+ZABC=90°,

.,.ZBAH=90°,

.*.AB2=BH2-AH2=3,

/.SI=3,

故選：D.

【點(diǎn)評】本題考查了勾股定理，正方形的性質(zhì)，平行四邊形的判定和性質(zhì)，正確

的作出輔助線是解題的關(guān)鍵.

9.四個(gè)全等的直角三角形按圖示方式圍成正方形ABCD,過各較長直角邊的中點(diǎn)

作垂線，圍成面積為S的小正方形EFGH.已知AM為Rt/XABM較長直角邊，

AM=2?EF,則正方形ABCD的面積為（）

C.12SD.US

【分析】設(shè)AM=2a.BM=b.則正方形ABCD的面積=4a?+b2,由題意可知EF=(2a

-b)-2(a-b)=2a-b-2a+2b=b,由此即可解決問題.

【解答】解：設(shè)AM=2a.BM=b.則正方形ABCD的面積=4a?+b2

由題意可知EF=(2a-b)-2(a-b)=2a-b-2a+2b=b,

?.?AM=2?EF,

2a=2

??a—,

：正方形EFGH的面積為S,

b2=S?

二正方形ABCD的面積=4a2+b2=13b2=13S,

【點(diǎn)評】本題考查正方形的性質(zhì)、勾股定理、線段的垂直平分線的定義等知識(shí),

解題的關(guān)鍵是靈活運(yùn)用所學(xué)知識(shí)解決問題，屬于中考選擇題中的壓軸題.

二.填空題（共2小題）

10.如圖，O0的半徑為6,NAOB=90。，點(diǎn)C是AB上一動(dòng)點(diǎn)(不與點(diǎn)B、A重合),

過點(diǎn)C作CD_LOB于點(diǎn)D,CELOA于點(diǎn)E,連接ED,點(diǎn)F是0D的中點(diǎn)，連

接CF交DE于點(diǎn)P,則CE2+3CP2等于48

B

【分析】設(shè)DF=OF=a,CD=b,連接0C.用a、b表示CE2+3CP?,在利用勾股定

理，可得4a2+b2=36,利用整體代入的思想即可解決問題；

【解答】解:設(shè)DF=OF=a,CD=b,連接。C.

.,CD_LOB于點(diǎn)D,CELOA于點(diǎn)E,

\ZEOD=ZCDO=ZCEO=90",

,.四邊形CDOE是矩形，

\CE=OD=2a,CD=OE=b,

/EC^DF,

?FP=DF=1

"cPECT

AEC2+3CP2=4a2+A(a2+b2)=1(4a2+b2),

33

在RtAOCE中，VEC2+OE2=OC2,

/.4a2+b2=36,

.?.EC2+3CP2=48.

故答案為48

【點(diǎn)評】本題考查勾股定理、矩形的判定和性質(zhì)、平行線分線段成比例定理等知

識(shí)，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)利用參數(shù)解決問題，屬于中考填空題中的壓軸題.

11.如圖，"趙爽弦圖"由4個(gè)全等的直角三角形所圍成，在RtaABC中，AC=b,

BC=a,ZACB=90",若圖中大正方形的面積為42,小正方形的面積為5,則(a+b)

2的值為79.

【分析】根據(jù)圖形表示出小正方形的邊長為(b-a),再根據(jù)四個(gè)直角三角形的

面積等于大正方形的面積減去小正方形的面積求出2ab,然后利用完全平方公

式整理即可得解.

【解答】解：由圖可知，(b-a)2=5,

4X±ab=42-5=37,

2

，2ab=37,

(a+b)2=(b-a)2+4ab=5+2X37=79.

故答案為79.

【點(diǎn)評】本題考查了勾股定理的證明，完全平方公式的應(yīng)用，仔細(xì)觀察圖形利用

小正方形的面積和直角三角形的面積得到兩個(gè)等式是解題的關(guān)鍵.

三.解答題(共5小題)

12.如圖，已知在^ABC中,CD_LAB于D,BC=20,AC=15,AD=9.

(1)求CD的長；

(2)求AB的長.

D■B

【分析】(1)(2)根據(jù)勾股定理計(jì)算即可.

【解答】解：(1)在Rt"CD中，CD=^AC2_AD2=12；

(2)在RtABCD中，BD=AyBC2_C[)2=16,

見IAB=AD+BD=25.

【點(diǎn)評】本題考查的是勾股定理，如果直角三角形的兩條直角邊長分別是a,b,

斜邊長為c,那么a2+b2=c2.

13.如圖，B、D、C三點(diǎn)在一條直線上，ZADB=ZADC=90",BD=DE,ZDAC=45°；

(1)線段AB、CE的關(guān)系為AB=CE,AB^CE；

(2)若BD=a,AD=b,AB=c,請利用此圖的面積式證明勾股定理.

【分析】(1)相等和互相垂直，先根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)得：AD=CD.再證

明aADB且ACDE(SAS),可得結(jié)論；

(2)設(shè)EF=x,根據(jù)SAABC=SAABE+SABDE+SMCD，代入各式化簡可得：，a2+b2=c2.

【解答】(本題7分)

(1)線段AB、CE的關(guān)系為：AB=CE,ABLCE.................(2分)

理由是：延長CE交AB于F,

VZADC=90°,NDAC=45°,

，ZACD=ZDAC=45°,

；.AD=CD,

^△ADB和4CDE中，

'AD=CD

?*NADB=NADC，

BD=DE

.,.△ADB^ACDE(SAS),

，AB=CE,ZBAD=ZDCE,

VZBAD+ZABD=90°,

/.ZDCE+ZABD=90°,

AZBFC=90°,

AAB1CE；

故答案為：AB=CE,AB±CE.

(2)如圖，設(shè)EF=x,

SAABC=SAABE+SABDE+SAACD?

.,.J_AR<F=XAB*EF+1BD*DE+^DC*AD,......................(4分)

2222

VBD=a,AB=c,AD=b,

二易得AB=CE=c,BD=DE=a,AD=CD=b,......................(5分)

/.—(0+Y)cx+Xa2+—卜2,

2rc9x1-222b

222

即：—c+-Lcx=—cx+—a+J^u,（6分）

22222

?1212i1,2

亍+yb，

a2+b2=c2（7分）

【點(diǎn)評】本題主要考查了全等三角形的判定及其性質(zhì)、證明勾股定理、兩線段的

關(guān)系及利用面積法解決問題等知識(shí)點(diǎn)的應(yīng)用問題；牢固掌握定理是基礎(chǔ)，靈

活運(yùn)用解題是關(guān)鍵；本題提供了一種證明勾股定理的方法.

14.如圖，AB1BC,DC1BC,垂足分別為B、C,設(shè)AB=4,DC=1,BC=4.

(1)求線段AD的長.

(2)在線段BC上是否存在點(diǎn)P,使4APD是等腰三角形？若存在，求出線段BP

的長；若不存在，請說明理由.

【分析】(1)過D作DE_LAB于E點(diǎn)，根據(jù)勾股定理求出AD即可；

(2)分為三種情況：AP=AD或PA=PD,根據(jù)勾股定理求出BP即可.

【解答】解：(1)如圖1,過D作DELAB于E點(diǎn)，

在RQAED中，AD=7AE2+DE2=5;

(2)如圖2,

當(dāng)AP=AD時(shí)，

在Rtz^ABP中，BP=^Ap2_AB2=3；

如圖3,

AB2+BP2=CD2+（BC-BP）2,即42+BP2=l2+（4-BP）2,

解得BP=1.

8

綜上所述，線段BP的長是3或工.

8

【點(diǎn)評】本題考查了勾股定理，等腰三角形的性質(zhì)的應(yīng)用，能求出符合條件的所

有情況是解此題的關(guān)鍵，用了分類討論思想.

15.如圖1,Z\ABC中，CD_LAB于D,月.BD：AD：CD=2：3：4,

（1）試說明^ABC是等腰三角形；

）已知2如圖動(dòng)點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā)以每秒的速度沿線段

（2SAABc=40cm,2,MB1cm

BA向點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)，同時(shí)動(dòng)點(diǎn)N從點(diǎn)A出發(fā)以相同速度沿線段AC向點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)，

當(dāng)其中一點(diǎn)到達(dá)終點(diǎn)時(shí)整個(gè)運(yùn)動(dòng)都停止.設(shè)點(diǎn)M運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t（秒），

①若ADIVIN的邊與BC平行，求t的值；

②若點(diǎn)E是邊AC的中點(diǎn)，問在點(diǎn)M運(yùn)動(dòng)的過程中，DIVIDE能否成為等腰三角

形？若能，求出t的值；若不能，請說明理由.

【分析】（1）設(shè)BD=2x,AD=3x,CD=4x,貝UAB=5x,由勾股定理求出AC,即可

得出結(jié)論；

(2)由^ABC的面積求出BD、AD、CD、AC；①當(dāng)MN〃BC時(shí)，AM=AN；當(dāng)DN

〃BC時(shí)，AD=AN；得出方程，解方程即可；

②根據(jù)題意得出當(dāng)點(diǎn)M在DA上，即4<tW10時(shí)，DIVIDE為等腰三角形，有3

種可能：如果DE=DM；如果ED=EM；如果MD=ME=t-4；分別得出方程，解

方程即可.

【解答】(1)證明：設(shè)BD=2x,AD=3x,CD=4x,

則AB=5x,

在中，

RtaACDAC=JAD2+CD2=5X,

，AB=AC,

.??△ABC是等腰三角形；

(2)解：SAABC=—X5xX4x=40cm2,而x>0,

2

x=2cm,

則BD=4cm,AD=6cm,CD=8cm,AC=10cm.

①當(dāng)MN〃BC時(shí)，AM=AN,

即10-t=t,

，t=5；

當(dāng)DN〃BC時(shí)，AD=AN,

得：t=6；

...若△DMN的邊與BC平行時(shí)，t值為5或6.

②當(dāng)點(diǎn)M在BD上，即0Wt<4時(shí)，DIVIDE為鈍角三角形，但DMWDE；

當(dāng)t=4時(shí)，點(diǎn)M運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)D,不構(gòu)成三角形

當(dāng)點(diǎn)M在DA上，即4VtW10時(shí)，AMDE為等腰三角形，有3種可能.

如果DE=DM,則t-4=5,

/.t=9；

如果ED=EM,則點(diǎn)M運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)A,

.,.t=io；

如果MD=ME=t-4,

過點(diǎn)E做EF垂直AB于F,

因?yàn)镋D=EA,

所以DF=AF」AD=3,

2

在RtAAEF中，EF=4；

因?yàn)锽M=t,BF=7,

所以FM=t-7

則在RtAEFM中，(t-4)2-(t-7)2=42,

?t,49

6

綜上所述，符合要求的t值為9或10或毀.

6

【點(diǎn)評】本題考查了勾股定理、等腰三角形的判定與性質(zhì)、平行線的性質(zhì)、解方

程等知識(shí)；本題有一定難度，需要進(jìn)行分類討論才能得出結(jié)果.

16.已知：如圖，在RtAABC中，ZC=90°,AB=5cm,AC=3cm,動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)B

出發(fā)沿射線BC以lcm/s的速度移動(dòng)，設(shè)運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t秒.

(1)求