2022年北京海淀區(qū)北京一零一中學數(shù)學高三第一學期期末教學質量檢測試題含解析_第1頁
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文檔簡介

2022-2023學年高三上數(shù)學期末模擬試卷注意事項:1.答卷前,考生務必將自己的姓名、準考證號填寫在答題卡上。2.回答選擇題時,選出每小題答案后,用鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑,如需改動,用橡皮擦干凈后,再選涂其它答案標號?;卮鸱沁x擇題時,將答案寫在答題卡上,寫在本試卷上無效。3.考試結束后,將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的。1.已知等差數(shù)列的前項和為,,,則()A.25 B.32 C.35 D.402.執(zhí)行下面的程序框圖,則輸出的值為()A. B. C. D.3.如圖,在棱長為4的正方體中,E,F(xiàn),G分別為棱AB,BC,的中點,M為棱AD的中點,設P,Q為底面ABCD內的兩個動點,滿足平面EFG,,則的最小值為()A. B. C. D.4.已知向量,,若,則()A. B. C. D.5.設不等式組,表示的平面區(qū)域為,在區(qū)域內任取一點,則點的坐標滿足不等式的概率為A. B.C. D.6.已知四棱錐的底面為矩形,底面,點在線段上,以為直徑的圓過點.若,則的面積的最小值為()A.9 B.7 C. D.7.在一個數(shù)列中,如果,都有(為常數(shù)),那么這個數(shù)列叫做等積數(shù)列,叫做這個數(shù)列的公積.已知數(shù)列是等積數(shù)列,且,,公積為,則()A. B. C. D.8.在中,內角A,B,C所對的邊分別為a,b,c,且.若,的面積為,則()A.5 B. C.4 D.169.點為的三條中線的交點,且,,則的值為()A. B. C. D.10.博覽會安排了分別標有序號為“1號”“2號”“3號”的三輛車,等可能隨機順序前往酒店接嘉賓.某嘉賓突發(fā)奇想,設計兩種乘車方案.方案一:不乘坐第一輛車,若第二輛車的車序號大于第一輛車的車序號,就乘坐此車,否則乘坐第三輛車;方案二:直接乘坐第一輛車.記方案一與方案二坐到“3號”車的概率分別為P1,P2,則()A.P1?P2= B.P1=P2= C.P1+P2= D.P1<P211.已知函數(shù),,若總有恒成立.記的最小值為,則的最大值為()A.1 B. C. D.12.拋物線y2=ax(a>0)的準線與雙曲線C:x28A.8 B.6 C.4 D.2二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.已知拋物線C:y2=4x的焦點為F,準線為l,P為C上一點,PQ垂直l于點Q,M,N分別為PQ,PF的中點,MN與x軸相交于點R,若∠NRF=60°,則|FR|等于_____.14.若在上單調遞減,則的取值范圍是_______15.學校藝術節(jié)對同一類的四項參賽作品,只評一項一等獎,在評獎揭曉前,甲、乙、丙、丁四位同學對這四項參賽作品預測如下:甲說:“作品獲得一等獎”;乙說:“作品獲得一等獎”;丙說:“,兩項作品未獲得一等獎”;丁說:“是或作品獲得一等獎”,若這四位同學中只有兩位說的話是對的,則獲得一等獎的作品是___.16.在正方體中,為棱的中點,是棱上的點,且,則異面直線與所成角的余弦值為__________.三、解答題:共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17.(12分)設首項為1的正項數(shù)列{an}的前n項和為Sn,數(shù)列的前n項和為Tn,且,其中p為常數(shù).(1)求p的值;(2)求證:數(shù)列{an}為等比數(shù)列;(3)證明:“數(shù)列an,2xan+1,2yan+2成等差數(shù)列,其中x、y均為整數(shù)”的充要條件是“x=1,且y=2”.18.(12分)已知函數(shù),函數(shù),其中,是的一個極值點,且.(1)討論的單調性(2)求實數(shù)和a的值(3)證明19.(12分)已知,且的解集為.(1)求實數(shù),的值;(2)若的圖像與直線及圍成的四邊形的面積不小于14,求實數(shù)取值范圍.20.(12分)如圖,在直三棱柱中,,,D,E分別為AB,BC的中點.(1)證明:平面平面;(2)求點到平面的距離.21.(12分)曲線的參數(shù)方程為(為參數(shù)),以坐標原點為極點,軸的正半軸為極軸建立極坐標系,曲線的極坐標方程為.(1)求曲線的極坐標方程和曲線的直角坐標方程;(2)過原點且傾斜角為的射線與曲線分別交于兩點(異于原點),求的取值范圍.22.(10分)在直角坐標系xOy中,以坐標原點為極點,x軸的非負半軸為極軸建立極坐標系;曲線C1的普通方程為(x-1)2+y2=1,曲線C2的參數(shù)方程為(θ為參數(shù)).(Ⅰ)求曲線C1和C2的極坐標方程:(Ⅱ)設射線θ=(ρ>0)分別與曲線C1和C2相交于A,B兩點,求|AB|的值.

參考答案一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的。1、C【解析】

設出等差數(shù)列的首項和公差,即可根據題意列出兩個方程,求出通項公式,從而求得.【詳解】設等差數(shù)列的首項為,公差為,則,解得,∴,即有.故選:C.【點睛】本題主要考查等差數(shù)列的通項公式的求法和應用,涉及等差數(shù)列的前項和公式的應用,屬于容易題.2、D【解析】

根據框圖,模擬程序運行,即可求出答案.【詳解】運行程序,,

,,,,,結束循環(huán),故輸出,故選:D.【點睛】本題主要考查了程序框圖,循環(huán)結構,條件分支結構,屬于中檔題.3、C【解析】

把截面畫完整,可得在上,由知在以為圓心1為半徑的四分之一圓上,利用對稱性可得的最小值.【詳解】如圖,分別取的中點,連接,易證共面,即平面為截面,連接,由中位線定理可得,平面,平面,則平面,同理可得平面,由可得平面平面,又平面EFG,在平面上,∴.正方體中平面,從而有,∴,∴在以為圓心1為半徑的四分之一圓(圓在正方形內的部分)上,顯然關于直線的對稱點為,,當且僅當共線時取等號,∴所求最小值為.故選:C.【點睛】本題考查空間距離的最小值問題,解題時作出正方體的完整截面求出點軌跡是第一個難點,第二個難點是求出點軌跡,第三個難點是利用對稱性及圓的性質求得最小值.4、A【解析】

利用平面向量平行的坐標條件得到參數(shù)x的值.【詳解】由題意得,,,,解得.故選A.【點睛】本題考查向量平行定理,考查向量的坐標運算,屬于基礎題.5、A【解析】

畫出不等式組表示的區(qū)域,求出其面積,再得到在區(qū)域內的面積,根據幾何概型的公式,得到答案.【詳解】畫出所表示的區(qū)域,易知,所以的面積為,滿足不等式的點,在區(qū)域內是一個以原點為圓心,為半徑的圓面,其面積為,由幾何概型的公式可得其概率為,故選A項.【點睛】本題考查由約束條件畫可行域,求幾何概型,屬于簡單題.6、C【解析】

根據線面垂直的性質以及線面垂直的判定,根據勾股定理,得到之間的等量關系,再用表示出的面積,利用均值不等式即可容易求得.【詳解】設,,則.因為平面,平面,所以.又,,所以平面,則.易知,.在中,,即,化簡得.在中,,.所以.因為,當且僅當,時等號成立,所以.故選:C.【點睛】本題考查空間幾何體的線面位置關系及基本不等式的應用,考查空間想象能力以及數(shù)形結合思想,涉及線面垂直的判定和性質,屬中檔題.7、B【解析】

計算出的值,推導出,再由,結合數(shù)列的周期性可求得數(shù)列的前項和.【詳解】由題意可知,則對任意的,,則,,由,得,,,,因此,.故選:B.【點睛】本題考查數(shù)列求和,考查了數(shù)列的新定義,推導出數(shù)列的周期性是解答的關鍵,考查推理能力與計算能力,屬于中等題.8、C【解析】

根據正弦定理邊化角以及三角函數(shù)公式可得,再根據面積公式可求得,再代入余弦定理求解即可.【詳解】中,,由正弦定理得,又,∴,又,∴,∴,又,∴.∵,∴,∵,∴由余弦定理可得,∴,可得.故選:C【點睛】本題主要考查了解三角形中正余弦定理與面積公式的運用,屬于中檔題.9、B【解析】

可畫出圖形,根據條件可得,從而可解出,然后根據,進行數(shù)量積的運算即可求出.【詳解】如圖:點為的三條中線的交點,由可得:,又因,,.故選:B【點睛】本題考查三角形重心的定義及性質,向量加法的平行四邊形法則,向量加法、減法和數(shù)乘的幾何意義,向量的數(shù)乘運算及向量的數(shù)量積的運算,考查運算求解能力,屬于中檔題.10、C【解析】

將三輛車的出車可能順序一一列出,找出符合條件的即可.【詳解】三輛車的出車順序可能為:123、132、213、231、312、321方案一坐車可能:132、213、231,所以,P1=;方案二坐車可能:312、321,所以,P1=;所以P1+P2=故選C.【點睛】本題考查了古典概型的概率的求法,常用列舉法得到各種情況下基本事件的個數(shù),屬于基礎題.11、C【解析】

根據總有恒成立可構造函數(shù),求導后分情況討論的最大值可得最大值最大值,即.根據題意化簡可得,求得,再換元求導分析最大值即可.【詳解】由題,總有即恒成立.設,則的最大值小于等于0.又,若則,在上單調遞增,無最大值.若,則當時,,在上單調遞減,當時,,在上單調遞增.故在處取得最大值.故,化簡得.故,令,可令,故,當時,,在遞減;當時,,在遞增.故在處取得極大值,為.故的最大值為.故選:C【點睛】本題主要考查了根據導數(shù)求解函數(shù)的最值問題,需要根據題意分析導數(shù)中參數(shù)的范圍,再分析函數(shù)的最值,進而求導構造函數(shù)求解的最大值.屬于難題.12、A【解析】

求得拋物線的準線方程和雙曲線的漸近線方程,解得兩交點,由三角形的面積公式,計算即可得到所求值.【詳解】拋物線y2=ax(a>0)的準線為x=-a4,雙曲線C:x28-y24【點睛】本題考查三角形的面積的求法,注意運用拋物線的準線方程和雙曲線的漸近線方程,考查運算能力,屬于基礎題.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13、2【解析】

由題意知:,,,.由∠NRF=60°,可得為等邊三角形,MF⊥PQ,可得F為HR的中點,即求.【詳解】不妨設點P在第一象限,如圖所示,連接MF,QF.∵拋物線C:y2=4x的焦點為F,準線為l,P為C上一點∴,.∵M,N分別為PQ,PF的中點,∴,∵PQ垂直l于點Q,∴PQ//OR,∵,∠NRF=60°,∴為等邊三角形,∴MF⊥PQ,易知四邊形和四邊形都是平行四邊形,∴F為HR的中點,∴,故答案為:2.【點睛】本題主要考查拋物線的定義,屬于基礎題.14、【解析】

由題意可得導數(shù)在恒成立,解出即可.【詳解】解:由題意,,當時,顯然,符合題意;當時,在恒成立,∴,∴,故答案為:.【點睛】本題主要考查利用導數(shù)研究函數(shù)的單調性,屬于中檔題.15、C【解析】

假設獲得一等獎的作品,判斷四位同學說對的人數(shù).【詳解】分別獲獎的說對人數(shù)如下表:獲獎作品ABCD甲對錯錯錯乙錯錯對錯丙對錯對錯丁對錯錯對說對人數(shù)3021故獲得一等獎的作品是C.【點睛】本題考查邏輯推理,常用方法有:1、直接推理結果,2、假設結果檢驗條件.16、【解析】

根據題意畫出幾何題,建立空間直角坐標系,寫個各個點的坐標,并求得.由空間向量的夾角求法即可求得異面直線與所成角的余弦值.【詳解】根據題意畫出幾何圖形,以為原點建立空間直角坐標系:設正方體的棱長為1,則所以所以,所以異面直線與所成角的余弦值為,故答案為:.【點睛】本題考查了異面直線夾角的求法,利用空間向量求異面直線夾角,屬于中檔題.三、解答題:共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、(1)p=2;(2)見解析(3)見解析【解析】

(1)取n=1時,由得p=0或2,計算排除p=0的情況得到答案.(2),則,相減得到3an+1=4﹣Sn+1﹣Sn,再化簡得到,得到證明.(3)分別證明充分性和必要性,假設an,2xan+1,2yan+2成等差數(shù)列,其中x、y均為整數(shù),計算化簡得2x﹣2y﹣2=1,設k=x﹣(y﹣2),計算得到k=1,得到答案.【詳解】(1)n=1時,由得p=0或2,若p=0時,,當n=2時,,解得a2=0或,而an>0,所以p=0不符合題意,故p=2;(2)當p=2時,①,則②,②﹣①并化簡得3an+1=4﹣Sn+1﹣Sn③,則3an+2=4﹣Sn+2﹣Sn+1④,④﹣③得(n∈N*),又因為,所以數(shù)列{an}是等比數(shù)列,且;(3)充分性:若x=1,y=2,由知an,2xan+1,2yan+2依次為,,,滿足,即an,2xan+1,2yan+2成等差數(shù)列;必要性:假設an,2xan+1,2yan+2成等差數(shù)列,其中x、y均為整數(shù),又,所以,化簡得2x﹣2y﹣2=1,顯然x>y﹣2,設k=x﹣(y﹣2),因為x、y均為整數(shù),所以當k≥2時,2x﹣2y﹣2>1或2x﹣2y﹣2<1,故當k=1,且當x=1,且y﹣2=0時上式成立,即證.【點睛】本題考查了根據數(shù)列求參數(shù),證明等比數(shù)列,充要條件,意在考查學生的綜合應用能力.18、(1)在區(qū)間單調遞增;(2);(3)證明見解析.【解析】

(1)求出,在定義域內,再次求導,可得在區(qū)間上恒成立,從而可得結論;(2)由,可得,由可得,聯(lián)立解方程組可得結果;(3)由(1)知在區(qū)間單調遞增,可證明,取,可得,而,利用裂項相消法,結合放縮法可得結果.【詳解】(1)由已知可得函數(shù)的定義域為,且,令,則有,由,可得,可知當x變化時,的變化情況如下表:1-0+極小值,即,可得在區(qū)間單調遞增;(2)由已知可得函數(shù)的定義域為,且,由已知得,即,①由可得,,②聯(lián)立①②,消去a,可得,③令,則,由(1)知,,故,在區(qū)間單調遞增,注意到,所以方程③有唯一解,代入①,可得,;(3)證明:由(1)知在區(qū)間單調遞增,故當時,,,可得在區(qū)間單調遞增,因此,當時,,即,亦即,這時,故可得,取,可得,而,故.【點睛】本題主要考查利用導數(shù)研究函數(shù)的單調性以及不等式的證明,屬于難題.不等式證明問題是近年高考命題的熱點,利用導數(shù)證明不等主要方法有兩個,一是比較簡單的不等式證明,不等式兩邊作差構造函數(shù),利用導數(shù)研究函數(shù)的單調性,求出函數(shù)的最值即可;二是較為綜合的不等式證明,要觀察不等式特點,結合已解答的問題把要證的不等式變形,并運用已證結論先行放縮,然后再化簡或者進一步利用導數(shù)證明.19、(1),;(2)【解析】

(1)解絕對值不等式得,根據不等式的解集為列出方程組,解出即可;(2)求出的圖像與直線及交點的坐標,通過分割法將四邊形的面積分為兩個三角形,列出不等式,解不等式即可.【詳解】(1)由得:,,即,解得,.(2)的圖像與直線及圍成的四邊形,,,,.過點向引垂線,垂足為,則.化簡得:,(舍)或.故的取值范圍為.【點睛】本題主要考查了絕對值不等式的求法,以及絕對值不等式在幾何中的應用,屬于中檔題.20、(1)證明見解析;(2).【解析】

(1)通過證明面,即可由線面垂直推證面面垂直;(2)根據面,將問題轉化為求到面的距離,利用等體積法求點面距離即可.【詳解】(1)因為棱

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