2025屆新高考數(shù)學(xué)培優(yōu)專練專題26構(gòu)造函數(shù)法解決導(dǎo)數(shù)問(wèn)題教師版

專題26構(gòu)造函數(shù)法解決導(dǎo)數(shù)問(wèn)題一、多選題1．函數(shù)在上有唯一零點(diǎn)，則（）A． B．C． D．【答案】ABC【分析】由，可得出，令，，利用導(dǎo)數(shù)得出函數(shù)在上為增函數(shù)，再令，其中，利用導(dǎo)數(shù)分析函數(shù)在上的單調(diào)性，可求得，可推斷ACD選項(xiàng)的正誤，再結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性可推斷B選項(xiàng)的正誤.【詳解】由，可得，即，令，其中，則，所以，函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，則，令，其中，.當(dāng)時(shí)，，此時(shí)函數(shù)單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，，此時(shí)函數(shù)單調(diào)遞增.所以，.若函數(shù)在上有唯一零點(diǎn)，則.所以，，由于函數(shù)在上單調(diào)遞增，，，即，，所以，ABC選項(xiàng)正確，D選項(xiàng)錯(cuò)誤.故選：ABC.【點(diǎn)睛】利用導(dǎo)數(shù)求解函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)問(wèn)題，一般利用導(dǎo)數(shù)探討函數(shù)的單調(diào)性、極值等性質(zhì)，并借助函數(shù)圖象，依據(jù)零點(diǎn)或圖象的交點(diǎn)狀況，建立含參數(shù)的方程（或不等式）組求解，實(shí)現(xiàn)形與數(shù)的和諧統(tǒng)一.2．已知函數(shù)在上可導(dǎo)且，其導(dǎo)函數(shù)滿意，對(duì)于函數(shù)，下列結(jié)論正確的是（）A．函數(shù)在上為增函數(shù) B．是函數(shù)的微小值點(diǎn)C．函數(shù)必有2個(gè)零點(diǎn) D．【答案】BD【分析】對(duì)函數(shù)求導(dǎo)，求出單調(diào)區(qū)間和極值，可推斷選項(xiàng)A，B；依據(jù)微小值的大小可得函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)，推斷選項(xiàng)C；利用在上為增函數(shù)，比較與的大小關(guān)系，推斷出選項(xiàng)D．【詳解】函數(shù)，則，當(dāng)時(shí)，，故在上為增函數(shù)，A錯(cuò)誤；當(dāng)時(shí)，，故在單調(diào)遞減，故是函數(shù)g(x)的微小值點(diǎn)，B正確；若，則有兩個(gè)零點(diǎn)，若，則有一個(gè)零點(diǎn)，若，則沒(méi)有零點(diǎn)，故C錯(cuò)誤；在上為增函數(shù)，則，即，化簡(jiǎn)得，D正確；故選：BD【點(diǎn)睛】本題考查導(dǎo)數(shù)在單調(diào)性中的應(yīng)用，考查函數(shù)的極值，考查函數(shù)的零點(diǎn)問(wèn)題，考查利用單調(diào)性比較大小，屬于中檔題．3．設(shè)定義在上的函數(shù)滿意，且當(dāng)時(shí)，.己知存在，且為函數(shù)(為自然對(duì)數(shù)的底數(shù))的一個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值可能是（）A． B． C． D．【答案】BCD【分析】先構(gòu)造函數(shù)，推斷函數(shù)的奇偶性，求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，探討函數(shù)的單調(diào)性，結(jié)合函數(shù)零點(diǎn)的性質(zhì)建立不等式關(guān)系進(jìn)行求解即可．【詳解】解：令函數(shù)，因?yàn)椋?，為奇函?shù)，當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞減．存在，得，，即，；，為函數(shù)的一個(gè)零點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，，函數(shù)在時(shí)單調(diào)遞減，由選項(xiàng)知，取，又，要使在時(shí)有一個(gè)零點(diǎn)，只需使，解得，的取值范圍為，故選：．【點(diǎn)睛】本題主要考查函數(shù)與方程的應(yīng)用，依據(jù)條件構(gòu)造函數(shù)，探討函數(shù)的奇偶性和單調(diào)性是解決本題的關(guān)鍵．綜合性較強(qiáng)，運(yùn)算量較大，屬于中檔題．4．已知函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)為，若對(duì)恒成立，則下列不等式中，肯定成立的是（）A． B．C． D．【答案】BD【分析】先設(shè)，，，對(duì)函數(shù)求導(dǎo)，依據(jù)題中條件，分別推斷設(shè)和的單調(diào)性，進(jìn)而可得出結(jié)果.【詳解】設(shè)，，，則，.因?yàn)閷?duì)恒成立，所以，，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，則，，即，即.故選：BD.【點(diǎn)睛】本題主要考查導(dǎo)數(shù)的方法判定函數(shù)單調(diào)性，并依據(jù)單調(diào)性比較大小，屬于常考題型.5．已知函數(shù)的定義域?yàn)?，?dǎo)函數(shù)為，，且，則（）A． B．在處取得極大值C． D．在單調(diào)遞增【答案】ACD【分析】依據(jù)題意可設(shè)，依據(jù)求，再求推斷單調(diào)性求極值即可.【詳解】∵函數(shù)的定義域?yàn)椋瑢?dǎo)函數(shù)為，即滿意∵∴∴可設(shè)（為常數(shù)）∴∵，解得∴∴，滿意∴C正確∵，且僅有∴B錯(cuò)誤，A、D正確故選：ACD【點(diǎn)睛】本題主要考查函數(shù)的概念和性質(zhì)，以及利用導(dǎo)數(shù)推斷函數(shù)的單調(diào)性和極值點(diǎn)，屬于中檔題.6．若存在實(shí)常數(shù)和，使得函數(shù)和對(duì)其公共定義域上的隨意實(shí)數(shù)x都滿意：和恒成立，則稱此直線為和的“隔離直線”，已知函數(shù)，，（為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)），則（）A．在內(nèi)單調(diào)遞增；B．和之間存在“隔離直線”，且的最小值為；C．和之間存在“隔離直線”，且的取值范圍是；D．和之間存在唯一的“隔離直線”.【答案】ABD【分析】令，利用導(dǎo)數(shù)可確定單調(diào)性，得到正確；設(shè)，的隔離直線為，依據(jù)隔離直線定義可得不等式組對(duì)隨意恒成立；分別在和兩種狀況下探討滿意的條件，進(jìn)而求得的范圍，得到正確，錯(cuò)誤；依據(jù)隔離直線過(guò)和的公共點(diǎn)，可假設(shè)隔離直線為；分別探討、和時(shí)，是否滿意恒成立，從而確定，再令，利用導(dǎo)數(shù)可證得恒成立，由此可確定隔離直線，則正確.【詳解】對(duì)于，，，，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，，在內(nèi)單調(diào)遞增，正確；對(duì)于，設(shè)，的隔離直線為，則對(duì)隨意恒成立，即對(duì)隨意恒成立.由對(duì)隨意恒成立得：.⑴若，則有符合題意；⑵若則有對(duì)隨意恒成立，的對(duì)稱軸為，，；又的對(duì)稱軸為，；即，，；同理可得：，；綜上所述：，，正確，錯(cuò)誤；對(duì)于，函數(shù)和的圖象在處有公共點(diǎn)，若存在和的隔離直線，那么該直線過(guò)這個(gè)公共點(diǎn).設(shè)隔離直線的斜率為，則隔離直線方程為，即，則恒成立，若，則不恒成立.若，令，對(duì)稱軸為在上單調(diào)遞增，又，故時(shí)，不恒成立.若，對(duì)稱軸為，若恒成立，則，解得：.此時(shí)直線方程為：，下面證明，令，則，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，取到微小值，也是最小值，即，，即，函數(shù)和存在唯一的隔離直線，正確.故選：.【點(diǎn)睛】本題考查導(dǎo)數(shù)中的新定義問(wèn)題的求解；解題關(guān)鍵是能夠充分理解隔離直線的定義，將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為依據(jù)不等式恒成立求解參數(shù)范圍或參數(shù)值、或不等式的證明問(wèn)題；難點(diǎn)在于能夠?qū)χ本€斜率范圍進(jìn)行精確的分類探討，屬于難題.7．已知定義在上的函數(shù)，是的導(dǎo)函數(shù)，且恒有成立，則A． B．C． D．【答案】CD【分析】依據(jù)題意，令，，對(duì)其求導(dǎo)分析可得，即函數(shù)為減函數(shù)，結(jié)合選項(xiàng)分析可得答案．【詳解】解：依據(jù)題意，令，，則其導(dǎo)數(shù)，又由，且恒有，則有，即函數(shù)為減函數(shù)，又由，則有，即，分析可得；又由，則有，即，分析可得．故選：．【點(diǎn)睛】本題考查函數(shù)的單調(diào)性與函數(shù)導(dǎo)數(shù)的關(guān)系，留意構(gòu)造函數(shù)，并借助導(dǎo)數(shù)分析其單調(diào)性，屬于中檔題．二、單選題8．已知數(shù)列滿意，.若恒成立，則實(shí)數(shù)的最大值是（）(選項(xiàng)中為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)，大約為)A． B． C． D．【答案】D【分析】先由已知推斷出，再依據(jù)得到，構(gòu)造函數(shù)，利用單調(diào)性求出最小值大于0，從而得到答案.【詳解】由得，設(shè)，，在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，故，則，所以，，由得易得，記，所以，記，，當(dāng)即得時(shí)單調(diào)遞增，當(dāng)即得時(shí)單調(diào)遞減，所以，得，故選：D.【點(diǎn)睛】本題考查了數(shù)列和導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用，考查學(xué)生的推理實(shí)力，計(jì)算實(shí)力，構(gòu)造函數(shù)解題是關(guān)鍵.9．已知函數(shù)且恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（）A． B． C． D．【答案】A【分析】依據(jù)條件變形可知在區(qū)間上單調(diào)遞減，轉(zhuǎn)化恒成立，即可求解.【詳解】不妨設(shè)可得令則在區(qū)間上單調(diào)遞減，所以在區(qū)間上恒成立，當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，，而，所以在區(qū)間上單調(diào)遞減，則，所以.故選：A【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題中恒成立，可轉(zhuǎn)化為函數(shù)遞減是解題的關(guān)鍵，突破此點(diǎn)后，利用導(dǎo)數(shù)在區(qū)間上恒成立，分別參數(shù)就可求解.10．已知，若對(duì)隨意兩個(gè)不等的正實(shí)數(shù)，，都有恒成立，則a的取值范圍是（）A． B． C． D．【答案】D【分析】依據(jù)條件可變形為，構(gòu)造函數(shù)，利用其為增函數(shù)即可求解.【詳解】依據(jù)可知，令由知為增函數(shù)，所以恒成立，分別參數(shù)得，而當(dāng)時(shí)，在時(shí)有最大值為，故.故選：D【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題由條件恒成立，轉(zhuǎn)化為恒成立是解題的關(guān)鍵，再依據(jù)此式知函數(shù)為增函數(shù),考查了推理分析實(shí)力，屬于中檔題.11．已知是定義在上的奇函數(shù)，且時(shí)，又，則的解集為（）A． B．C． D．【答案】D【分析】依據(jù)題意，構(gòu)造新函數(shù)，，通過(guò)導(dǎo)數(shù)探討函數(shù)單調(diào)性得出在上單調(diào)遞增，再依據(jù)函數(shù)的奇偶性的定義得出是定義在上的奇函數(shù)，最終由，得出，所以，從而可求出的解集，即的解集.【詳解】解：由題可知，當(dāng)時(shí)，令，，則，所以在上單調(diào)遞增，因?yàn)槭嵌x在上的奇函數(shù)，則，所以，得也是定義在上的奇函數(shù)，所以在和上單調(diào)遞增，又，則，所以，所以可知時(shí)，解得：或，則，即，即，所以的解集為：，即的解集為.故選：D.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題考查函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，考查利用函數(shù)的單調(diào)性解不等式和函數(shù)的奇偶性的應(yīng)用，通過(guò)構(gòu)造新函數(shù)，是解題的關(guān)鍵.12．已知偶函數(shù)對(duì)于隨意的滿意（其中是函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)），則下列不等式中成立的是（）A．B．C．D．【答案】D【解析】試題分析：令,因,故由題設(shè)可得,即函數(shù)在上單調(diào)遞增且是偶函數(shù).又因,故,即,所以,故應(yīng)選D.考點(diǎn)：導(dǎo)數(shù)在探討函數(shù)的單調(diào)性方面的運(yùn)用.【易錯(cuò)點(diǎn)晴】本題將導(dǎo)數(shù)的學(xué)問(wèn)和函數(shù)的單調(diào)性及不等式的解法等學(xué)問(wèn)有機(jī)地結(jié)合起來(lái),綜合考查學(xué)生的數(shù)學(xué)思想和數(shù)學(xué)方法及運(yùn)用所學(xué)學(xué)問(wèn)去分析問(wèn)題解決問(wèn)題的實(shí)力.求解時(shí),先將奇妙地構(gòu)造函數(shù),再運(yùn)用求導(dǎo)法則求得,故由題設(shè)可得,即函數(shù)在上單調(diào)遞增且是偶函數(shù).再運(yùn)用檢驗(yàn)的方法逐一驗(yàn)證四個(gè)答案的真?zhèn)?從而使得問(wèn)題獲解.13．已知奇函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)為，當(dāng)時(shí)，，若，則的大小關(guān)系正確的是（）A． B． C． D．【答案】C【分析】令，求導(dǎo)可得單調(diào)遞增，再結(jié)合奇函數(shù)的性質(zhì)即可得解.【詳解】令，則，所以單調(diào)遞增，

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又為奇函數(shù)，所以，所以.故選：C.【點(diǎn)睛】解決本題的關(guān)鍵是構(gòu)造合理的新函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)確定函數(shù)的單調(diào)性即可得解.14．設(shè)定義在上的函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)為，若，，則不等式（其中為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)）的解集為（）A． B．C． D．【答案】C【分析】依據(jù)條件構(gòu)造函數(shù)，分析的單調(diào)性并計(jì)算的值，將轉(zhuǎn)化為，由此求解出不等式的解集.【詳解】設(shè)，所以，因?yàn)?，所以，所以在上單調(diào)遞減，且，又因?yàn)榈葍r(jià)于，所以解集為，故選：C.【點(diǎn)睛】本題考查依據(jù)導(dǎo)函數(shù)有關(guān)的不等式構(gòu)造抽象函數(shù)求不等式解集問(wèn)題，解答問(wèn)題關(guān)鍵是能依據(jù)條件構(gòu)造出合適的抽象函數(shù)，難度較難.常見(jiàn)的構(gòu)造方法：（1）若出現(xiàn)形式，可考慮構(gòu)造；（2）若出現(xiàn)，可考慮構(gòu)造；（3）若出現(xiàn)，可考慮構(gòu)造；（4）若出現(xiàn)，可考慮構(gòu)造.15．若曲線與曲線存在公切線，則實(shí)數(shù)的取值范圍（）A． B． C． D．【答案】D【分析】分別求出兩個(gè)函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，由兩函數(shù)在切點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)相等，并由斜率公式，得到由此得到，則有解．再利用導(dǎo)數(shù)進(jìn)一步求得的取值范圍．【詳解】在點(diǎn)的切線斜率為，在點(diǎn)的切線斜率為，假如兩個(gè)曲線存在公共切線，那么：．又由斜率公式得到，，由此得到，則有解，由，的圖象有公共點(diǎn)即可．當(dāng)直線與曲線相切時(shí)，設(shè)切點(diǎn)為，則，且，可得即有切點(diǎn)，，故的取值范圍是：．故選:.【點(diǎn)睛】本題利用導(dǎo)數(shù)探討曲線上某點(diǎn)的切線方程，曲線上某點(diǎn)處的切線的斜率，就是函數(shù)在該點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)值，考查轉(zhuǎn)化思想和運(yùn)算實(shí)力，是中檔題．16．丹麥數(shù)學(xué)家琴生(Jensen)是19世紀(jì)對(duì)數(shù)學(xué)分析做出卓越貢獻(xiàn)的巨人，特殊是在函數(shù)的凹凸性與不等式方面留下了許多珍貴的成果.設(shè)函數(shù)在上的導(dǎo)函數(shù)為，在上的導(dǎo)函數(shù)為，若在上恒成立，則稱函數(shù)在上為“凸函數(shù)”.已知在上為“凸函數(shù)”，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（）A． B． C． D．【答案】C【分析】求函數(shù)導(dǎo)數(shù)，結(jié)合導(dǎo)數(shù)不等式進(jìn)行求解，構(gòu)造函數(shù)，利用函數(shù)的單調(diào)性探討函數(shù)的最值即可．【詳解】，，，在上為“凸函數(shù)”，在上恒成立，即在上恒成立，令，，，在上單調(diào)遞增，，，即.故選：.【點(diǎn)睛】本題主要考查導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用，求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)探討函數(shù)的極值和最值是解決本題的關(guān)鍵．17．已知函數(shù)的定義域?yàn)椋瑸榈膶?dǎo)函數(shù).若，且，則不等式的解集為（）A． B． C． D．【答案】A【分析】本題為含導(dǎo)函數(shù)的抽象函數(shù)的構(gòu)造問(wèn)題，由聯(lián)想到構(gòu)造，對(duì)其求導(dǎo)，從而推斷出該函數(shù)的單調(diào)性.又由得出，不等式等價(jià)于，將其轉(zhuǎn)化為，利用單調(diào)性就可得出不等式的解集.【詳解】設(shè)，則.∵，∴，即函數(shù)在定義域上單調(diào)遞減.∵，∴，∴不等式等價(jià)于，即，解得.故不等式的解集為.故選A.【點(diǎn)睛】本題考查了含導(dǎo)函數(shù)的抽象函數(shù)的構(gòu)造問(wèn)題，常見(jiàn)的構(gòu)造法如下：（1）關(guān)系式為“加”型，常構(gòu)造為乘法①，構(gòu)造，，②，構(gòu)造，，③，構(gòu)造，；（2）關(guān)系式為“減”型，常構(gòu)造為除法①，構(gòu)造，，②，構(gòu)造，，③，構(gòu)造，.18．函數(shù)，，，對(duì)隨意的，都有成立，則不等式的解集為（）A． B．C． D．【答案】D【分析】結(jié)合已知條件分析，須要構(gòu)造函數(shù),通過(guò)條件可得到,在R上為增函數(shù)，利用單調(diào)性比較，即可得出答案．【詳解】設(shè)，則，∴在上為增函數(shù)，，而，即，∴.故選：D.【點(diǎn)睛】本題考查函數(shù)單調(diào)性的應(yīng)用之解抽象不等式，構(gòu)造函數(shù)是解決本題的關(guān)鍵，運(yùn)用導(dǎo)函數(shù)提出所構(gòu)造函數(shù)的單調(diào)性，屬于較難題.19．已知函數(shù)，若不等式對(duì)于隨意的非負(fù)實(shí)數(shù)都成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍為（）A．， B．， C．， D．，【答案】C【分析】由已知條件可得對(duì)于隨意的非負(fù)實(shí)數(shù)都成立，令，，結(jié)合一次函數(shù)的單調(diào)性，可得恒成立，令，求得導(dǎo)數(shù)和單調(diào)性，可得的最大值，進(jìn)而得到的范圍．【詳解】解：不等式對(duì)于隨意的非負(fù)實(shí)數(shù)都成立，即對(duì)于隨意的非負(fù)實(shí)數(shù)都成立，令，，因?yàn)?，所以在，上遞減，所以，所以問(wèn)題轉(zhuǎn)化為恒成立，令，則，由，可得；，可得．所以在上遞增，在上遞減．所以（1），所以．故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查不等式恒成立問(wèn)題解法，留意構(gòu)造法的運(yùn)用，以及導(dǎo)數(shù)的運(yùn)用，考查轉(zhuǎn)化思想和運(yùn)算實(shí)力、推理實(shí)力，屬于中檔題．20．定義在R上的偶函數(shù)f(x)的導(dǎo)函數(shù)為f′(x)，若?x∈R，都有2f(x)＋xf′(x)＜2，則使x2f(x)－f(1)＜x2－1成立的實(shí)數(shù)x的取值范圍是（）A．{x|x≠±1} B．(－1，0)∪(0，1)C．(－1，1) D．(－∞，－1)∪(1，＋∞)【答案】D【分析】依據(jù)已知構(gòu)造合適的函數(shù)，對(duì)函數(shù)求導(dǎo)，依據(jù)函數(shù)的單調(diào)性，求出函數(shù)的取值范圍，并依據(jù)偶函數(shù)的性質(zhì)的對(duì)稱性，求出的取值范圍．【詳解】解：當(dāng)時(shí)，由可知：兩邊同乘以得：設(shè)：則，恒成立：在單調(diào)遞減，由即即；當(dāng)時(shí)，函數(shù)是偶函數(shù)，同理得：綜上可知：實(shí)數(shù)的取值范圍為，，，故選：D．【點(diǎn)睛】主要依據(jù)已知構(gòu)造合適的函數(shù)，函數(shù)求導(dǎo)，并應(yīng)用導(dǎo)數(shù)法推斷函數(shù)的單調(diào)性，偶函數(shù)的性質(zhì)，屬于中檔題．21．設(shè)函數(shù)在上存在導(dǎo)數(shù)，對(duì)隨意的，有，且在上有，則不等式的解集是（）A． B． C． D．【答案】B【分析】構(gòu)造函數(shù)，由已知得出所構(gòu)造的函數(shù)的單調(diào)性，再利用其單調(diào)性解抽象不等式，可得選項(xiàng).【詳解】設(shè)，∵，即，即，故是奇函數(shù)，由于函數(shù)在上存在導(dǎo)函數(shù)，所以，函數(shù)在上連續(xù)，則函數(shù)在上連續(xù).∵在上有，∴，故在單調(diào)遞增，又∵是奇函數(shù)，且在上連續(xù)，∴在上單調(diào)遞增，∵，∴，即，∴，故，故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查運(yùn)用導(dǎo)函數(shù)分析函數(shù)的單調(diào)性，從而求解抽象不等式的問(wèn)題，構(gòu)造合適的函數(shù)是解決問(wèn)題的關(guān)鍵，屬于較難題.22．設(shè)是函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，若對(duì)隨意實(shí)數(shù)，都有，且，則不等式的解集為（）A． B． C．(0，2024] D．(1，2024]【答案】A【分析】構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)可得為單調(diào)遞增函數(shù)，將原不等式化為，依據(jù)單調(diào)性可解得結(jié)果.【詳解】構(gòu)造，則，所以為單調(diào)遞增函數(shù)，又，所以不等式等價(jià)于等價(jià)于，所以，故原不等式的解集為，故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查了構(gòu)造函數(shù)并利用導(dǎo)數(shù)得到函數(shù)的單調(diào)性，考查了利用單調(diào)性解不等式，考查了轉(zhuǎn)化化歸思想，屬于中檔題.23．已知是可導(dǎo)的函數(shù)，且，對(duì)于恒成立，則下列不等關(guān)系正確的是（）A．， B．，C．， D．，【答案】C【分析】構(gòu)造新函數(shù)，求導(dǎo)后易證得在上單調(diào)遞減，從而有，，，故而得解．【詳解】設(shè)，則，，，即在上單調(diào)遞減，，即，即，故選項(xiàng)A不正確；，即，即，故選項(xiàng)D不正確；，即，即．故選項(xiàng)B不正確；故選：C．【點(diǎn)睛】本題主要考查利用導(dǎo)數(shù)探討函數(shù)的單調(diào)性，構(gòu)造新函數(shù)是解題的關(guān)鍵，考查學(xué)生的分析實(shí)力、邏輯推理實(shí)力和運(yùn)算實(shí)力，屬于中檔題．24．已知函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)為，為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)，對(duì)均有成立，且，則不等式的解集是（）A． B． C． D．【答案】D【分析】先構(gòu)造函數(shù)，再利用導(dǎo)數(shù)探討函數(shù)單調(diào)性，最終依據(jù)單調(diào)性解不等式.【詳解】原不等式等價(jià)于，令，則恒成立，在上是增函數(shù)，又，，原不等式為，解得，故選.【點(diǎn)睛】本題考查利用導(dǎo)數(shù)解不等式，考查基本分析求解實(shí)力，屬中檔題.25．函數(shù)是定義在區(qū)間上的可導(dǎo)函數(shù)，其導(dǎo)函數(shù)，且滿意，則不等式的解集為（）A． B．C． D．【答案】B【分析】構(gòu)造新函數(shù)，求導(dǎo)后可證明在上單調(diào)遞增，而不等式可等價(jià)于，故，解之即可.【詳解】令，則，∵定義域?yàn)?，且，，在上單調(diào)遞增，不等式等價(jià)于，，解得故選：B【點(diǎn)睛】本題考查利用導(dǎo)數(shù)探討函數(shù)的單調(diào)性、解不等式，構(gòu)造新函數(shù)是解題的關(guān)鍵，考查學(xué)生的轉(zhuǎn)化思想、邏輯推理實(shí)力和運(yùn)算實(shí)力，屬于中檔題.26．已知函數(shù)f(x)的定義域?yàn)镽，f(-1)=3，對(duì)隨意x∈R，f′(x)>3，則f(x)>3x+6的解集為（）A．(-1，+∞) B．(-1，1) C．(-∞，-1) D．(-∞，+∞)【答案】A【分析】首先設(shè)函數(shù)，再利用導(dǎo)數(shù)推斷函數(shù)的單調(diào)性，利用單調(diào)性和函數(shù)的零點(diǎn)解不等式.【詳解】設(shè)函數(shù)，，，，函數(shù)是單調(diào)遞增函數(shù)，且，，的解集是.故選：A【點(diǎn)睛】本題考查導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的單調(diào)性，解抽象不等式，重點(diǎn)考查構(gòu)造函數(shù)，推理實(shí)力，屬于基礎(chǔ)題型.27．奇函數(shù)定義域?yàn)椋鋵?dǎo)函數(shù)是.當(dāng)時(shí)，有，則關(guān)于的不等式的解集為（）A． B． C． D．【答案】D【解析】令，則，函數(shù)是定義域當(dāng)(內(nèi)的單調(diào)遞減函數(shù)，由于關(guān)于的不等式可化為，即，則；而當(dāng)時(shí)，，則關(guān)于的不等式可化為，即，也即可得，即．所以原不等式的解集，應(yīng)選答案D．點(diǎn)睛：解答本題的關(guān)鍵在于如何將不等式進(jìn)行等價(jià)轉(zhuǎn)化，這不僅須要有肯定的學(xué)問(wèn)作支撐，同時(shí)還要具有較高思維實(shí)力和視察實(shí)力．求解時(shí)，先通過(guò)視察構(gòu)造函數(shù)，再對(duì)其進(jìn)行求導(dǎo)，運(yùn)用題設(shè)確定其單調(diào)遞減，然后將原不等式進(jìn)行等價(jià)轉(zhuǎn)化，從而使得問(wèn)題奇妙獲解．28．若對(duì)隨意的，，，恒成立，則a的最小值為（）A． B． C． D．【答案】A【分析】將不等式轉(zhuǎn)化為，構(gòu)造函數(shù)，只需使在上遞減，則在恒成立，只需恒成立，然后求解的取值范圍.【詳解】因?yàn)?，所以，則可化為，整理得，因?yàn)?，所以，令，則函數(shù)在上遞減，則在上恒成立，所以在上恒成立，令，則在上恒成立，則在上遞減，所以，故只需滿意：.故選：A.【點(diǎn)睛】本題考查導(dǎo)數(shù)與不等式問(wèn)題，考查構(gòu)造函數(shù)，依據(jù)函數(shù)的單調(diào)性求參數(shù)的取值范圍，難度較大.解答時(shí)，針對(duì)原式進(jìn)行等價(jià)變形是關(guān)鍵.29．函數(shù)是定義在上的奇函數(shù)，其導(dǎo)函數(shù)記為，當(dāng)時(shí)，恒成立，若，則不等式的解集為（）A． B．C． D．【答案】A【分析】構(gòu)造函數(shù)，則依據(jù)題目條件可知在上成立，則在上單調(diào)遞減，又可證得為偶函數(shù)，所以在遞增.依據(jù)可得，當(dāng)或時(shí)，；當(dāng)或時(shí)，，利用不等式等價(jià)于或求解.【詳解】設(shè)，則，∵當(dāng)時(shí)，恒成立，即，∴，即在上單調(diào)遞減.又函數(shù)是奇函數(shù)，∴，∴函數(shù)為偶函數(shù)，在上單調(diào)遞增.∵，∴.∴當(dāng)或時(shí)，；當(dāng)或時(shí)，.不等式等價(jià)于或，∴或.∴不等式的解集為.故選：A.【點(diǎn)睛】本題考查利用導(dǎo)數(shù)探討函數(shù)的單調(diào)性，考查依據(jù)函數(shù)的奇偶性與單調(diào)性的綜合求解不等式問(wèn)題，難度一般,解答時(shí)，構(gòu)造新函數(shù)是解題的關(guān)鍵.30．已知、，函數(shù)恰有兩個(gè)零點(diǎn)，則的取值范圍（）A． B． C． D．【答案】D【分析】利用導(dǎo)數(shù)分析函數(shù)的單調(diào)性，可得出該函數(shù)的微小值，由題意得出，進(jìn)而可得，可得出，令，由可得出，構(gòu)造函數(shù)，求得函數(shù)在區(qū)間上的值域，由此可求得的取值范圍.【詳解】且，，，則方程必有兩個(gè)不等的實(shí)根、，設(shè)，由韋達(dá)定理得，，則必有，且，①當(dāng)或時(shí)，；當(dāng)時(shí)，.所以，函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為和.由于，若函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)，則，②聯(lián)立①②得，可得，所以，，令，令，則，，解得，.當(dāng)時(shí)，，此時(shí)，函數(shù)單調(diào)遞增，則.故選：D.【點(diǎn)睛】本題考查利用三次函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)求代數(shù)式的取值范圍，將代數(shù)式轉(zhuǎn)化為函數(shù)是解答的關(guān)鍵，考查化歸與轉(zhuǎn)化思想的應(yīng)用，屬于難題.31．定義在R上的函數(shù)滿意，則下列不等式肯定成立的是（）A． B．C． D．【答案】A【分析】設(shè)，求導(dǎo)并利用可得在R上單調(diào)遞減，依據(jù)可得結(jié)果.【詳解】設(shè)，則，因?yàn)?，所以，所以在R上單調(diào)遞減，則，即，故．故選：A.【點(diǎn)睛】本題考查了構(gòu)造函數(shù)解決導(dǎo)數(shù)問(wèn)題,考查了利用導(dǎo)數(shù)探討函數(shù)的單調(diào)性，利用單調(diào)性比較大小，屬于中檔題.32．已知函數(shù)，其中，若對(duì)于隨意的，且，都有成立，則的取值范圍是（）A． B． C． D．【答案】C【分析】由已知將原不等式等價(jià)于恒成立，構(gòu)造函數(shù)，求導(dǎo)在上恒成立，運(yùn)用參變分別可得選項(xiàng)．【詳解】∵對(duì)于隨意的，且，都有成立，∴不等式等價(jià)為恒成立，令，則不等式等價(jià)為當(dāng)時(shí)，恒成立，即函數(shù)在上為增函數(shù)；，則在上恒成立；∴；即恒成立，令，∴；∴在上為增函數(shù)；∴；∴；∴.∴的取值范圍是.故選：C.【點(diǎn)睛】本題考查構(gòu)造函數(shù)，運(yùn)用導(dǎo)函數(shù)解決不等式恒成立的問(wèn)題，構(gòu)造合適的函數(shù)是關(guān)鍵，屬于較難題．33．設(shè)是定義在上的偶函數(shù)，為其導(dǎo)函數(shù)，，當(dāng)時(shí)，有恒成立，則不等式的解集為（）A． B．C． D．【答案】B【分析】構(gòu)造函數(shù)，易知在上單調(diào)遞增，由是定義在上的偶函數(shù)可推出是定義在上的奇函數(shù)，故在上也單調(diào)遞增，且.而不等式的解可等價(jià)于即的解，從而得解.【詳解】解：設(shè)，，則，∵當(dāng)時(shí)，有恒成立，∴當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞增，∵是定義在上的偶函數(shù)，∴，即是定義在上的奇函數(shù)，∴在上也單調(diào)遞增.又，∴，∴.不等式的解可等價(jià)于即的解，∴或，∴不等式的解集為.故選：B.【點(diǎn)睛】本題主要考查函數(shù)奇偶性的應(yīng)用，考查函數(shù)的單調(diào)性，利用了構(gòu)造思想，導(dǎo)函數(shù)的運(yùn)用，屬于中檔題．三、解答題34．已知函數(shù).（1）探討的單調(diào)性；（2）若，是方程的兩個(gè)不同實(shí)根，證明：.【答案】（1）答案見(jiàn)解析；（2）證明見(jiàn)解析.【分析】（1）先求解出，然后依據(jù)與的關(guān)系作分類探討，由此分析出的單調(diào)性；（2）依據(jù)，構(gòu)造函數(shù)分析出滿意的不等式，將待證明的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為證明，再通過(guò)構(gòu)造新函數(shù)證明成立，從而完成證明.【詳解】（1）解：因?yàn)?，所?①當(dāng)時(shí)，在上恒成立，故在上單調(diào)遞減.②當(dāng)時(shí)，由得；由得.即在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，綜上，當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.（2）證明：因?yàn)?，所以，，?設(shè)，則，故在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.由題意不妨設(shè)，欲證，只需證.又，，在上單調(diào)遞增.故只需證.因?yàn)?，所以只需證對(duì)隨意的恒成馬上可，即.整理得，即.設(shè)，，則.因?yàn)?，所以，所以，所以在上單調(diào)遞減，則.所以成立.【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)睛：構(gòu)造函數(shù)并利用導(dǎo)數(shù)證明不等式的一般思路：（1）將待證明的不等式進(jìn)行變形，使其一邊含有未知數(shù)，另一邊為；（2）構(gòu)造關(guān)于未知數(shù)的函數(shù)（函數(shù)盡量簡(jiǎn)單求導(dǎo)），分析函數(shù)的單調(diào)性以及最值；（3）通過(guò)探討所構(gòu)造函數(shù)的單調(diào)性和最值，確定出函數(shù)與的關(guān)系，從而達(dá)到證明不等式的目的.35．已知函數(shù)在點(diǎn)處的切線方程為.（1）求實(shí)數(shù)，的值﹔（2）若函數(shù)，試探討函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù).【答案】（1）；（2）當(dāng)時(shí)，有1個(gè)零點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，有2個(gè)零點(diǎn).【分析】（1）由導(dǎo)數(shù)的幾何意義列方程即可得解；（2）對(duì)函數(shù)求導(dǎo)，依據(jù)、分類；當(dāng)時(shí)，通過(guò)構(gòu)造函數(shù)可得、，結(jié)合零點(diǎn)存在性定理即可得解.【詳解】（1）因?yàn)楹瘮?shù)，所以，由題意知，即，解得；（2）由題意知，則，令，解得，，（i）當(dāng)時(shí)，在上恒成立，所以在上單調(diào)遞增，因?yàn)椋屎瘮?shù)在上有且只有一個(gè)零點(diǎn)；（ii）當(dāng)時(shí)，此時(shí)，所以在上單調(diào)遞增，上單調(diào)遞減，上單調(diào)遞增，因?yàn)?，所以在上有且只有一個(gè)零點(diǎn)，又，構(gòu)造函數(shù)，則，所以在上單調(diào)遞增，所以，即，構(gòu)造函數(shù)，則，所以在上單調(diào)遞增，所以，即，即，所以，所以，又因?yàn)楫?dāng)時(shí)，，所以，所以，所以，使得，所以當(dāng)時(shí)，在上有且僅有兩個(gè)零點(diǎn).綜上所述，當(dāng)時(shí)，有1個(gè)零點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，有2個(gè)零點(diǎn).【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：解決本題的關(guān)鍵是合理構(gòu)造函數(shù)，結(jié)合導(dǎo)數(shù)對(duì)函數(shù)合理放縮，結(jié)合零點(diǎn)存在性定理即可得解.36．已知實(shí)數(shù)，函數(shù)，.（1）探討函數(shù)的單調(diào)性；（2）若是函數(shù)的極值點(diǎn)，曲線在點(diǎn)?()處的切線分別為?，且?在y軸上的截距分別為?.若，求的取值范圍.【答案】（1）答案見(jiàn)解析；（2）.【分析】（1）對(duì)函數(shù)求導(dǎo)，依據(jù)、分類，求得、的解集即可得解；（2）由極值點(diǎn)的性質(zhì)可得，由導(dǎo)數(shù)的幾何意義可得、及，轉(zhuǎn)化條件為，構(gòu)造新函數(shù)結(jié)合導(dǎo)數(shù)即可得解.【詳解】（1）由題意，，，，∴，①當(dāng)，即時(shí)，，在上單調(diào)遞減；②當(dāng)，即時(shí)，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.綜上所述：當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增；（2）∵是的極值點(diǎn)，∴，即，解得或（舍），此時(shí)，，方程為，令，得，同理可得，，，整理得：，，又，則，解得，，令，則，設(shè)，則，在上單調(diào)遞增，又，，，即的取值范圍為.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)點(diǎn)睛：解決本題的關(guān)鍵是利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義轉(zhuǎn)化條件，再構(gòu)造新函數(shù)，結(jié)合導(dǎo)數(shù)即可得解.37．設(shè)函數(shù)，.（1）探討函數(shù)的單調(diào)性；（2）假如對(duì)于隨意的，都有成立，試求的取值范圍.【答案】（1）答案見(jiàn)解析；（2）.【分析】（1）求導(dǎo)分和兩種狀況，分別分析導(dǎo)函數(shù)的正負(fù)，可得出原函數(shù)的單調(diào)性；（2）先求導(dǎo)，分析導(dǎo)函數(shù)的正負(fù)，得出函數(shù)的單調(diào)性，從而求得最值，運(yùn)用不等式恒成立思想，將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為在上恒成立，令，運(yùn)用導(dǎo)函數(shù)得出函數(shù)的最大值，可求得實(shí)數(shù)a的取值范圍.【詳解】（1）函數(shù)的定義域?yàn)?，?dāng)時(shí)，，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，則，函數(shù)單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞減，所以時(shí)，函數(shù)在單調(diào)遞減，在上遞增；（2）由已知得，所以當(dāng)時(shí)，，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，所以函數(shù)在上單調(diào)遞減，又，所以函數(shù)在上的最大值為1，依題意得，只需在，恒成立，即，也即是在上恒成立，令，則，有，當(dāng)時(shí)，，，，即在上單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，，所以在上單調(diào)遞減，所以，當(dāng)時(shí)，函數(shù)取得最大值，故，即實(shí)數(shù)a的取值范圍是.【點(diǎn)睛】本題考查運(yùn)用導(dǎo)函數(shù)分類探討求得函數(shù)的單調(diào)性，解決不等式恒成立的問(wèn)題，屬于較難題.不等式的恒成立與有解問(wèn)題，可按如下規(guī)則轉(zhuǎn)化：一般地，已知函數(shù)，（1）若，，總有成立，故；（2）若，，有成立，故；（3）若，，有成立，故；（4）若，，有，則的值域是值域的子集．38．已知函數(shù)，.（1）探討函數(shù)的單調(diào)性；（2）若當(dāng)時(shí)，方程有實(shí)數(shù)解，求實(shí)數(shù)的取值范圍.【答案】（1）答案見(jiàn)解析；（2）.【分析】（1）先對(duì)函數(shù)求導(dǎo)，分和兩種狀況探討，可求解函數(shù)的單調(diào)性；（2）由已知得有實(shí)數(shù)解，構(gòu)造函數(shù)，利用函數(shù)的單調(diào)性及函數(shù)的性質(zhì)求得a的范圍.【詳解】解：（1）函數(shù)的定義域?yàn)镽，當(dāng)時(shí)，，則在上單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，令，得，則在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.（2）由，得，因?yàn)?，所?令，，則.令，得.當(dāng)時(shí)，，為減函數(shù)；當(dāng)時(shí)，，為增函數(shù).所以.又因?yàn)?，因?yàn)椋?，所以，所以?dāng)時(shí)，.所以函數(shù)的值域?yàn)?，因此?shí)數(shù)a的取值范圍為.【點(diǎn)睛】本題考查了利用導(dǎo)數(shù)探討函數(shù)的單調(diào)性問(wèn)題，零點(diǎn)問(wèn)題，導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的綜合應(yīng)用，考查運(yùn)算求解實(shí)力、轉(zhuǎn)化與化歸思想，屬于較難題．39．給出如下兩個(gè)命題：命題，；命題已知函數(shù)，且對(duì)隨意，，，都有.（1）若命題為假，求實(shí)數(shù)的取值范圍.（2）若命題為假，為真，求實(shí)數(shù)的取值范圍.【答案】（1）；（2）.【分析】（1）利用命題為假，則命題為真，利用換元法得到，求出對(duì)稱軸，利用零點(diǎn)存在性定理即可求出結(jié)果；（2）若命題為真時(shí)，利用已知條件得到，構(gòu)造函數(shù)，得在恒成立，分別參數(shù)得到，求導(dǎo)求出的最大值即可得出結(jié)果.【詳解】（1）若命題為假，則命題，為真，令，則在區(qū)間有零點(diǎn)，令，可得，其對(duì)稱軸為，要使得在區(qū)間有零點(diǎn)，解得：，則當(dāng)命題p為真時(shí)，.（2）若命題為真時(shí)：因?yàn)?，所以?設(shè)，依題意，在上是減函數(shù)，.，.令，得：.設(shè)，則，所以在上是增函數(shù).所以，所以.故若q為真，則，若命題為假，為真，則p，q中必有一真一假；則p真q假為；則q真p假，綜上：.【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)睛：利用復(fù)合命題的真假求參數(shù)的取值范圍問(wèn)題；常見(jiàn)的類型：（1）若命題為假，則為真；（2）若命題為假，為真，則p，q中必有一真一假；（3）若命題為真，為真，則p，q都為真；（4）若命題為假，為假，則p，q都為假；40．已知函數(shù)，.（1）探討的單調(diào)性；（2）若有兩個(gè)極值點(diǎn)、，求的取值范圍.【答案】（1）見(jiàn)解析；（2）.【分析】（1）求出函數(shù)的定義域和導(dǎo)數(shù)，對(duì)實(shí)數(shù)的取值進(jìn)行分類探討，利用導(dǎo)數(shù)分析導(dǎo)函數(shù)的符號(hào)改變，由此可得出函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間和遞減區(qū)間；（2）由（1）可知、是關(guān)于的二次方程的兩根，利用韋達(dá)定理可將表示為以為自變量的函數(shù)，換元，可得出，令，利用導(dǎo)數(shù)求出函數(shù)在上的值域，由此可得解.【詳解】（1）函數(shù)的定義域?yàn)椋?，?當(dāng)，即時(shí)，，則對(duì)隨意的恒成立，此時(shí)函數(shù)在上單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，對(duì)隨意的恒成立，此時(shí)函數(shù)在上單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，有兩個(gè)正根，分別為，，當(dāng)或時(shí)，；當(dāng)時(shí)，.此時(shí)函數(shù)在，上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.綜上可得：當(dāng)時(shí)，函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是，無(wú)遞減區(qū)間；當(dāng)時(shí)，函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是，，單調(diào)遞減區(qū)間是；（2）由（1）可知、是關(guān)于的二次方程的兩根，由韋達(dá)定理可得，，，，，，，，，令，則，設(shè)，，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，.所以，函數(shù)在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減，，因此，的取值范圍是.【點(diǎn)睛】本題考查利用導(dǎo)數(shù)求解含參函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，同時(shí)也考查了利用導(dǎo)數(shù)求解代數(shù)式的取值范圍，考查韋達(dá)定理的應(yīng)用，考查計(jì)算實(shí)力，屬于中等題.41．已知函數(shù).（1）求的單調(diào)區(qū)間.（2）若在區(qū)間上不單調(diào)，證明：.【答案】（1）答案不唯一，詳細(xì)見(jiàn)解析；（2）證明見(jiàn)解析.【分析】（1）首先求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，再分和兩種狀況探討求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（2）結(jié)合題意分析可知，由，可證明，再利用分析法轉(zhuǎn)化為證明，通過(guò)構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)證明不等式.【詳解】（1）解：由題意，，令.①當(dāng)時(shí)，，此時(shí)，函數(shù)在R上單調(diào)遞減；②當(dāng)時(shí)，，令，則，，當(dāng)時(shí)，，所以單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，，所以單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，所以單調(diào)遞減.綜上所述，當(dāng)時(shí)，函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為R，無(wú)單調(diào)遞增區(qū)間；當(dāng)時(shí)，函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為和，單調(diào)遞增區(qū)間為.（2）證明：由（1）知，因?yàn)椋?，得，要證，只需證.對(duì)于函數(shù)，有.因?yàn)樵赗上單調(diào)遞增，且，所以在區(qū)間上單調(diào)遞減，在區(qū)間上單調(diào)遞增，故，即不等式恒成立，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)“=”成立，故當(dāng)時(shí)，，即①.因?yàn)榍遥?，可得，所以?由①+②得，，故得證.【點(diǎn)睛】本題考查導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的綜合應(yīng)用，重點(diǎn)考查轉(zhuǎn)化思想，邏輯推理實(shí)力，計(jì)算實(shí)力，屬于難題，本題的難點(diǎn)是其次問(wèn)，需構(gòu)造函數(shù)，通過(guò)分析函數(shù)的性質(zhì)，以及轉(zhuǎn)化變形，證明不等式.42．已知函數(shù)，其中.（1）若在上存在極值點(diǎn)，求a的取值范圍；（2）設(shè)，，若存在最大值，記為，則當(dāng)時(shí)，是否存在最大值？若存在，求出其最大值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由【答案】（1），；（2）（a）存在最大值，且最大值為．【分析】（1）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，將題意轉(zhuǎn)換為在上有解，由在上遞增，得，，求出的范圍即可；（2）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，得到，求出（a），依據(jù)函數(shù)的單調(diào)性求出（a）的最大值即可．【詳解】解：（1），，由題意得，在上有根（不為重根），即在上有解，由在上遞增，得，，檢驗(yàn)，時(shí)，在上存在極值點(diǎn)，，；（2）中，若，即在上滿意，在上遞減，，不存在最大值，則；方程有2個(gè)不相等的正實(shí)數(shù)根，令其為，，且不妨設(shè)，則，在遞減，在遞增，在遞減，對(duì)隨意，有，對(duì)隨意，有，，（a），將，代入上式，