2025屆江蘇省鎮(zhèn)江丹陽市數(shù)學(xué)九上期末經(jīng)典試題含解析

2025屆江蘇省鎮(zhèn)江丹陽市數(shù)學(xué)九上期末經(jīng)典試題注意事項1．考生要認真填寫考場號和座位序號。2．試題所有答案必須填涂或書寫在答題卡上，在試卷上作答無效。第一部分必須用2B鉛筆作答；第二部分必須用黑色字跡的簽字筆作答。3．考試結(jié)束后，考生須將試卷和答題卡放在桌面上，待監(jiān)考員收回。一、選擇題(每小題3分,共30分)1．如圖，正方形的面積為16，是等邊三角形，點在正方形內(nèi)，在對角線上有一點，使的和最小，則這個最小值為（）A．2 B．4 C．6 D．82．已知圓心角為120°的扇形的弧長為6π，該扇形的面積為（）A． B． C． D．3．如圖，矩形ABCD中，E是AB的中點，將△BCE沿CE翻折，點B落在點F處，tan∠BCE=．設(shè)AB=x，△ABF的面積為y，則y與x的函數(shù)圖象大致為A． B．C． D．4．已知△ABC的外接圓⊙O，那么點O是△ABC的（）A．三條中線交點 B．三條高的交點C．三條邊的垂直平分線的交點 D．三條角平分線交點5．當(dāng)x＝1時，代數(shù)式2ax2+bx的值為5，當(dāng)x＝2時，代數(shù)式ax2+bx﹣3的值為（）A．﹣ B．2 C．7 D．176．如圖，矩形中，，，點為矩形內(nèi)一動點，且滿足，則線段的最小值為（）A．5 B．1 C．2 D．37．在Rt△ABC中，∠C=900，AC=4，AB=5，則sinB的值是()A． B． C． D．8．定義：如果一個一元二次方程的兩個實數(shù)根的比值與另一個一元二次方程的兩個實數(shù)根的比值相等，我們稱這兩個方程為“相似方程”，例如，的實數(shù)根是3或6，的實數(shù)根是1或2，，則一元二次方程與為相似方程.下列各組方程不是相似方程的是()A．與 B．與C．與 D．與9．一個小正方體沿著斜面前進了10米，橫截面如圖所示，已知，此時小正方體上的點距離地面的高度升高了()A．5米 B．米 C．米 D．米10．二次函數(shù)的圖象如圖所示，下列結(jié)論：；；；；，其中正確結(jié)論的是A． B． C． D．二、填空題(每小題3分,共24分)11．點P(4，﹣6)關(guān)于原點對稱的點的坐標是_____．12．對于實數(shù)，定義運算“◎”如下：◎．若◎，則_____．13．“國慶節(jié)”和“中秋節(jié)”雙節(jié)期間，某微信群規(guī)定，群內(nèi)的每個人都要發(fā)一個紅包，并保證群內(nèi)其他人都能搶到且自己不能搶自己發(fā)的紅包，若此次搶紅包活動，群內(nèi)所有人共收到156個紅包，則該群一共有_____人．14．在一個不透明的盒子中裝有紅、白兩種除顏色外完全相同的球，其中有a個白球和4個紅球，若每次將球充分攪勻后，任意摸出1個球記下顏色再放回盒子．通過大量重復(fù)試驗后，發(fā)現(xiàn)摸到紅球的頻率穩(wěn)定在20%左右，則a的值約為_____．15．若點（p，2）與（﹣3，q）關(guān)于原點對稱，則p+q＝__．16．計算：＝_____．17．觀察下列圖中所示的一系列圖形，它們是按一定規(guī)律排列的，依照此規(guī)律，第2019個圖形中共有_____個〇．18．五角星是我們生活中常見的一種圖形，如圖五角星中，點C，D分別為線段AB的右側(cè)和左側(cè)的黃金分割點，已知黃金比為，且AB＝2，則圖中五邊形CDEFG的周長為________．三、解答題(共66分)19．（10分）如圖，在矩形ABCD中，AB＝6，BC＝13，BE＝4，點F從點B出發(fā)，在折線段BA﹣AD上運動，連接EF，當(dāng)EF⊥BC時停止運動，過點E作EG⊥EF，交矩形的邊于點G，連接FG．設(shè)點F運動的路程為x，△EFG的面積為S．（1）當(dāng)點F與點A重合時，點G恰好到達點D，此時x＝，當(dāng)EF⊥BC時，x＝；（2）求S關(guān)于x的函數(shù)解析式，并直接寫出自變量x的取值范圍；（3）當(dāng)S＝15時，求此時x的值．20．（6分）某市射擊隊為從甲、乙兩名運動員中選拔一人參加省比賽，對他們進行了四次測試，測試成績?nèi)绫恚▎挝唬涵h(huán)）：第一次第二次第三次第四次甲9887乙10679（1）根據(jù)表格中的數(shù)據(jù)，分別計算甲、乙兩名運動員的平均成績；（2）分別計算甲、乙兩人四次測試成績的方差；根據(jù)計算的結(jié)果，你認為推薦誰參加省比賽更合適？請說明理由．21．（6分）圖①，圖②都是8×8的正方形網(wǎng)格，每個小正方形的頂點稱為格點．線段OM，ON的端點均在格點上．在圖①，圖②給定的網(wǎng)格中以O(shè)M，ON為鄰邊各畫一個四邊形，使第四個頂點在格點上．要求：（1）圖①中所畫的四邊形是中心對稱圖形；（2）圖②中所畫的四邊形是軸對稱圖形；（3）所畫的兩個四邊形不全等．22．（8分）如圖，中，，，，解這個直角三角形.23．（8分）如圖，在平面直角坐標系xOy中，直線y＝x+2與x軸交于點A，與y軸交于點C，拋物線y＝ax2+bx+c的對稱軸是x＝且經(jīng)過A，C兩點，與x軸的另一交點為點B．（1）求拋物線解析式．（2）拋物線上是否存在點M，過點M作MN垂直x軸于點N，使得以點A、M、N為頂點的三角形與△ABC相似？若存在，求出點M的坐標；若不存在，請說明理由．24．（8分）如圖，已知拋物線．（1）用配方法將化成的形式，并寫出其頂點坐標；（2）直接寫出該拋物線與軸的交點坐標．25．（10分）畫出拋物線y＝﹣（x﹣1）2+5的圖象（要求列表，描點），回答下列問題：（1）寫出它的開口方向，對稱軸和頂點坐標；（2）當(dāng)y隨x的增大而增大時，寫出x的取值范圍；（3）若拋物線與x軸的左交點（x1，0）滿足n≤x1≤n+1，（n為整數(shù)），試寫出n的值．26．（10分）如圖，一個運動員推鉛球，鉛球在點A處出手，出手時球離地面m．鉛球落地點在點B處，鉛球運行中在運動員前4m處(即OC＝4m)達到最高點，最高點D離地面3m．已知鉛球經(jīng)過的路線是拋物線，根據(jù)圖示的平面直角坐標系，請你算出該運動員的成績．

參考答案一、選擇題(每小題3分,共30分)1、B【分析】由于點B與點D關(guān)于AC對稱，所以連接BE，與AC的交點即為F，此時，F(xiàn)D+FE=BE最小，而BE是等邊三角形ABE的邊，BE=AB，由正方形面積可得AB的長，從而得出結(jié)果．【詳解】解：由題意可知當(dāng)點P位于BE與AC的交點時，有最小值．設(shè)BE與AC的交點為F，連接BD，∵點B與點D關(guān)于AC對稱∴FD=FB∴FD+FE=FB+FE=BE最小又∵正方形ABCD的面積為16∴AB=1∵△ABE是等邊三角形∴BE=AB=1．故選：B．【點睛】本題考查的知識點是軸對稱中的最短路線問題，解題的關(guān)鍵是弄清題意，找出相對應(yīng)的相等線段．2、B【分析】設(shè)扇形的半徑為r．利用弧長公式構(gòu)建方程求出r，再利用扇形的面積公式計算即可．【詳解】解：設(shè)扇形的半徑為r．由題意：=6π，∴r=9，∴S扇形==27π，故選B．【點睛】本題考查扇形的弧長公式，面積公式等知識，解題的關(guān)鍵是學(xué)會構(gòu)建方程解決問題，屬于中考常考題型．3、D【解析】設(shè)AB＝x，根據(jù)折疊，可證明∠AFB=90°，由tan∠BCE=，分別表示EB、BC、CE，進而證明△AFB∽△EBC，根據(jù)相似三角形面積之比等于相似比平方，表示△ABF的面積.【詳解】設(shè)AB＝x，則AE＝EB＝x，由折疊，F(xiàn)E＝EB＝x，則∠AFB＝90°，由tan∠BCE＝，∴BC＝x，EC＝x，∵F、B關(guān)于EC對稱，∴∠FBA＝∠BCE，∴△AFB∽△EBC，∴，∴y＝，故選D.【點睛】本題考查了三角函數(shù)，相似三角形，三角形面積計算，二次函數(shù)圖像等知識，利用相似三角形的性質(zhì)得出△ABF和△EBC的面積比是解題關(guān)鍵.4、C【分析】根據(jù)三角形外接圓圓心的確定方法，結(jié)合垂直平分線的性質(zhì)，即可求得.【詳解】已知⊙O是△ABC的外接圓，那么點O一定是△ABC的三邊的垂直平分線的交點，故選：C．【點睛】本題考查三角形外接圓圓心的確定，屬基礎(chǔ)題.5、C【解析】直接把x＝1代入進而得出2a+b＝5，再把x＝2代入ax2+bx﹣3，即可求出答案．【詳解】∵當(dāng)x＝1時，代數(shù)式2ax2+bx的值為5，∴2a+b＝5，∴當(dāng)x＝2時，代數(shù)式ax2+bx﹣3＝4a+2b﹣3＝2（2a+b）﹣3＝2×5﹣3＝1．故選：C．【點睛】本題主要考查求代數(shù)式的值，整體思想方法的應(yīng)用，是解題的關(guān)鍵.6、B【分析】通過矩形的性質(zhì)和等角的條件可得∠BPC=90°，所以P點應(yīng)該在以BC為直徑的圓上，即OP=4，根據(jù)兩邊之差小于第三邊及三點共線問題解決.【詳解】如圖，∵四邊形ABCD為矩形，∴AB=CD=3，∠BCD=90°,∴∠PCD+∠PCB=90°,∵,∴∠PBC+∠PCB=90°,∴∠BPC=90°,∴點P在以BC為直徑的圓⊙O上，在Rt△OCD中，OC=,CD=3，由勾股定理得，OD=5，∵PD≥,∴當(dāng)P,D,O三點共線時，PD最小，∴PD的最小值為OD-OP=5-4=1.故選：B.【點睛】本題考查矩形的性質(zhì)，勾股定理，線段最小值問題及圓的性質(zhì)，分析出P點的運動軌跡是解答此題的關(guān)鍵.7、D【解析】試題分析：正弦的定義：正弦由題意得，故選D.考點：銳角三角函數(shù)的定義點評：本題屬于基礎(chǔ)應(yīng)用題，只需學(xué)生熟練掌握正弦的定義，即可完成.8、C【分析】根據(jù)“相似方程”的定義逐項分析即可.【詳解】A.∵，∴.∴x1=4，x2=-4，∵，∴x1=5，x2=-5.∵4：(-4)=5:(5)，∴與是相似方程，故不符合題意；B.∵，∴x1=x2=6.∵，∴(x+2)2=0，∴x1=x2=-2.∵6：6=(-2)：(-2)，∴與是相似方程，故不符合題意；C.∵，∴，∴x1=0，x2=7.∵，∴，∴(x-2)(x+3)=0，∴x1=2，x2=-3.∵0：7≠2：(-3)，∴與不是相似方程，符合題意；D.∵，∴x1=-2，x2=-8.∵，∴(x-1)(x-4)=0，∴x1=1，x2=4.∵(-2)：(-8)=1：4，∴與是相似方程，故不符合題意；故選C.【點睛】本題考查了新定義運算，以及一元二次方程的解法，正確理解“相似方程”的定義是解答本題的關(guān)鍵.9、B【分析】根據(jù)題意，用未知數(shù)設(shè)出斜面的鉛直高度和水平寬度，再運用勾股定理列方程求解．【詳解】解：Rt△ABC中，AB=2BC，

設(shè)BC=x，則AC=2x，

根據(jù)勾股定理可得，

x2+（2x）2=102，

解得x=或x=（負值舍去），即小正方體上的點N距離地面AB的高度升高了米，

故選：B．【點睛】此題主要考查了解直角三角形的應(yīng)用-坡度坡角問題，解題的關(guān)鍵是熟練運用勾股定理的知識，此題比較簡單．10、C【分析】利用圖象信息以及二次函數(shù)的性質(zhì)一一判斷即可；【詳解】解：∵拋物線開口向下，∴a＜0，∵對稱軸x＝﹣1＝，∴b＜0，∵拋物線交y軸于正半軸，∴c＞0，∴abc＞0，故①正確，∵拋物線與x軸有兩個交點，∴b2﹣4ac＞0，故②錯誤，∵x＝﹣2時，y＞0，∴4a﹣2b+c＞0，∴4a+c＞2b，故③正確，∵x＝﹣1時，y＞0，x＝1時，y＜0，∴a﹣b+c＞0，a+b+c＜0，∴(a﹣b+c)(a+b+c)＜0∴，∴，故④錯誤，∵x＝﹣1時，y取得最大值a﹣b+c，∴ax2+bx+c≤a﹣b+c，∴x（ax+b）≤a﹣b，故⑤正確．故選C．【點睛】本題考查二次函數(shù)的圖象與系數(shù)的關(guān)系等知識，解題的關(guān)鍵是讀懂圖象信息，靈活運用所學(xué)知識解決問題，屬于中考?？碱}型．二、填空題(每小題3分,共24分)11、(﹣4，6)【分析】根據(jù)兩個點關(guān)于原點對稱時，它們的坐標符號相反可得答案．【詳解】點P（4，﹣6）關(guān)于原點對稱的點的坐標是（﹣4，6），故答案為：（﹣4，6）．【點睛】本題考查了一點關(guān)于原點對稱的問題，橫縱坐標取相反數(shù)就是對稱點的坐標．12、-3或4【分析】利用新定義得到，整理得到，然后利用因式分解法解方程．【詳解】根據(jù)題意得，，，，或，所以．故答案為或．【點睛】本題考查了解一元二次方程﹣因式分解法：因式分解法就是利用因式分解求出方程的解的方法，這種方法簡便易用，是解一元二次方程最常用的方法．13、1【分析】設(shè)該群的人數(shù)是x人，則每個人要發(fā)其他（x﹣1）張紅包，則共有x（x﹣1）張紅包，等于156個，由此可列方程．【詳解】設(shè)該群共有x人，依題意有：x（x﹣1）=156解得：x=﹣12（舍去）或x=1．故答案為1．【點睛】本題考查的是一元二次方程的應(yīng)用，正確找準等量關(guān)系列方程即可，比較簡單．14、1【分析】在同樣條件下，大量反復(fù)試驗時，隨機事件發(fā)生的頻率逐漸穩(wěn)定在概率附近，可以從摸到紅球的頻率穩(wěn)定在20%左右得到比例關(guān)系，列出方程求解即可．【詳解】解：由題意可得，×100%＝20%，解得，a＝1，經(jīng)檢驗a=1是方程的根，故答案為：1．【點睛】本題主要考查的是頻率和概率問題，此類問題是中考常考的知識點，所以掌握頻率和概率是解題的關(guān)鍵.15、1【分析】直接利用關(guān)于原點對稱點的性質(zhì)得出p，q的值進而得出答案．【詳解】解：∵點（p，2）與（﹣3，q）關(guān)于原點對稱，∴p＝3，q＝﹣2，∴p+q＝3﹣2＝1．故答案為：1．【點睛】此題主要考查了關(guān)于原點對稱點的性質(zhì)，正確掌握關(guān)于原點對稱點的坐標之間的關(guān)系是解題關(guān)鍵．16、【詳解】解：原式=．故答案為．17、1【解析】根據(jù)題目中的圖形，可以發(fā)現(xiàn)〇的變化規(guī)律，從而可以得到第2019個圖形中〇的個數(shù)．【詳解】由圖可得，第1個圖象中〇的個數(shù)為：，第2個圖象中〇的個數(shù)為：，第3個圖象中〇的個數(shù)為：，第4個圖象中〇的個數(shù)為：，……∴第2019個圖形中共有：個〇，故答案為：1．【點睛】本題考查圖形的變化類，解答本題的關(guān)鍵是明確題意，發(fā)現(xiàn)圖形中〇的變化規(guī)律，利用數(shù)形結(jié)合的思想解答．18、【分析】根據(jù)點C，D分別為線段AB的右側(cè)和左側(cè)的黃金分割點，可得AC=BD=AB，BC=AB，再根據(jù)CD=BD-BC求出CD的長度，然后乘以5即可求解．【詳解】∵點C，D分別為線段AB的右側(cè)和左側(cè)的黃金分割點，∴AC=BD=AB=，BC=AB，∴CD=BD﹣BC=()﹣()=2﹣4，∴五邊形CDEFG的周長=5（2﹣4）=10﹣1．故答案為：10﹣1．【點睛】本題考查了黃金分割的定義：線段上一點把線段分為較長線段和較短線段，若較長線段是較短線段和整個線段的比例中項，則這個點叫這條線段的黃金分割點．三、解答題(共66分)19、（1）6；10；（2）S＝x2+9x+12（0＜x≤6）；S＝x2﹣21x+102（6＜x≤10）；（3）﹣6+2．【分析】（1）當(dāng)點F與點A重合時，x＝AB＝6；當(dāng)EF⊥BC時，AF＝BE＝4，x＝AB+AF＝6+4＝10；（2）分兩種情況：①當(dāng)點F在AB上時，作GH⊥BC于H，則四邊形ABHG是矩形，證明△EFB∽△GEH，得出，求出EH＝x，得出AG＝BH＝BE+EH＝4+x，由梯形面積公式和三角形面積公式即可得出答案；②當(dāng)點F在AD上時，作FM⊥BC于M，則FM＝AB＝6，AF＝BM，同①得△EFM∽△GEC，得出，求出GC＝15﹣x，得出DG＝CD﹣CG＝x﹣9，EC＝BC﹣BE＝9，AF＝x﹣6，DF＝AD﹣AF＝19﹣x，由梯形面積公式和三角形面積公式即可得出答案；（3）當(dāng)x2+9x+12＝15時，當(dāng)x2﹣21x+102＝15時，分別解方程即可．【詳解】（1）當(dāng)點F與點A重合時，x＝AB＝6；當(dāng)EF⊥BC時，AF＝BE＝4，x＝AB+AF＝6+4＝10；故答案為：6；10；（2）∵四邊形ABCD是矩形，∴∠B＝∠C＝∠D＝90°，CD＝AB＝6，AD＝BC＝13，分兩種情況：①當(dāng)點F在AB上時，如圖1所示：作GH⊥BC于H，則四邊形ABHG是矩形，∴GH＝AB＝6，AG＝BH，∠GHE＝∠B＝90°，∴∠EGH+∠GEH＝90°，∵EG⊥EF，∴∠FEB+∠GEH＝90°，∴∠FEB＝∠EGH，∴△EFB∽△GEH，∴，即，∴EH＝x，∴AG＝BH＝BE+EH＝4+x，∴△EFG的面積為S＝梯形ABEG的面積﹣△EFB的面積﹣△AGF的面積＝（4+4+x）×6﹣×4x﹣（6﹣x）（4+x）＝x2+9x+12，即S＝x2+9x+12（0＜x≤6）；②當(dāng)點F在AD上時，如圖2所示：作FM⊥BC于M，則FM＝AB＝6，AF＝BM，同①得：△EFM∽△GEC，∴，即，解得：GC＝15﹣x，∴DG＝CD﹣CG＝x﹣9，∵EC＝BC﹣BE＝9，AF＝x﹣6，DF＝AD﹣AF＝19﹣x，∴△EFG的面積為S＝梯形CDFE的面積﹣△CEG的面積﹣△DFG的面積＝（9+19﹣x）×6﹣×9×（15﹣x）﹣（19﹣x）（x﹣9）＝x2﹣21x+102即S＝x2﹣21x+102（6＜x≤10）；（3）當(dāng)x2+9x+12＝15時，解得：x＝﹣6±（負值舍去），∴x＝﹣6+；當(dāng)x2﹣21x+102＝15時，解得：x＝14±（不合題意舍去）；∴當(dāng)S＝15時，此時x的值為﹣6+．【點睛】本題考查二次函數(shù)的動點問題，題目較難，解題時需注意分類討論，避免漏解.20、（1）甲的平均成績是8，乙的平均成績是8，（2）推薦甲參加省比賽更合適．理由見解析．【分析】（1）根據(jù)平均數(shù)的計算公式即可得甲、乙兩名運動員的平均成績；（2）根據(jù)方差公式即可求出甲、乙兩名運動員的方差，進而判斷出薦誰參加省比賽更合適．【詳解】（1）甲的平均成績是：（9+8+8+7）÷4＝8，乙的平均成績是：（10+6+7+9）÷4＝8，（2）甲的方差是：＝，乙的方差是：＝．所以推薦甲參加省比賽更合適．理由如下：兩人的平均成績相等，說明實力相當(dāng)；但是甲的四次測試成績的方差比乙小，說明甲發(fā)揮較為穩(wěn)定，故推薦甲參加省比賽更合適．【點睛】本題考查了方差、算術(shù)平均數(shù)，解決本題的關(guān)鍵是掌握方差、算術(shù)平均數(shù)的計算公式．21、（1）見解析；（2）見解析；（3）見解析【分析】（1）設(shè)小正方形的邊長為1，由勾股定理可知，由圖，結(jié)合題中要求可以O(shè)M，ON為鄰邊畫一個菱形；（2）符合題意的有菱形、箏形等是軸對稱圖形；（3）圖①和圖②的兩個四邊形不能是完全相同的.【詳解】解：（1）如圖即為所求（2）如圖即為所求【點睛】本題考查了軸對稱與中心對稱圖形，屬于開放題，熟練掌握軸對稱與中心對稱圖形的含義是解題的關(guān)鍵.22、.【分析】根據(jù)勾股定理求出AB，根據(jù)解直角三角形求出∠B，由余角的性質(zhì)求出∠A，即可得到答案.【詳解】解：如圖：∵，∴，∵，∴，∴，【點睛】本題考查了解直角三角形，以及勾股定理，解題的關(guān)鍵是熟練掌握解直角三角形.23、（1）拋物線的解析式為；（2）拋物線存在點M，點M的坐標或或或【分析】（1）根據(jù)自變量與函數(shù)值的對應(yīng)關(guān)系，可得A、C點坐標，根據(jù)函數(shù)值相等的兩點關(guān)于對稱軸對稱，可得B點坐標，根據(jù)待定系數(shù)法，可得函數(shù)解析式；（2）分兩種情形分別求解即可解決問題；【詳解】解：（1）當(dāng)x＝0時，y＝2，即C（0，2），當(dāng)y＝0時，x+2＝0，解得x＝﹣4，即A（﹣4，0）.由A、B關(guān)于對稱軸對稱，得B（1，0）.將A、B、C點坐標代入函數(shù)解析式，得，解得，拋物線的解析式為y＝﹣x2﹣x+2；（2）①當(dāng)點M在x軸上方時，過點M作MN垂直x軸于點N，使得以點A、M、N為頂點的三角形與△ABC相似，如圖，設(shè)M（m，﹣x2﹣x+2），N（m，0）.AN＝m+4，MN＝﹣m2﹣m+2，由勾股定理，得AC＝，BC＝，∵AC2+BC2＝AB2，∴∠ACB＝90°，當(dāng)△ANM∽△ACB時，∠CAB＝∠MAN，此時點M與點C重合，M（0，2）.當(dāng)△ANM∽△BCA時，∠MAN＝∠ABC，此時M與C關(guān)于拋物線的對稱軸對稱，M（﹣3，2）.②當(dāng)點M在x軸下方時，當(dāng)△ANM∽△ACB時，∠CAB＝∠MAN，此時直線AM的解析式為y＝﹣x﹣2，由，解得或，∴M（2，﹣3），當(dāng)△ANM′∽△BCA時，∠MAN＝∠ABC，此時AM′∥BC，∴直線AM′的解析式為y＝﹣2x﹣8，由，解得或，∴M（5，﹣18）綜上所述：拋物線存在點