新教材高中數(shù)學(xué)10-2-2復(fù)數(shù)的乘法與除法課件新人教B版必修第四冊

10.2.2復(fù)數(shù)的乘法與除法基礎(chǔ)預(yù)習(xí)初探1.回顧多項式乘法運算,類比復(fù)數(shù)的乘法運算:(1)設(shè)復(fù)數(shù)z1=a+bi,z2=c+di,其中,a,b,c,d∈R,則z1z2=____________.

(2)z1

=____________.

(3)

=____________.

提示:(1)z1z2=(a+bi)(c+di)=ac+adi+bci+bdi2=(ac-bd)+(ad+bc)i.(2)z1=(a+bi)(a-bi)=a2-b2i2=a2+b2.(3)=(a+bi)2=a2+2abi+b2i2=a2-b2+2abi.答案:(1)(ac-bd)+(ad+bc)i

(2)a2+b2

(3)a2-b2+2abi2.復(fù)數(shù)的除法運算與乘法運算有什么聯(lián)系?怎樣由復(fù)數(shù)的乘法運算進(jìn)行復(fù)數(shù)的除法運算?提示:復(fù)數(shù)的除法運算與乘法運算互為逆運算,可以由復(fù)數(shù)的乘法運算得到除法運算法則,即=z?z1=zz2.設(shè)復(fù)數(shù)a+bi除以非零復(fù)數(shù)c+di的商為x+yi,即x+yi=等價于(x+yi)(c+di)=a+bi,通過相等復(fù)數(shù)解方程可得,(xc-yd)+(xd+yc)i=a+bi,所以

消去y,解得x=,同理消去x,解得y=所以(c+di≠0).【概念生成】1.復(fù)數(shù)的乘法運算(a+bi)(c+di)=_________________.2.復(fù)數(shù)乘法的運算律運算律恒等式交換律z1z2=____結(jié)合律(z1z2)z3=________分配律z1(z2+z3)=z1z2+z1z3(ac-bd)+(ad+bc)iz2z1z1(z2z3)3.復(fù)數(shù)的乘方n個相同的復(fù)數(shù)z相乘時,仍稱為z的n次方(或n次冪),并記作zn,即zn=z×z×…×z(n個z相乘).當(dāng)m,n都為正整數(shù)時,zmzn=____,(zm)n=___,(z1z2)n=____.zm+nzmn4.復(fù)數(shù)的除法運算(分母實數(shù)化)(1)如果復(fù)數(shù)z2≠0,則滿足zz2=z1的復(fù)數(shù)z稱為z1除以z2的商,并記作z=

(或z=z1÷z2).(2)一般地,給定復(fù)數(shù)z≠0,稱

為z的倒數(shù).z1除以z2的商

也可以看成z1與z2的倒數(shù)之積.(3)復(fù)數(shù)的除法法則:通過z2

=(c+di)(c-di)=c2+d2,可以實現(xiàn)復(fù)數(shù)除法的“分母實數(shù)化”:

i(c+di≠0).4.復(fù)數(shù)的除法運算(分母實數(shù)化)(1)如果復(fù)數(shù)z2≠0,則滿足zz2=z1的復(fù)數(shù)z稱為z1除以z2的商,并記作z=

(或z=z1÷z2).(2)一般地,給定復(fù)數(shù)z≠0,稱

為z的倒數(shù).z1除以z2的商

也可以看成z1與z2的倒數(shù)之積.(3)復(fù)數(shù)的除法法則:通過z2

=(c+di)(c-di)=c2+d2,可以實現(xiàn)復(fù)數(shù)除法的“分母實數(shù)化”:

i(c+di≠0).5.實系數(shù)一元二次方程ax2+bx+c=0(a,b,c∈R,a≠0)在復(fù)數(shù)范圍內(nèi)總有解(1)Δ=b2-4ac≥0時,有兩個實根.(2)Δ<0時,有兩個互為共軛的虛數(shù)根x1,2=

,根與系數(shù)的關(guān)系仍成立.核心互動探究探究點一復(fù)數(shù)的乘法運算【典例1】1.復(fù)平面內(nèi),若復(fù)數(shù)z滿足z=(i-1)(2-i),則

對應(yīng)的點在(

)A.第一象限 B.第二象限C.第三象限 D.第四象限2.計算:(1+2i)(2-i)2(1-2i).【思維導(dǎo)引】1.利用復(fù)數(shù)的乘法運算結(jié)果判斷.2.利用復(fù)數(shù)的乘法運算法則進(jìn)行計算.【解析】1.選C.由于z=(i-1)(2-i)=2i-i2-2+i=-1+3i,則=-1-3i,對應(yīng)的點(-1,-3)在第三象限.2.(1+2i)(2-i)2(1-2i)=[(1+2i)(1-2i)](2-i)2=5(3-4i)=15-20i.

【類題通法】復(fù)數(shù)乘法運算的注意事項1.復(fù)數(shù)的乘法運算與二項式乘二項式類似,展開后化簡即可,注意i2=-1的應(yīng)用.2.多個復(fù)數(shù)的乘法運算,可以利用乘法交換律和結(jié)合律進(jìn)行簡便運算,注意兩個共軛復(fù)數(shù)的積是實數(shù).提醒:靈活運用“平方差公式”“完全平方公式”進(jìn)行復(fù)數(shù)乘法計算.【定向訓(xùn)練】1.復(fù)數(shù)z=(1+bi)(2+i)是純虛數(shù),則實數(shù)b= (

)A.-2 B.-

C.

D.2【解析】選D.復(fù)數(shù)z=(1+bi)(2+i)=(2-b)+(2b+1)i是純虛數(shù),則實數(shù)b=2.【定向訓(xùn)練】1.復(fù)數(shù)z=(1+bi)(2+i)是純虛數(shù),則實數(shù)b= (

)A.-2 B.-

C.

D.2【解析】選D.復(fù)數(shù)z=(1+bi)(2+i)=(2-b)+(2b+1)i是純虛數(shù),則實數(shù)b=2.2.(2020·全國Ⅱ卷)(1-i)4= (

)A.-4 B.4 C.-4i D.4i【解析】選A.(1-i)4=[(1-i)2]2=(1-2i+i2)2=(-2i)2=-4.探究點二復(fù)數(shù)的除法運算【典例2】1.(2019·全國Ⅰ卷)設(shè)z=

,則|z|= (

)A.2 B.

C.

D.12.定義運算

=ad-bc.若復(fù)數(shù)x=

,y=

,則y=________.

3.計算:(1+i)÷[(1+i)÷(2-i)].【思維導(dǎo)引】1.通過復(fù)數(shù)的除法運算化簡,再計算復(fù)數(shù)的模.2.利用復(fù)數(shù)的除法運算化簡x,根據(jù)新定義計算y.3.先對括號內(nèi)的復(fù)數(shù)進(jìn)行計算,再進(jìn)行復(fù)數(shù)除法運算.【解析】1.選C.由z=得|z|=.2.因為x==-i.所以y==8i.答案:8i3.方法一:因為,所以(1+i)÷[(1+i)÷(2-i)]=(1+i)÷=(1+i)÷=2-i.方法二:(1+i)÷[(1+i)÷(2-i)]=(1+i)÷=(1+i)×=2-i.

【類題通法】復(fù)數(shù)除法運算的注意事項1.將復(fù)數(shù)的除法運算轉(zhuǎn)化為“分式”的形式,再分子分母同乘以分母的“共軛復(fù)數(shù)”計算.2.多個復(fù)數(shù)的除法運算,有括號先算括號內(nèi)的,沒有括號按照從左向右的順序進(jìn)行計算.提醒:復(fù)數(shù)的除法運算不滿足交換律和結(jié)合律.【定向訓(xùn)練】1.(2020·天津高考)i是虛數(shù)單位,復(fù)數(shù)

=________.

【解析】

答案:3-2i2.定義實部與虛部互為相反數(shù)的復(fù)數(shù)為“反復(fù)數(shù)”,若z=a-i+

為“反復(fù)數(shù)”,則實數(shù)a=________.

【解析】因為z=a-i+=a-i+=依題意,得即(a-1)=0,解得a=1.答案:1探究點三復(fù)數(shù)的乘方運算以及周期性【典例3】1.計算i+i2+i3+…+i2020=________.

2.已知w=-

+

i,求證:w3=1.【思維導(dǎo)引】1.計算in,n∈N*的值,明確周期性再計算.2.直接將復(fù)數(shù)的乘方運算轉(zhuǎn)化為乘法運算證明,也可以利用分析法證明.【解析】1.計算得i+i2+i3+i4=i-1-i+1=0,i5+i6+i7+i8=i4(i+i2+i3+i4)=0,…所以i+i2+i3+…+i2020=505×0=0.答案:02.方法一:由w=-+i,得w2=

所以w3=w2w=

方法二:由于w=-+

i,要證w3=1,只需證w3-1=0,即證(w-1)(w2+w+1)=0,即證w2+w+1=0,即證w2+w=w(w+1)=-1,因為w(w+1)==-1,所以等式得證.

【類題通法】虛數(shù)單位乘方的周期性in(n∈N*)的周期性計算復(fù)數(shù)的乘積要用到虛數(shù)單位i的乘方,in有如下性質(zhì):i1=i,i2=-1,i3=i·i2=-i,i4=i3·i=-i2=1,從而對于任何n∈N*,有i4n+1=i4n·i=(i4)n·i=i,同理可證i4n+2=-1,i4n+3=-i,i4n+4=1,這就是說,如果n∈N*,那么有i4n+1=i,i4n+2=-1,i4n+3=-i,i4n+4=1.注意:(1)上述公式中,說明in(n∈N*)具有周期性,且最小正周期是4.(2)n可推廣到整數(shù)集.(3)4k(k∈Z)是in(n∈N*)的周期.顯然in+in+1+in+2+in+3=0(n∈N*).因為in(n∈N*)具有周期性,解題時要靈活運用,或適當(dāng)變形,創(chuàng)造條件轉(zhuǎn)化為i的計算.一般地,有(1±i)2=±2i,

=i,

=-i.【定向訓(xùn)練】1.設(shè)f(n)=

(n∈N+),則集合{f(n)}中元素的個數(shù)為 (

)A.2 B.3 C.4 D.無數(shù)個【解析】選B.因為所以f(n)==in+(-i)n,f(1)=0,f(2)=-2,f(3)=0,f(4)=2,f(5)=0,f(6)=-2,f(7)=0,…集合{f(n)}={0,2,-2},共有3個元素.2.已知a為實數(shù),若復(fù)數(shù)z=(a2-1)+(a+1)i為純虛數(shù),則

的值為________.

【解析】復(fù)數(shù)z=(a2-1)+(a+1)i為純虛數(shù),可得a=1,=1-i.答案:1-i3.已知復(fù)數(shù)z=

,則復(fù)數(shù)z=________.

【解析】因為i4n+1+i4n+2+i4n+3+i4n+4=i+i2+i3+i4=0,而2022=5×404+2,所以z==i.答案:i探究點四實系數(shù)一元二次方程的求根公式【典例4】在復(fù)數(shù)范圍內(nèi)解下列一元二次方程:(1)x2+9=0;(2)x2-x+1=0.【思維導(dǎo)引】(1)利用復(fù)數(shù)的乘方運算解方程.(2)利用配方法解方程,也可以運用一元二次方程的求根公式解方程.【解析】(1)由x2+9=0得x2=-9=(±3i)2,所以x=±3i.(2)方法一:由x2-x+1=0配方得x2-x+=-,即所以解得方法二:由x2-x+1=0,得Δ=(-1)2-4=-3,由實系數(shù)一元二次方程的求根公式,得x1,2=

【類題通法】對于實系數(shù)一元二次方程ax2+bx+c=0,a,b,c∈R,設(shè)其兩個復(fù)數(shù)根分別為x1,x2,根與系數(shù)的關(guān)系仍然成立:x1+x2=-

,x1x2=

.【定向訓(xùn)練】1.解方程x2+2x+3=0.【解析】由方程x2+2x+3=0,得Δ=b2-4ac=-8,所以方程的兩根為x1,2=2.已知一元二次方程x2-ax+2a+1=0,a∈R的一個根是1+2i,求a的值以及另一個根.【解析】方法一:因為一元二次方程x2-ax+2a+1=0,a∈R的一個根是1+2i,則(1+2i)2-a(1+2i)+2a+1=0,得(a-2)+(4-2a)i=0,所以a=2.方程為x2-2x+5=0,Δ=b2-4ac=-16,所以方程的兩根為x1,2==1±2i,所以方程另一個根為1-2i.方法二:因為一元二次方程x2-ax+2a+1=0,a∈R的一個根是1+2i,則另一個根為1-2i,由根與系數(shù)的關(guān)系,得x1+x2=-,即a=2.【課堂小結(jié)】課堂素養(yǎng)達(dá)標(biāo)1.復(fù)平面內(nèi)表示復(fù)數(shù)z=i(-2+i)的點位于 (

)A.第一象限 B.第二象限C.第三象限 D.第四象限【解析】選C.因為z=i(-2+i)=-2i+i2=-1-2i,所以復(fù)平面內(nèi)表示復(fù)數(shù)z的點位于第三象限.2.在復(fù)平面內(nèi)與復(fù)數(shù)z=

所對應(yīng)的點關(guān)于虛軸對稱的點為A,則A對應(yīng)的復(fù)數(shù)為 (

)A.1+2i B.1-2iC.-2+i D.2+i【解析】選C.復(fù)數(shù)z==i(1-2i)=2+i,z對應(yīng)的點的坐標(biāo)是(2,1),該點關(guān)于虛軸對稱的點A(-2,1)對應(yīng)的復(fù)數(shù)為-2+i.3.已知復(fù)數(shù)z滿足(1+2i)z=4+3i,則

=________,z的倒數(shù)為______.

【解析】因為z==2-i,所以=2+i.z的倒數(shù)為答案:2+i

4.已知復(fù)數(shù)z滿足z=(-1+3i)·(1-i)-4.(1)求復(fù)數(shù)z的共軛復(fù)數(shù).(2)若ω=z+ai,且復(fù)數(shù)ω對應(yīng)向量的模不大于復(fù)數(shù)z所對應(yīng)向量的模,求實數(shù)a的取值范圍.【解析】(1)z=-1+i+3i+3-4=-2+4i,所以復(fù)數(shù)z的共軛復(fù)數(shù)為-2-4i.(2)ω=-2+(4+a)i,復(fù)數(shù)ω對應(yīng)向量為(-2,4+a),其模為又復(fù)數(shù)z所對應(yīng)向量為(-2,4),其模為2.由復(fù)數(shù)ω對應(yīng)向量的模不大于復(fù)數(shù)z所對應(yīng)向量的模得,20+8a+a2≤20,a2+8a≤0,a(a+8)≤0,所以,實數(shù)a的取值范圍是-8≤a≤0.Thebestclassroomintheworldisatthefeetofanelderlyperson.世界上最好的課堂在老人的腳下.Havingachildfallasleepinyourarmsisoneofthemostpeacefulfeelingintheworld.讓一個孩子在你的臂彎入睡,你會體會到世間最安寧的感覺.Beingkindismoreimportantthanbeingright.善良比真理更重要.Youshouldneversaynotoagiftfromachild.永遠(yuǎn)不要拒絕孩子送給你的禮物.Sometimesallapersonneedsisahandtoholdandahearttounderstand.有時候,一個人想要的只是一只可握的手和一顆感知的心.Love,nottime,healsallwounds.治愈一切創(chuàng)傷的并非時間,而是愛.Lifeistough,butI'mtougher.生活是艱苦的,但我應(yīng)更堅強.勵志名言請您欣賞4.已知復(fù)數(shù)z滿足z=(-