新教材高中數(shù)學(xué)第八章立體幾何初步8-6-1直線與直線垂直素養(yǎng)課件新人教A版必修第二冊(cè)

8.6空間直線、平面的垂直8.6.1直線與直線垂直【情境探究】1.觀察正方體ABCD-A1B1C1D1,棱A1D1所在的直線與棱BB1所在的直線在同一個(gè)平面內(nèi)嗎?它們是什么關(guān)系?它們是否垂直?提示:不在同一個(gè)平面內(nèi),它們是異面關(guān)系并且垂直.必備知識(shí)生成2.如何判斷空間兩直線垂直?提示:通過(guò)平移把異面直線轉(zhuǎn)化為相交直線,若兩條相交直線所成的角是90°,則兩直線垂直.【知識(shí)生成】?jī)僧惷嬷本€所成的角及空間兩條直線垂直定義已知兩條異面直線a,b,經(jīng)過(guò)空間任一點(diǎn)O分別作直線a′∥a,b′∥b,我們把直線a′與b′所成的___叫做異面直線a與b所成的角(或夾角)范圍記異面直線a與b所成的角為θ,則_____________空間兩直線垂直當(dāng)θ=_____時(shí),a與b互相垂直,記作_____角0°<θ≤90°90°a⊥b關(guān)鍵能力探究探究點(diǎn)一求異面直線所成的角【典例1】在空間四邊形ABCD中,AB=CD,AB與CD成30°角,E,F分別為BC,AD的中點(diǎn),求EF與AB所成的角.【思維導(dǎo)引】取BD的中點(diǎn)G,連接EG,FG,因?yàn)镋,F分別為BC,AD的中點(diǎn),根據(jù)三角形中位線定理可得,∠GFE就是EF與AB所成的角,AB與CD所成角為30°,所以∠EGF=30°或150°,利用等腰三角形的性質(zhì)可得結(jié)果.【解析】取BD的中點(diǎn)G,連接EG,FG,因?yàn)镋,F分別為BC,AD的中點(diǎn),所以EG∥CD且EG=CD,GF∥AB且GF=AB.所以EG與GF所成的角即為AB與CD所成的角或它的補(bǔ)角,因?yàn)锳B=CD,所以△EFG為等腰三角形.又AB與CD所成角為30°,所以∠EGF=30°或150°,因?yàn)椤螱FE就是EF與AB所成的角,所以EF與AB所成角為75°或15°.【類題通法】求兩條異面直線所成的角的一般步驟及口訣

(1)一般步驟①構(gòu)造:根據(jù)異面直線的定義,用平移法(常用三角形的中位線、平行四邊形的性質(zhì))作出異面直線所成的角.②證明:證明作出的角就是要求的角.③計(jì)算:求角度,常利用三角形.④結(jié)論:若求出的角是銳角或直角,則它就是所求異面直線所成的角;若求出的角是鈍角,則它的補(bǔ)角就是所求異面直線所成的角.(2)口訣中點(diǎn)、端點(diǎn)定頂點(diǎn),平移常用中位線;平行四邊形中見(jiàn),指出成角很關(guān)鍵;求角構(gòu)造三角形,銳角、鈍角要明辨;平行線若在外,補(bǔ)上原體在外邊.(2)口訣中點(diǎn)、端點(diǎn)定頂點(diǎn),平移常用中位線;平行四邊形中見(jiàn),指出成角很關(guān)鍵;求角構(gòu)造三角形,銳角、鈍角要明辨;平行線若在外,補(bǔ)上原體在外邊.【定向訓(xùn)練】如圖所示,AB是圓O的直徑,點(diǎn)C是弧AB的中點(diǎn),D,E分別是VB,VC的中點(diǎn),求異面直線DE與AB所成的角.【解析】因?yàn)镈,E分別是VB,VC的中點(diǎn),所以BC∥DE,因此∠ABC是異面直線DE與AB所成的角,又因?yàn)锳B是圓O的直徑,點(diǎn)C是弧AB的中點(diǎn),所以△ABC是以∠ACB為直角的等腰直角三角形,于是∠ABC=45°,故異面直線DE與AB所成的角為45°.探究點(diǎn)二空間兩直線垂直【典例2】如圖,在空間四邊形ABCD中,兩條對(duì)邊AB=CD=3,E,F分別是另外兩條對(duì)邊AD,BC上的點(diǎn),且EF=.求證:AB⊥CD.【思維導(dǎo)引】轉(zhuǎn)化為利用直線垂直判定定理求解.【證明】如圖,過(guò)E作EO∥AB,交BD于點(diǎn)O,連接OF,所以所以O(shè)F∥CD,所以∠EOF(或其補(bǔ)角)是AB和CD所成的角.在△EOF中,OE=AB=2,OF=CD=1.又EF=,所以EF2=OE2+OF2,所以∠EOF=90°.所以AB⊥CD.【類題通法】證明兩異面直線垂直的步驟

(1)作出兩異面直線所成的角.(2)求出兩異面直線所成角的余弦值或在特殊三角形中說(shuō)明垂直關(guān)系.(3)結(jié)論.【類題通法】證明兩異面直線垂直的步驟

(1)作出兩異面直線所成的角.(2)求出兩異面直線所成角的余弦值或在特殊三角形中說(shuō)明垂直關(guān)系.(3)結(jié)論.【定向訓(xùn)練】已知正方體ABCD-A1B1C1D1的棱長(zhǎng)為1,O是底面ABCD的中心,求證OD1⊥A1C1.【證明】連接AC,BD,交點(diǎn)為O,連接AD1,因?yàn)锳1C1∥AC,所以∠AOD1是異面直線OD1與A1C1所成的角(或所成角的補(bǔ)角),因?yàn)镺A=AD1=所以cos∠AOD1=所以∠AOD1=90°.所以異面直線OD1與A1C1所成的角為90°.所以O(shè)D1⊥A1C1.直線與直線垂直核心知識(shí)易錯(cuò)提醒核心素養(yǎng)方法總結(jié)直觀想象：求作異面直線所成角的問(wèn)題異面直線所成的角的求法(1)作：利用中位線、長(zhǎng)方體、平行四邊形等性質(zhì)平移至一個(gè)三角形，并說(shuō)明為異面直線所成的角或補(bǔ)角.(2)求：利用余弦定理求角（如果是特殊三角形），或利用三角形的性質(zhì)求角。求異面直線所成的角時(shí)注意的范圍直線與直線垂直異面直線所成的角求異面直線所成的角課堂素養(yǎng)達(dá)標(biāo)1.若空間兩條直線a和b沒(méi)有公共點(diǎn),則a與b的位置關(guān)系是 (

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A.共面 B.平行C.異面 D.平行或異面【解析】選D.若直線a和b共面,則由題意可知a∥b;若a和b不共面,則由題意可知a與b是異面直線.2.如圖所示,在正方體ABCD-A1B1C1D1中,E,F分別是AB,AD的中點(diǎn),則異面直線B1C與EF所成的角的大小為 (

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A.30° B.45° C.60° D.90°【解析】選C.連接B1D1,D1C,則B1D1∥EF,故∠D1B1C為所求,又B1D1=B1C=D1C,所以∠D1B1C=60°.3.如圖,在直四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,底面ABCD是正方形,AA1=AB.記異面直線AB1與BD所成的角為θ,則cosθ的值為_(kāi)_______.

【解析】連接B1D1,AD1,因?yàn)樵谥彼睦庵鵄BCD-A1B1C1D1中,底面ABCD是正方形,所以BD∥B1D1,所以∠AB1D1是異面直線AB1與BD所成的角(或所成的角的補(bǔ)角),設(shè)AA1=AB=,所以AD1=AB1==2,B1D1=,記異面直線AB1與BD所成的角為θ,則cosθ=答案:

4.在正方體ABCD-A1B1C1D1中,E,F分別是平面A1B1C1D1和AA1D1D的中心,則EF和CD所成的角是________.

【解析】連接B1D1,AD1,則E為B1D1的中點(diǎn),F為AD1的中點(diǎn),連接AB1,則EF∥AB1,又CD∥AB,所以∠B1AB為異面直線EF與CD所成的角,∠B1AB=45°.答案:45°Thebestclassroomintheworldisatthefeetofanelderlyperson.世界上最好的課堂在老人的腳下.Havingachildfallasleepinyourarmsisoneofthemostpeacefulfeelingintheworld.讓一個(gè)孩子在你的臂彎入睡,你會(huì)體會(huì)到世間最安寧的感覺(jué).Beingkindismoreimportantthanbeingright.善良比真理更重要.Youshouldneversaynotoagiftfromachild.永遠(yuǎn)不要拒絕孩子送給你的禮物.Sometimesallapersonneedsisahandtoholdandahearttounderstand.有時(shí)候,一個(gè)人想要的只是一只可握的手和一顆感知的心.Love,nottime,healsallwounds.治愈一切創(chuàng)傷的并非時(shí)間,而是愛(ài).Lifeistough,butI'mtougher.生活是艱苦的,但我應(yīng)更堅(jiān)強(qiáng).勵(lì)志名言請(qǐng)您欣賞【解析】連接B1D1,AD1,因?yàn)樵谥彼睦庵鵄BCD-A1B1C1D1中,底面ABCD是正方形,所以BD∥B1D1,所以∠AB1D1是異面直線AB1與BD所成的角(或所成的角的補(bǔ)角),設(shè)AA1=AB=,所以AD1=AB1==2,B1D1=,記異面直線AB1與BD所成的角為θ,則cosθ=答案:

2.如圖所示,在正方體ABCD-A1B1C1D1中,E,F分別是AB,AD的中點(diǎn),則異面直線B1C與EF所成的角的大小為 (

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A.30° B.45° C.60° D.90°【解析】選C.連接B1D1,D1C,則B1D1∥EF,故∠D1B1C為所求,又B1D1=B1C=D1C,所以∠D1B1C=60°.【知識(shí)生成】?jī)僧惷嬷本€所成的角及空間兩條直線垂直定義已知兩條異面直線a,b,經(jīng)過(guò)空間任一點(diǎn)O分別作直線a′∥a,b′∥b,我們把直線a′與b′所成的___叫做異面直線a與b所成的角(或夾角)范圍記異面直線a與b所成的角為θ,則_____________空間兩直線垂直當(dāng)θ=_____時(shí),a與b互相垂直,記作_____角0°<θ≤90°90°a⊥b【解析】取BD的中點(diǎn)G,連接EG,FG,因?yàn)镋,F分別為BC,AD的中點(diǎn),所以EG∥CD且EG=CD,GF∥AB且GF=AB.所以EG與GF所成的角即為AB與CD所成的角或它的補(bǔ)角,因?yàn)锳B=CD,所以△EFG為等腰三角形.又AB與CD所成角為30°,所以∠EGF=30°或150°,因?yàn)椤螱FE就是EF與AB所成的角,所以EF與AB所成角為75°或15°.【定