初中數(shù)學動態(tài)題

一、選擇題

1.如圖，正方形ABC。的邊長是4,ND4C的平分線交DC于點E,若點尸、Q分別是AD

和AE上的動點，則。Q+尸Q的最小值（）

A.2B.4C.272D.4&

考點：軸對稱-最短路線問題；正方形的性質(zhì)

專題：探究型

點評：本題考查的是軸對稱-最短路線問題，根據(jù)題意作出輔助線是解答此題的關鍵.

2.如圖，在平面直角坐標系中，四邊形OABC是菱形，

點C的坐標為（4,0）,ZA0C=60°,垂直于x軸的

直線，從y軸出發(fā)，沿x軸正方向以每秒1個單位長

度的速度向右平移，設直線/與菱形0ABC的兩邊分

別交于點M,N（點M在點N的上方），若AOMN

的面積為S,直線/的運動時間為t秒（0WtW4），則

能大致反映S與t的函數(shù)關系的圖象是

度角的直角三角形;勾股定理;菱形的性質(zhì).

點評：本題主要考查對動點問題的函數(shù)圖象，勾股定理，三角形的面積，二次函數(shù)的圖象,

正比例函數(shù)的圖象，含30度角的直角三角形的性質(zhì)，菱形的性質(zhì)等知識點的理解和掌握，

能根據(jù)這些性質(zhì)進行計算是解此題的關鍵，用的數(shù)學思想是分類討論思想.

3.（2011北京，8,4分）如圖在中，ZACB=90°,NBAC=30°,AB=2,。是

AB邊上的一個動點（不與點八、8重合），過點。作C。的垂線交射線CA于點E設

AD=x,CE=y,則下列圖象中，能表示y與x的函數(shù)關系圖象大致是（）

考點：動點問題的函數(shù)圖象。

專題：數(shù)形結(jié)合。

4.如圖，邊長都是1的正方形和正三角形，其一邊在同一水平線上，三角形沿該水平線

自左向右勻速穿過正方形.設穿過的時間為t,正方形與三角形重合部分的面積為S（空白

部分），那么S關于t的函數(shù)大致圖象應為（）

【答案】D

【考點】動點問題的函數(shù)圖象.

【點評】此題主要考查了函數(shù)圖象中動點問題，根據(jù)移動路線以及圖形邊長即可得出空白面

積的函數(shù)關系式情況是解決問題的關鍵.

k

5.如圖，已知4、B是反比例函數(shù)）=生錯誤!未找到引用源。（k>0,x>0）圖象上的兩

x

點，BC〃x軸，交y軸于點C.動點P從坐標原點0出發(fā)，沿O-ATBTC（圖中“―”

所示路線）勻速運動，終點為C.過戶作尸軸，軸，垂足分別為M、N.設

四邊形OMPN的面積為S,P點運動時間為t則S關于f的函數(shù)圖象大致為（）

考點：反比例函數(shù)綜合題；動點問題的函數(shù)圖象.

專題：綜合題.

點評：本題考查了反比例函數(shù)的綜合題和動點問題的函數(shù)圖象，解題的關鍵是根據(jù)點的

移動確定函數(shù)的解析式，從而確定其圖象.

6.如圖，在平面直角坐標系中，長、寬分別為2和1的矩形ABCD的邊上有一動點P,沿

ATB—C—DTA運動一周，則點P的縱坐標y與P所走過的路程S之間的函數(shù)關系用圖

象表示大致是（）

考點：動點問題的函數(shù)圖象。

點評：此題主要考查了動點問題的函數(shù)圖象問題，解決問題的關鍵是分解函數(shù)得出不同位置

時的函數(shù)關系，進而得出圖象.

7.（2011年山東省威海市，12,3分）如圖，在正方形ABCD中，AB=3cm,動點M自A點出發(fā)

沿AB方向以每秒1cm的速度運動，同時動點N自A點出發(fā)沿折線AD-DC-CB以每秒3cm的速度運動,

到達B點時運動同時停止.設AAMN的面積為y（cm2）.運動時間為x（秒），則下列圖象中能大致反

考點：動點問題的函數(shù)圖象.

專題：動點型.

點評：考查動點問題的函數(shù)圖象問題；根據(jù)自變量不同的取值范圍得到相應的函數(shù)關系式是解決本題的關

鍵.

8.如圖.在4ABC中,NB=90°,^A=30°,AC=4cm,^AABC繞頂點C順時針方向旋轉(zhuǎn)至

AA'B'C的位置，且4C、8'三點在同一條直線上，則點A所經(jīng)過的最短路線的長為（）

[68

A.4v3cwB.8cmC.—兀cmD.—ncm

33

【考點】旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)；弧長的計算.

【點評】此題考查了性質(zhì)的性質(zhì)和弧長的計算，搞清楚點A的運動軌跡是關鍵.難度中等.

9.如圖，直線y=+G與x軸、y軸分別相交于A,B兩點，圓心P的坐標為（1,

0）,圓P與y軸相切于點O.若將圓P沿x軸向左移動，當圓P與該直線相交時，橫坐

標為整數(shù)的點P的個數(shù)是（）

考點：直線與圓的位置關系；一次函數(shù)綜合題.

分析：根據(jù)直線與坐標軸的交點，得出A,B的坐標，再利用三角形相似得出圓與直線相切

時的坐標，進而得出相交時的坐標.

點評：此題主要考查了直線與坐標軸的求法，以及相似三角形的判定，題目綜合性較強，注

意特殊點的求法是解決問題的關鍵.

10.如圖，正方形ABC。的邊長為4,尸為正方形邊上一動點，運動路線

是AfOfC-B-A設尸點經(jīng)過的路程為X,以點4、P、。為頂點的三

角形的面積是y.則下列圖象能大致反映y與x的函數(shù)關系的是（）

考點：動點問題的函數(shù)圖象.

點評：本題考查了動點問題的函數(shù)圖象，解決動點問題的函數(shù)圖象問題關鍵是發(fā)現(xiàn)y隨x

的變化而變化的趨勢.

11.將拋物線y=-x2向左平移2個單位后，得到的拋物線的解析式是（）

A.y=-（x+2）2B.y=-x2+2C.y=-（x-2）2D.y=-x2-2

考點：二次函數(shù)圖象與幾何變換。

專題：動點型。

點評：考查二次函數(shù)的幾何變換；用到的知識點為：二次函數(shù)的平移不改變二次項的系

數(shù)；左右平移只改變頂點的橫坐標，左加右減.

二、填空題

1.如圖,/XABC為等邊三角形,AB=6,動點。在aABC的邊上從點人出發(fā)沿著A-CTB-A

的路線勻速運動一周，速度為1個長度單位每秒，以。為圓心、力為半徑的圓在運動過程

中與△ABC的邊第二次相切時是出發(fā)后第秒.

考點：直線與圓的位置關系；等邊三角形的性質(zhì)。

專題：動點型。

點評：此題考查了直線和圓相切時數(shù)量之間的關系，能夠正確分析出以0為圓心、G錯誤!

未找到引用源。為半徑的圓在運動過程中與4ABC的邊第二次相切時的位置.

2.拋物線y=x2的圖象向上平移1個單位，則平移后的拋物線的解析式為v=x?+1.

考點：二次函數(shù)圖象與幾何變換。

專題：動點型。

點評：考查二次函數(shù)的平移問題；用到的知識點為：上下平移只改變頂點的縱坐標，上加下

減.

3.把拋物線y=（x-2）2-3向下平移2個單位，得到的拋物線與y軸交點坐標為（0,

-1）.

考點：二次函數(shù)圖象與幾何變換。

專題：動點型。

點評：考查二次函數(shù)的平移問題；得到平移前后的頂點是解決本題的關鍵；用到的知識

點為：二次函數(shù)的平移，看頂點的平移即可：二次函數(shù)的平移不改變二次項的系數(shù).

4.如圖，在梯形A8CD中，AD//BC,AD=6,BC=16,E是BC的中點.點尸以每秒1

個單位長度的速度從點A出發(fā)，沿A。向點。運動；點Q同時以每秒2個單位長度的速度

從點C出發(fā)，沿CB向點B運動.點尸停止運動時?,點Q也隨之停止運動.當運動時間秒

時，以點尸，Q,E,。為頂點的四邊形是平行四邊形.

考點：梯形；平行四邊形的性質(zhì)。

專題：動點型。

點評：此題考查的知識點是梯形及平行四邊形的性質(zhì)，關鍵是由已知明確有兩種情況，不能

漏解.

13.如圖，在四邊形ABCD中，ZA=90°,AD=4,連接8。，BD1CD,ZADB=ZC.若

P是BC邊上一動點，則。尸長的最小值為4.

考點：角平分線的性質(zhì)；垂線段最短

點評：本題主要考查了直線外一點到直線的距離垂線段最短、全等三角形的判定和性質(zhì)、角

平分的性質(zhì)，解題的關鍵在于確定好。尸處置于BC.

5.已知一個半圓形工件，未搬動前如圖所示，直徑平行于地面放置，搬動時為了保護圓弧

部分不受損傷，先將半圓作如圖所示的無滑動翻轉(zhuǎn)，使它的直徑緊貼地面，再將它沿地面平

移50m,半圓的直徑為4m,則圓心。所經(jīng)過的路線長是m.（結(jié)果用n表示）

考點：弧長的計算。

分析：根據(jù)弧長的公式先求出半圓形的弧長，即半圓作無滑動翻轉(zhuǎn)所經(jīng)過的路線長，把

它與沿地面平移所經(jīng)過的路線長相加即為所求.

點評：本題主要考查了弧長公式/=〃"n80,同時考查了平移的知識.解題關鍵是得出

半圓形的弧長=半圓作無滑動翻轉(zhuǎn)所經(jīng)過的路線長.

6.如圖所示，在邊長為2的正三角形ABC中，E、F、G分別為AB、AC、BC的中點，點

P為線段EF上一個動點，連接BP、GP,則4BPG的周長的最小值是3.

考點：軸對稱-最短路線問題；等邊三角形的性質(zhì)；平行線分線段成比例。

專題：計算題。

點評：本題主要考查對等邊三角形的性質(zhì)，軸對稱-最短路線問題，平行線分線段成比例定

理等知識點的理解和掌握，能求出BP+PG的最小值是解此題的關鍵.

7.如圖，動點P在平面直角坐標系中按圖中箭頭所示方向運動，第1次從原點運動到點（1,

1）,第2次接著運動到點（2,0）,第3次接著運動到點（3,2）,按這樣的運動規(guī)律,

經(jīng)過第2011次運動后，動點P的坐標是（2011,2）.

考點：點的坐標。

專題：規(guī)律型。

點評：此題主要考查了點的坐標規(guī)律，培養(yǎng)學生觀察和歸納能力，從所給的數(shù)據(jù)和圖形中尋

求規(guī)律進行解題是解答本題的關鍵.

8.如圖，等腰直角三角形ABC的直角邊AB的長為6cm,將4ABC繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)15°

后得到△AB'C',則圖中陰影部分面積等于Bc

考點:旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)；解直角三角形.

專題:計算題.

點評:此題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)和解直角三角形的相關計算，找到圖中的特殊角/BAD

是解題的關鍵.

9.菱形OCAB在平面直角坐標系中的位置如圖所示，點。的坐標是（0,0）,點A在y軸

的正半軸上，點P是菱形對角線的交點，點C坐標是（J5,3）若把菱形。CA8繞點

A逆時針旋轉(zhuǎn)90°,則點P的對應點尸'的坐標是.

考點：坐標與圖形變化-旋轉(zhuǎn)；菱形的性質(zhì)

專題：計算題

點評：本題主要考考查對菱形的性質(zhì)，坐標與圖形變化-旋轉(zhuǎn)等知識點的理解和掌握,

能根據(jù)題意確定P的位置是解此題的關鍵.

10.如圖1所示，在矩形ABCD中，動點P從點B出發(fā)，沿BC、CD、DA運動至點A停

止，設點P運動的路程為x,AABP的面積為y,如果y關于x的函數(shù)圖象如圖2所示，那

么4ABC的面積是10.

圖1圖2

考點：動點問題的函數(shù)圖象。

點評：本題主要考查了動點問題的函數(shù)圖象，在解題時要能根據(jù)函數(shù)的圖象求出線段的長度

從而得出三角形的面積是本題的關鍵.

三、解答題

1.如圖，在中，ZC=90°,AC=8,BC=6,點尸在AB上，A尸=2.點E,尸同時

從點尸出發(fā)，分別沿玄、尸B以每秒1個單位長度的速度向點A、B勻速運動，點E到

達點A后立即以原速度沿AB向點B運動，點尸運動到點B時停止，點E也隨之停止.

在點E、尸運動過程中，以EF為邊作正方形EFGH,使它與aABC在線段AB的同側(cè),

設E、尸運動的時間為f秒(f>0),正方形EFGH與△ABC重疊部分面積為S.

(1)當f=1時，正方形EFGH的邊長是；當f=3時，正方形EFGH的邊長

是；

(2)當OVfW2H寸，求S與f的函數(shù)關系式；

(3)直接答出：在整個運動過程中，當t為何值時，S最大？最大面積是多少？

考點：相似三角形的判定與性質(zhì)；二次函數(shù)的最值；勾股定理；正方形的性質(zhì)。

專題：計算題；幾何動點問題；分類討論。

點評：本題考查了動點函數(shù)問題，其中應用到了相似形、正方形及勾股定理的性質(zhì)，鍛煉了

學生運用綜合知識解答題目的能力.

2.在平面直角坐標系xOy中，邊長為a（a為大于。的常數(shù)）的正方形ABCD的對角線AC、

BD相交于點P,頂點A在x軸正半軸上運動，頂點B在y軸正半軸上運動（x軸的正半軸、

y軸的正半軸都不包含原點0）,頂點C、D都在第一象限.

（1）當NBAO=45。時，求點P的坐標；

（2）求證：無論點A在x軸正半軸上、點B在y軸正半軸上怎樣運動，點P都在NAOB

的平分線上；

（3）設點P到x軸的距離為h,試確定h的取值范圍，并說明理由.

考點：正方形的性質(zhì)；坐標與圖形性質(zhì)；全等三角形的判定與性質(zhì)；解直角三角形。

專題：幾何動點問題；幾何綜合題。

點評：本題考查里正方形的性質(zhì)，四邊相等，四角相等，對角線互相垂直平分，且平分每一

組對角，以及坐標與圖形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，解直角三角形等知識點.

3.如圖①，在AABC中，AB=AC,BC=acm,ZB=30°.動點P以1cm/s的速度從點B出

發(fā),沿折線B-A-C運動到點C時停止運動.設點P出發(fā)xsB-J-,APBC的面積為ycm?.已

知ly與x的函數(shù)圖象如圖②所示.請根據(jù)圖中信息，解答下列問題：

(1)試判斷ADOE的形狀，并說明理由；

(2)當a為何值時，與AABC相似？

考點：相似三角形的性質(zhì)；等腰三角形的判定與性質(zhì)；解直角三角形。

點評：此題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)，等腰三角形的判定與性質(zhì)以及線段垂直平分線

的性質(zhì)等知識.此題綜合性較強，解題的關鍵是方程思想與數(shù)形結(jié)合思想的應用.

4.如圖，等腰梯形MNPQ的上底長為2,腰長為3,一個底角為60。.正方形ABCD的邊

長為1,它的一邊AD在MN上，且頂點A與M重合.現(xiàn)將正方形ABCD在梯形的外面沿

邊MN、NP、PQ進行翻滾，翻滾到有一個頂點與Q重合即停止?jié)L動.

(1)請在所給的圖中，用尺規(guī)畫出點A在正方形整個翻滾過程中所經(jīng)過的路線圖；

(2)求正方形在整個翻滾過程中點A所經(jīng)過的路線與梯形MNPQ的三邊MN、NP、PQ

所圍成圖形的面積S.

考點：扇形面積的計算；等腰梯形的性質(zhì)；弧長的計算；解直角三角形。

專題：作圖題；幾何綜合題。

點評：本題考查了扇形的面積的計算、等腰梯形的性質(zhì)、弧長的計算，是一道不錯的綜合題,

解題的關鍵是正確的得到點A的翻轉(zhuǎn)角度和半徑.

5.如圖，已知。(0,0)、A(4,0)、B(4,3).動點P從。點出發(fā)，以每秒3個單位的

速度，沿AOAB的邊0A、AB、B0作勻速運動；動直線I從AB位置出發(fā)，以每秒1個單

位的速度向x軸負方向作勻速平移運動.若它們同時出發(fā)，運動的時間為t秒，當點P運動

到。時，它們都停止運動.

(1)當P在線段OA上運動時，求直線I與以P為圓心、1為半徑的圓相交時t的取值范

圍；

(2)當P在線段AB上運動時，設直線I分別與OA、OB交于C、D,試問：四邊形CPBD

是否可能為菱形？若能，求出此時t的值；若不能，請說明理由，并說明如何改變直線I的

出發(fā)時間，使得四邊形CPBD會是菱形.

考點：直線與圓的位置關系；解一元一次方程；坐標與圖形性質(zhì)；勾股定理；菱形的性質(zhì)。

專題：計算題；代數(shù)幾何綜合題；動點型。

點評：本題考查了直線與圓的關系，勾股定理的運用，菱形的性質(zhì).關鍵是根據(jù)菱形的性質(zhì),

對邊平行，鄰邊相等，得出相似比及邊相等的等式，運用代數(shù)方法，列方程求解.

3

6.在平面直角坐標系xoy中，一次函數(shù)錯誤!未找到引用源。y='x+3的圖象是直線/1,

4

%與x軸.y軸分別相交于AB兩點.直線勿過點C(a,0)且與直線/1垂直，其中a>0.點

P.Q同時從A點出發(fā)，其中點尸沿射線運動，速度為每秒4個單位；點Q沿射線A。

運動，速度為每秒5個單位.

(1)寫出A點的坐標和AB的長；

(2)當點尸.Q運動了多少秒時，以點Q為圓心，尸Q為半徑的。Q與直線匕y軸都相

切，求此時a的值.

yM

ii

考點：一次函數(shù)綜合題；切線的性質(zhì)；相似三角形的判定與性質(zhì).

專題：幾何動點問題；分類討論.

點評：此題主要考查了切線的性質(zhì)以及相似三角形的判定與性質(zhì)，利用數(shù)形結(jié)合進行分析注

意分類討論才能得出正確答案.

7.如圖，在平面直角坐標系中，四邊形OABC是平行四邊形，直線/經(jīng)過0、C兩點，點

A的坐標為(8,0),點B的坐標為(11,4),動點尸在線段OA上從點O出發(fā)以

每秒1個單位的速度向點A運動，同時動點Q從點A出發(fā)以每秒2個單位的速度沿A

BC的方向向點C運動，過點尸作尸M垂直于x軸，與折線O—C—B相交于點M,

當尸、Q兩點中有一點到達終點時，另一點也隨之停止運動，設點尸、Q運動的時間為

t秒(f>0),△M/3Q的面積為S.

(1)點C的坐標為，直線/的解析式為；

(2)試求點Q與點M相遇前S與t的函數(shù)關系式，并寫出相應的t的取值范圍.

(3)試求題(2)中當t為何值時，S的值最大，并求出S的最大值.

(4)隨著尸、Q兩點的運動，當點M在線段BC上運動時，設尸M的延長線與直線/

相交于點M試探究：當t為何值時，△QMN為等腰三角形？請直接寫出t的值.

考點：二次函數(shù)，一次函數(shù)，三角形面積，最值，分類討論

專題：壓軸題

點評：根據(jù)題意合理分類，是學生解題中遇到的難點，也是易錯點.用分類討論的思想

來研究動態(tài)型題是解此類問題常用的方法.

8.(2011四川廣安，30,12分)如圖所示，在平面直角坐標系中，四邊形ABC。是直角

梯形，BC//AD,ZBAD=90°,BC與y軸相交于點M,且M是8c的中點，4B、

。三點的坐標分別是A(-1,0),8(-1,2),D(3,0),連接。M,并把線段。M沿

DA方向平移到OM若拋物線/=2/2+6+(:經(jīng)過點。、M、N.

(1)求拋物線的解析式.

(2)拋物線上是否存在點尸.使得E4=QC.若存在，求出點尸的坐標；若不存在.請

說明理由.

(3)設拋物線與x軸的另一個交點為E.點Q是拋物線的對稱軸上的一個動點，當點

Q在什么位置時有最大？并求出最大值.

點評：(1)待定系數(shù)法是確定函數(shù)解析式的常用方法，運用時要確定好圖象上關鍵點

的坐標，本題中點N的坐標可以根據(jù)平面直角坐標系中點的坐標的平移規(guī)律來得到.

(2)求函數(shù)的交點坐標，通常是通過解由兩個函數(shù)的解析式聯(lián)立所得的方程組來求解.

本題綜合性強，解答時需具備較強的數(shù)學基本功，若知識掌握欠缺，則不容易得分.

9,如圖，在等腰梯形ABCD中，AD=4,BC=9,ZB=45°.動點P從點B出發(fā)沿BC向

點C運動，動點Q同時以相同速度從點C出發(fā)沿CD向點。運動，其中一個動點到達

端點時，另一個動點也隨之停止運動.

(1)求人8的長;

(2)設BQ=x,問當x為何值時△尸CQ的面積最大，并求出最大值；

(3)探究：在A8邊上是否存在點使得四邊形PCQM為菱形？請說明理由.

考點：等腰梯形的性質(zhì)；二次函數(shù)的最值；菱形的性質(zhì)；解直角三角形.

點評：本題主要考查等腰梯形的性質(zhì)、解直角三角形、二次函數(shù)的最值、內(nèi)角和定理、菱

形的性質(zhì)，關鍵在于根據(jù)圖形畫出相應的輔助線，熟練掌握相關的性質(zhì)定理即可.

10.已知直線I經(jīng)過A(6,0)和B(0,12)兩點，且與直線y=x交于點C.

(1)求直線I的解析式；

(2)若點P(X,0)在線段OA上運動，過點P作I的平行線交直線y=x于D,求4PCD

的面積S與x的函數(shù)關系式；S有最大值嗎？若有，求出當S最大時x的值；

(3)若點P(x,0)在x軸上運動，是否存在點P,使得4PCA成為等腰三角形？若存在,

請寫出點P的坐標；若不存在，請說明理由.

考點：一次函數(shù)綜合題。

點評:此題主要考查了一次函數(shù)的綜合應用以及三角形的相似的性質(zhì)與判定和二次函數(shù)的最

值、勾股定理等知識，題目綜合性較強，相似經(jīng)常與函數(shù)綜合出現(xiàn)，利用數(shù)形結(jié)合得出是解

決問題的關鍵.

11.如圖，拋物線y=錯誤!未找到引用源。x?+bx-2與x軸交于A,B兩點，與y軸交于C

點，且A(-1,0).

(1)求拋物線的解析式及頂點D的坐標；

(2)判斷4ABC的形狀，證明你的結(jié)論；

(3)點M(m,0)是x軸上的一個動點，當MC+MD的值最小時，求m的值.

考點：二次函數(shù)綜合題。

點評：本題著重考查了待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式、直角三角形的性質(zhì)及判定、軸對稱性

質(zhì)以及相似三角形的性質(zhì)，關鍵在于求出函數(shù)表達式，做好輔助點，找對相似三角形.

12.如圖，RtAABC中，ZA=30°,BC=10cm,點Q在線段BC上從B向C運動，點P

在線段BA上從B向A運動.Q、P兩點同時出發(fā)，運動的