高中數(shù)學(xué)人教A版必修二 章末綜合測評及答案

高中數(shù)學(xué)人教A版必修二

章末綜合測評（一）空間幾何體

（時間120分鐘，滿分150分）

一'選擇題（本大題共12小題，每小題5分，共60分.在每小題

給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的）

1.（2016?蘭州高一檢測）下列說法中正確的是（）

A.棱柱的側(cè)面可以是三角形

B.正方體和長方體都是特殊的四棱柱

C.所有的幾何體的表面都能展成平面圖形

D.棱柱的各條棱都相等

【解析】A不正確，棱柱的側(cè)面都是四邊形；C不正確，如球

的表面就不能展成平面圖形；D不正確，棱柱的各條側(cè)棱都相等，但

側(cè)棱與底面的棱不一定相等；B正確.

【答案】B

2.下列幾何體中，正視圖、側(cè)視圖、俯視圖都相同的幾何體的序

號是（）

【導(dǎo)學(xué)號:09960037]

①②③④

圖1

A.①②B.②③

C.③④D.①④

【解析】正方體的三視圖都相同，都是正方形，球的三視圖都

相同，都為圓面.

【答案】D

3.（2016?成都高二檢測）如圖2,A'B'CD'為各邊與坐標(biāo)軸平

行的正方形A3CQ的直觀圖，若A'B'=3,則原正方形ABCQ的面

積是（）

【解析】由題意知，ABCQ是邊長為3的正方形，其面積S=9.

【答案】A

4.（2016?泰安高二檢測）圓臺的一個底面圓周長是另一個底面圓周

長的3倍，母線長為3,圓臺的側(cè)面積為84兀，則圓臺較小底面圓的半

徑為（）

A.7B.6

C.5D.3

【解析】設(shè)圓臺較小底面圓的半徑為r,由題意，另一底面圓的

半徑R=3r.

所以S倒=兀（/-+尺）/=4口*3=84兀，解得r=7.

【答案】A

5.如圖3所示的正方體中，M.N分別是441、CG的中點，作四

邊形D\MBN,則四邊形OiMEV在正方體各個面上的正投影圖形中,

不可能出現(xiàn)的是（）

【解析】四邊形OiMBN在上下底面的正投影為A;在前后面上

的正投影為B;在左右面上的正投影為C;故選D.

【答案】D

6.已知底面邊長為1,側(cè)棱長為啦的正四棱柱（底面是正方形的直

棱柱）的各頂點均在同一個球面上，則該球的體積為（）

【導(dǎo)學(xué)號：09960038）

32兀

A.B.47r

3

4兀

C.2兀D.T

【解析】正四棱柱的外接球的球心為上下底面的中心連線的中

點，所以球的半徑r=個（乎）+惇］2=1,

47r47r

球的體積.故選D.

【答案】D

7.如圖4所示的幾何體是由一個圓柱挖去一個以圓柱上底面為底

面，下底面圓心為頂點的圓錐而得到的幾何體，現(xiàn)用一個豎直的平面

去截這個幾何體，則截面圖形可能是（）

圖4

A.①②

C.①④D.①⑤

【解析】當(dāng)該平面過圓柱上、下底中心時截面圖形為①，當(dāng)不

過上、下底面的中心時，截面圖形為⑤，故D正確.

【答案】D

8.（2016.鄭州高一檢測）一個多面體的三視圖如圖5所示，則該多

面體的表面積為（)

圖5

A.21+小B.18+小

C.21D.18

【解析】由幾何體的三視圖可知，該幾何體的直觀圖如圖所示.

因此該幾何體的表面積為6義（4一號+2義坐義（也產(chǎn)21+小.

【答案】A

9.若一圓錐與一球的體積相等，且此圓錐底面半徑與此球的直徑

相等，則此圓錐側(cè)面積與此球的表面積之比為（）

【導(dǎo)學(xué)號：09960039]

A.戲:2B.?。?

C.?。?D.3：2

【解析】設(shè)圓錐底面半徑為r,高為/z,

則V球=,兀修＞=上兀尸,V椎=；兀片兒

11r

由于體積相等，.?.1兀/3=鏟戶力，'.h=2,

.,.Sa=4T^^1=Ttr2,S鋒=專7i戶,S銀：5球=?。?.

【答案】B

10.已知三棱錐S-A8C,D、E分別是底面的邊AB、AC的中點，

則四棱錐S-BCED與三棱錐S-ABC的體積之比為（）

A.1：2B.2：3

C.3：4D.1：4

【解析】由于。、E分別為邊AB、AC的中點,

..,SAADE1

所以六=不

S樣呢BCED3

所以，

S&ABC不

又因為四棱錐S-BCED與三棱錐S-ABC的高相同.

所以它們的體積之比也即底面積之比，為3：4.

【答案】C

11.（2016?深圳高一檢測）如圖6是某幾何體的三視圖，則該幾何

體的體積是（）

圖6

A.26B.27

-57

C.~YD.28

【解析】由三視圖知，該幾何體由棱長為3的正方體和底面積

9.IQ57

為5，高為1的三棱錐組成，所以其體積丫=33+]*5*1.

【答案】C

12.已知三棱錐S-A6C的所有頂點都在球O的球面上，△ABC是

邊長為1的正三角形，SC為球。的直徑，且SC=2,則此棱錐的體積

為（）

A.平

申6B6

C坐D米

【解析】由于三棱錐S-A8C與三棱錐0-A8C底面都是△ABC,

。是SC的中點，因此三棱錐S-ABC的高是三棱錐O-ABC高的2倍，

所以三棱錐S-ABC的體積也是三棱錐O-ABC體積的2倍.

在三棱錐O-A3c中，其棱長都是1,如圖所示,

【答案】A

二、填空題(本大題共4小題，每小題5分，共20分，將答案填在

題中的橫線上)

13.一個圓臺上、下底面的半徑分別為3cm和8cm,若兩底面圓

心的連線長為12cm,則這個圓臺的母線長為cm.

【解析】如圖，過點A作ACLOB,交08于點C.

在RtzXABC中，AC=12cm,3c=8—3=5cm.

.".AB=^/122+52=13(cm).

【答案】13

14.設(shè)甲、乙兩個圓柱的底面積分別為$,52,體積分別為％,

L.若它們的側(cè)面積相等，且3=*則乎的值是________.

024V2

【導(dǎo)學(xué)號：09960040】

【解析】設(shè)兩個圓柱的底面半徑和高分別為八，-2和。1,hi,

,5i9^7tn9.n3

由瓦，，得病=不則行二

由圓柱的側(cè)面積相等，得2口的1=2幾廠2力2,

即八也=「2版所以訪=就=方一亍

3

-

2

15.（2016?太原高一檢測）若各頂點都在一個球面上的長方體的身

為4,底面邊長都為2,則這個球的表面積是.

［解析］長方體的體對角線長為，22+22+42=2#,

球的直徑是2R=2冊，

所以R=,，

所以這個球的表面積5=4兀（#）2=24兀

【答案】24兀

16.（2016?馬鞍山高一檢測）在棱長為a的正方體ABCD-A\BxCxDx

中，所是棱A3上的一條線段，且E/=b（*a）.若。是CO上的動點,

則三棱錐QQEF的體積為.

DiCi

AEFB

圖7

［解析】VQ-DiEF=VDX-QEF=^S^QEFDDX

=gx；bXaXa=

【答案】

三、解答題（本大題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說明，證

明過程或演算步驟）

17.（本小題滿分10分）如圖8所示，四邊形A8CD是一個梯形，

CD//AB,CD=BO=\,△40。為等腰直角三角形，。為A3的中點,

試求梯形ABCD水平放置的直觀圖的面積.

【導(dǎo)學(xué)號：09960041]

y

A0Bx

圖8

【解】在梯形ABCD中，AB=2,高0。=1,由于梯形ABCD

水平放置的直觀圖仍為梯形，且上底CQ和下底A3的長度都不變，如

圖所示，在直觀圖中，

、歷

O'D'=]1QD,梯形的高力E'=乎，于是梯形A'B'CD'

的面積為：X（l+2）義申=￥.

Z4o

18.（本小題滿分12分）一個半徑為1的球體經(jīng)過切割后，剩余部

分幾何體的三視圖如圖9所示，求剩余幾何體的體積和表面積.

正視圖側(cè)視圖

俯視圖

圖9

【解】如圖，該幾何體是把球的上半部分平均分為4份后，切

.442

去相對的兩部分后剩余的幾何體，體積丫=鏟一針Xg=7T,

2?97r

表面積S=4TT—4TTX-o4-7471X3X2=VZ.

19.（本小題滿分12分X2016?河源市高一檢測）已知一個圓柱的側(cè)

面展開圖是邊長為6兀和8兀的矩形，求該圓柱的表面積.

【解】如圖所示，以A3邊為底面周長的圓柱時，底面圓半徑八

6兀

=五=3,高h(yuǎn)\=8n,所以S表=2兀1+2"1歷=2加32+2兀?3-8兀=18兀+

487r2.

4,——~~）。

61r

1

IT---------c

87r

以。邊為底面周長的圓柱時，底面圓半徑丁=高幾,

Ar2=Z7T4,/?2=6

所以S表=2兀6+2兀r2力2

=2n:-424-27r-4-67r

=32兀+487r2.

綜上，所求圓柱的表面積是48兀2+32?；?8兀2+18兀

20.（本小題滿分12分）（2016?臨沂高一檢測）如圖10所示，正方體

ABCD-A'B'CD'的棱長為a,連接A'C,ND,A'B,BD,

BC',CD,得到一個三棱錐.求：

圖10

⑴三棱錐A'BC'。的表面積與正方體表面積的比值；

⑵三棱錐A'-8C'。的體積.

【解】（1）：ABCQ-A'B'CD'是正方體，.?.六個面都是正方

形，

二.A'C=A'B=A'D=BC=BD=CD=y/2a,

s三枝雄=4X^-X（啦4=2小a,S正方體=6次，

.S三棱椎、/5

S正方休3,

（2）顯然，三棱錐A'-ABD.C-BCD、D-A'D'C,B-A'B'C'

是完全一樣的，

V三棱維A'-8（?D=V正方體—4V三棱椎A(chǔ)，-ABD

=/—4X；X,層Xa=gq3.

21.（本小題滿分12分）（2016?中山高二檢測）如圖11所示，在邊長

為4的正三角形A3C中,E,尸依次是ABAC的中點,

FGLBC,D,H,G為垂足，若將△A8C繞4。旋轉(zhuǎn)一周，求陰影部

分形成的幾何體的體積.

【導(dǎo)學(xué)號：09960042]

.4

BHDGC

圖11

【解】所形成幾何體是一個圓錐挖去一個圓柱，

由已知可得圓柱的底面半徑為1,高為小,圓錐底面半徑為2,高

為25

所以Vffl^=1-7r-22-2-\/3=^^7r,

V圉柱=氏12.小=小瓦,

所以所求幾何體的體積為

8s

V=V圓錐-V圓柱=3兀-、/r3兀

5s

一3兀

22.（本小題滿分12分）養(yǎng)路處建造圓錐形倉庫用于貯藏食鹽（供融

化高速公路上的積雪之用），已建的倉庫的底面直徑為12m,高4m.養(yǎng)

路處擬建一個更大的圓錐形倉庫，以存放更多食鹽.現(xiàn)有兩種方案：

一是新建的倉庫的底面直徑比原來大4m（高不變）；二是高度增加4

m（底面直徑不變）.

（1）分別計算按這兩種方案所建的倉庫的體積；

（2）分別計算按這兩種方案所建的倉庫的表面積；

（3）哪個方案更經(jīng)濟些？

【解】（1）如果按方案一，倉庫的底面直徑變成16m,

則倉庫的體積：

V]=1?義兀X（與）X4=.

如果按方案二，倉庫的高變成8m,

則倉庫的體積：

1fl2Y288,

V2=gX兀X[司-X8=^-7T（m3）.

（2）如果按方案一，倉庫的底面直徑變成16m,半徑為8m.圓錐

的母線長為Z=^/82+42=4A/5,則倉庫的表面積51=71X8X44=32小

7T（m2）.

如果按方案二，倉庫的高變成8m.圓錐的母線長為/=對轉(zhuǎn)=

10,則倉庫的表面積S2=7rX6><10=607T(m2).

(3)S2<Si,

方案二比方案一更經(jīng)濟.

章末綜合測評（二）點、直線、平面之間的

位置關(guān)系

（時間120分鐘，滿分150分）

一'選擇題（本大題共12小題，每小題5分，共60分.在每小題

給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的）

1.若a,。是異面直線，直線c〃a,則c與8的位置關(guān)系是（）

A.相交B.異面

C.平行D.異面或相交

【解析】根據(jù)空間兩條直線的位置關(guān)系和公理4可知c與人異

面或相交，但不可能平行.

【答案】D

2.下列說法不正確的是（）

A.空間中，一組對邊平行且相等的四邊形一定是平行四邊形

B.同一平面的兩條垂線一定共面

C.過直線上一點可以作無數(shù)條直線與這條直線垂直，且這些直線

都在同一個平面內(nèi)

D.過一條直線有且只有一個平面與已知平面垂直

【解析】A、B、C顯然正確.易知過一條直線有無數(shù)個平面與

已知平面垂直.選D.

【答案】D

3.（2015?太原高二檢測油，12,/3是空間三條不同的直線，則下列

命題正確的是（）

A.ZI_L/2,l21h=l\〃h

B.I山2,

C./]〃/2〃/3=/l，b,b共面

D.h,I2,，3共點=/1，I2,b共面

【解析】對于A,通過常見的圖形正方體判斷，從同一個頂點

出發(fā)的三條棱兩兩垂直，故A錯；對于B,因為所以/1,/2所

成的角是90°,又因為/2〃瓦所以/1,/3所成的角是90。，所以

故B對；對于C,例如三棱柱中的三側(cè)棱平行，但不共面，故C錯；

對于D,例如三棱錐的三側(cè)棱共點，但不共面，故D錯.故選B.

【答案】B

4.設(shè)a、為兩條直線，a、￡為兩個平面，則正確的命題是（）

【導(dǎo)學(xué)號：09960089]

A.若a、。與a所成的角相等，則

B.若a//a,b〃1a〃￡,則

C.若aUa,bup,a//h,則a〃￡

D.若b工B，a_L￡,貝!Ja_l_b

【解析】A中，a、匕可以平行、相交或異面；B中，a、》可以

平行或異面；C中，a、￡可以平行或相交.

【答案】D

5.（2016?山西山大附中高二檢測）如圖1,在正方體4BCD-431GQ1

中，E、F、G、H分別為44|、A3、BBi、BC的中點，則異面直線

與G”所成的角等于（）

圖1

A.45°B.60°

C.90°D.120°

【解析】如圖，連接48、8G、4G,則AI3=8G=AIG,

JLEF//MB.GH//BC\,

所以異面直線EF與G"所成的角等于60°.

【答案】B

6.設(shè)I為直線,a］是兩個不同的平面.下列命題中正確的是（）

A.若/〃a,/〃￡,則a〃4

B.若I邛,貝lja〃￡

C.若1〃B，則a〃￡

D.若l//a,則以夕

【解析】選項A,平行于同一條直線的兩個平面也可能相交，

故選項A錯誤；選項B,垂直于同一直線的兩個平面互相平行，選項

B正確；選項C,由條件應(yīng)得a_L夕，故選項C錯誤；選項D,/與￡

的位置不確定，故選項D錯誤.故選B.

【答案】B

7.（2015?洛陽高一檢測）如圖2,△ADB和△AQC都是以。為直角

頂點的等腰直角三角形，且NR4C=60。，下列說法中錯誤的是（）

A.AD±￥?BDC

B.J_平面ADC

C.QC，平面48。

D.平面ABD

【解析】由題可知，ADLBD,ADLDC,所以ADJ_平面8DC,

又△A3。與△4OC均為以D為直角頂點的等腰直角三角形，所以AB

=AC,BD=DC=^AB.

又N8AC=60°,所以△ABC為等邊三角形，故BC=AB=@BD,

所以N3QC=90°,即8Z）J_QC.

所以3￡）J_平面AQC,同理DCJ_平面A3D

所以A、B、C項均正確.選D.

【答案】D

8.正四棱錐（頂點在底面的射影是底面正方形的中心）的體積為12,

底面對角線的長為2加，則側(cè)面與底面所成的二面角為（）

A.30°B.45°

C.60°D.90°

【解析】由棱錐體積公式可得底面邊長為2小，高為3,在底面

正方形的任一邊上，取其中點，連接棱錐的頂點及其在底面的射影，

根據(jù)二面角定義即可判定其平面角，在直角三角形中，因為tan8=小

（設(shè)。為所求平面角），所以二面角為60。，選C.

【答案】C

9.將正方形A3CQ沿BD折成直二面角，加為CQ的中點,則ZAMD

的大小是（）

A.45°B.30°

C.60°D.90°

【解析】如圖，設(shè)正方形邊長為a,作AOA,BD,則AM=

\/AO2+OM2=yl(孚J+(5>=2a,

又AD=a,DM=j,：.AD2=D1^+AM2,：.ZAMD=90°.

【答案】D

10.在矩形A8CD中，若AB=3,BC=4,B4_L平面AC,且用

=1,則點尸到對角線8。的距離為（）

A夸

WD呼

【解析】如圖，過點A作AE_L8D于點已連接PE

?.?附，平面ABC。，BDU平面ABCQ,

：.PA±BD,.?.8D，平面出E,

：.BD工PE.

.…A3A。12?,

,AE=~BD~=~5,抬=1，

：.PE=

【答案】B

11.（2016?大連高一檢測）已知三棱柱ABC-AiBiCi的側(cè)棱與底面垂

直，體積為本9底面是邊長為小r~的正三角形.若P為底面4SG的中

心，則%與平面A3C所成角的大小為（）

【導(dǎo)學(xué)號：09960090]

A.75°B.60°

C.45°D.30°

【解析】如圖所示，尸為正三角形AiBC的中心，設(shè)O為△ABC

的中心，由題意知：PO_L平面ABC,連接OA,則NB4O即為"與平

面ABC所成的角.

在正三角形ABC中，AB=BC=AC=0,

則S=乎義響2=^,

VABC-A\B\Ci=SXPO=^,.?.尸0=小.

叉AO=*■義小=1,

P0

.'.tanZPAO=^=y[3,：.ZPAO=60°.

A。

【答案】B

12.正方體ABCO-AiBGU中，過點A作平面A8D的垂線，垂

足為點”.以下結(jié)論中，錯誤的是（）

A.點”是△AiBD的垂心

B.AHJ_平面CBDi

C.A”的延長線經(jīng)過點G

D.直線A”和881所成的角為45。

ClBx

D

【解析】因為A〃_L平面AiBD,

BDU平面A\BD,

所以又8O_LA4i,且4“nA4i=A

所以80,平面441”.又47/U平面AAiH.

所以A]"_L3￡）,

同理可證

所以點”是△48。的垂心，A正確.

因為平面4山。〃平面CBxDx,

所以AHJ_平面CBDi,B正確.

易證AG_L平面A山。.因為過一點有且只有一條直線與已知平面垂

直，所以AG和A”重合.故C正確.

因為44i〃8Bi,所以N4A”為直線AH和3囪所成的角.

因為NAAi”W45°,所以N4A"W45°,故D錯誤.

【答案】D

二、填空題（本大題共4小題，每小題5分，共20分，將答案填在

題中的橫線上）

13.設(shè)平面a〃平面4、Cea,B、D",直線AB與CD交于

點S,且點S位于平面a,夕之間，AS=8,BS=6,CS=12,則50=

Aqrs

【解析】由面面平行的性質(zhì)得AC〃3。，隹=黑，解得SQ=9.

DOOU

【答案】9

14.如圖3,四棱錐S-ABCD中，底面A8CD為平行四邊形，E是

SA上一點，當(dāng)點E滿足條件：________時，SC〃平面

BAC

圖3

【解析】當(dāng)E是SA的中點時，

連接EB,ED,AC.

BC

設(shè)AC與80的交點為0,連接E0.

四邊形ABCD是平行四邊形，

...點。是AC的中點.

又E是S4的中點，

，0E是△SAC的中位線.

OE//SC.

?.?sea平面石3。，0EU平面E3C,

...SC〃平面EBD.

【答案】E是SA的中點

15.如圖4所示，在正方體ABCQ-A1SGO1中，M,N分別是棱

A4i和43上的點，若是直角，則NGMN等于.

圖4

【解析】:囪?！蛊矫鍭1A8B,

MNU平面AiABBi,

：,B\C\LMN,又NBiMN為直角，

ABiMlW,而3iMG3]G=3i.

.?.MN_L平面MBG,又A/GU平面MBG,

：.MN±MCi,：,ZCiMN=90°.

【答案】90°

16.已知四棱錐P-A3CQ的底面A3CQ是矩形，朋，底面43CQ,

點、E、尸分別是棱PC、PO的中點，則

①棱AB與PD所在直線垂直；

②平面PBC與平面ABCD垂直；

③△PCQ的面積大于△雨3的面積；

④直線AE與直線BF是異面直線.

以上結(jié)論正確的是.（寫出所有正確結(jié)論的序號）

【解析】由條件可得平面PAD,

J.ABVPD,故①正確；

若平面P3CL平面ABCD,由PB±BC,

得尸8,平面ABC。，從而出〃P3,這是不可能的，故②錯；&PC。

=^CDPD,S^PAB=^ABPA,

由A3=CO,PD＞必知③正確;

由從尸分別是棱PC、尸力的中點，

可得E尸〃C。，又AB〃CD,

：.EF//AB,故AE與8尸共面，④錯.

【答案】①③

三'解答題（本大題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說明，證

明過程或演算步驟）

17.（本小題滿分10分）如圖5所示，已知3c中，ZACB=90°,

SA，平面ABC,ADLSC,求證：AD，平面SBC.

【證明】VZACB=90°,

BC±AC.

又?.'SAI?平面ABC,

：.SA±BC,'：SAnAC=A,

.?.BC,平面SAC,：.BC±AD.

又門。，4。，SC^BC=C,

.?.AD_L平面SBC.

18.（本小題滿分12分）如圖6,三棱柱ABC481G的側(cè)棱與底面

垂直，AC=9,BC=12,AB=15,A4i=12,點。是AS的中點.

圖6

⑴求證：AC±BiC；

（2）求證：AG〃平面CQBi.

【證明】（1）：GCJ_平面A3C,ACiC±AC.

VAC=9,BC=n,AB=15,

：.AC2+BC2=AB2,

：.AC±BC.

又3CnGC=C,平面BCGBi,

而BiCU平面BCC\B\,

：.AC±B\C,

(2)連接3G交囪C于。點，連接OD如圖，VO,。分別為BG,

A3的中點，，。。〃入。］.又。力u平面CDB,ACg平面CDBi.，AG〃

平面CDBi.

19.(本小題滿分12分X2016德州高一檢測)某幾何體的三視圖如

圖7所示，P是正方形A8CO對角線的交點，G是PB的中點.

(1)根據(jù)三視圖，畫出該幾何體的直觀圖；

(2)在直觀圖中，①證明：尸?！鍭GC；

②證明：面03。_1面46。.

圖7

【解】(1)該幾何體的直觀圖如圖所示:

p

c

（2）證明：①連接AC,BD交于點O,連接OG,因為G為PB的

中點，O為3。的中點，所以O(shè)G〃fD

②連接PO,由三視圖知，POL平面A8C。，所以AOLPO.

又A0_L30,所以AOJ_平面PBD

因為40U平面AGC,

所以平面P3Q，平面AGC.

20.（本小題滿分12分）（2016?濟寧高一檢測）如圖8,正方形A8CQ

和四邊形4CEE所在的平面互相垂直，EF//AC,AB=&CE=EF=

（1）求證：A/〃平面3QE；

⑵求證：平面3QE

【導(dǎo)學(xué)號：099600911

【證明】（1）如圖，設(shè)AC與8D交于點G.

E,

D』--------------

因為跖〃AG,且E尸=1,

AG=^AC=\,

所以四邊形AGEF為平行四邊形.

所以〃EG.

因為EGU平面BDE,AFQ平面BDE,

所以Ab〃平面BDE.

（2）連接FG,

,CEF//CG,EF=CG=1,

四邊形CEFG為平行四邊形，

又?：CE=EF=1,「.口CEFG為菱形，

:.EG1CF.

在正方形ABCD中，ACJ.BD.

?.?正方形ABCD和四邊形ACE/所在的平面互相垂直，

J_平面CEFG.工BD±CF.

次，：EGCBD=G,：.CF1,平面BDE.

21.（本小題滿分12分）（2015?山東高考）如圖9,三棱臺QE/J48c

中，AB=2DE,G,”分別為AC,的中點.

圖9

(1)求證：〃平面FGH；

(2)若CF_L3C,AB±BC,求證：平面BCO_L平面EG”.

【解】(1)證法一：連接QG,CD,設(shè)CDnGF=M,連接

在三棱臺。石廣ABC中，AB=2DE,G為AC的中點，可得。尸〃GC,

DF=GC,所以四邊形。FCG為平行四邊形，則M為CQ的中點.又

”為8C的中點，所以M//〃3D又平面/G”，BD。平面FGH,

所以30〃平面FG".

證法二：在三棱臺DEF-ABC中，由BC=2EF,”為BC的中點，

可得BH〃EF,BH=EF,所以四邊形BHFE為平行四邊形，可得8E〃”?

在△A3C中，G為AC的中點，”為3C的中點，所以G”〃A3.又G”n“尸

=H,所以平面FGH〃平面A3ED因為BQU平面ABED,所以BD//

平面FGH.

(2)連接HE.

因為G,"分別為AC,8C的中點，

所以GH//AB.

由A8_LBC,得GHLBC.

又“為BC的中點，

所以EF〃HC,EF=HC,

因此四邊形EFCH是平行四邊形.

所以CF/IHE.

又CFLBC,所以HELBC.

滅HE,GHU平面EGH,

HECGH=H,

所以3cL平面EGH.

又8CU平面BCD,所以平面3CDJ_平面EGH.

22.(本小題滿分12分)(2016?重慶高一檢測)如圖10所示，ABCD

是正方形，。是正方形的中心，POJ_底面A3CD,底面邊長為mE是

PC的中點.

(1)求證：陰〃平面平面B4C_L平面8DE；

(2)若二面角石-3Q-C為30。，求四棱錐尸-45CD的體積.

【解】⑴證明：

連接OE,如圖所示.

:。、E分別為AC、PC的中點，

OE//PA.

：OEU平面8DE,以@平面BDE,

...BA〃平面BDE.

?.?尸OJ_平面A3CD,J.POVBD.

在正方形ABCD中,BDA.AC,

又?.?POGAC=O,.?.8。_1平面抬。.

又：BDU平面BDE,：.平面PAC.L平面BDE.

(2)取0C中點/，連接EE

YE為PC中點，

EF為△POC的中位線，，EF//PO.

又平面ABCD,

.?.EF_L平面ABCD.

VOFA.BD,：.OELBD.

，/EOF為二面角E-BD-C的平面角，

，ZEOF=30°.

在RtAOEF中，

OF=；OC=；AC=^a,

：.EF=OFtan30°=%a,AOP=2EF=^ra.

126

**?Vp-ABCD=WX義

章末綜合測評（三）直線與方程

（時間120分鐘，滿分150分）

一、選擇題（本大題共12小題，每小題5分，共60分.在每小題給出的四個

選項中，只有一項是符合題目要求的）

1.（2015?吉林高一檢測）在直角坐標(biāo)系中，直線小工一廠3=0的傾斜角是（）

A.30°B.60°

C.120°D.150°

【解析】直線的斜率左=仍，傾斜角為60。.

【答案】B

2.（2015?許昌高一檢測）若4—2,3）,5（3,一2）,業(yè)相）三點共線，則加的

值為（）

A-2B--2

C.-2D.2

—2—31

【解析】由R,J—，得加=/

3-（-2）J.2

2J

【答案】A

3.如圖，在同一直角坐標(biāo)系中，表示直線y=or與y=x+a正確的是（）

【解析】當(dāng)。＞0時，A,B,C,D均不成立；當(dāng)。＜0時，只有C成立.

【答案】C

4.兩平行直線5x+12y+3=0與10x+24y+5=0之間的距離是（）

【導(dǎo)學(xué)號:09960125]

A.瓦B.e

T屋

。26口26

【解析】5x+12y+3=0可化為10x+24y+6=0.

由平行線間的距離公式可得d=-f===y7.

\j]Q2+24226

【答案】C

5.(2015?大連高一檢測)直線/i：(3—a)x+(2a-l)y+7=0與直線/2：(2a+l)x

+(a+5)y—6=0互相垂直，則a的值是()

A.—1B.：

C.gD.g

【解析】因為八_1_/2,所以(3—a)(2a+1)+(2。-1)(。+5)=0,解得a=￡.

【答案】B

6.直線履一)，+1—3%=0,當(dāng)女變動時，所有直線都通過定點()

A.(0,0)B.(0,1)

C.(3,1)D.(2,1)

【解析】由自一y+1-3左=0,得％(x—3)—(y—1)=0,

，x=3,y=\,即過定點(3,1).

【答案】C

7.已知A(2,4)與8(3,3)關(guān)于直線/對稱，則直線/的方程為()

A.尤+y=0B.元—y=0

C.x+y—6=0D.x—y+1=0

4-3

【解析】kAB=：==-l,故直線/的斜率為1,

2—3

4B的中點為(|,習(xí)，

75

故/的方程為y—]=x-

即x—y+l=0.

【答案】D

8.已知直線/過點(1,2),且在x軸上的截距是在y軸上的截距的2倍，則直

線/的方程為()

A.元+2y—5—0

B.x+2y+5=0

C.2x—y=0或九+2y—5=0

D.2x—y=0或x—2y+3=0

【解析】當(dāng)直線在兩坐標(biāo)軸上的截距都為0時，設(shè)直線/的方程為y=依，

把點（1,2）代入方程，得2=k,即女=2,所以直線的方程為2x—y=0;當(dāng)直線在兩

坐標(biāo)軸上的截距都不為0時，設(shè)直線的方程為我+2=1,把點（1,2）代入方程，得一

25

+g=l,即8=5，所以直線的方程為x+2y-5=0.故選C.

【答案】C

9.直線y=_r+3A-2與直線丫=一提+1的交點在第一象限，則后的取值范圍

是（）

A（-”）B（一|,0）

「2「

C.（0,1）D.—11

y=x+3左一2,

【解析】由方程組，1,

產(chǎn)一小+1,

'12（1一女）

所以直線y=x+3左一2與直線y=—；x+l的交點坐標(biāo)為（口，；",女"、

也曰0,

要使交點在第一象限，則4c

3A+2

、5〉0,

2

解得一鏟%<1.

所以女的取值范圍是（一|,1）.

【答案】A

10.經(jīng)過點(2,1)的直線/到A(l,l)、8(3,5)兩點的距離相等，則直線/的方程為

()

A.2x-y-3=0

B.x=2

C.2x—y—3=0或x=2

D.以上都不對

【解析】滿足條件的直線/有兩種情況：①過線段A3的中點；②與直線45

平行.

由4(1,1),8(3,5)可知線段的中點坐標(biāo)為(2,3),

所以直線x=2滿足條件.由題意知心B=；1=2.

3—1

所以直線I的方程為y~l=2(x-2),即2x-y—3=0,

綜上可知，直線/的方程為x=2或2x—y—3=0,故選C.

【答案】C

11.等腰直角三角形ABC的直角頂點為C(3,3),若點A(0,4),則點8的坐標(biāo)

可能是()

A.(2,0)或(4,6)B.(2,0)或(6,4)

C.(4,6)D.(0,2)

【解析】設(shè)8點坐標(biāo)為(x,y),

kAC-kitc=—1,

根據(jù)題意知＜

\BC\=\AC\,

3-4y-3

=

73—0x—T31,

?\/(x-3)2+(y—3)2=^/(O—3)2+(4—3)2,

解之,味尤=2。,,x=4,

或

J=6.

【答案】A

12.直線I過點P(l,3),且與x,y軸正半軸圍成的三角形的面積等于6的直

線方程是()

A.3x+y—6=0B.x+3y—10=0

C.3x—y=0D.x—3y+8=0

【解析】設(shè)直線方程為升5=1（。>0,〃>0）,

Clb=12,r_c

化為一般式為3x+y—6=0.

【答案】A

二'填空題(本大題共4小題，每小題5分，共20分，將答案填在題中的橫線

上)

13.若直線/的方程為y—a=(a—l)(x+2),且/在y軸上的截距為6,則。=

Q

【解析】令x=0,得y=(a—l)X2+a=6,

【答案】I

14.已知點(m,3)到直線龍+廠4=0的距離等于啦，則根的值為.

【導(dǎo)學(xué)號：09960126)

|帆+3—41/—

【解析】由點到直線的距離得啦=啦.

解得機=—1,或，〃=3.

【答案】一1或3

15.經(jīng)過兩條直線2x+y+2=0和3x+4y—2=0的交點，且垂直于直線3x—

2y+4=0的直線方程為.

3犬4y—20

【解析】由方程組\\'得交點4-2,2),因為所求直線垂直于

2x+y+2=0,

2

直線3x—2y+4=0,故所求直線的斜率左=一于由點斜式得所求直線方程為y-2

2

=-g(x+2),即2x+3y—2=0.

【答案】2x+3y—2=0

16.已知A,3兩點分別在兩條互相垂直的直線2x—y=0和x+〃y=0上，且

線段的中點為P(0,與，則線段A8的長為.

【解析】直線2x-y=0的斜率為2,

x+ay=0的斜率為一;.

因為兩直線垂直，

所以一：=一；,所以a=2.

所以直線方程為x+2y=0,線段AB的中點P(0,5).

設(shè)坐標(biāo)原點為O,則|OP|=5,

在直角三角形中斜邊的長度|A8|=