八年級(jí)數(shù)學(xué)寒假二次根式講義

第一講二次根式的認(rèn)識(shí)

模塊一

二次根式基本概念

模塊二

二次根式的性質(zhì)

模塊三

二次根式的基本運(yùn)算

模塊四

數(shù)學(xué)廣角

【知識(shí)背景】

劉徽（約公元225年一295年），漢族，山東濱州鄒平縣人，魏晉期

間偉大的數(shù)學(xué)家，中國(guó)古典數(shù)學(xué)理論的奠基人之一。是中國(guó)數(shù)學(xué)史上一個(gè)

非常偉大的數(shù)學(xué)家，他的杰作《九章算術(shù)注》和《海島算經(jīng)》，是中國(guó)最

寶貴的數(shù)學(xué)遺產(chǎn)。劉徽思想敏捷，方法靈活，既提倡推理又主張直觀。他

是中國(guó)最早明確主張用邏輯推理的方式來(lái)論證數(shù)學(xué)命題的人。劉徽的一生

是為數(shù)學(xué)刻苦探求的一生。他雖然地位低下，但人格高尚。他不是沽名釣

譽(yù)的庸人，而是學(xué)而不厭的偉人，他給我們中華民族留下了寶貴的財(cái)富。

劉徽在數(shù)學(xué)上的貢獻(xiàn)極多，在開方不盡的問(wèn)題中提出“求徽數(shù)”的思

想，這方法與后來(lái)求無(wú)理根的近似值的方法一致，它不僅是圓周率精確計(jì)

算的必要條件，而且促進(jìn)了十進(jìn)小數(shù)的產(chǎn)生；在線性方程組解法中，他創(chuàng)

造了比直除法更簡(jiǎn)便的互乘相消法，與現(xiàn)今解法基本一致；并在中國(guó)數(shù)學(xué)

史上第一次提出了“不定方程問(wèn)題”；他還建立了等差級(jí)數(shù)前n項(xiàng)和公式；提出并定義了許多數(shù)學(xué)概念：

如累（面積）；方程（線性方程組）；正負(fù)數(shù)等等.劉徽還提出了許多公認(rèn)正確的判斷作為證明的前提.他

的大多數(shù)推理、證明都合乎邏輯，十分嚴(yán)謹(jǐn)，從而把《九章算術(shù)》及他自己提出的解法、公式建立在必然

性的基礎(chǔ)之上。雖然劉徽沒有寫出自成體系的著作，但他注《九章算術(shù)》所運(yùn)用的數(shù)學(xué)知識(shí)，實(shí)際上已經(jīng)

形成了一個(gè)獨(dú)具特色、包括概念和判斷、并以數(shù)學(xué)證明為其聯(lián)系紐帶的理論體系。

【知識(shí)要點(diǎn)】

二次根式：形如右（42。）的式子.

二次根式有意義的條件：被開方數(shù)大于等于零（即若&有意義，則。20）

二次根式的性質(zhì)

l.V?>O（?>O）2.（v?）2=a（a20）3.在=\a\=M?八、

11\-aCa<0）

i

【例題精講】

類型一二次根式的基本概念

二次根式形如&（a、0）的式子.

二次根式有意義的條件被開方數(shù)大于等于零（即若&有意義，則a20）

例1當(dāng)X取何值時(shí)，下列式子有意義?

⑴Q7(2)⑶會(huì)⑷，2〃+3⑸一^⑹桐

1—yfx

例2下列各式中：幾，卷必詆仄二,其中是二次根式的有（）

A.1個(gè)B.2個(gè)C.3個(gè)D.4個(gè)

例3下列各式中沒有意義的是（）

A.qB.VoC.V2D.7（-O2

例4若代數(shù)式J—在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)有意義，則尤的取值范圍是（）

A.x>-3B.x>3C.x>3D.x<3

例5要使代數(shù)式立過(guò)有意義，則x的取值范圍是（）

X

A.xw-1B.xwOC.x>0D.x>0

例6若J2x—」+Jl—2x+4在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)有意義,則龍的取值范圍是（）

1111

A.冗W—B.x—C.xK—D.x=一

2222

例7使代數(shù)式以=+斥右有意義的整數(shù)有()

Jx+3

A.5個(gè)B.4個(gè)C.3個(gè)D.2個(gè)

2

例8實(shí)數(shù)a,b在數(shù)軸上對(duì)應(yīng)點(diǎn)的位置如下圖所示，化簡(jiǎn)|4+J（a-”的結(jié)果是（

A.-2a+bD.b

例9下列各式一定是二次根式的是（）

D--

A.V-^7B.V3mC.73m2+3

Vm

例10下列選項(xiàng)中，是根式有意義的a的取值范圍是〃<1的是

A.sja—1B.J1-aC.J（1-a）-

例11下列各式不是二次根式的是（）

22

A.VT6B.J"+ic.y]x+yD.

例12若，幺是二次根式，則a,b應(yīng)滿足的條件是（）

h

A.a,b均為非負(fù)數(shù)B.a,b同號(hào)C.h>0,a>0D.—20

a

【思維探索】

1.當(dāng)X為何值時(shí)，下列各式在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)有意義?

(1)Jx+4(2)y/-x(3)+5)(4)，3-2%

g+Wl(7)叵王(8)叵3

(6)

x+3x

2.在實(shí)數(shù)0,",、歷,-1中，最小的數(shù)是—

3.若式子I%是二次根式，則a=

4.若j3+x+J5—x有意義,則x的取值范圍是

3

5.下列式子一定是二次根式的是（）.

A.《x2-7B.4x~+7C.Jx+7D.-Jx—7

6,下列下列各式中：后T,叱,荷+3,正一+2》+1一定是二次根式的

有（）

A.3個(gè)B.4個(gè)C.5個(gè)D.6個(gè)

7.已知J7T5是二次根式，則1的值可以是（）

A.-8B.-7C.-6D.-5

2

8.代數(shù)式在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)有意義，則x的取值范圍是（）

y/x~\

A.x<1B.x<1C.x>1D.x>1

如果代數(shù)式如+-71=有意義，則點(diǎn)A（x,>）的位置可能是（

9.

J—2x

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D(zhuǎn).第四象限

10.已知a,b是等腰三角形的兩條邊長(zhǎng)，且a,b滿足匕="4+岳二^+4,求此三角

形的周長(zhǎng).

類型二，二次根式的性質(zhì)

7（心0）

①G'O（a20）②（&y=a（a，0）③（必考）V?=同=?

-a（。<0）

例1計(jì)算:

7^7=癡-母=正—2JC+1=

4

例2⑴己知數(shù)a、b、c在數(shù)軸上的位置如圖所示：

化簡(jiǎn)：行-|a+c|+J^二城-HI的結(jié)果為ca0b

⑵已知Ovavl,化簡(jiǎn)

⑶化簡(jiǎn)74A:2-12x+9-(Vl-2x)2得()

A.2B.-4x-4C.-2D.4x-4

(4)^|a-2|+V/?-3+(c-4)2=0>則a-方+c=.

(5)已知實(shí)數(shù)x、y滿足|x-4|+，戶=0,則以x、y的值為兩邊長(zhǎng)的等腰三角形的

周長(zhǎng)是()

A.20或16B.20C.16D.以上答案均不對(duì)

例3若a、b為實(shí)數(shù)，且|a-l|+Jab-2=0,

求標(biāo)+(4+1肪+1)+(a+2)(>+2)+(〃+3后+3)+.......+(a+201砥-+201力的值

類型三A二次根式的基本運(yùn)算

乘法

與積的算術(shù)平方根可互相轉(zhuǎn)化：\[a-\[b=\fab(aO,b0)

除法與商的算術(shù)平方根可互相轉(zhuǎn)化：境韋(a》Q,h>0)

最簡(jiǎn)二次根式①被開方數(shù)不含分母

②被開方數(shù)中不含能開得盡方的因數(shù)或因式.

同類二次根式被開方數(shù)相同的兩個(gè)最簡(jiǎn)二次根式.

加減法先化為最簡(jiǎn)二次根式，然后合并同類二次根式

混合運(yùn)算有理式中的運(yùn)算順序，運(yùn)算律和乘法公式等仍然適用

乘法公式的推廣

①".瘋?向M=a,,?2。,』》。,M"'O)

②(石土G)=a+h±2\[ah+\[b^\fa-\fb^=a-b

5

例1計(jì)算：

(2)^1x727

⑴夜⑶瓜X幣

⑷卑⑸嶗

例2計(jì)算下列各式：

(2)2712X^-572

(1)3亞X2回(3)痛+3

4

<(a>0,b>0)

(4)(5)^-y[ahx

⑺J12孫+|4

(6)3

例3判斷下列各式是不是最簡(jiǎn)二次根式，若是，請(qǐng)打J,若不是，請(qǐng)化為最簡(jiǎn)二次根式.

V12V20x/24V48VL2

娓瓜岳^/500

判斷

及化

簡(jiǎn)

⑵若最簡(jiǎn)二次根式248-3〃與-3aj2o-2是同類二次根式，則a的值是

⑶若最簡(jiǎn)二次根式，x+y+1與13x-），+1是同類二次根式,則尤-y=

6

【思維探索】

1.⑴把下列各式中根號(hào)外的因式移入根號(hào)內(nèi)

273，.-3垃.，-10N/0J，.

⑵把下列各式中根號(hào)外的因式移入根號(hào)內(nèi)：

①舊②("T后

2.計(jì)算下列各式

-2

⑴杼舊炳⑵(V10+\/2—5/5)**—(A/10-\[2+5/5)'

7

【數(shù)學(xué)廣角】

(2)已知％=J4-J10+2e，/=也