高中數(shù)學(xué)《對(duì)數(shù)》導(dǎo)學(xué)案

第目章基本初等函數(shù)(I)

1G2.2對(duì)數(shù)函數(shù)

2.2.1對(duì)數(shù)與對(duì)數(shù)運(yùn)算

第1課時(shí)對(duì)數(shù)

卜課前自主預(yù)習(xí)

1.對(duì)數(shù)的概念

⑴對(duì)數(shù)的概念：Hl如果at=N(?！怠?，且aWl),那么數(shù)刀叫做以

。為底N的對(duì)數(shù)，記作％=log“N,其中。叫做對(duì)數(shù)的底數(shù)，N叫做真

數(shù).

(2)兩種特殊的對(duì)數(shù)

①常用對(duì)數(shù)：魚(yú)通常以10為底的對(duì)數(shù)叫做常用對(duì)數(shù)，N的常用

對(duì)數(shù)10幻(W簡(jiǎn)記為lgN；

②自然對(duì)數(shù)：③以e為底的對(duì)數(shù)稱(chēng)為自然對(duì)數(shù)，N的自然對(duì)數(shù)

logeN簡(jiǎn)記為ln_M其中e-2.71828…).

2.對(duì)數(shù)與指數(shù)的關(guān)系

(1)對(duì)數(shù)的基本性質(zhì)

①國(guó)零和負(fù)數(shù)沒(méi)有對(duì)數(shù)，即N>0；

②[IB的對(duì)數(shù)為0,即k)&l=0；

③凰底數(shù)的對(duì)數(shù)等于1,即1。日a=L

(2)兩個(gè)重要的對(duì)數(shù)恒等式

①小g/=且aWl,N〉0)；

②log”?！籌Sjy(Q>0，且aW1).

京］自診小測(cè)

1.判一判(正確的打“J”，錯(cuò)誤的打“X”)

(1)因?yàn)?-2)4=16,所以log(一2)16=4.()

(2)對(duì)數(shù)式loga2與log23的意義一樣.()

(3)對(duì)數(shù)的運(yùn)算實(shí)質(zhì)是求累指數(shù).()

(4)等式log4=0對(duì)于任意實(shí)數(shù)a恒成立.()

答案(1)X(2)X(3)V(4)X

2.做一做

(1)若5、=2018,則％=.

(2)(教材改編P64T3)lg10=；Ine=.

(3)(教材改編P64T2)將log24=2化為指數(shù)式為

答案(l)log52018(2)11(3)22=4

I課堂互動(dòng)探究

『釋疑解難』

在對(duì)數(shù)的概念中為什么規(guī)定。>0且aWl呢？

(1)若“<0,則當(dāng)N為某些值時(shí)，％的值不存在，如：x=log(-2)8

不存在.

(2)若a=0,

①當(dāng)NW0時(shí)，入的值不存在.如：logo3(可理解為0的多少次暴

是3)不存在；

②當(dāng)N=0時(shí)，x可以是任意正實(shí)數(shù)，是不唯一的，即logo。有無(wú)

數(shù)個(gè)值.

(3)若a=\,

①當(dāng)NW1時(shí)，％的值不存在.如：logi3不存在；

②當(dāng)N=1時(shí)，%可以為任意實(shí)數(shù)，是不唯一的，即logil有無(wú)數(shù)

個(gè)值.

因此規(guī)定。〉0,且aWl.

探究1對(duì)數(shù)的概念

例1(1)使對(duì)數(shù)k)g2(—2%+1)有意義的％的取值范圍為()

(2)在對(duì)數(shù)式b=log“_2(5—。)中，實(shí)數(shù)。的取值范圍是()

A.。>5或a<2B.2<a<5

C.2<a<3或3<a<5D.3<。<4

解析⑴要使對(duì)數(shù)1陽(yáng)(一2%+1)有意義，只要使真數(shù)一2x+l〉0

即可，即制，的取值范圍為1―8,故選C.

a—2>0,

(2)由題意得《。一2W1,解得2<a<3或3<a<5.

、5—?！?,

答案(1)C(2)C

拓展提升

對(duì)數(shù)式有意義的條件

對(duì)數(shù)式有意義的兩個(gè)前提：①底數(shù)大于零且不等于1;②對(duì)數(shù)的

真數(shù)必須大于零.

【跟蹤訓(xùn)練1](1)滿足函數(shù)八%)=岸產(chǎn)的％的取值范圍是

()

A.(-1,+°°)B.[-1,+8)

C.(-1,1)U(1,+°°)D.[-1,1)U(1,4-o0)

(2)在log口一1)(%+2)中求％的范圍.

答案(1)C(2)見(jiàn)解析

1>0,

解析(1)要使函數(shù)有意義，必有?一八解得了>—1且xWl,

故選C.

(2)因?yàn)檎鏀?shù)大于0,底數(shù)大于0且不等于1,

&+2〉0,

所以<2]—1>0,解得%>；,且%#1.

即》的取值范圍是卜月，且e

探究2指數(shù)式與對(duì)數(shù)式的互化

例2⑴將下列指數(shù)式改寫(xiě)成對(duì)數(shù)式：24=16；2-5=*；34=81；

陟=〃；

(2)將下列對(duì)數(shù)式改寫(xiě)成指數(shù)式：k)g5125=3；log,16=-4；Ina

2

=b；1g1000=3.

解(l)log216=4；log2^5=—5；log381=4；login=m.

°’2

(2)53=125；?-4=16；e-=a,103=I。。。.

拓展提升

由指數(shù)式d=N可以寫(xiě)成logJV=/a>0,且aWl),這是指數(shù)式

與對(duì)數(shù)式互化的依據(jù).對(duì)數(shù)式與指數(shù)式是同一種數(shù)量關(guān)系的兩種不同

表達(dá)形式.具體對(duì)應(yīng)如下：

指數(shù)66R對(duì)數(shù)

b

a=/Vb=loga7V

N>0真數(shù)

底數(shù)（a>0,且a41）

【跟蹤訓(xùn)練2](1)若a=log23,貝IJ2。+21=.

(2)將下列指數(shù)式化為對(duì)數(shù)式，對(duì)數(shù)式化為指數(shù)式：

①log216=4；②log小%=6；③43=64.

答案(l)y(2)見(jiàn)解析

解析(1)因?yàn)閍=k)g23,所以2。=3,則2〃+2-"=3+3-1=￥

(2)①24=16；②(3)6=%；③k)g464=3.

探究3對(duì)數(shù)性質(zhì)的應(yīng)用

例3(1)給出下列各式：

①lg(1g10)=0；

②lg(Ine)=0；

③若10=lgx,則％=10；

④由10g25X=],得％=±5.

其中，正確的是(把正確的序號(hào)都填上).

(2)求下列各式中工的值：

@10g2(log5X)=0；②10g3(lg%)=l；

③logd-i)(啦-1)=%；④3/3=2.

解析(l)/lg10=1,，lg(lg10)=lg1=0,①正確;Vlne=l,

/.lg(Ine)=lg1=0,②正確；若10=lgx,則③錯(cuò)誤；由

log25%=；,得x=25錯(cuò)誤！=5,④錯(cuò)誤.故填①②.

(2)①I(mǎi)og2(log5%)=0.

.".log5Jc=20=1,.*.^=5'=5.

②,「k)g3(lg%)=l,.■?lgx=3'=3,.,.x=:103=1000.

③:log錯(cuò)誤!(錯(cuò)誤！-1)=X,

丁.(也—1尸=啦一1,

??X=1.

④％+3=log32,「.％=log32—3.

答案⑴①②(2)見(jiàn)解析

拓展提升

對(duì)數(shù)性質(zhì)在計(jì)算中的應(yīng)用

(1)對(duì)數(shù)運(yùn)算時(shí)的常用性質(zhì)：log〃a=l,logal=0(a>0且a#l).

(2)使用對(duì)數(shù)的性質(zhì)時(shí)，有時(shí)需要將底數(shù)或真數(shù)進(jìn)行變形后才能

運(yùn)用；對(duì)于多重對(duì)數(shù)符號(hào)的，可以先把內(nèi)層視為整體，逐層使用對(duì)數(shù)

的性質(zhì).

【跟蹤訓(xùn)練3]⑴若log2（%2—7%+13）=0,求x的值;

（2）已知Iog2[log3（log詞]=log3[log4（log2y）]=。,求x+y的值.

解⑴因?yàn)?082（/一7%+13）=0,

所以X2—7%+13=1,即f—7%+12=0,

解得％=4或％=3.

（2）log2[log3（log4X）]=0,

/.log3（logu）=1,log4T=3.

.?.%=43=64.同理求得y=16....%+y=80.

探究4對(duì)數(shù)恒等式的應(yīng)用

例4求下列各式的值：

(l)5log54；(2)3,og34-2；(3)24+1O?25.

解(1)設(shè)5bg54=%,則log54=log5^,.,.^=4.

14

(2)310g34=4,/.3log34-2=3峭4X3-2=4X

yy

(3)?「210g25=5,24+%5=24x2bg25=16X5=80.

拓展提升

運(yùn)用對(duì)數(shù)恒等式時(shí)的注意事項(xiàng)

⑴對(duì)于對(duì)數(shù)恒等式心g/=N(a>0，且。燈，N>0)要注意格式：

①它們是同底的；②指數(shù)中含有對(duì)數(shù)形式；③其值為對(duì)數(shù)的真數(shù).

(2)對(duì)于指數(shù)中含有對(duì)數(shù)值的式子進(jìn)行化簡(jiǎn)，應(yīng)充分考慮對(duì)數(shù)恒

等式的應(yīng)用.

,+164+13313

【跟蹤訓(xùn)練4】求3°83-2°82+10?+[1]log34的值.

解原式=31義3峭6—2432嗎3+(123)3+3~2X,og34=3X6-

16X3+33+(310g34)-2

147

=18—48+27+左16=-1T67.

f----------------------1陰繇律加----------------------

對(duì)數(shù)概念的理解

⑴規(guī)定a>0且aWL

(2)由于在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)，正數(shù)的任何次幕都是正數(shù)，所以在力=

N中，N總是正數(shù)，即零和負(fù)數(shù)沒(méi)有對(duì)數(shù).

(3)對(duì)數(shù)概念與指數(shù)概念有關(guān)，指數(shù)式和對(duì)數(shù)式是互逆的，即或

=N01ogaN=b(a>0,且N>0),據(jù)此可得兩個(gè)常用恒等式：

(l)logad=b；⑵ai°%N=N.

(4)在關(guān)系式優(yōu)=N中，已知。和％,求N的運(yùn)算稱(chēng)為求幕運(yùn)

算，而如果已知。和M求工的運(yùn)算就是對(duì)數(shù)運(yùn)算，兩個(gè)式子實(shí)質(zhì)

相同而形式不同，互為逆運(yùn)算.

卜隨堂達(dá)標(biāo)自測(cè)

1.若Q〉0,且aWl,c>0,則將蘇=c化為對(duì)數(shù)式為（）

A.\ogab=cB.logac=b

C.\O^hC~~ClD.logtZ1-1Z?

答案B

解析由對(duì)數(shù)的定義直接可得10gaC=b.

2.已知10gxi6=2,則%等于（）

A.±4B.4C.256D.2

答案B

解析,.?/=16且%>0,...％=4.故選B.

3.若log3第=%,則％=.

答案一4

解析Vlog3^Y=log33~4,.，.3X=3-4,/.X=-4.

4.式子210g25+log31的值為.

2

答案5

解析由對(duì)數(shù)性質(zhì)知，210g25=5,logs1=0,故原式=5.

2

5.求下列各式中％的值:

11+2x)3.

(1)右trlog31一2—J=1,求a％的值；

(2)若log2018a2—1)=°，求％的值.

.l+2xl+2x

解(l)：log3—^—=1,二.一^=3,

l+2%=9,...％=4.

(2)：log2018a2-1)=0,

/.A2—1=1,即必=2..,.%=±^.

卜課后課時(shí)精練

A級(jí)：基礎(chǔ)鞏固練

一、選擇題

1.將對(duì)數(shù)式log5b=2化為指數(shù)式是（）

A.5b=2B.b5=2C.5?=bD.h2=5

答案C

解析由對(duì)數(shù)的概念可知10g50=2O52=b,故選C.

2.下列指數(shù)式與對(duì)數(shù)式互化不正確的一組是（）

A.e°=l與In1=0

B.8錯(cuò)誤！=錯(cuò)誤!與log8錯(cuò)誤！=一錯(cuò)誤！

C.Iog39=2與9錯(cuò)誤!=3

D.Dg77=l與7=7

答案C

解析log39=2應(yīng)轉(zhuǎn)化為32=9.

3.已知log_[%=3,貝！Jx錯(cuò)誤!=（）

2

11

-B-

A.84

答案c

解析由logj_%=3,得kdb/5

所以X錯(cuò)誤!=錯(cuò)誤!錯(cuò)誤!=錯(cuò)誤!.

4.方程2bg的解是（）

A.TB.L坐C.x=y[3D.x=9

答案A

解析,.,21呀=2-2,.,.log3x=-2,.,.X=3-2=/

5.2錯(cuò)誤!的值等于（）

答案B

解析2錯(cuò)誤！=2X2錯(cuò)誤！=2X（2唾25）錯(cuò)誤！=2X（5）錯(cuò)誤！=2錯(cuò)誤!.

二、填空題

6.方程log3（2%—1）=1的解為％=.

答案2

解析依題意得統(tǒng)-1=3,/.X—2.

4

7.若a>0,a2—g,則log2a=.

答案1

解析由a>0,。2='=停>,可知。=多

.?log?a_log2q—1.

333

8.2錯(cuò)誤!一錯(cuò)誤!錯(cuò)誤!+lg錯(cuò)誤!+（錯(cuò)誤!一1產(chǎn)的值是.

答