高三數(shù)學(xué)寒假作業(yè)7

高三數(shù)學(xué)寒假作業(yè)7

一、選擇題

1.已知集合用=國-2<x<l},N={x\x1<3,x€Z},則()

A.B.N7MC.MCN={-1,0)D.MUN=M

2.記cos(-80°)=k,那么tan100°=)

Vl-fc2

A.B

kk

3.放煙花是逢年過節(jié)一種傳統(tǒng)慶祝節(jié)日的方式，已知一種煙花模型的三視圖如圖中的粗實

線所示，網(wǎng)格紙上小正方形的邊長為1,則該煙花模型的體積為（）

40

C.D.14Tt

4.黃金三角形有兩種，其中底和腰之比為黃金分割比的黃金三角形被認(rèn)為是最美的三角形,

它是頂角為36°的等腰三角形（另一種是頂角為108°的等腰三角形），例如，正五角星

由5個黃金三角形和一個正五邊形組成，如圖所示，在一個黃金三角形ABC中，—=

1―,根據(jù)這些信息，可得sin234°=（

1+754+若

4~~8~

5.“（1。外2）+?0為2）?y2=1表示焦點在y軸上的橢圓”的一個充分不必要條件是（)

A.0<a<bB.\<a<bC.2<a<bD.\<b<a

6.已知函數(shù)/（x）=10sinx+*3在％=0處的切線與直線〃工-尸。平行，則二項式（1+3+/）

（1-x）〃展開式中）的系數(shù)為（）

A.120B.135C.140D.100

7.執(zhí)行如圖所示的程序框圖，那么輸出的S值是（）

1

A.-B.-1C.2018D.2

2

8.在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知△ABC的頂點A（0,4）,C（0,-4）,頂點8在橢圓

x2y2.esi?i（4+C）、

—+——=1上，則-----：—=（）

925sinA+sinC

3545

A.-B?一C.一D.—

5354

9.在梯形ABCD中，AB//CD,ADLAB,AB=4,AD=CD=2,將梯形ABCD沿對角線

AC折疊成三棱錐D-ABC,當(dāng)二面角D-AC-B是直二面角時，三棱錐D-ABC的外接

球的表面積為（）

A.4nB.8nC.12TTD.16n

10.已知函數(shù)=7+2x（x>0）,若力（x）=/（x）,fn+\（x）=/（坂（x））,〃6N*,則

力019（X）在［1,2］上的最大值是（）

A.4238-1B.42°19-1c.920l9-lD.322019-1

11.已知點C是拋物線y2=4x上的動點，以C為圓心的圓過拋物線的焦點F,且圓C與直

線了=一：相交于A,8兩點，則|以|?尸劇的取值范圍是（）

A.[4,+8)B.[3,+8)C.[2,+8)D.[I,+8)

12.己知正實數(shù)n,設(shè)4=機+〃，b=Vm2+14mn+n2.若以a,〃為某個三角形的兩邊

長，設(shè)其第三條邊長為C,且C滿足02=&?如7,則實數(shù)上的取值范圍為()

A.(I,6)B.(2,36)C.(4,20)D.(4,36)

二、填空題

13.若/(x)=x4+3/+x+l,用秦九韶算法計算八TT)時，需要乘法和加法的總次數(shù)為.

14.已知向量a,b滿足|a|=|b|=2,且(a+2b)fa-b)=-2,則向量a與b的夾角為.

15.在正整數(shù)數(shù)列中，由1開始依次按如下規(guī)則，將某些整數(shù)染成紅色，先染1；再染3個

偶數(shù)2,4,6；再染6后面最鄰近的5個連續(xù)奇數(shù)7,9,11,13,15；再染15后面最鄰

近的7個連續(xù)偶數(shù)16,18,20,22,24,26,28；再染此后最鄰近的9個連續(xù)奇數(shù)29,

31,…，45；按此規(guī)則一直染下去，得到一紅色子數(shù)列：1,2,4,6,7,9,11,13,

15,16,…，則在這個紅色子數(shù)列中，由1開始的第2020個數(shù)是.

16.已知“，昵［0,1］,則S(a,b)=急+余+(1-a)(1-b)的最小值為.

三、解答題

17.把函數(shù)/(x)=2sinr的圖象向左平移w(0<SV%)個單位，得到函數(shù)y=g(x)的圖象，

函數(shù)尸g(x)的圖象關(guān)于直線x=看對稱，記函數(shù)人(x)=/(x)?g(x).

(1)求函數(shù)y=/?(x)的最小正周期和單調(diào)增區(qū)間；

(2)畫出函數(shù)y=〃(x)在區(qū)間［一?，芻上的大致圖象.

18.為了響應(yīng)2018年全國文明城市建設(shè)的號召，長沙市文明辦對長沙市市民進行了一次文

明創(chuàng)建知識的網(wǎng)絡(luò)問卷調(diào)查.每一位市民僅有一次參加機會，通過隨機抽樣，得到參加

問卷調(diào)查的1000人的得分(滿分：100分)數(shù)據(jù)，統(tǒng)計結(jié)果如下表所示.

組別[30,40)[40,50)[50,60)[60,70)[70,80)[80,90)[90,100)

頻數(shù)2515020025022510050

(I)由頻數(shù)分布表可以認(rèn)為，此次問卷調(diào)查的得分Z服從正態(tài)分布N(山210),口近

似為這1000人得分的平均值(同一組數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點值作為代表)，請利用正態(tài)

分布的知識求P(36VZW79.5)；

(II)在(I)的條件下，文明辦為此次參加問卷調(diào)查的市民制定如下獎勵方案：

(/)得分不低于H的可以獲贈2次隨機話費，得分低于H的可以獲贈1次隨機話費；

(ii)每次贈送的隨機話費和對應(yīng)的概率為

贈送的隨機話費(單位：元)2040

概率31

44

現(xiàn)市民小王要參加此次問卷調(diào)查，記X(單位：元)為該市民參加問卷調(diào)查獲贈的話費，

求X的分布列及數(shù)學(xué)期望.

附：vno?14.5,若X?N3,則①p(-0<xWu+。)=0.6827；

②尸卬-2。<XWu+2。)=0.9544；③P(口-3。<XWR+3。)=0.9973.

%2y2

19.在平面直角坐標(biāo)系中，點為、放分別為雙曲線C—-77=l(a>0,b>0)的左、右

3

焦點，雙曲線。的離心率為2,點(1,-)在雙曲線。上.不在x軸上的動點尸與動點

Q關(guān)于原點0對稱，且四邊形PF\QFi的周長為4魚.

(1)求動點尸的軌跡方程；

(2)在動點P的軌跡上有兩個不同的點M(xi,yi)、N(X2,*),線段MN的中點為G,

已知點(xi,%2)在圓/+)2=2上，求|OG|?|M/V|的最大值，并判斷此時△OMN的形狀.

高三數(shù)學(xué)寒假作業(yè)7(答案解析)

一、選擇題

1.已知集合M={x|-2<rVl},N={x|/V3,xGZ},則()

A.MCNB.NUMC.MAN={-1,0)D.MUN=M

【解答】解：/V={x|-V3<X<V3,XEZ]=[-If0,1},M={x|-2<X<1}；

???MGN={-1,0}.

故選：C.

2.記cos(-80°)=k,那么tan100°=()

Vi-fc2k

【解答】解：法一:sin800=V1-cos280°=yJ1—cos2(—80°)=V1—/c2,

2

所以tan】。。。=-tan8。。=一螳=一好?

法二：cos(-80。)=18式80°)=k,tanlOO。=瑞篇=加溫:二耦=4端

Jl-fc2

-k-

故選：B.

3.放煙花是逢年過節(jié)一種傳統(tǒng)慶祝節(jié)日的方式，已知一種煙花模型的三視圖如圖中的粗實

線所示，網(wǎng)格紙上小正方形的邊長為1,則該煙花模型的體積為()

40

C.-^71D.14n

【解答】解：由三視圖可知幾何體是半徑為2,高為3的圓柱，與半徑為1,高為1的圓

柱，以及底面半徑為1,高為2的圓錐，組成的幾何體.

幾何體的體積為：22.兀.3+12.兀*1+1,12.兀.2=竽.

4.黃金三角形有兩種，其中底和腰之比為黃金分割比的黃金三角形被認(rèn)為是最美的三角形,

它是頂角為36°的等腰三角形（另一種是頂角為108°的等腰三角形），例如，正五角星

BC

由5個黃金三角形和一個正五邊形組成，如圖所示，在一個黃金三角形ABC中，-=

-^5^_1

根據(jù)這些信息，可得sin234°=)

A.——B?-爭U一~4~D?-竿

4

【解答】解：由圖可知，NAC8=72°,且cos72°=弊=與1

/1CT*

/.cos144°=2COS272°-1=—

則sin234°=sin(144°+90°)=cosl44°=

q

故選：c.

5.“（，oga2）y2+（/ogb2）-y2=i表示焦點在y軸上的橢圓”的一個充分不必要條件是（）

A.0<a<bB.\<a<bC.2<a<bD.\<b<a

%2y2y2y2

【解答】解：橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為「一+V—=1,即;——+T2—-=1,

；——-：——-log2alog2b

loga2logb2

若焦點在），軸，

貝ijlog2b>log2a>0,即b>a>\.

等價條件為6>a>l,

則對應(yīng)的充分不必要條件可以為b>a>2,

故選：C.

6.已知函數(shù)/'（X）=10$山+:/在產(chǎn)。處的切線與直線心-尸。平行，則二項式（1+工+/）

（1-x）”展開式中）的系數(shù)為（）

A.120B.135C.140D.100

【解答】解：函數(shù)/（x）=10sinx+/x3在k。處的切線與直線〃工-尸0平行，則〃=/

（0）=10,

則二項式（l+x+/）（1-x）"=（1+x+x2）（1-x）=（1-x3）<1-x）、

V（1-x）9的展開式的通項公式為7ki=Cf（-x）,，

故分別令r=4,r=l,可得展開式中）的系數(shù)為或一（一=135,

故選：B.

7.執(zhí)行如圖所示的程序框圖，那么輸出的S值是（)

1

A.-B.-1C.2018D.2

2

【解答】解：依題意，執(zhí)行如圖所示的程序框圖可知:

1

初始S=2,當(dāng)2=0時,5o=-1,4=1時,Si=

同理S=2,53=-1,義=會…，

可見S〃的值周期為3.

:.當(dāng)人=2007時,52007=So=-L

)1=2008,退出循環(huán).輸出S=-l.

故選：B.

8.在平面直角坐標(biāo)系xQy中，已知△43C的頂點A(0,4),C(0,-4),頂點5在橢圓

X2V2sin(A+C)

—+—=1上，則-.....：—=()

925smA+sinC

3545

A.-B.-C.一D.-

5354

x2y2

【解答】解::△ABC的頂點A(0,4),C(0,-4),頂點B在橢圓3+*=

25

。=2,B|JAB+CB=2a,AC=2c

sinBAC2cc4sm(4+C)4

;由正弦定理矢口----------=--------=—=—=~,，貝!J-------------------------

sinA+sinCBC+AB2aa5sinA+sinC5

故選：C.

9.在梯形ABC。中，AB//CD,AD1AB,4B=4,AD=CD=2,將梯形ABC。沿對角線

AC折疊成三棱錐O-ABC,當(dāng)二面角Q-AC-B是直二面角時，三棱錐C-ABC的外接

球的表面積為()

A.4irB.8nC.12irD.16n

【解答】解：如圖：A8=4,AD=CD=2,

：.AC=2V2,BC=2V2,

取AC的中點E,4B的中點O,連結(jié)拉E,OE,

?.?平面￡>CA_L平面4CB,DE±AC

.?.QE_L平面ACB,

■:DE=立,OE=\［2,

：.OD=2,

：.OB=OA=OC=OD,

：.OB=2,即外接球的半徑為2,

此時三棱錐外接球的表面積為4n?22=l6n.

10.已知函數(shù)/(x)—X2+2X(X>0),若fl(x)=f(x),fn+l(x)=f(fn(x)),〃eN*,則

力019(x)在［1,2］上的最大值是()

A.42018-1B.42019-1C.920l9-lD.322019-1

【解答】解：fQx）=）+2x在（0,+8）為增函數(shù)，且/（x）>0,

所以力（x）在［1,2］為增函數(shù),

所以力（x）"3=8=3--1,且力（X）>0,

同理fl（X）max=f（fI（X）num）=3—1,且力（X）>0,

同理fi（X）max—f（fl（X）max）—32—1,且力（X）>0,

依此類推：

力019（X）max=f（72018（X）max）=322°19-1,

故選：D.

11.已知點C是拋物線）2=4x上的動點，以C為圓心的圓過拋物線的焦點尸，且圓C與直

線x=T相交于A,B兩點，則伊川?|FB|的取值范圍是（）

A.[4,+8)B.[3,+8)C.[2,+8)D.[1,+8)

【解答】解：拋物線V=4x的焦點為尸(1,0),

2

設(shè)圓C的方程為o)2+(y-y0)=(%o-I)?+城,

令x=—可得y2-2yoy+3xo—，=0,

則△=4y02_12x()+3=4xo+3>O恒成立，

設(shè)A(-2?yi)，B(-7，*)，則yi+”=2yo,y\*y2=3xo--^f

因為點C(xo,yo)在拋物線/=4x上，

故Vo2=4x0,

22222

所以照I?|FBI=Jyi+1-Jy2+|=J(yiy2)+1(yi+?2)+

22

=J(3XO-1)+1[4y0-2(3x0-1)]+ll=.而2+18a+9=3\x0+\\,

因為xo》O,所以|布|?舊B|23,

即|阿?田B|的取值范圍是［3,+8）.

故選：B.

12.已知正實數(shù)機，n,設(shè)b=y/m2+14mn+n2.若以a,人為某個三角形的兩邊

長，設(shè)其第三條邊長為c,且c滿足,2=好如?，則實數(shù)k的取值范圍為（）

A.(1,6)B.(2,36)C.(4,20)D.(4,36)

【解答】解法一：???正實數(shù)〃?，n,

".a=m+n>27mn,b=Vmz+14mn+n2>4y/mn,

?.?其第三條邊長為c,且c滿足,2=如的?，

.*.c2=a2+/>2-2abcosC

24〃7〃+16"Z〃-16/nncosC,

丁-1WcosCW1,

二.4knmWc?W36mn,

???實數(shù)%的取值范圍為（4,36）.

解法二：???〃，b,C是某個三角形的兩邊長,

a+b>c

a4-c>bf成立,

b+c>a

又b=y/m2+14mn4-n2>y/m24-2mn+n2=m+n=a,

:.b+c>a,成立,

a+h>c為m+n+\/m24-14mn4-n2>y/kmn,

.r-^_m+n+Jm2+14mn+n2

?Vnm，

m+n>27nm,\m24-n24-14mn>y/2mn4-14mn=4Vmn,

22

A/??+n+Vm4-14mn4-n>2y/mn+4yjmn=6y/mn9

m+n+y/m2+14mn+n2

>6,:,用<6,ZV36,

Vmn

對于a+c>b為/w+/7+Vfcmn>Vm2+14mn4-n2,

Jm2+14mn+n2—(m+n)

：

.Vk>Vmn

,.、2

7n2+儲|14(m+n)

mnmn

，.、2

2(m+n)

—+14-

mn

^±^+14-*+九2

mnmn乙

.m2+n2

令------=t,

mn

僅2+*+]4_啜+2=E-際=、焉:由為減函數(shù)，

mn

/為2時，有最大值為2,

工瓜>2,???攵>4,

綜上，4<*<36.

?,?實數(shù)攵的取值范圍為(4,36).

故選：D.

二、填空題

13.若/(x)=xW+x+l,用秦九韶算法計算了(Ji)時，需要乘法和加法的總次數(shù)為6.

【解答】解：由于函數(shù)/(x)=f+3/+x+l=(((x+3)x)x+l)x+1,

分別算出vo=l,VI=7I+3=3+TT,

v2=(3+n)K=3TT+IT2,

V3=(3n+ii2)TT+1=3II2+7I3+1,

V4=(3n24-n3+l)TU+1.

由上述可得出乘法3次，加法3次；

???乘法和加法的總次數(shù)6次

故答案為：6.

—TTTtT—>T—T冗

14.已知向量a,b滿足|a|=|b|=2,且(a+2b)(a-b)=-2,則向量a與b的夾角為

【解答】解：?；(a+2h)?(a-b)=-2,：.a2+a-b-2b2=-2.：.a-b=2,

T1

?入、

??cos<Ja，b>=--a--b-=亍1

\a\-\b\

TT71

向量a與b的夾角為？

n

故答案為：

15.在正整數(shù)數(shù)列中，由1開始依次按如下規(guī)則，將某些整數(shù)染成紅色，先染1；再染3個

偶數(shù)2,4,6；再染6后面最鄰近的5個連續(xù)奇數(shù)7,9,11,13,15；再染15后面最鄰

近的7個連續(xù)偶數(shù)16,18,20,22,24,26,28；再染此后最鄰近的9個連續(xù)奇數(shù)29,

31,45；按此規(guī)則一直染下去，得到一紅色子數(shù)列：1,2,4,6,7,9,11,13,

15,16,則在這個紅色子數(shù)列中，由1開始的第2020個數(shù)是3995.

【解答】解：設(shè)第"次染色的最后一個數(shù)字為a”，根據(jù)染色的最后一個數(shù)字，1,6,15,

28,.......,可得(2n-1),

因為前〃次染色數(shù)字的個數(shù)之和為1+3+5+…+(2n-1)=/，由/W2020W(〃+1)2,

可得"=44.

每一次染色的數(shù)組成公差為2的等差數(shù)列(除第一次外)，所以第45次染色的數(shù)字總共

有2X45-1=89個,

第2020個數(shù)是第45次染色的第2020-442=84個數(shù)，所以它為45X(2X45-1)-2

X5=3995

故答案為：3995.

16.已知a,bG.[Qj1]>則S(a,b)=1+—F(l-a)(l-Z?)的最小值為.

【解答】解：bE[O,1],

，S(小b)=擊+用+(1”)(1-。)=1-(：+2(1}'

人ab(l-ab)

?—(l+a)(l+b)'X=y/ab,

而T_ab(l—ab)_ab(l—ab)ab(l-ab)_X2。-X2)_x2(1-X)

'(1+Q)(1+Z)1+a+b+abl+2\/ab+ab(1+X)21+X

令/(X)=筆/xe[O,1],

可得：f(X)=-2X(X2+91),XG[O,1],

(1+X)?

y/S—1

XG[O,工一)時，f(X)>0,

Vs—i

XE(三一，1]時，/(X)<0,

故當(dāng)x=與石一工i時，/(X)取最大值sV一s-―n，

乙2

故S(a,b)=￡+士+(1-a)(1-6)的最小值為1-嬰1=1苧虧

13-5V5

故答案為:

2

三、解答題

17.把函數(shù)/(x)=2sinx的圖象向左平移火Oqv芻個單位，得到函數(shù))，=g(x)的圖象,

函數(shù)尸gG)的圖象關(guān)于直線”看對稱，記函數(shù)/?(x)=f(x)-g(X).

(1)求函數(shù)y=/i(x)的最小正周期和單調(diào)增區(qū)間；

(2)畫出函數(shù)y=A(x)在區(qū)間[一,,芻上的大致圖象.

【解答】解：⑴把函數(shù)/(x)=2siiu■的圖象向左平移火0V0V今個單位,

得到函數(shù)g(x)=2sin(x+叩)的圖象.

根據(jù)y—g(x)的圖象關(guān)于直線x=1對稱，得g+0=g+mTt(mGZ),

即0=§+根7r(巾￡Z),又0V(pV與所以0則g(%)=2sin(%+9.

皿I"、一、,、力.?,4?J?工塔、

貝=/(x)?g[x)=4smx-sin{x+可)=4sinx(^smx4-cosx)

=2sin2x+2y/3sinxcosx=1—cos2x+V3sin2x=2sin(2x—看)+1,

則函數(shù))，=/?(x)的最小正周期7=竽=兀，

令-5+2/C7TW2%—[4?+2/C7T(fcGZ),得-5+kjtWXW當(dāng)+/C7T(fcGZ),

乙。4OJ

故函數(shù)產(chǎn)力(%)的單調(diào)增區(qū)間是[一看+而，J+fc7r](fceZ).

(2)在區(qū)間[一芻上，2%—軟一普，yj

列表如下:

7157r

2尸三7n-IT710

“6~226

Xn57r717171n

~2~12~61232

h(x)21-1132

故產(chǎn)〃(%)在區(qū)間［一分夕上的大致圖象是:

?II

UJ

二

二.--T-

LJ

I-IT-

18.為了響應(yīng)2018年全國文明城市建設(shè)的號召，長沙市文明辦對長沙市市民進行了一次文

明創(chuàng)建知識的網(wǎng)絡(luò)問卷調(diào)查.每一位市民僅有一次參加機會，通過隨機抽樣，得到參加

問卷調(diào)查的1000人的得分(滿分：100分)數(shù)據(jù)，統(tǒng)計結(jié)果如下表所示.

組別[30,40)140,50)[50,60)[60,70)[70,80)[80,90)[90,100)

頻數(shù)2515020025022510050

(I)由頻數(shù)分布表可以認(rèn)為，此次問卷調(diào)查的得分Z服從正態(tài)分布N(臼210),口近

似為這1000人得分的平均值(同一組數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點值作為代表)，請利用正態(tài)

分布的知識求P(36VZW79.5)；

(II)在(I)的條件下，文明辦為此次參加問卷調(diào)查的市民制定如下獎勵方案：

(/)得分不低于R的可以獲贈2次隨機話費，得分低于n的可以獲贈1次隨機話費；

(/7)每次贈送的隨機話費和對應(yīng)的概率為

贈送的隨機話費(單位：元)2040

概率31

44

現(xiàn)市民小王要參加此次問卷調(diào)查，記X(單位：元)為該市民參加問卷調(diào)查獲贈的話費，

求X的分布列及數(shù)學(xué)期望.

附：V210?14.5,若X?N(p,。2),則①「(-o<xWu+。)=0.6827；

@P(n-2o<X<n+2o)=0.9544；③？-3。<XWR+3o)=0.9973.

1

【解答】解：(1)(25X35+150X45+200X55+250X65+225X75+100X85+50

X95)=65,

VV210=14.5,

：.P(50.5<zW79.5)=0.6287,p(36VZW94)二0.9545.

.P(36<Z<94)-P(50.5<Z<79.5)……

：.p(36<ZW50.5)?—-------------=兮------------=0.1359,

綜上，p(36VZ〈79.5)=p(36<ZW50.5)+p(50.5VZW79.5)心0.1359+