專題09 冪函數(shù)與二次函數(shù)-2025年高考數(shù)學一輪復習講義（知識梳理+真題自測+考點突破+分層檢測）（新高考專用）解析版

2/2專題09冪函數(shù)與二次函數(shù)（新高考專用）目錄目錄【知識梳理】 2【真題自測】 3【考點突破】 6【考點1】冪函數(shù)的圖象和性質(zhì) 6【考點2】求二次函數(shù)的解析式 9【考點3】二次函數(shù)的圖象與性質(zhì) 13【分層檢測】 18【基礎(chǔ)篇】 18【能力篇】 25【培優(yōu)篇】 27考試要求：1.了解冪函數(shù)的概念；結(jié)合函數(shù)y＝x，y＝x2，y＝x3，y＝xeq\f(1,2)，y＝eq\f(1,x)的圖象，了解它們的變化情況；2.理解二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，能用二次函數(shù)、方程、不等式之間的關(guān)系解決簡單問題.知識梳理知識梳理1.冪函數(shù)(1)冪函數(shù)的定義一般地，函數(shù)y＝xα叫做冪函數(shù)，其中x是自變量，α是常數(shù).(2)常見的五種冪函數(shù)的圖象(3)冪函數(shù)的性質(zhì)①冪函數(shù)在(0，＋∞)上都有定義；②當α>0時，冪函數(shù)的圖象都過點(1，1)和(0，0)，且在(0，＋∞)上單調(diào)遞增；③當α<0時，冪函數(shù)的圖象都過點(1，1)，且在(0，＋∞)上單調(diào)遞減.2.二次函數(shù)(1)二次函數(shù)解析式的三種形式一般式：f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0).頂點式：f(x)＝a(x－m)2＋n(a≠0)，頂點坐標為(m，n).零點式：f(x)＝a(x－x1)(x－x2)(a≠0)，x1，x2為f(x)的零點.(2)二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)函數(shù)y＝ax2＋bx＋c(a>0)y＝ax2＋bx＋c(a<0)圖象(拋物線)定義域R值域eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4ac－b2,4a)，＋∞))eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(－∞，\f(4ac－b2,4a)))對稱軸x＝－eq\f(b,2a)頂點坐標eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(b,2a)，\f(4ac－b2,4a)))奇偶性當b＝0時是偶函數(shù)，當b≠0時是非奇非偶函數(shù)單調(diào)性在eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(－∞，－\f(b,2a)))上是減函數(shù)；在eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(b,2a)，＋∞))上是增函數(shù)在eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(－∞，－\f(b,2a)))上是增函數(shù)；在eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(b,2a)，＋∞))上是減函數(shù)1.二次函數(shù)的單調(diào)性、最值與拋物線的開口方向和對稱軸及給定區(qū)間的范圍有關(guān).2.若f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，則當eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a>0，,Δ<0))時，恒有f(x)>0；當eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a<0，,Δ<0))時，恒有f(x)<0.3.(1)冪函數(shù)y＝xα中，α的取值影響冪函數(shù)的定義域、圖象及性質(zhì)；(2)冪函數(shù)的圖象一定會出現(xiàn)在第一象限內(nèi)，一定不會出現(xiàn)在第四象限.真題自測真題自測1．（2023·全國·高考真題）設(shè)函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，則的取值范圍是（

）A． B．C． D．2．（2021·全國·高考真題）設(shè)是橢圓的上頂點，若上的任意一點都滿足，則的離心率的取值范圍是（

）A． B． C． D．3．（2023·天津·高考真題）設(shè)，則的大小關(guān)系為（

）A． B．C． D．4．（2022·天津·高考真題）已知，，，則（

）A． B． C． D．二、填空題5．（2020·江蘇·高考真題）已知y=f(x)是奇函數(shù)，當x≥0時，，則f(-8)的值是.三、解答題6．（23-24高一下·上?！て谥校┮阎獌绾瘮?shù)為奇函數(shù)，且在區(qū)間上是嚴格減函數(shù).(1)求函數(shù)的表達式；(2)對任意實數(shù)，不等式恒成立，求實數(shù)t的取值范圍.參考答案：1．D【分析】利用指數(shù)型復合函數(shù)單調(diào)性，判斷列式計算作答.【詳解】函數(shù)在R上單調(diào)遞增，而函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，則有函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，因此，解得，所以的取值范圍是.故選：D2．C【分析】設(shè)，由，根據(jù)兩點間的距離公式表示出，分類討論求出的最大值，再構(gòu)建齊次不等式，解出即可．【詳解】設(shè)，由，因為，，所以，因為，當，即時，，即，符合題意，由可得，即；當，即時，，即，化簡得，，顯然該不等式不成立．故選：C．【點睛】本題解題關(guān)鍵是如何求出的最大值，利用二次函數(shù)求指定區(qū)間上的最值，要根據(jù)定義域討論函數(shù)的單調(diào)性從而確定最值．3．D【分析】根據(jù)對應冪、指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性判斷大小關(guān)系即可.【詳解】由在R上遞增，則，由在上遞增，則.所以.故選：D4．C【分析】利用冪函數(shù)、對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性結(jié)合中間值法可得出、、的大小關(guān)系.【詳解】因為，故.故答案為：C.5．【分析】先求，再根據(jù)奇函數(shù)求【詳解】，因為為奇函數(shù)，所以故答案為：【點睛】本題考查根據(jù)奇函數(shù)性質(zhì)求函數(shù)值，考查基本分析求解能力，屬基礎(chǔ)題.6．(1)(2)．【分析】（1）根據(jù)在區(qū)間上是嚴格減函數(shù)可得，解不等式可得整數(shù)的值，檢驗是否符合奇函數(shù)即可；（2）對任意實數(shù)，不等式恒成立，而在上為減函數(shù)，由此可得解．【詳解】（1）依題意為奇函數(shù)，在區(qū)間上是嚴格減函數(shù)，可得，解得，由于,故，1，2，當和時，，此時為奇函數(shù)，符合要求，當時，，此時為偶函數(shù)，不符合要求，；（2）不等式，即，又在上是減函數(shù)，在上為增函數(shù)，則在上為減函數(shù)，所以，則，所以實數(shù)的取值范圍為．考點突破考點突破【考點1】冪函數(shù)的圖象和性質(zhì)一、單選題1．（2024·四川成都·模擬預測）設(shè)命題，使是冪函數(shù)，且在上單調(diào)遞減；命題，則下列命題為真的是（

）A． B． C． D．2．（2022·上海黃浦·模擬預測）下列函數(shù)定義域為的是（

）A． B． C． D．二、多選題3．（20-21高三上·遼寧遼陽·期末）下列函數(shù)中是奇函數(shù)，且值域為的有（

）A． B．C． D．4．（23-24高一上·貴州·階段練習）現(xiàn)有4個冪函數(shù)的部分圖象如圖所示，則下列選項可能成立的是（

）A．，，，B．，，，C．，，，D．，，，三、填空題5．（2024·北京延慶·一模）已知函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，則的一個取值為．6．（2022·全國·模擬預測）若冪函數(shù)的圖像關(guān)于y軸對稱，則實數(shù)．參考答案：1．A【分析】根據(jù)特稱命題與全稱命題判斷命題的真假，從而可得“或”、“且”、“非”命題的真假得結(jié)論.【詳解】對于命題，當時，函數(shù)，是冪函數(shù)，且在上單調(diào)遞減，故命題為真命題；對于命題，當時，，不滿足，故命題為假命題．所以“”為真命題，“”為假命題，“”為假命題，“”為假命題．故選：A．2．C【分析】根據(jù)反比例函數(shù)、對數(shù)函數(shù)、冪函數(shù)、正切函數(shù)的定義域逐一判斷即可得解.【詳解】解：對于A，函數(shù)的定義域為，對于B，函數(shù)的定義域為，對于C，函數(shù)的定義域為，對于D，函數(shù)的定義域為.故選：C.3．AC【分析】根據(jù)奇函數(shù)的定義判斷四個函數(shù)的奇偶性，并求出值域可得答案.【詳解】對于A，因為，所以是奇函數(shù)，且值域為，故A正確；對于B，因為，所以為奇函數(shù)，但值域為，故B不正確；對于C，因為，所以為奇函數(shù)，且且值域為，故C正確；對于D，因為，所以為奇函數(shù)，但是值域為．故D不正確.故選：AC4．AB【分析】根據(jù)冪函數(shù)的圖象和性質(zhì)結(jié)合已知圖象分析判斷即可.【詳解】對于冪函數(shù)，若函數(shù)在上單調(diào)遞增，則，若函數(shù)在上單調(diào)遞減，則，所以，D選項錯誤；當時，若的圖象在的上方，則，若的圖象在的下方，則，所以，C選項錯誤；因為當時，指數(shù)越大，圖象越高，所以，綜上，，AB選項正確.故選：AB5．（不唯一）【分析】根據(jù)冪函數(shù)的單調(diào)性奇偶性即可得解.【詳解】因為在上單調(diào)遞增，又在區(qū)間上單調(diào)遞減，所以可以為偶函數(shù)，不妨取，此時，函數(shù)定義域為，且，故為偶函數(shù)，滿足在區(qū)間上單調(diào)遞減.故答案為：（不唯一）6．【分析】根據(jù)冪函數(shù)的概念和性質(zhì)計算即可【詳解】由冪函數(shù)可得，解得或，又因為函數(shù)圖像關(guān)于y軸對稱，則a為偶數(shù)，所以．故答案為：反思提升：(1)冪函數(shù)的形式是y＝xα(α∈R)，其中只有一個參數(shù)α，因此只需一個條件即可確定其解析式.(2)在區(qū)間(0，1)上，冪函數(shù)中指數(shù)越大，函數(shù)圖象越靠近x軸(簡記為“指大圖低”)，在區(qū)間(1，＋∞)上，冪函數(shù)中指數(shù)越大，函數(shù)圖象越遠離x軸.(3)在比較冪值的大小時，必須結(jié)合冪值的特點，選擇適當?shù)暮瘮?shù)，借助其單調(diào)性進行比較，準確掌握各個冪函數(shù)的圖象和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.【考點2】求二次函數(shù)的解析式一、單選題1．（2024·陜西·模擬預測）設(shè)函數(shù)的定義域為，且，當時，，則（

）A． B． C．1 D．2．（2024·全國·模擬預測）已知二次函數(shù)滿足對于任意的，，且.若，則的最大值與最小值之和是（

）A． B． C．4 D．二、多選題3．（2023·河北滄州·三模）已知二次函數(shù)滿足，；當時，.函數(shù)的定義域為，是奇函數(shù)，是偶函數(shù)，為自然對數(shù)的底數(shù)，則（

）A．函數(shù)的最小值為B．C．D．函數(shù)的導函數(shù)的最小值為4．（2023·全國·模擬預測）已知二次函數(shù)滿足對于任意的且．若，則下列說法正確的是（

）A． B．C． D．三、填空題5．（21-22高二下·重慶沙坪壩·期末）已知函數(shù)（）的圖象關(guān)于軸對稱，且與直線相切，寫出滿足上述條件的一個函數(shù)．參考答案：1．D【分析】根據(jù)題意，通過賦值法求得，即可聯(lián)立方程解出.【詳解】由題意可得①；②．令，由①得：，令，由②得，因為，所以，即.令，由①得，解得，所以．故選：D．2．C【分析】設(shè)，根據(jù)題意求得，由得到，設(shè)，，即，，利用三角函數(shù)的性質(zhì)求最大值最小值即可.【詳解】設(shè)，因為，令，得，故，所以，令，得，故，即，又，即，故，，所以，由，得，設(shè)，，即，，則，所以的最大值與最小值之和為，故選：C3．ACD【分析】設(shè)，根據(jù)已知條件求出、、的值，可得出函數(shù)的解析式，利用二次函數(shù)的基本性質(zhì)可判斷A選項；利用函數(shù)奇偶性的定義可得出關(guān)于、的等式組，求出的解析式，求出的值，可判斷B選項；利用函數(shù)的最值與導數(shù)的關(guān)系可判斷C選項；利用基本不等式求出的最小值，可判斷D選項.【詳解】設(shè)，由知函數(shù)的圖象關(guān)于直線對稱，即，解得.因為，由題意可得，當時，，則，所以，故，即，所以.又恒成立，即恒成立，于是，整理可得，解得，所以，，則，因此，函數(shù)的最小值為，A正確；因為函數(shù)為奇函數(shù)，則，①又因為函數(shù)為偶函數(shù)，則，②聯(lián)立①②可得，于是，，B錯誤；于是，，即在上單調(diào)遞增.注意到，從而，C正確；由基本不等式可得，當且僅當時，即當時，等號成立，故函數(shù)的最小值為，D正確，故選：ACD.4．BD【分析】設(shè)，根據(jù)題意，求得，由，得到，設(shè)，得到，結(jié)合三角函數(shù)的性質(zhì)，逐項計算，即可求解.【詳解】設(shè)二次函數(shù)，因為，令，可得，故，所以，令，得，故，即；又因為，即，解得，所以，由，可得，設(shè)，即，從而，故A錯誤，B正確；又由，所以C錯誤、D正確．故選：BD．5．（答案不唯一）【分析】由已知得到函數(shù)的對稱軸方程，從而得到，由與聯(lián)立方程消去整理成的一元二次方程，由得到的關(guān)系，分別取值寫出函數(shù)即可.【詳解】已知，∵的圖象關(guān)于y軸對稱，∴對稱軸，∴，∴，聯(lián)立，整理得，即，∵的圖象與直線相切，∴，∴，當時，.∴滿足條件的二次函數(shù)可以為．故答案為：.反思提升：求二次函數(shù)解析式的方法【考點3】二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)一、單選題1．（2024·全國·模擬預測）已知函數(shù)在區(qū)間上有最大值或最小值，則實數(shù)的取值范圍為（

）A． B． C． D．2．（2023·廣東韶關(guān)·模擬預測）已知方程和的解分別是和，則函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間是（

）A． B． C． D．二、多選題3．（2023·湖南株洲·一模）已知是函數(shù)的零點，則下列說法正確的是（

）A． B．C． D．4．（2024·河南信陽·模擬預測）若函數(shù)在上單調(diào)，則實數(shù)的值可以為（

）A． B． C． D．3三、填空題5．（23-24高三下·福建·開學考試）已知函數(shù)的值域為，則實數(shù)a的取值范圍為．6．（23-24高三下·青海西寧·開學考試）已知函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，則a的取值范圍為．參考答案：1．B【分析】根據(jù)開口向上，故需在區(qū)間上有最小值，且，從而得到不等式，求出答案.【詳解】要使函數(shù)在區(qū)間上有最大值或最小值，由于開口向上，故需函數(shù)在區(qū)間上有最小值，且．該函數(shù)圖像的對稱軸為直線，所以，解得，所以，且，即實數(shù)的取值范圍為．故選：B．2．A【分析】根據(jù)給定條件，利用互為反函數(shù)的函數(shù)圖象特征求出即可作答.【詳解】方程和依次化為：和，因此和分別是直線與曲線和的交點橫坐標，而函數(shù)和互為反函數(shù)，它們的圖象關(guān)于直線對稱，又直線垂直于直線，因此直線與曲線和的交點關(guān)于直線對稱，于是，函數(shù)，所以函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間是.故選：A3．ABC【分析】設(shè)，由可得，再根據(jù)選項依次判斷正誤即可.【詳解】設(shè)，，，，即，所以要使為系數(shù)都是整數(shù)的整式方程的根，則方程必須包含因式.由中的最高次數(shù)為4，是它的一個零點，因此，即.對選項，，是正確的；對選項，，是正確的；對選項，，是正確的；對選項，，當時，最小值為，當時，無最小值，因此選項是錯誤的.故選：.【點睛】關(guān)鍵點睛：本題解題關(guān)鍵在于將含有無理數(shù)的平方根式通過兩次平方化成有理數(shù)，得到含有無理數(shù)解的有理數(shù)整式方程，從而得解.4．BD【分析】分別討論和兩種情況，結(jié)合二次函數(shù)的圖像分析，即可得到答案.【詳解】①當，即時，，所以的對稱軸為，則的圖象如下：結(jié)合圖象可知，要使函數(shù)在上單調(diào)，則或，解得：或，即或；②當，即或，令，則的對稱軸為，則的圖象如下：結(jié)合圖象可知，要使函數(shù)在上單調(diào)，則，或，或，或解得：，或，綜上：或；故選：BD5．【分析】利用分段函數(shù)的值域是各段值域的并集，結(jié)合二次函數(shù)的單調(diào)性列不等式求解即可.【詳解】當時，若，可得；若，，函數(shù)的值域不可能為；②當時，，所以函數(shù)在，上單調(diào)遞增，若函數(shù)的值域為，只需，可得．由上知，實數(shù)a的取值范圍為．故答案為：6．【分析】將可看作由復合而成，根據(jù)復合函數(shù)的單調(diào)性，列出不等式，即可求得答案.【詳解】設(shè)，則可看作由復合而成，由于在上單調(diào)遞增，故要使得函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，需滿足在區(qū)間上恒成立，且在區(qū)間上單調(diào)遞減，故，解得，故a的取值范圍為，故答案為：反思提升：1.研究二次函數(shù)圖象應從“三點一線一開口”進行分析，“三點”中有一個點是頂點，另兩個點是圖象上關(guān)于對稱軸對稱的兩個點，常取與x軸的交點；“一線”是指對稱軸這條直線；“一開口”是指拋物線的開口方向.2.求解與二次函數(shù)有關(guān)的不等式問題，可借助二次函數(shù)的圖象特征，分析不等關(guān)系成立的條件.3.閉區(qū)間上二次函數(shù)最值問題的解法：抓住“三點一軸”數(shù)形結(jié)合，三點是指區(qū)間兩個端點和中點，一軸指的是對稱軸，結(jié)合圖象，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性及分類討論的思想求解.4不等式恒成立求參數(shù)范圍，一般有兩個解題思路：一是分離參數(shù)；二是不分離參數(shù)，直接借助于函數(shù)圖象求最值.這兩個思路，最后都是轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最值問題.分層檢測分層檢測【基礎(chǔ)篇】一、單選題1．（2011·遼寧沈陽·一模）已知函數(shù)，若且，則它的圖象可能是（）A．B． C． D．2．（2023高三上·江蘇徐州·學業(yè)考試）已知冪函數(shù)在上單調(diào)遞減，則實數(shù)的值為（

）A． B． C．3 D．13．（2024·全國·模擬預測）若函數(shù)在上單調(diào)，則實數(shù)的取值范圍為（

）A． B．C． D．4．（2023·全國·模擬預測）已知集合，，則的子集的個數(shù)為（

）A．1 B．2 C．4 D．8二、多選題5．（2021·遼寧·模擬預測）已知函數(shù)(即，)則（

）A．當時，是偶函數(shù) B．在區(qū)間上是增函數(shù)C．設(shè)最小值為，則 D．方程可能有2個解6．（23-24高一上·浙江·期中）若實數(shù)，，滿足，則下列不等關(guān)系可能成立的是（

）A． B． C． D．7．（2024·全國·模擬預測）下列函數(shù)中既是奇函數(shù)，又是定義域上的減函數(shù)的是（

）A． B．C． D．三、填空題8．（2023·上海閔行·一模）已知二次函數(shù)的值域為，則函數(shù)的值域為．9．（2023·廣東珠海·模擬預測）已知函數(shù)在區(qū)間上是增函數(shù)，則實數(shù)的取值范圍是.10．（2020·安徽蚌埠·三模）已知命題，使得，若命題p是假命題，則實數(shù)m的取值范圍是.四、解答題11．（2023·山東·一模）已知二次函數(shù)滿足，頂點為.(1)求函數(shù)的解析式；(2)若函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，求實數(shù)的取值范圍.12．（21-22高一上·遼寧·階段練習）已知冪函數(shù)（）的定義域為，且在上單調(diào)遞增．(1)求m的值；(2)，不等式恒成立，求實數(shù)a的取值范圍．參考答案：1．D【分析】根據(jù)條件確定，從而拋物線開口向上，，通過排除法得出選項.【詳解】由且，得，所以函數(shù)是二次函數(shù)，圖象開口向上，排除A，C；又，所以排除B；只有D符合.故選：D.2．A【分析】根據(jù)冪函數(shù)的定義，求得或，結(jié)合冪函數(shù)的單調(diào)性，即可求解.【詳解】由函數(shù)為冪函數(shù)，可得，即，解得或，當時，函數(shù)在上單調(diào)遞減，符合題意；當時，函數(shù)在上單調(diào)遞增，不符合題意.故選：A.3．C【分析】由題意，根據(jù)二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)建立不等式組，解之即可求解.【詳解】令，則或或或解得或，即實數(shù)m得取值范圍為.故選：C．4．B【分析】化簡集合，求，再確定其子集個數(shù).【詳解】因為，，所以，所以有2個子集．故選：B．5．ABD【分析】結(jié)合奇偶函數(shù)的定義和二次函數(shù)的性質(zhì)逐一判斷選項即可.【詳解】：當時，，即，所以，所以是偶函數(shù)，故正確；：當時，，的對稱軸為，開口向上，此時在上是增函數(shù)，當時，，的對稱軸為，開口向上，此時在上是增函數(shù)，綜上，在上是增函數(shù)，故正確；：當時，，當時，，因為不能確定的大小，所以最小值無法判斷，故錯誤；：令，當時，，有2個解，故正確.故選：ABD6．ABC【分析】將條件轉(zhuǎn)化為，在同一平面直角坐標系中作出函數(shù)，，的函數(shù)圖象，判斷他們與有交點時橫坐標的大小情況.【詳解】實數(shù)，，滿足，∴，，如圖在同一平面直角坐標系中作出函數(shù)，，的函數(shù)圖象，再作直線，變換的值發(fā)現(xiàn)，，，的大小關(guān)系可能為，，，，，，，故、、正確，錯誤．故選：．7．AD【分析】由解析式直接判斷函數(shù)的奇偶性與單調(diào)性即可得解.【詳解】對于A，是奇函數(shù)，在其定義域上單調(diào)遞減，故A正確；對于B，是在其定義域上單調(diào)遞增的指數(shù)函數(shù)，故B錯誤；對于C，，故在其定義域上不單調(diào)遞減，故C錯誤；對于D，是奇函數(shù)，在其定義域上單調(diào)遞減，故D錯誤.故選：AD.8．【分析】由二次函數(shù)的值域為，分析求出參數(shù)，然后代入中求出值域即可【詳解】由二次函數(shù)的值域為得：解得：或（舍去）所以因為所以函數(shù)的值域為：故答案為：.9．【分析】利用二次函數(shù)的單調(diào)性可得出關(guān)于實數(shù)的不等式，解之即可.【詳解】二次函數(shù)的圖象開口向上，對稱軸為直線，因為函數(shù)在區(qū)間上是增函數(shù)，則，解得.因此，實數(shù)的取值范圍是.故答案為：.10．【分析】將問題轉(zhuǎn)化為對，恒成立，進一步轉(zhuǎn)化為不等式右邊的最大值，再構(gòu)造函數(shù)，利用二次函數(shù)可求得最大值，從而可得結(jié)果.【詳解】因為命題p是假命題，所以非：對，恒成立為真命題，設(shè)，則，因為，且，所以當時，取得最大值，所以.故答案為：【點睛】本題考查了命題的真假，考查了不等式恒成立問題，考查了二次函數(shù)求最大值，考查了同角公式，屬于基礎(chǔ)題.11．(1)(2)【分析】（1）由二次函數(shù)頂點為可設(shè)，由即可求出a，則求出的解析式.（2）根據(jù)二次函數(shù)的開口和對稱軸即可求得實數(shù)的取值范圍.【詳解】（1）設(shè)，則由得：，，.（2）由（1）知，開口向上，對稱軸為，則若函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，需滿足，，∴實數(shù)a的取值范圍為.12．(1)或(2)【分析】（1）根據(jù)冪函數(shù)的性質(zhì)求解即可.（2）首先根據(jù)題意轉(zhuǎn)化為，恒成立．再利用換元法求解即可.【詳解】（1）或，又因為函數(shù)在上單調(diào)遞增，，（舍），，.（2），恒成立，，恒成立．令，，則在區(qū)間上單調(diào)遞增，在區(qū)間上單調(diào)遞減，，故．【能力篇】一、單選題1．（2024·黑龍江齊齊哈爾·二模）早在西元前6世紀，畢達哥拉斯學派已經(jīng)知道算術(shù)中項，幾何中項以及調(diào)和中項，畢達哥拉斯學派哲學家阿契塔在《論音樂》中定義了上述三類中項，其中算術(shù)中項，幾何中項的定義與今天大致相同．若，則的最小值為（

）A． B． C． D．二、多選題2．（2023·河南·模擬預測）已知，則（

）A． B．C． D．三、填空題3．（2023·遼寧葫蘆島·二模）已知函數(shù)，則關(guān)于x的不等式的解集為．四、解答題4．（2022·黑龍江雞西·二模）已知冪函數(shù)在上為減函數(shù).(1)試求函數(shù)解析式；(2)判斷函數(shù)的奇偶性并寫出其單調(diào)區(qū)間.參考答案：1．D【分析】令，，結(jié)合基本不等式可得，化簡可得，轉(zhuǎn)化為求關(guān)于的二次函數(shù)在區(qū)間上的最小值即可.【詳解】不妨設(shè)，，則，，所以，當且僅當時取等號，即，當且僅當時取等號，所以，（）所以當時，取得最小值，故選：D．2．AC【分析】根據(jù)對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性可判斷A；根據(jù)余弦函數(shù)的單調(diào)性可判斷B；根據(jù)冪函數(shù)的單調(diào)性可判斷C；根據(jù)指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性可判斷D.【詳解】對于A，由，得，又單調(diào)遞增，所以，故A正確；對于B，由于在上不單調(diào)，所以與的大小關(guān)系無法確定，故B錯誤；對于C，由，得，又單調(diào)遞增，所以，故C正確；對于D，由，得，又單調(diào)遞增，所以，故D錯誤．故選：AC．3．【分析】分析函數(shù)的性質(zhì)，借助函數(shù)單調(diào)性和代入求解不等式作答.【詳解】當時，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，當時，是增函數(shù)，且，因此函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，而，則當，即時，恒有成立，則，當時，，不等式化為，解得，則，所以不等式的解集為.故答案為：4．(1)(2)奇函數(shù)，其單調(diào)減區(qū)間為，【分析】（1）根據(jù)冪函數(shù)的定義，令，求解即可；（2）根據(jù)冪函數(shù)的性質(zhì)判斷函數(shù)的單調(diào)性，繼而可得其單調(diào)區(qū)間.【詳解】（1）由題意得，，解得或，經(jīng)檢驗當時，函數(shù)在區(qū)間上無意義，所以，則.（2），要使函數(shù)有意義，則，即定義域為，其關(guān)于原點對稱.，該冪函數(shù)為奇函數(shù).當時，根據(jù)冪函數(shù)的性質(zhì)可知在上為減函數(shù)，函數(shù)是奇函數(shù)，在上也為減函數(shù)，故其單調(diào)減區(qū)間為，.【培優(yōu)篇】一、單選題1．（2023·陜西商洛·模擬預測）已知函數(shù)，，記函數(shù)，若函數(shù)恰有三個不同的零點，且，則的最大值為（

）A． B． C． D．二、多選題2．（2024·浙江·模擬預測）二次