專題13 函數(shù)與方程-2025年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)講義（知識梳理+真題自測+考點(diǎn)突破+分層檢測）（新高考專用）原卷版

2/2專題13函數(shù)與方程（新高考專用）目錄目錄【知識梳理】 2【真題自測】 2【考點(diǎn)突破】 3【考點(diǎn)1】函數(shù)零點(diǎn)所在區(qū)間的判斷 3【考點(diǎn)2】函數(shù)零點(diǎn)個數(shù)的判定 4【考點(diǎn)3】函數(shù)零點(diǎn)的應(yīng)用 5【分層檢測】 7【基礎(chǔ)篇】 7【能力篇】 9【培優(yōu)篇】 10考試要求：1.理解函數(shù)的零點(diǎn)與方程的解的聯(lián)系.2.理解函數(shù)零點(diǎn)存在定理，并能簡單應(yīng)用.3.了解用二分法求方程的近似解.知識梳理知識梳理1.函數(shù)的零點(diǎn)(1)概念：對于一般函數(shù)y＝f(x)，我們把使f(x)＝0的實(shí)數(shù)x叫做函數(shù)y＝f(x)的零點(diǎn).(2)函數(shù)的零點(diǎn)、函數(shù)的圖象與x軸的交點(diǎn)、對應(yīng)方程的根的關(guān)系：2.函數(shù)零點(diǎn)存在定理(1)條件：①函數(shù)y＝f(x)在區(qū)間[a，b]上的圖象是一條連續(xù)不斷的曲線；②f(a)·f(b)<0.(2)結(jié)論：函數(shù)y＝f(x)在區(qū)間(a，b)內(nèi)至少有一個零點(diǎn)，即存在c∈(a，b)，使得f(c)＝0，這個c也就是方程f(x)＝0的解.1.若連續(xù)不斷的函數(shù)f(x)在定義域上是單調(diào)函數(shù)，則f(x)至多有一個零點(diǎn).函數(shù)的零點(diǎn)不是一個“點(diǎn)”，而是方程f(x)＝0的實(shí)根.2.由函數(shù)y＝f(x)(圖象是連續(xù)不斷的)在閉區(qū)間[a，b]上有零點(diǎn)不一定能推出f(a)·f(b)<0，如圖所示，所以f(a)·f(b)<0是y＝f(x)在閉區(qū)間[a，b]上有零點(diǎn)的充分不必要條件.3.周期函數(shù)如果有零點(diǎn)，則必有無窮多個零點(diǎn).真題自測真題自測一、單選題1．（2021·天津·高考真題）設(shè)，函數(shù)，若在區(qū)間內(nèi)恰有6個零點(diǎn)，則a的取值范圍是（

）A． B．C． D．二、多選題2．（2023·全國·高考真題）若函數(shù)既有極大值也有極小值，則（

）．A． B． C． D．三、填空題3．（2023·全國·高考真題）已知函數(shù)在區(qū)間有且僅有3個零點(diǎn)，則的取值范圍是．4．（2023·天津·高考真題）設(shè),函數(shù),若恰有兩個零點(diǎn)，則的取值范圍為．5．（2022·北京·高考真題）若函數(shù)的一個零點(diǎn)為，則；．6．（2022·天津·高考真題）設(shè)，對任意實(shí)數(shù)x，記．若至少有3個零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍為.考點(diǎn)突破考點(diǎn)突破【考點(diǎn)1】函數(shù)零點(diǎn)所在區(qū)間的判斷一、單選題1．（2024·貴州貴陽·模擬預(yù)測）設(shè)方程的兩根為，，則（

）A．， B．C． D．2．（2023·寧夏銀川·三模）函數(shù)在區(qū)間上存在零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（

）A． B．C． D．二、多選題3．（2022·廣東廣州·三模）已知函數(shù)，則（

）A．當(dāng)時，函數(shù)在上單調(diào)遞增B．函數(shù)的圖象關(guān)于直線對稱C．函數(shù)的最小正周期為D．若函數(shù)在上存在零點(diǎn)，則的取值范圍是4．（2023·安徽馬鞍山·三模）已知函數(shù)的零點(diǎn)為，下列判斷正確的是（

）A． B．C． D．三、填空題5．（2021·四川成都·三模）已知函數(shù)，若，且，則的最大值為．6．（2023·浙江紹興·二模）已知函數(shù)，若在區(qū)間上有零點(diǎn)，則的最大值為.反思提升：確定函數(shù)f(x)的零點(diǎn)所在區(qū)間的常用方法：(1)利用函數(shù)零點(diǎn)存在性定理：首先看函數(shù)y＝f(x)在區(qū)間[a，b]上的圖象是否連續(xù)，再看是否有f(a)·f(b)<0.若有，則函數(shù)y＝f(x)在區(qū)間(a，b)內(nèi)必有零點(diǎn).(2)數(shù)形結(jié)合法：若一個函數(shù)(或方程)由兩個初等函數(shù)的和(或差)構(gòu)成，則可考慮用圖象法求解，如f(x)＝g(x)－h(huán)(x)，作出y＝g(x)和y＝h(x)的圖象，其交點(diǎn)的橫坐標(biāo)即為函數(shù)f(x)的零點(diǎn).【考點(diǎn)2】函數(shù)零點(diǎn)個數(shù)的判定一、單選題1．（2024·山東濰坊·二模）已知函數(shù)則圖象上關(guān)于原點(diǎn)對稱的點(diǎn)有（

）A．1對 B．2對 C．3對 D．4對2．（2024·陜西安康·模擬預(yù)測）將函數(shù)的圖象向左平移個單位長度，再將所得函數(shù)圖象上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼谋?，縱坐標(biāo)不變，得到函數(shù)的圖象，若函數(shù)在上有5個零點(diǎn)，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．二、多選題3．（2024·江蘇揚(yáng)州·模擬預(yù)測）設(shè)函數(shù)，則下列結(jié)論正確的是（

）A．在上單調(diào)遞增B．若且，則C．若在上有且僅有2個不同的解，則的取值范圍為D．存在，使得的圖象向左平移個單位長度后得到的函數(shù)為奇函數(shù)4．（2024·全國·模擬預(yù)測）已知函數(shù)，則下列結(jié)論正確的是（

）A．是偶函數(shù) B．的最大值為C．在上單調(diào)遞增 D．在上有2個零點(diǎn)三、填空題5．（2024·青海西寧·二模）記是不小于的最小整數(shù),例如,則函數(shù)的零點(diǎn)個數(shù)為.6．（2024·山東濟(jì)南·二模）已知函數(shù)，若方程有三個不相等的實(shí)數(shù)解，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為.反思提升：函數(shù)零點(diǎn)個數(shù)的判定有下列幾種方法(1)直接求零點(diǎn)：令f(x)＝0，如果能求出解，那么有幾個解就有幾個零點(diǎn).(2)零點(diǎn)存在定理：利用該定理不僅要求函數(shù)在[a，b]上是連續(xù)不斷的曲線，且f(a)·f(b)＜0，還必須結(jié)合函數(shù)的圖象和性質(zhì)(如單調(diào)性)才能確定函數(shù)有多少個零點(diǎn).(3)畫兩個函數(shù)圖象，看其交點(diǎn)的個數(shù)有幾個，其中交點(diǎn)的橫坐標(biāo)有幾個不同的值，就有幾個不同的零點(diǎn).【考點(diǎn)3】函數(shù)零點(diǎn)的應(yīng)用一、單選題1．（2024·浙江麗水·二模）已知正實(shí)數(shù)滿足，，，則的大小關(guān)系是（

）A． B．C． D．2．（2024·福建泉州·模擬預(yù)測）已知函數(shù)，滿足，，若恰有個零點(diǎn)，則這個零點(diǎn)之和為（

）A． B． C． D．二、多選題3．（2024·廣東佛山·二模）已知函數(shù)與，記，其中，且．下列說法正確的是（

）A．一定為周期函數(shù)B．若，則在上總有零點(diǎn)C．可能為偶函數(shù)D．在區(qū)間上的圖象過3個定點(diǎn)4．（2023·山東菏澤·二模）已知，分別是函數(shù)和的零點(diǎn)，則（

）A． B． C．D．三、填空題5．（2024·全國·模擬預(yù)測）已知函數(shù)的圖像經(jīng)過四個象限，則實(shí)數(shù)的取值范圍是．6．（2024·北京豐臺·二模）設(shè)函數(shù)給出下列四個結(jié)論：

①當(dāng)時，函數(shù)在上單調(diào)遞減；②若函數(shù)有且僅有兩個零點(diǎn)，則；③當(dāng)時，若存在實(shí)數(shù)，使得，則的取值范圍為；④已知點(diǎn)，函數(shù)的圖象上存在兩點(diǎn)，關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)的對稱點(diǎn)也在函數(shù)的圖象上．若，則．其中所有正確結(jié)論的序號是．反思提升：(1)已知函數(shù)的零點(diǎn)求參數(shù)，主要方法有：①直接求方程的根，構(gòu)建方程(不等式)求參數(shù)；②數(shù)形結(jié)合；③分離參數(shù)，轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最值.(2)已知函數(shù)零點(diǎn)的個數(shù)求參數(shù)范圍，常利用數(shù)形結(jié)合法將其轉(zhuǎn)化為兩個函數(shù)的圖象的交點(diǎn)問題，需準(zhǔn)確畫出兩個函數(shù)的圖象，利用圖象寫出滿足條件的參數(shù)范圍.(3)函數(shù)零點(diǎn)問題一般可以轉(zhuǎn)化為兩個函數(shù)圖象的交點(diǎn)問題，通過畫圖分析圖象的特征、圖象間的關(guān)系解決問題，提升直觀想象核心素養(yǎng).分層檢測分層檢測【基礎(chǔ)篇】一、單選題1．（2024·江蘇·一模）函數(shù)在區(qū)間內(nèi)的零點(diǎn)個數(shù)為（

）A．2 B．3 C．4 D．52．（2023·四川綿陽·模擬預(yù)測）記函數(shù)的最小正周期為T，若，為的零點(diǎn)，則的最小值為（

）A．2 B．3 C．4 D．53．（2024·廣東湛江·二模）已知函數(shù)，，則（

）A．當(dāng)有2個零點(diǎn)時，只有1個零點(diǎn)B．當(dāng)有3個零點(diǎn)時，有2個零點(diǎn)C．當(dāng)有2個零點(diǎn)時，有2個零點(diǎn)D．當(dāng)有2個零點(diǎn)時，有4個零點(diǎn)4．（2024·廣東梅州·二模）三個函數(shù)，，的零點(diǎn)分別為，則之間的大小關(guān)系為（

）A． B．C． D．二、多選題5．（23-24高一上·云南玉溪·期末）已知函數(shù)的所有零點(diǎn)從小到大依次記為，則（

）A． B．C． D．6．（2021·全國·模擬預(yù)測）已知奇函數(shù)的定義域?yàn)?，且在上單調(diào)遞減，若，則下列命題中正確的是（

）A．有兩個零點(diǎn) B．C． D．7．（2022·重慶九龍坡·模擬預(yù)測）下列選項(xiàng)中說法正確的是（

）A．若冪函數(shù)過點(diǎn)，則B．用二分法求方程在內(nèi)的近似解的過程中得到，，f(1.25)<0，則方程的根落在區(qū)間上C．某校一次高三年級數(shù)學(xué)檢測，經(jīng)抽樣分析，成績近似服從正態(tài)分布，且，若該校學(xué)生參加此次檢測，估計(jì)該校此次檢測成績不低于分的學(xué)生人數(shù)為D．位同學(xué)報名參加兩個課外活動小組，每位同學(xué)限報其中的一個小組，則不同的報名方法共有種三、填空題8．（22-23高一下·河北石家莊·開學(xué)考試）已知函數(shù)在區(qū)間上有零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是．9．（2024·海南省直轄縣級單位·模擬預(yù)測）已知函數(shù)在內(nèi)恰有3個零點(diǎn)，則的取值范圍是．10．（2022·安徽合肥·模擬預(yù)測）已知關(guān)于x的方程在區(qū)間上有實(shí)根，那么的最小值為．四、解答題11．（2024·廣東·一模）已知，函數(shù).(1)求的單調(diào)區(qū)間.(2)討論方程的根的個數(shù).12．（2023·北京西城·二模）已知函數(shù)，其中．再從條件①、條件②、條件③中選擇一個作為已知，使存在，并完成下列兩個問題．(1)求的值；(2)當(dāng)時，若曲線與直線恰有一個公共點(diǎn)，求的取值范圍．條件①：；條件②：是的一個零點(diǎn)；條件③：．注：如果選擇多個條件分別解答，按第一個解答計(jì)分．【能力篇】一、單選題1．（2024·北京海淀·一模）已知，函數(shù)的零點(diǎn)個數(shù)為，過點(diǎn)與曲線相切的直線的條數(shù)為，則的值分別為（

）A． B． C． D．二、多選題2．（2023·安徽·模擬預(yù)測）已知為上的奇函數(shù)，且在上單調(diào)遞增，，則下列命題中一定正確的是（

）A． B．有3個零點(diǎn)C． D．三、填空題3．（2024·陜西咸陽·三模）已知函數(shù)為偶函數(shù)，滿足，且時，，若關(guān)于的方程有兩解，則的值為.四、解答題4．（2024·湖南長沙·模擬預(yù)測）設(shè)n次多項(xiàng)式，若其滿足，則稱這些多項(xiàng)式為切比雪夫多項(xiàng)式.例如：由可得切比雪夫多項(xiàng)式，由可得切比雪夫多項(xiàng)式.(1)若切比雪夫多項(xiàng)式，求實(shí)數(shù)a，b，c，d的值；(2)對于正整數(shù)時，是否有