2025版新教材高中數(shù)學(xué)課時(shí)作業(yè)56正弦函數(shù)余弦函數(shù)的單調(diào)性與最值新人教A版必修第一冊(cè)

課時(shí)作業(yè)56正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的單調(diào)性與最值基礎(chǔ)強(qiáng)化1.下列四個(gè)命題中，正確的命題是()A．y＝cosx在第一、三象限內(nèi)單調(diào)遞減B．y＝sinx在第一、三象限內(nèi)單調(diào)遞增C．y＝cosx在[－eq\f(π,2)，eq\f(π,2)]上單調(diào)遞減D．y＝sinx在[－eq\f(π,2)，eq\f(π,2)]上單調(diào)遞增2．設(shè)M和m分別表示函數(shù)y＝eq\f(1,3)cosx－1的最大值和最小值，則M＋m＝()A．eq\f(2,3)B．－eq\f(2,3)C．－eq\f(4,3)D．－23．函數(shù)y＝－3sinx＋4(x∈[－π，π])的一個(gè)單調(diào)遞增區(qū)間為()A．[－eq\f(π,2)，eq\f(π,2)]B．[0，π]C．[eq\f(π,2)，π]D．[－π，0]4．函數(shù)f(x)＝sin(2x－eq\f(π,4))(0≤x≤eq\f(π,2))的值域是()A．[－1，1]B．[－eq\f(\r(2),2)，1]C．[－eq\f(\r(2),2)，eq\f(\r(2),2)]D．[eq\f(\r(2),2)，1]5．(多選)下列不等式中成立的是()A．sin1<sineq\f(π,3)B．sineq\f(15π,7)>sineq\f(4π,5)C．coseq\f(2π,3)>cos2D．cos(－70°)>sin18°6．(多選)已知函數(shù)f(x)＝cosx，則下列函數(shù)在區(qū)間(0，eq\f(π,2))上單調(diào)遞增的是()A．f(x－π)B．f(x＋π)C．f(x－eq\f(π,2))D．f(x＋eq\f(π,2))7．函數(shù)y＝3－sineq\f(x,2)取最小值時(shí)x的集合是________．8．若函數(shù)f(x)＝－cos2x，則f(x)的一個(gè)遞增區(qū)間為_(kāi)_______．9．已知函數(shù)f(x)＝cos(2x＋eq\f(π,6)).(1)求f(x)取得最大值時(shí)x的值；(2)求f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間．10．已知函數(shù)f(x)＝2sin(x＋eq\f(π,6))＋a的最大值為1.(1)求函數(shù)f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間；(2)若x∈[0，eq\f(π,2)]，求函數(shù)f(x)的值域．實(shí)力提升11.已知函數(shù)f(x)＝22sin3x在[a，b]上的值域?yàn)閇0，11eq\r(3)]，則b－a＝()A．eq\f(π,6)B．eq\f(π,18)C．eq\f(π,9)D．eq\f(π,3)12．使cosx＝1－m有意義的m的取值范圍為()A．m≥0B．0≤m≤2C．－1＜m＜1D．m＜－1或m＞113．若函數(shù)f(x)＝sinωx(ω＞0)在區(qū)間[0，eq\f(π,3)]上單調(diào)遞增，在區(qū)間[eq\f(π,3)，eq\f(π,2)]上單調(diào)遞減，則ω＝()A．eq\f(2,3)B．eq\f(3,2)C．2D．314．(多選)已知函數(shù)f(x)＝sinωx(ω>0)在(－eq\f(π,6)，eq\f(π,6))上單調(diào)，則ω的可能值為()A．2B．3C．4D．515.函數(shù)y＝asinx＋1的最大值是2，則實(shí)數(shù)a的值等于________．16．已知函數(shù)f(x)＝sin(2ωx＋φ)(其中ω>0，|φ|<π)的最小正周期為eq\f(2π,3)，當(dāng)x＝eq\f(π,4)時(shí)，f(x)取到最大值．(1)求函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間；(2)當(dāng)a>0時(shí)，若函數(shù)g(x)＝af(x)＋b在區(qū)間[eq\f(π,36)，eq\f(π,3)]上的值域?yàn)閇1，3]，求實(shí)數(shù)a，b的值．課時(shí)作業(yè)561．解析：因?yàn)榈谝缓偷谌笙迣?duì)應(yīng)不同的角的范圍，所以選項(xiàng)AB的說(shuō)法錯(cuò)誤；依據(jù)余弦函數(shù)的單調(diào)性，函數(shù)y＝cosx在區(qū)間[－π，0]上單調(diào)遞增，在區(qū)間[0，π]單調(diào)遞減．所以選項(xiàng)C錯(cuò)誤；依據(jù)正弦函數(shù)的單調(diào)性，函數(shù)y＝sinx在區(qū)間[－eq\f(π,2)，eq\f(π,2)]上單調(diào)遞增，選項(xiàng)D正確．故選D.答案：D2．解析：因?yàn)椋?≤cosx≤1，所以－eq\f(4,3)≤eq\f(1,3)cosx－1≤－eq\f(2,3)，所以M＝－eq\f(2,3)，m＝－eq\f(4,3)，所以M＋m＝－2.故選D.答案：D3．解析：函數(shù)y＝－3sinx＋4的增區(qū)間，即y＝sinx的減區(qū)間，為[2kπ＋eq\f(π,2)，2kπ＋eq\f(3π,2)]，k∈Z.結(jié)合x(chóng)∈[－π，π]，可得y＝sinx的減區(qū)間為[eq\f(π,2)，π].故選C.答案：C4．解析：由0≤x≤eq\f(π,2)，∴0≤2x≤π，∴－eq\f(π,4)≤2x－eq\f(π,4)≤eq\f(3π,4)，利用正弦函數(shù)的性質(zhì)知f(x)∈[－eq\f(\r(2),2)，1].故選B.答案：B5．解析：對(duì)A，因?yàn)?<1<eq\f(π,3)<eq\f(π,2)，y＝sinx在(0，eq\f(π,2))單調(diào)遞增，所以sin1<sineq\f(π,3)，故A正確；對(duì)于B，sineq\f(15π,7)＝sineq\f(π,7)，sineq\f(4π,5)＝sineq\f(π,5)>sineq\f(π,7)，故B錯(cuò)誤；對(duì)C，因?yàn)閑q\f(π,2)<2<eq\f(2π,3)<π，y＝cosx在(eq\f(π,2)，π)單調(diào)遞減，所以coseq\f(2π,3)<cos2，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，cos(－70°)＝cos70°＝sin20°>sin18°，故D正確．故選AD.答案：AD6．解析：對(duì)于A：因?yàn)閒(x－π)＝cos(x－π)＝cos(π－x)＝－cosx，且f(x)＝cosx在區(qū)間(0，eq\f(π,2))上單調(diào)遞減，所以f(x－π)在區(qū)間(0，eq\f(π,2))上單調(diào)遞增，即選項(xiàng)A正確；對(duì)于B：因?yàn)閒(x＋π)＝cos(x＋π)＝－cosx，且f(x)＝cosx在區(qū)間(0，eq\f(π,2))上單調(diào)遞減，所以f(x－π)在區(qū)間(0，eq\f(π,2))上單調(diào)遞增，即選項(xiàng)B正確；對(duì)于C：因?yàn)閒(x－eq\f(π,2))＝cos(x－eq\f(π,2))＝cos(eq\f(π,2)－x)＝sinx，且y＝sinx在區(qū)間(0，eq\f(π,2))上單調(diào)遞增，所以f(x－eq\f(π,2))在區(qū)間(0，eq\f(π,2))上單調(diào)遞增，即選項(xiàng)C正確；對(duì)于D：因?yàn)閒(x＋eq\f(π,2))＝cos(x＋eq\f(π,2))＝－sinx，且y＝sinx在區(qū)間(0，eq\f(π,2))上單調(diào)遞增，所以f(x＋eq\f(π,2))在區(qū)間(0，eq\f(π,2))上單調(diào)遞減，即選項(xiàng)D錯(cuò)誤．故選ABC.答案：ABC7．解析：依題可知，y＝3－sineq\f(x,2)，當(dāng)sineq\f(x,2)＝1?eq\f(x,2)＝2kπ＋eq\f(π,2)，k∈Z，即x＝4kπ＋π，k∈Z時(shí)，函數(shù)取得最小值3－1＝2；綜上所述，函數(shù)y＝3－sineq\f(x,2)取最小值時(shí)x的集合是{x|x＝4kπ＋π，k∈Z}．答案：{x|x＝4kπ＋π，k∈Z}8．解析：因?yàn)閒(x)＝－cos2x，令2kπ≤2x≤2kπ＋π，k∈Z，∴kπ≤x≤eq\f(π,2)＋kπ，k∈Z，所以函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為[kπ，eq\f(π,2)＋kπ]，k∈Z，當(dāng)k＝0時(shí)，則函數(shù)f(x)的一個(gè)單調(diào)遞增區(qū)間為[0，eq\f(π,2)].答案：[0，eq\f(π,2)](答案不唯一)9．解析：(1)由余弦函數(shù)性質(zhì)可得函數(shù)f(x)＝cos(2x＋eq\f(π,6))的最大值為1.令f(x)＝cos(2x＋eq\f(π,6))＝1，則2x＋eq\f(π,6)＝2kπ(k∈Z)，∴x＝kπ－eq\f(π,12)(k∈Z).(2)∵函數(shù)y＝cosx的單調(diào)遞減區(qū)間為[2kπ，π＋2kπ](k∈Z)，令2kπ≤2x＋eq\f(π,6)≤π＋2kπ(k∈Z)，則－eq\f(π,12)＋kπ≤x≤eq\f(5π,12)＋kπ(k∈Z).∴f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間為[－eq\f(π,12)＋kπ，eq\f(5π,12)＋kπ](k∈Z).10．解析：(1)函數(shù)f(x)＝2sin(x＋eq\f(π,6))＋a，由2kπ＋eq\f(π,2)≤x＋eq\f(π,6)≤2kπ＋eq\f(3π,2)，k∈Z得：2kπ＋eq\f(π,3)≤x≤2kπ＋eq\f(4π,3)，k∈Z，所以函數(shù)f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間是[2kπ＋eq\f(π,3)，2kπ＋eq\f(4π,3)](k∈Z).(2)依題意，函數(shù)f(x)＝2sin(x＋eq\f(π,6))＋a的最大值2＋a＝1，解得a＝－1，f(x)＝2sin(x＋eq\f(π,6))－1，當(dāng)x∈[0，eq\f(π,2)]時(shí)，則x＋eq\f(π,6)∈[eq\f(π,6)，eq\f(2π,3)]，即有eq\f(1,2)≤sin(x＋eq\f(π,6))≤1，于是得0≤2sin(x＋eq\f(π,6))－1≤1，所以函數(shù)f(x)的值域?yàn)閇0，1].11．解析：因?yàn)閤∈[a，b]，所以3x∈[3a，3b].又因?yàn)閒(x)的值域?yàn)閇0，11eq\r(3)]，所以3b－3a＝eq\f(π,3)，則b－a＝eq\f(π,9).故選C.答案：C12．解析：∵－1≤cosx≤1且cosx＝1－m有意義，∴－1≤1－m≤1，∴0≤m≤2.故選B.答案：B13．解析：由題意可知函數(shù)在x＝eq\f(π,3)時(shí)確定最大值，就是eq\f(ωπ,3)＝2kπ＋eq\f(π,2)，k∈Z，所以ω＝6k＋eq\f(3,2)；只有k＝0時(shí)，ω＝eq\f(3,2)滿意選項(xiàng)．故選B.答案：B14．解析：因?yàn)閤∈(－eq\f(π,6)，eq\f(π,6))，ω>0故可得ωx∈(－eq\f(π,6)ω，eq\f(π,6)ω)，又y＝sinx的單調(diào)增區(qū)間為[2kπ－eq\f(π,2)，2kπ＋eq\f(π,2)]，k∈Z，故－eq\f(π,6)ω≥2kπ－eq\f(π,2)，eq\f(π,6)ω≤2kπ＋eq\f(π,2)，解得ω≤－12k＋3且ω≤12k＋3，k∈Z又ω>0，故k＝0，ω≤3.故選AB.答案：AB15．解析：因?yàn)楹瘮?shù)y＝asinx＋1的最大值是2，所以asinx的最大值為1，當(dāng)a>0時(shí)，sinx取最大值1時(shí)，asinx取得最大值，則a＝1，當(dāng)a<0時(shí)，sinx取最小值－1時(shí)，asinx取得最大值，則－a＝1，得a＝－1，綜上a＝±1.答案：±116．解析：(1)∵函數(shù)f(x)＝sin(2ωx＋φ)(其中ω>0，|φ|<π)的最小正周期為eq\f(2π,3)，∴ω＝eq\f(π,\f(2π,3))＝eq\f(3,2)，則f(x)＝sin(3x＋φ)，又∵當(dāng)x＝eq\f(π,4)時(shí)，f(x)取到最大值，∴3×eq\f(π,4)＋φ＝eq\f(π,2)＋2kπ，k∈Z，解得φ＝2kπ－eq\f(π,4)，k∈Z，∵|φ|<π，∴φ＝－eq\f(π,4)，則f(x)＝sin(3x－eq\f(π,4))，令－eq\f(π,2)＋2kπ≤3x－eq\f(π,4)≤eq\f(π,2)＋2kπ，k∈Z，解得－eq\f(π,12)＋eq\f(2,3)kπ≤x≤eq\f(π,4)＋eq\f(2,3)kπ，k∈Z，故函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為[－eq\f(π,12)＋eq\f(2,3)kπ，eq\f(π,4)＋eq\f(2,3)kπ]，k∈Z.(2)∵x∈[