高一數(shù)學(xué)球檢測試題

典型例題一例1．已知地球的半徑為，球面上兩點(diǎn)都在北緯45圈上，它們的球面距離為，點(diǎn)在東經(jīng)30上，求點(diǎn)的位置及兩點(diǎn)所在其緯線圈上所對應(yīng)的劣弧的長度．分析：求點(diǎn)的位置，如圖就是求的大小，只需求出弦的長度．對于應(yīng)把它放在中求解，根據(jù)球面距離概念計算即可．解：如圖，設(shè)球心為，北緯45圈的中心為，由兩點(diǎn)的球面距離為，所以=，為等邊三角形．于是．由，．即=．又點(diǎn)在東經(jīng)30上，故的位置在東經(jīng)120，北緯45或者西經(jīng)60，北緯45．兩點(diǎn)在其緯線圈上所對應(yīng)的劣弧．說明：此題主要目的在于明確經(jīng)度和緯度概念，及利用球的截面的性質(zhì)和圓的有關(guān)性質(zhì)設(shè)計計算方案．典型例題二例2．用兩個平行平面去截半徑為的球面，兩個截面圓的半徑為，．兩截面間的距離為，求球的表面積．分析：此類題目的求解是首先做出截面圖，再根據(jù)條件和截面性質(zhì)做出與球的半徑有關(guān)的三角形等圖形，利用方程思想計算可得．解：設(shè)垂直于截面的大圓面交兩截面圓于，上述大圓的垂直于的直徑交于，如圖2．設(shè)，則，解得．．說明：通過此類題目，明確球的有關(guān)計算問題需先將立體問題轉(zhuǎn)化為平面問題，進(jìn)一步熟悉有關(guān)圓的基礎(chǔ)知識，熟練使用方程思想，合理設(shè)元，列式，求解．典型例題三例3．自半徑為的球面上一點(diǎn)，引球的三條兩兩垂直的弦，求的值．分析：此題欲計算所求值，應(yīng)首先把它們放在一個封閉的圖形內(nèi)進(jìn)行計算，所以應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生構(gòu)造熟悉的幾何體并與球有密切的關(guān)系，便于將球的條件與之相聯(lián)．解：以為從一個頂點(diǎn)出發(fā)的三條棱，將三棱錐補(bǔ)成一個長方體，則另外四個頂點(diǎn)必在球面上，故長方體是球的內(nèi)接長方體，則長方體的對角線長是球的直徑．=．說明：此題突出構(gòu)造法的使用，以及滲透利用分割補(bǔ)形的方法解決立體幾何中體積計算．典型例題四例4．試比較等體積的球與正方體的表面積的大?。治觯菏紫茸ズ们蚺c正方體的基本量半徑和棱長，找出等量關(guān)系，再轉(zhuǎn)化為其面積的大小關(guān)系．解：設(shè)球的半徑為，正方體的棱長為，它們的體積均為，則由，，由得．．．，即．說明：突出相關(guān)的面積與體積公式的準(zhǔn)確使用，注意比較大小時運(yùn)算上的設(shè)計．典型例題五圖1例5．如圖1所示，在棱長為1的正方體內(nèi)有兩個球相外切且又分別與正方體內(nèi)切．（1）求兩球半徑之和；（2）球的半徑為多少時，兩球體積之和最?。畧D1分析：此題的關(guān)鍵在于作截面，一個球在正方體內(nèi)，學(xué)生一般知道作對角面，而兩個球的球心連線也應(yīng)在正方體的體對角線上，故仍需作正方體的對角面，得如圖2的截面圖，在圖2中，觀察與和棱長間的關(guān)系即可．解：如圖2，球心和在上，過，分別作的垂線交于．圖2則由得．圖2，．（1）設(shè)兩球體積之和為，則==當(dāng)時，有最小值．當(dāng)時，體積之和有最小值．典型例題六例6．設(shè)正四面體中，第一個球是它的內(nèi)切球，第二個球是它的外接球，求這兩個球的表面積之比及體積之比．分析：此題求解的第一個關(guān)鍵是搞清兩個球的半徑與正四面體的關(guān)系，第二個關(guān)鍵是兩個球的半徑之間的關(guān)系，依靠體積分割的方法來解決的．解：如圖，正四面體的中心為，的中心為，則第一個球半徑為正四面體的中心到各面的距離，第二個球的半徑為正四面體中心到頂點(diǎn)的距離．設(shè)，正四面體的一個面的面積為．依題意得，又即．所以．．說明：正四面體與球的接切問題，可通過線面關(guān)系證出，內(nèi)切球和外接球的兩個球心是重合的，為正四面體高的四等分點(diǎn)，即定有內(nèi)切球的半徑(為正四面體的高)，且外接球的半徑．典型例題七例7．把四個半徑都是1的球中的三個放在桌面上，使它兩兩外切，然后在它們上面放上第四個球，使它與前三個都相切，求第四個球的最高點(diǎn)與桌面的距離．分析：關(guān)鍵在于能根據(jù)要求構(gòu)造出相應(yīng)的幾何體，由于四個球半徑相等，故四個球一定組成正四面體的四個頂點(diǎn)且正四面體的棱長為兩球半徑之和2．解：由題意，四球心組成棱長為2的正四面體的四個頂點(diǎn)，則正四面體的高．而第四個球的最高點(diǎn)到第四個球的球心距離為求的半徑1，且三個球心到桌面的距離都為1，故第四個球的最高點(diǎn)與桌面的距離為．說明：此類型題目對培養(yǎng)學(xué)生空間想象能力，并根據(jù)題意構(gòu)造熟悉幾何體都非常有幫助，且還可以適當(dāng)增加一點(diǎn)實(shí)際背景，加強(qiáng)應(yīng)用意識．典型例題八例8過球面上兩點(diǎn)作球的大圓，可能的個數(shù)是（）．A．有且只有一個B．一個或無窮多個C．無數(shù)個D．以上均不正確分析：對球面上兩點(diǎn)及球心這三點(diǎn)的位置關(guān)系進(jìn)行討論．當(dāng)三點(diǎn)不共線時，可以作一個大圓；當(dāng)三點(diǎn)共線時，可作無數(shù)個大圓，故選B．答案：B說明：解此易選出錯誤判斷A．其原因是忽視球心的位置．典型例題九例9球面上有3個點(diǎn)，其中任意兩點(diǎn)的球面距離都等于大圓周長的，經(jīng)過3個點(diǎn)的小圓的周長為，那么這個球的半徑為（）．A．B．C．D．分析：利用球的概念性質(zhì)和球面距離的知識求解．設(shè)球的半徑為，小圓的半徑為，則，∴．如圖所示，設(shè)三點(diǎn)、、，為球心，．又∵，∴是等邊三角形，同樣，、都是等邊三角形，得為等邊三角形，邊長等于球半徑．為的外接圓半徑，，．答案：B說明：本題是近年來球這部分所出的最為綜合全面的一道題，除了考查常規(guī)的與多面體綜合外，還考查了球面距離，幾乎涵蓋了球這部分所有的主要知識點(diǎn)，是一道不可多得的好題．典型例題十例10半徑為的球內(nèi)接一個各棱長都相等的四棱錐．求該四棱錐的體積．分析：四棱錐的體積由它的底面積和高確定，只需找到底面、高與球半徑的關(guān)系即可，解決這個問題的關(guān)鍵是如何選取截面，如圖所示．解：∵棱錐底面各邊相等，∴底面是菱形．∵棱錐側(cè)棱都相等，∴側(cè)棱在底面上射影都相等，即底面有外接圓．∴底面是正方形，且頂點(diǎn)在底面上的射影是底面中心，此棱錐是正棱錐．過該棱錐對角面作截面，設(shè)棱長為，則底面對角線，故截面是等腰直角三角形．又因?yàn)槭乔虻拇髨A的內(nèi)接三角形，所以，即．∴高，體積．說明：在作四棱錐的截面時，容易誤認(rèn)為截面是正三角形，如果作平等于底面一邊的對稱截面（過棱錐頂點(diǎn)，底面中心，且與底面一邊平行），可得一個腰長為斜高、底為底面邊長的等腰三角形，但這一等腰三角形并不是外接球大圓的內(nèi)接三角形．可見，解決有關(guān)幾何體接切的問題，如何選取截面是個關(guān)鍵．解決此類問題的方法通常是先確定多面體的棱長（或高或某個截面內(nèi)的元素）與球半徑的關(guān)系，再進(jìn)一步求解．典型例題十一例11在球面上有四個點(diǎn)、、、，如果、、兩兩互相垂直，且．求這個球的表面積．分析：，因而求球的表面關(guān)鍵在于求出球的半徑．解：設(shè)過、、三點(diǎn)的球的截面半徑為，球心到該圓面的距離為，則．由題意知、、、四點(diǎn)不共面，因而是以這四個點(diǎn)為頂點(diǎn)的三棱錐（如圖所示）．的外接圓是球的截面圓．由、、互相垂直知，在面上的射影是的垂心，又，所以也是的外心，所以為等邊三角形，且邊長為，是其中心，從而也是截面圓的圓心．據(jù)球的截面的性質(zhì)，有垂直于⊙所在平面，因此、、共線，三棱錐是高為的球內(nèi)接正三棱錐，從而．由已知得，，所以，可求得，∴．說明：涉及到球與圓柱、圓錐、圓臺切接問題，一般作其軸截面；涉及到球與棱柱、棱錐、棱臺的切接問題，一般過球心及多面體中特殊點(diǎn)或線作截面，把空間問題化為平面問題，進(jìn)而利用平面幾何的知識尋找?guī)缀误w元素間的關(guān)系．典型例題十二例12已知棱長為3的正四面體，、是棱、上的點(diǎn)，且，．求四面體的內(nèi)切球半徑和外接球半徑．分析：可用何種法求內(nèi)切球半徑，把分成4個小體積(如圖)．解：設(shè)四面體內(nèi)切球半徑為，球心，外接球半徑，球心，連結(jié)、、、，則．四面體各面的面積為，，．各邊邊長分別為，，∴．∵，，∴，∴．如圖，是直角三角形，其個心是斜邊的中點(diǎn)．設(shè)中心為，連結(jié)，過作平面的垂線，必在此垂線上，連結(jié)、．∵，，∴，．在直角梯形中，，，，，又∵，∴，解得：．綜上，四面體的內(nèi)切球半徑為，外接球半徑為．說明：求四面體外接半徑的關(guān)鍵是確定其球心．對此多數(shù)同學(xué)束手無策，而這主要是因本題圖形的背景較復(fù)雜．若把該四面體單獨(dú)移出，則不參發(fā)現(xiàn)其球心在過各面三角形外心且與該三角形所在平面垂直的直線上，另還須注意其球心不一定在四面體內(nèi)部．本題在求四面體內(nèi)切球半徑時，將該四面體分割為以球心為頂點(diǎn)，各面為底面的四個三棱錐，通過其體積關(guān)系求得半徑．這樣分割的思想方法應(yīng)給予重視．典型例題十三例13一個倒圓錐形容器，它的軸截面是正三角形，在容器內(nèi)注入水，并放入一個半徑為的鐵球，這時水面恰好和球面相切．問將球從圓錐內(nèi)取出后，圓錐內(nèi)水平面的高是多少？分析：先作出軸截面，弄清楚圓錐和球相切時的位置特征，利用鐵球取出后，錐內(nèi)下降部分(圓臺)的體積等于球的體積，列式求解．解：如圖，作軸截面，設(shè)球未取出時，水面高，球取出后，水面高．∵，，則以為底面直徑的圓錐容積為，．球取出后，水面下降到，水的體積為．又，則，解得．答：球取出后，圓錐內(nèi)水平面高為．說明：抓住水的何種不變這個關(guān)鍵，本題迅速獲解．典型例題十四例14球面上有三點(diǎn)、、組成這個球的一個截面的內(nèi)接三角形三個頂點(diǎn)，其中，、，球心到這個截面的距離為球半徑的一半，求球的表面積．分析：求球的表面積的關(guān)鍵是求球的半徑，本題的條件涉及球的截面，是截面的內(nèi)接三角形，由此可利用三角形求截面圓的半徑，球心到截面的距離為球半徑的一半，從而可由關(guān)系式求出球半徑．解：∵，，，∴，是以為斜邊的直角三角形．∴的外接圓的半徑為，即截面圓的半徑，又球心到截面的距離為，∴，得．∴球的表面積為．說明：涉及到球的截面的問題，總是使用關(guān)系式解題，我們可以通過兩個量求第三個量，也可能是抓三個量之間的其它關(guān)系，求三個量．例如，過球表面上一點(diǎn)引三條長度相等的弦、、，且兩兩夾角都為，若球半徑為，求弦的長度．由條件可抓住是正四面體，、、、為球上四點(diǎn)，則球心在正四面體中心，設(shè)，則截面與球心的距離，過點(diǎn)、、的截面圓半徑，所以得．典型例題十五例15、是半徑為的球的球面上兩點(diǎn)，它們的球面距離為，求過、的平面中，與球心的最大距離是多少？分析：、是球面上兩點(diǎn)，球面距離為，轉(zhuǎn)化為球心角，從而，由關(guān)系式，越小，越大，是過、的球的截面圓的半徑，所以為圓的直徑，最?。猓骸咔蛎嫔?、兩點(diǎn)的球面的距離為．∴，∴．當(dāng)成為圓的直徑時，取最小值，此時，取最大值，，即球心與過、的截面圓距離最大值為．說明：利用關(guān)系式不僅可以知二求一，而且可以借此分析截面的半徑與球心到截面的距離之間的變化規(guī)律．此外本題還涉及到球面距離的使用，球面距離直接與兩點(diǎn)的球心角有關(guān)，而球心角又直接與長度發(fā)生聯(lián)系，這是使用或者求球面距離的一條基本線索，繼續(xù)看下面的例子．典型例題十六例16正三棱錐的高為1，底面邊長為，正三棱錐內(nèi)有一個球與其四個面相切．求球的表面積與體積．分析：球與正三棱錐四個面相切，實(shí)際上，球是正三棱錐的內(nèi)切球，球心到正三棱錐的四個面的距離相等，都為球半徑．這樣求球的半徑可轉(zhuǎn)化為球球心到三棱錐面的距離，而點(diǎn)面距離?？梢杂玫润w積法解決．解：如圖，球是正三棱錐的內(nèi)切球，到正三棱錐四個面的距離都是球的半徑．EMBEDEquation.3是正三棱錐的高，即．EMBEDEquation.3是邊中點(diǎn)，在上，的邊長為，∴．∴可以得到．由等體積法，∴得：，∴．∴．說明：球心是決定球的位置關(guān)鍵點(diǎn)，本題利用球心到正三棱錐四個面的距離相等且為球半徑來求出，以球心的位置特點(diǎn)來抓球的基本量，這是解決球有關(guān)問題常用的方法．比如：四個半徑為的球兩兩外切，其中三個放在桌面上，第四個球放在這三個球之上，則第四個球離開桌面的高度為多少？這里，四個球的球心這間的距離都是，四個球心構(gòu)成一個棱長為的正四面體，可以計算正四面體的高為，從而上面球離開桌面的高度為．典型例題十七例17求球與它的外切圓柱、外切等邊圓錐的體積之比．分析：首先畫出球及它的外切圓柱、等邊圓錐，它們公共的軸截面，然后尋找?guī)缀误w與幾何體之間元素的關(guān)系．解：如圖，等邊為圓錐的軸截面，此截面截圓柱得正方形，截球面得球的大圓圓．設(shè)球的半徑，則它的外切圓柱的高為，底面半徑為；，，∴，，，∴．典型例題十八例18正三棱錐的側(cè)棱長為，兩側(cè)棱的夾角為，求它的外接球的體積．分析：求球半徑，是解本題的關(guān)鍵．解：如圖，作底面于，則為正的中心．∵底面，∴、、三點(diǎn)共線．∵，．∴．∴，設(shè)，作于，在中，∵，又，∴．在中，∵，∴．說明：解決與球有關(guān)