新教材蘇教版必修第二冊(cè)10.1兩角和與差的三角函數(shù)

第10章三角恒等變換

10.1兩角和與差的三角函數(shù)

10.1.3兩角和與差的正切

基礎(chǔ)過(guò)關(guān)練

題組一利用兩角和與差的正切公式求值

1.（2021江蘇江浦高級(jí)中學(xué)高一月考）若tan（；+a）=2,則tana的值為（）

2.(2021吉林長(zhǎng)春外國(guó)語(yǔ)學(xué)校高一期末)已知tan(aV)=2,tan(a+￡)=-3,則

tan(/?+%()

A.1B.-1

C.-zD.三

3.（2021江蘇徐州第三中學(xué)高一月考）化簡(jiǎn)霽*箸-=（）

A.-yB.-V3

C.yD.V3

4.（2021江蘇海安中學(xué)高一期中）第24屆國(guó)際數(shù)學(xué)家大會(huì)會(huì)標(biāo)是以我國(guó)古代數(shù)學(xué)家

趙爽的弦圖為基礎(chǔ)進(jìn)行設(shè)計(jì)的.如圖，會(huì)標(biāo)是由4個(gè)全等的直角三角形與一個(gè)小正

方形拼成的一個(gè)大正方形,若小正方形的面積為4,大正方形的面積為100,設(shè)直角三

角形中較大的銳角為。，則tan（。-加）

A二B.Z

5.計(jì)算:gtanlO°+V3tan200+tanlO°tan20

6.已知tan(a+=2聲,求：

(l)tan(a+3-彳)的值；

(2)tan(a+￡)的值.

易錯(cuò)

題組二利用兩角和與差的正切公式求角

7.（2020浙江杭州蕭山中學(xué)高一期末）若A是△/反?的內(nèi)角，滿足tan代；+；：：；；；,則A

的大小是（）

A.30°B.45°

C.60°D.120°

8.（2020江蘇南通通州、海安高一上學(xué)期期末）已知tan*，tan￡=T，且a,8G

（0,n）,則a+fi=（）

A-TB-T

C.—D.—

64

9.（2021山東平度第一中學(xué)高一期中）已知tana,tan￡是方程/+3V3JT+4=0的兩

根，且則a+8=（）

2B片

C.-gD.熱號(hào)

10.如圖是由三個(gè)正方形拼接而成的長(zhǎng)方形，則a+￡+y等于

11.已知tan<z=2,tan￡=-；,其中0<a<^<￡<JI.

⑴求tan(a-8)；

⑵求a+B的值.

題組三利用兩角和與差的正切公式進(jìn)行化簡(jiǎn)

12.下列四個(gè)式子是恒等式的為()

(a+￡)=sina+sin￡

(a+8)=cosacos￡+sinasin8

(⑦_(dá)￡)_tana-tan/?

'/1-tanatan^

(a+j0)sin(a-y?)=sin2a-sin2B

13.(2021江蘇洪澤中學(xué)高一月考)已知43都是銳角,且今后

p(l+tan/f)(l+tan^=2.求證:/+廬;.

能力提升練

題組一利用兩角和與差的正切公式求值

1.(2021江蘇響水中學(xué)高一期中,北)已知&?cos(n+^)=cos2"sin?0,

且sinJ#0,則tan(6+§的值為()

A.V3B.yC.2-V3D.2+V3

2.侈選）（2021福建莆田仙游一中高一開學(xué)考試*）已知0<且

tantan￡是方程/-/^+2=0的兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根,則下列結(jié)論正確的是

A.tana+tanB=-mB./n>2y[2

C.研tan。24（a+￡）=-勿

3.（2020江蘇鹽城中學(xué)高一學(xué)情檢測(cè),"）已知a,￡均為銳角，且

5cos（a+￡）=3cos（a-￡）,則tan（a+￡）的最小值是.

4.（2020江蘇無(wú)錫、江陰高一上學(xué)期期末,*）在平面直角坐標(biāo)系x勿中,已知角a

的頂點(diǎn)與原點(diǎn)0重合,始邊與x軸的非負(fù)半軸重合，它的終邊上有一點(diǎn)尸的坐標(biāo)是

（3a,a）,其中a#0.

⑴求cos（a-；）的值；

⑵若tan（2a+￡）=l,求tan￡的值.

題組二利用兩角和與差的正切公式求角

5.（2020江蘇張家港外國(guó)語(yǔ)學(xué)校高一期末,*）在

中,tan/+tan班tanf^BV^tan?廬tan/tanC則角廬（）

6.（2021廣東佛山一中高一期中,"）已知a,￡W（0,n）,且tan（a-￡）告,tan￡=-

等,則2"￡的值為

11------------

7.（2020江蘇姜堰中學(xué)高二期末,/）若4/8。的三個(gè)內(nèi)角滿足：2廬力+C；且

水樂(lè)C,tan4tan俏2+g,求角力,旦。的大小.

深度解析

8.（2021江蘇連云港海頭高級(jí)中學(xué)高一期中,*：）如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，以

0x軸為始邊作兩個(gè)銳角。，萬(wàn),它們的終邊分別與單位圓相交于48兩點(diǎn)，已知48

的橫坐標(biāo)分別為零言

⑴求tan（a+￡）的值；

⑵求a+2B的值.

題組三兩角和與差的正切公式的綜合應(yīng)用

9.（2020江蘇揚(yáng)州中學(xué)高一階段檢測(cè),"）已知等腰%的腰為底的2倍,則頂角A

的正切值是（）

A.暫B.gC.乎D.孚

287

10.(*)是否存在銳角a,f,使得①。+2￡=爭(zhēng)②tan]?tan￡=2-8同時(shí)成立？若存

在，求出。，￡的值;若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.

答案全解全析

第10章三角恒等變換

10.1兩角和與差的三角函數(shù)

10.1.3兩角和與差的正切

基礎(chǔ)過(guò)關(guān)練

1.Atan(：+a)=署*2,解得tana=l.

故選A.

2.A因?yàn)閠an(a-g)=2,tan(a+￡)=-3,

所以tan(0+9

=tan[(a+0)-(a-3)]

_tan(a+p)-tan(a-^)

14-tan(a+p)tan(a-^J

=而a=1?故選A-

3.A因?yàn)閠an(12。-72。)喘"嚅.

=tan(-60°)=-V3,

所以詈誓票=代==一白=一景故選A.

tanl2-tan72tan(-60)V33

4.答案B

信息提取①會(huì)標(biāo)是一個(gè)大正方形;②大正方形由4個(gè)全等的直角三角形與一個(gè)小

正方形拼成;③小正方形的面積為4,大正方形的面積為100.

數(shù)學(xué)建模以第24屆國(guó)際數(shù)學(xué)家大會(huì)會(huì)標(biāo)為背景,構(gòu)建數(shù)學(xué)模型，求解直角三角形

中某個(gè)角的三角函數(shù)值.設(shè)直角三角形較長(zhǎng)直角邊為&由勾股定理列得關(guān)于a的

方程，從而求得tan9的值，再由正切的兩角差公式求解.

解析根據(jù)題意，每個(gè)直角三角形的兩條直角邊的長(zhǎng)度之差為2,斜邊的長(zhǎng)度為10,

故設(shè)直角三角形較長(zhǎng)直角邊為&則另一直角邊為(42),

.?.1+(3-2)2=100,解得a=8,

Asincos夕=|,則tan9-,

/.tan(e

\4/l+tan67

5.答案1

解析Vtan100+tan200=tan300(1-tanlOtan200)=y(l-tanl00tan200),

/.V3tanl0°+V5tan200+tanl0°tan20°=V3(tanlO°+tan20°)+tanl00tan20°=

百義苧(1-tanlO°tan20°)+tanl0°tan20°=1.

6.解析⑴tan(a+g)

=tan[(a+^)+(/?-f)]

二tan(a+給+tan(0號(hào))

1-tan(a+g)tan(0-/)

—V2+2yf2—_p:

-1-72X2V2-..

⑵tan(。￡)=tan[(a+*)+滬需螭能；2后3.

易錯(cuò)警示

直接運(yùn)用兩角和與差的正切公式進(jìn)行求值、化簡(jiǎn)與證明的關(guān)鍵是準(zhǔn)確記憶公式，特

別是7±.)中的符號(hào)規(guī)律是“分子相同、分母相反”.

7.C由題意得taM=岑*=第若*=tan60°=V3,

又4是△放的內(nèi)角，所以4=60°.故選C.

8.B,Itana=?0,tan￡=-￡(),且a,￡e(0,n),

???ae(o《"飛㈤，

14

又tan(。+￡)=；喘嗎=*=-1,

''1-tanatan/?

/.a+6哼故選B.

9.C因?yàn)閠ana,tan￡是方程1+3h矛+4=0的兩根,

所以(tana+tan，=-3V3,

Itanatan^=4,

貝ijtan(。+￡)=^^=普=6,

''1-tanatan/?1-4

又a,￡G(《，0),所以-n<a+￡<0,

因此a+￡=號(hào).

故選C.

10.答案i

解析由題圖易知tana三,tan￡三，/三,二tan(。+尸)守第=1,

又0<a+￡4，

,a+f=?.a+￡+

11.解析(1)把tana=2,tan￡=-；代人得

tan(a-fi戶拌2。=.2gL=7.

'，l+tanatanpi+2x(-1)

(2)把tana=2,tan￡=-；代人得

tan(4+￡)=：na+ta嗎=、+(2=],

又0<。<瑞<￡",所以為a+￡今,

所以a+￡哼

12.D由兩角和與差的正弦、余弦、正切公式可知,A,B,C中的等式不一定成立.

選項(xiàng)D中,sin(。+￡)sin(。-￡)=(sin<7cos￡+cos。sin￡)(sinacos￡一

cosasin￡)=sir?acos2j5-cos2Qsin~￡=sin'a(1-sin275)-(l-

sinJci)sinLS=sin?o—sin?￡.故選D.

13.證明?.?(l+tan/)(l+tan句=2,

，1+tanA+tan班tanHtan廬2,

l-tanAan^tan/l+tan^,

又l—tan4tan#0,

???黑黑=l，,tanH+家1,

又..U是銳角,后％

能力提升練

1.DVV2sin(0-^cos(Ji+夕尸cos?，一sir?。，

.,.&(sin8cos:cos8sing(—COS夕)二COS""sin一夕，

/.(sin夕—cos8)(-cos")=(cos"sin0)?(cos夕+sinJ),I.sinJ(cos。一

sin。尸0,

Vsin夕W0,...cos，一sin，二O,.'tan夕=1,

，tan(e+9=2!!^=嚕2+g.

V6)l-tan0tang1無(wú)

故選D.

2.BCD由tana,tanB是方程x-/nx+2=0的兩個(gè)不相等實(shí)數(shù)根，

得tana+tan￡=z?,tana?tan￡=2,故A錯(cuò)誤；

由0<a<￡g,tana,tan￡均為正數(shù)，

得zzFtana+tan￡=/22洞Q=2或，當(dāng)且僅當(dāng)tana=tan￡時(shí)取等號(hào),因?yàn)榉?/p>

程有兩個(gè)不相等實(shí)數(shù)根，所以tanaWtan￡,故等號(hào)取不到，故B正確；

加"tana=2tana+tan822,2tana?tan/?=4,當(dāng)且僅當(dāng)2tana=tan取等號(hào)，故C正

確;tan(。+￡)=普*叩勺故口正確.

'71-tana?tan￡-1

故選BCD.

3.答案1

解析因?yàn)?cos(a+￡)=3cos("￡),

所以5cosacos￡-5sinasin

=3cos<7cos￡+3sin。sin￡,

所以2cosocos￡=8sin〃sin￡,

故tanQtan￡三，

因?yàn)?。，￡均為銳角，所以tan〃>0,tan￡>0.

所以tan(a+B產(chǎn)署翳力(tana+tan￡)2含2,tanatan*,

當(dāng)且僅當(dāng)tana=tan￡=g時(shí)等號(hào)成立，

所以tan(。+￡)的最小值是:

4.解析⑴由題意可得，當(dāng)a>0時(shí)，點(diǎn)。在第一象限，

cosa=-3a

(3a)2+a210

sin.~7o~

J(3a)，。2

.?.cos(a-g=cosacos*inasi曰;

當(dāng)a<0時(shí)，點(diǎn)尸在第三象限,

3a3a__35/10

COSQ二!

J(3a)2+a2710a―10

sm4二/.a__V10

J(3a)，a2710：a.一"16~1

.\cos(a-7)=cosQcos：+sinasin?二一等

\4/445

綜上，當(dāng)a>0時(shí),cos(a.)=*當(dāng)a<0時(shí),cos(a-；)=-等.

(2)由題意可得tana=l,

tan2a=tan(a+a)=sna+tana=3,

''1"tancr,tana4

*/tan(2a+￡)=1,

/.tan￡=tan[(2Q+儲(chǔ)-2〃]二.tan(2a+0)-tan2a_1

l+tan(2a+/7)tan2a7'

5.C因?yàn)椤ò嗵?80°,

所以tan(/+6)=-tanH

因?yàn)閠an/+tanatan6>3V5,

所以tan/l+tanG^V5-tanA

又tar?廬tan力tang

所以由tan(/+6)=黑感得

-tan作學(xué)駕，

l-tan2F'

所以-tan^l-tan'功=3V5-tan8,

所以tan'2?=3V5,所以tanj?=V5.

又0。<^<180°，所以廬60°.

6.答案號(hào)

解析tan("￡)=「"}=竽

''14-tana?tan?3

5/3

把tan氏-等代入得由。+共唱解得的「a哼

11l+taw卜警)39

/小V3,2^/3

貝ijtan(2a-￡)=tan[La+(。-T^=叵

''''』1-tana?tan(a4-p)-73273

因?yàn)閠ana普<1,所以0<a<：,即0C2a<*

因?yàn)閠an￡=-￥<0,所以軍尸<n,

則-n<2"￡<0,所以2"￡=號(hào).

7.解析由題意知檄I'。。，

解得5=60°且/+年120°,

又tan/tang+V5,

tan4+tan俏tan(/+0(1-tanltan6)

=tanl20。X(1-2-百)

=-V3X(-l-V3)=3+V3.

，tan4tan。可作為一元二次方程V-(3+V5)x+2+百=0的兩根,

解得X1=1,X2=2+V5,

又YO°OK樂(lè)儀180°,

...tan/4=l,tan(?=2+V3,

即4=45°,1=75°.

.?.角。的大小分別為45°,60°,75°.

方法技巧

兩角和與差的正切公式有兩種變形形式：

①tana±tan￡=tan（a土￡）（1干tanatan￡）；②1干tana?tan￡=：：：鬻［當(dāng)

a±￡為特殊角時(shí)，常考慮使用變形形式①，遇到1與正切的乘積的和（或差）時(shí)常

用變形形式②.

8.解析由題