2021-2022學(xué)年數(shù)學(xué)蘇教版必修第二冊學(xué)案：第11章 余弦定理、正弦定理的應(yīng)用

11.3余弦定理、正弦定理的應(yīng)用

第1課時余弦定理、正弦定理的基本應(yīng)用

課程i.了解余弦定理與正弦定理的應(yīng)用.

標(biāo)準(zhǔn)；2.會利用余弦定理、正弦定理解決實際生活中的距離（高度），方向（方位）等問題.

概念認(rèn)知

解三角形中的常見術(shù)語

術(shù)語

術(shù)語意義圖形表示

名稱

與目標(biāo)視線在同一鉛直

平面內(nèi)的水平視線和目

學(xué)

仰角與標(biāo)視線的夾角，目標(biāo)視線鉛/卬角

宜松—水平視線

線\俯角

俯角在水平視線上立時叫仰

視線

角,目標(biāo)視線在水平視線

適時叫俯角.

從正北方向順避t轉(zhuǎn)到

目標(biāo)方向線所成的水平北

方位西工東

角，如點B的方位角為

角

a（如圖所示）方位角的取南

值范圍：0°~360。.

指以觀測者為中心，指北

如圖，左圖中表示北偏東。,右圖

或指南的方向線與目標(biāo)30

方問

中表示南偏西60°.

方向線所成的小于90。的

角4./

水平角，它是方位角的另

一種表示形式.

自我小測

1.有一條與兩岸平行的河流,水速為1m/s,小船的速度為啦m/s,

為使所走路程最短，小船應(yīng)朝什么方向行駛（）

A.與水速成45°B.與水速成135°

C.垂直于對岸D.不能確定

選B.如圖所示AB是水速AD為船速AC是船的實際速度目AC_LAB,

十,ABAB也

在R3ABC中，cosNABC=訴---

DCAUZo

所以NABC=45。，所以NDAB=90。+45。=135。，則小船行駛的方向

應(yīng)與水速成135°.

2.一海輪從A處出發(fā)，以每小時40海里的速度沿南偏東40。的方向

直線航行，30分鐘后到達(dá)B處.在C處有一座燈塔，海輪在A處觀

察燈塔，其方向是南偏東70。，在B處觀察燈塔，其方向是北偏東65°,

那么B,C兩點間的距離是（）

A.10^/3海里B.10^2海里

C.20市海里D.20^2海里

選B根據(jù)已知條件可知在△ABC中，AB=20,NBAC=30°,ZABC=

105°,所以NC=45。,

丁?BC20

由正弦7H理有sin30°-sin45。，

1

20x-

所以BC=1g-=10啦.

2

3.如圖所示，在山底A處測得山頂B的仰角NCAB=45°,沿傾斜角

為30。的山坡向山頂走1000m到達(dá)S點，又測得山頂仰角NDSB=

75。，則山高設(shè)為（）

A.500/mB.200m

C.1000啦mD.1000m

選D.可得/SAB=45°-30°=15°,

NSBA=ZABC-ZSBC

=45°-(90°-75°)=30°,

.

AS-sin135°1°°°X2

在4ABS中，AB二S訪30。

2

=1000^2(m),

所以BC=AB,sin45°=1000/x號=1000(m).

4.某人從A處出發(fā)，沿北偏西60。方向行走2^3km到達(dá)B處，再

沿正東方向行走2km到達(dá)C處，則A,C兩地的距離為km.

如圖所示，NABC=30。，又AB=2/,BC=2,

由余弦定理得AC2=AB2+BC2-2ABxBCcosNABC

=12+4-2x2小x2x^-=4,AC=2,所以A,C兩地的距離為2km.

答案：2

5.海上某貨輪在A處看燈塔B在貨輪北偏東75°,距離為12^6海

里；在A處看燈塔C,在貨輪的北偏西30°,距離為8^3海里；貨輪

向正北由A處航行到D處時看燈塔B在南偏東60。，求：

(1)A處與D處之間的距離；

⑵燈塔C與D處之間的距離.

由題意，畫出示意圖.

北

⑴在△ABD中，因為NADB=60°zZDAB=75°,所以B=45。.由正弦

AB

定理得AD=5訪60。，sin45°二24（海里）.

所以A處與D處之間的距離為24海里.

⑵在4ADC中，由余弦定理得CD2=AD2+AC2-

2AD-ACcos30°=242+（8^3）2-2x24x8小=（8班）2,所以CD

=8小海里.所以C,D之間的距離為8^3海里.

一二3學(xué)情診斷?課時測評《

基礎(chǔ)全面練

一、單選題

1.海上有A,B兩個小島相距10nmile,從A島望C島和B島成60°

的視角從B島望C島和A島成75。的視角則B,C之間的距離為（）

A.2mnmileB.3加nmile

C.5爬nmileD.6加nmile

選C.^AABC中，NA=60°,NB=75°,

所以NC=45°.

ABBC

因為

sinCsinA

AB-sinA10x2

所以BC==^=—^=5加(nmile).

2

2.如圖，已知兩座燈塔A和B與海洋觀察站C的距離都等于akm,燈

塔A在觀察站C的北偏東20。方向，燈塔B在觀察站C的南偏東40°

方向，則燈塔A與B的距離為（）

A.akmB.小akm

C.啦akmD.2akm

選B.^AABC中,因為AC=BC=a,ZACB=180°-20°-40°=120°,

由余弦定理可得AB2=a2+a2-2axaxcos120°=3a2,所以AB二小a.

3.某人向正東方向走xkm后向右轉(zhuǎn)150°,然后朝新方向走3km,

結(jié)果他離出發(fā)點恰好是小km,那么x的值是（）

B.2小

C.2,或事D.3

選C.如圖所示，在△ABC中，AB=x,BC=3,AC=g,ZB=30。.

A\A._________X_3_0__；______B

3

C

拒

222

由余弦定理，得(S)=X+3-2x3xXx2,

所以x2-3事x+6=0,解得x=^3或x=2^3.

4.已知A,B兩地的距離為10km,B,C兩地的距離為20km,現(xiàn)測

得/ABC=120。，則A,C兩地的距離為()

A.10kmB.木km

C.10^5kmD.10y/7km

選D.^AABC中，AB=10km,BC=20km,ZABC=120°,貝U由余弦

定理彳導(dǎo)AC2=AB2+BC2-2ABBCcosZABC=100+400-2xl0x20cos

120°=100+400-2xl0x20x1-號=700,

所以AC=10巾km,

即A、C兩地的距離為10巾km.

5.如圖所示,兩座相距60m的建筑物AB,CD的高度分別為20m,

50m,BD為水平面則從建筑物AB的頂端A看建筑物CD的張角NCAD

等于()

A.30°B.45°C.60°D,75°

選B.依題意可得AD=20710(m),

AC=30^5(m),又CD=50(m),

所以在4ACD中，由余弦定理的推論得,

AC2+AD2-CD2(30^5)2+(20回)2-502

cosNCAD=詆訕=2x3班x20回=

6000_^2

6000^2—2，

又0°<ZCAD<180°,所以NCAD=45°,

所以從頂端A看建筑物CD的張角為45°.

二、填空題

6.如圖所示為一角槽，已知AB±AD,AB±BE，并測量得AC=3mm,

BC=2^2mm,AB二回mm,貝此ACB=.

AB

DE

32+(2^2)2-(回)2

在^ABC中,由余弦定理得cosNACB=___/T

2x3x2^/2

立

2'

因為NACB『0,n),所以NACB=乎.

林口案?—4

7.當(dāng)太陽光與水平面的傾斜角為60。時，一根長為2m的竹竿如圖所

示放置，要使它的影子最長，則竹竿與地面所成的角為.

設(shè)竹竿與地面所成的角為a,影子長為xm.

2______X

由正弦定理，得而不

sin(120°-a)

bi、?4A/3

所以x=3sin(120°-a),

因為30°<120°-a<120°,

所以當(dāng)120°-a=90°,即a=30。時,x有最大值.

故竹竿與地面所成的角為30。時，影子最長.

答案:300

8.已知兩座建筑A,B與規(guī)劃測量點C的距離相等，A在C的北偏東

40。方向，B在C的南偏東60。方向，則A在B的方向；C在B

的方向.

因為△ABC為等腰三角形，

1

所以NCBA=-(180°-80°)=50°,60°-50°=10°.

即A在B的北偏西10。方向.

因為B在C的南偏東60。方向，

所以C在B的北偏西60。方向.

答案：北偏西10°北偏西60°

9.已知4ABC中，內(nèi)角A,B,C的對邊分別是a,b,c,且2c二也

a,b=6,D是AC邊上近A點的三等分點，且2ZABD=NCBD,貝

ZCBD=；BC=.

令/I=ZABD,Z2=ZCBD,

.“.gyE-ADBD

在4ABD內(nèi)，根據(jù)正弦定理可得/F

S111z__LJ111

在^BCD內(nèi)，號BD

sinC

一,o2sinN1sinA一「

兩等式相除可得蒜，又2ca,

0111/N〉11IL

即2sinC=小sinA,

n?sinN122sin/工A/1

則sin/2二季=2sinZlcosZ1zcosZ1=2'

,Z2=f,mtZABC=^，則AC2=b2=a2+c25U

36=1a2+a2,所以BC=a=

林案.工蛀

口木?37

三、解答題

10.如圖，甲船以每小時3072海里的速度向正北方航行，乙船按固

定方向勻速直線航行.當(dāng)甲船位于A1處時，乙船位于甲船的南偏西

75。方向的B］處，此時兩船相距20海里，當(dāng)甲船航行20分鐘到達(dá)A2

處時，乙船航行到甲船的南偏西60。方向的B2處，此時兩船相距10^2

海里.問：乙船每小時航行多少海里？

乙

如圖，

乙

連接A1B2,由已知A2B2=10啦海里，

20

A1A2=30^2X—=10A/2（海里）,所以A1A2=A2B2.

又NAIA2B2=60。，所以△A1A2B2是等邊三角形，所以A1B2=AIA2=

10^2海里.

由已知，AiBi=20海里,ZB1A1B2=180°-75°-60°=45°,在△A1B2B1

2

中，由余弦定理得BiB：=AiB?+A尚-2AiBrAiB2-cos45°=20+

（10啦）2-2x20x

10啦x^-=200,所以B1B2=10^2海里.

因此，乙船的速度為誓x60=30^2(海里/時).

所以乙船每小時航行30^2海里.

11.在海岸A處，發(fā)現(xiàn)北偏東45。方向，距離A為事-1海里的B

處有一艘走私船，在A處北偏西75。方向，距離A為2海里的C處有

一艘緝私艇奉命以10^3海里/時的速度追截走私船，此時，走私船

正以10海里/時的速度從B處向北偏東30。方向逃竄.

(1)問C與B相距多少海里？C在B的什么方向？

⑵問緝私艇沿什么方向行駛才能最快追上走私船？并求出所需時間.

(1)根據(jù)題意作出示意圖，如圖.①

貝UAB二小-1,AC=2,ZBAC=120°,

在^ABC中由余弦定理得：BC2=AB2+AC2-2AB-AC-COS120°=6,所

以BC二,，由正弦定理得

ACBC2乖

sinZABC=sinZBAC'即sin/ABC"亞’

2

解得sinZABC=^~，所以NABC=45°,

所以C在B的正西方向.

⑵由(1)知BC=加,ZDBC=120°,

設(shè)t小時后緝私艇在D處追上走私船，

貝UBD=10t,CD=10^/3t,在4BCD中由正弦定理得巖號=

lot1

sm々CD，解得ZBCD="，所以NBCD=30。，所以^BCD是等

腰三角形，所以iot=加，即t=噂.

所以緝私艇沿東偏北30。方向行駛*小時才能最快追上走私船.

綜合突破練

一、選擇題

1.已知船A在燈塔C北偏東85。且到C的距離為2km,船B在燈塔

C北偏西65°且至I」C的距離為3km,則A,B兩船的距離為()

A.2小kmB.3啦km

C.y[15kmD.y/13km

選D.如圖可知NACB=85°+65°=150°,

AC=2km,BC=V3km，所以AB2=AC2+BC2-2AC-BC-cos150°=13,

所以km.

2.如圖所示,D,C,B在地平面同一直線上，DC=10m,從D,C

兩地測得A點的仰角分別為30。和45°,則A點離地面的高AB等于

()

A.10mB.5小m

C.5(^3-l)mD.5(73+l)m

選D.方法一：設(shè)AB=xm,貝UBC=xm.

所以BD=(10+x)m.

ABx/

所以tanZADB=f^==□.

DB10+X3

解得x=5(S+1)?

所以A點離地面的高AB等于5(3+l)m.

方法二：因為NACB=45。，所以/ACD=135°,

所以NCAD=180°-135°-30°=15°.

CD

由正弦定理，得AC=sm/CAD，sinZADC

1020

二而百“in30。=存3(m),

AB=ACsin45°=5(^3+l)m.

3.如圖，某偵察飛機(jī)在恒定高度沿直線AC勻速飛行.在A處觀測

地面目標(biāo)A，測得俯角NBAP=30。.經(jīng)2分鐘飛行后在B處觀測地面目

標(biāo)P，測得俯角NABP=60。.又經(jīng)過一段時間飛行后在C處觀察地面目

標(biāo)P,測得俯角NBCP=8且

cose=嚕，則該偵察飛機(jī)由B至C的飛行時間為（）

A.1.25分鐘B.L5分鐘

C.1.75分鐘D.2分鐘

選B.設(shè)飛機(jī)的飛行速度為v，根據(jù)飛機(jī)的飛行圖形，測得俯角NBAP

=30。，經(jīng)過2分鐘飛行后在B處觀測地面目標(biāo)P,測得俯角為NABP

=60°,所以△ABP為直角三角形，過點P作PD±AC于點D,則AB

=2v,AP=/v,BP=v，解得DP=；,

DBC

設(shè)CB=xv,因為cos8=生票,可得sin8-cos2。，所

以tan6二乎,

火

在直角4PCD中tan0=^---------,解得x=1.5,即該偵察飛機(jī)

p/+XV

由B至C的飛行時間為1.5分鐘.

二、填空題

4.甲船在島B的正南A處，AB=6km,甲船以每小時4km的速度

向正北方向航行，同時乙船自B出發(fā)以每小時3km的速度向北偏東

60。的方向駛?cè)?，甲、乙兩船相距最近的距離是_______km.

假設(shè)經(jīng)過x小時兩船相距最近，甲、乙分別行至C,D,如圖所示，

可知BC=6-4x,BD=3x,ZCBD=120°,CD2=BC2+BD2-2BCxBDxcos

115

ZCBD=(6-4x)2+9x2+2(6-4x)3xx-=13x2-30x+36.當(dāng)x二五時

9、國

甲、乙兩船相距最近，最近距離為噪-km.

C

A

受案.典

1=1

5.如圖，一輛汽車在一條水平的公路上向正西行駛到A處時測得公

路北側(cè)一山頂D在北偏西45。的方向上，仰角為a，行駛300米后到

達(dá)B處，測得此山頂在北偏西15。的方向上，仰角為0,若0=45。，

則此山的高度CD=米，仰角a的正切值為.

D

設(shè)山的高度CD=x米，由題可得NCAB=45°,ZABC=105°,AB=300

米,NCBD=45°.在^ABC中,可得：NACB=180°-45°-105°=30°,

…e-ABCBACpgr

利用正弦ZE理可侍sin30。=sin45°=sin105°，角牛侍CB=

函，

AC=150（加+蛆）（米）.

在RtABCD中，由/CBD=45。可得：x=CB=300^2（米）,在RtAACD

—CD300啦廠

中可行tana=而.+的沖一。

答案：300^2小~1

6.一艘船上午9：30在A處測得燈塔S在它的北偏東30。處，之后

它繼續(xù)沿正北方向勻速航行，上午10：00到達(dá)B處，此時又測得燈

塔S在它的北偏東75。處,且此時它們相距8啦海里，此時的航速是

海里/小時.

在^ABS中,易知ZBAS=30°,ZASB=45°,且邊BS=8啦,利用

—e-ABBSAB8/，口

正弦XE理可得市府;而而,即nm場二十，得AB=16,

22

又因為從A到B勻速航行時間為半小時,

所以速度應(yīng)為竽=32（海里/小時）.

2

口

7.甲船在A處發(fā)現(xiàn)乙船在北偏東60。方向的B處，乙船以每小時a

海里的速度向北行駛，已知甲船的速度是每小時小a海里，問：甲

船應(yīng)沿方向前進(jìn)才能最快與乙船相遇？

如圖，設(shè)經(jīng)過t小時兩船在C點相遇，

則在△ABC中，BC=at,AC=也at,ZB=180°-60°=120°.

由正弦定理得二強(qiáng)

皿BC-sinBatsin120°21

貝Usin/CAB=—而一

4at

因為0°<ZCAB<90°,所以NCAB=30°,

所以/DAC=60°-30°=30°,

即甲船應(yīng)沿北偏東30。的方向前進(jìn)才能最快與乙船相遇.

答案：北偏東30°

三、解答題

8.某地發(fā)現(xiàn)疫情，衛(wèi)生部門欲將一塊如圖所示的四邊形區(qū)域ABCD

沿著邊界用固定高度的板材圍成一個封閉的隔離區(qū).經(jīng)測量，邊界

AB與AD的長者B是200米，NBAD=60°,ZBCD=120°(^3-1.7321,

4=2.4495).

(1)若NADC=105°,求BC的長(結(jié)果精確到米)；

⑵圍成該區(qū)域至多需要多少米長度的板材？(不計損耗，結(jié)果精確到

米).

(1)連接BD,貝4在4BCD中BD=200,NBDC=45°,

BD