高中數(shù)學第八章第1節(jié)《基本立體圖形》提高訓練題 42(含答案解析)

第八章第1節(jié)《基本立體圖形》提高訓練題（42）

一、單項選擇題（本大題共7小題，共35.0分）

1.下列命題正確的是（）

A.底面是正多邊形的棱柱是正棱柱.

B.六個面都是矩形的六面體是長方體.

C.圓錐是直角三角形繞其一邊旋轉而成的.

D.球的直徑是連接球面上兩點的線段.

2.如圖，在正方體ABCD—4B1C1D1中，點P在線段BQ上運動，則下列判斷中正確的是（）

①平面P&D1平面ACD；

②41P〃平面

③異面直線4P與4名所成角的取值范圍是（0,§；

④三棱錐/-4PC的體積不變.

A.①②B.①②④C.③④D.①

3.如圖，在長方體ABCD-ABiGDi中，AB=AD=2,AAr=V2,點P為ABDG內一點（不含邊

界），則zM/G不可能為（）

A.等腰三角形B.銳角三角形C.直角三角形D.鈍角三角形

4.在正三棱柱中，底邊棱長為。，側棱長為近若該三棱柱的六個頂點都在同一個

球面上，且a+b=2,則該球的表面積的最小值為（）

5.已知直三棱柱ABC-481cl中，ABLAC,AB=AC=AA1=1,若點例在線段441上運動，

則四棱錐M-BCGBi外接球半徑的取值范圍為（）

A.慘晉B.怪啕C.白前D.停，罰

6.某正四面體的外接球與內切球的表面積之差為12兀，則該正四面體的棱長為（）

A.2V3B.4C.2D.3

7.在正方體4BCD-41B1GD1中，E為棱月窗】上一點，且力B=2,若二面角當一-E為45。,

則四面體BBiGE的外接球的表面積為

17

A.-nB.127rC.97rD.10兀

二、多項選擇題（本大題共1小題，共4.0分）

8.正四棱柱ABCD-&B1C1D1中，底面邊長為2,側棱=1,P為上底面4產(chǎn)16。1上的動點，

給出下列四個結論：其中正確的是（）

A.若PD=3,則滿足條件的尸點有且只有一個；

B.若尸。=6，則點P的軌跡是一段圓??；

C.若平行平面AC%,則PO與平面4CC14所成角的正切值最大值為顯；

D.若PO平行平面4。當，則平面B￡>P截正四棱柱ABCD-&BiC也的外接球所得圖形面積最

大值為軟.

三、填空題（本大題共19小題，共95.0分）

9.己知三棱錐P-ABC的底面是以AB為斜邊的等腰直角三角形，AB=2,PA=PB=PC=2,

則三棱錐的外接球的球心到平面ABC的距離是；

10.某模具廠將一棱長為3的正四面體毛坯件4-BCD切割成一個圓柱體零件，E,F,G分別為AB,

AC和上的點，且笠=穿當圓柱體的上底面圓剛好為mEFG的內切圓時，該圓柱的

ABACAD3

體積為.

11.己知正方體4BC0-4務口劣的棱長為2,過點A及GA中點作與直線80平行的平面a,則平

面a與該正方體各面交線長度之和為.

12.如圖，在長方體ABCD-&B1GD1中，4B=441=2,BC=4,E為A。中點，則三棱錐&-CDE

外接球的表面積為.

P.

13.己知邊長為4百的菱形ABC。中，44=60°,現(xiàn)沿對角線8。折起，使得二面角4-BC-C為

120。，此時點A,B,C,。在同一個球面上，則該球的表面積為

14.棱長為〃的正四面體A8CQ與正三棱錐E-BCD的底面重合，由它們構成的多面體4BC-DE的

頂點均在一球的球面上，若正三棱錐后-8。0的表面積為3+6,貝心=.

15,正四棱錐的高與底面邊長相等且體積為|,以底面中心為球心，經(jīng)過四棱錐四條側棱的中點的球

的表面積為.

16.棱長為。的正四面體ABCO與正三棱錐E-BCD的底面重合，由它們構成的多面體ABCDE的頂

點均在一球的球面上，若正三棱錐E—BCD的表面積為3+百，則。=.

17.已知點A,B,C,。在同一個球的球面上，AB=BC=",AC=2,若四面體A8CQ的體積為

獨，球心。恰好在棱ZM上，則這個球的表面積為.

3

18.在四面體ABCD中，AC=BC=CD=8,4B=4。=BD=6,ABu；

平面a,E,尸分別為線段AO,BC的中點，現(xiàn)將四面體以AB為軸旋/一］?

轉，則線段EF在平面內投影長度的取值范圍是.〈

19.己知三棱柱ABC-的底面為直角三角形，側棱長為2,體積為1,若此三棱柱的頂點均

在同一球面上，則該球半徑的最小值為.

20.在三棱錐P-HBC中，PA=PB=PC,△ABC是邊長為2的正三角形，PA與底面ABC所成角

的余弦值為西，則三棱錐P-48C的外接球的球心到底面ABC的距離為.

3

21.已知AABC的三條邊分別是8,10,12,且￡＞、E、F分別為43、AC、BC的中點，現(xiàn)沿。E、

EF、QF翻折，使得A、B、C重合于點G,得三棱錐G-OEF,則三棱錐G-OEF外接球直徑

為.

22.如圖(1),在等腰直角△ABC中，斜邊ZB=4,。為4B的中點，將△4CD沿CO折疊得到如圖(2)

所示的三棱錐C-ABD,若三棱錐。一48。的外接球的半徑為遮，則N4DB=。

c

23.用一張長12cm,寬的矩形鐵皮圍成圓柱體的側面，則這個圓柱體的體積=.

24.球面上有三點若R=13,AB=12V3（AC=BC=12,則四面體OABC的體積為

25.已知正三棱錐P-4BC,其中點P、A、B、C都在半徑為舊的球面上，PA=m,若PA、PB、

PC兩兩互相垂直，則m-

26.已知圓錐的頂點為A,過母線48、4c的截面面積是2K.若48、AC的夾角是60。，且AC與圓

錐底面所成的角是30。，則該圓錐的表面積為.

27.學生勞動實踐，利用3。打印技術制作模型.如圖，該模型為長

方體4BC0-4當?shù)摹?挖去四棱錐O—EFGH后所得幾何體，其

中。為長方體的中心，E,F,G,"分別為所在棱的中點，AB=

BC=6cm,44i=4cm,3。打印所用原料密度為0.9g/cm3,不

考慮打印損耗，制作該模型所需原料的質量為_______g.

四、解答題（本大題共3小題，共36.0分）

28.如圖，正三棱錐。-ABC的底面周長為12,高為3,求該三棱錐的體積及

表面積.

B

29.如圖，直三棱柱ABC-^BiG的側棱長為1,AB=AC=1,BC=魚，。是BC的中點.

(1)求證：ADJ.平面BiBCQ;

(2)求三棱錐&-ZDG的體積.

30.如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面A8CO是平行四邊形，PA=PC=V3.PB=PD=屜，

(1)證明：1//AB-,

(2)若平面/MBJL平面PC。，求四棱錐P-ABCD的體積.

【答案與解析】

1.答案：B

解析：

本題考查空間幾何體的結構特征，屬基礎題，難度不大.

依次分析各個答案即可.

解：正棱柱必須為直棱柱，故A不對；

六個面都是矩形的六面體是長方體，故3對；

圓錐是直角三角形繞其一直角邊旋轉而成的，繞斜邊旋轉時，不能形成圓錐，故C不對；

球的直徑必須過圓心，故。不對.

故選B.

2.答案：B

解析：

本題主要考查命題真假的判斷，解題時要注意三棱錐體積求法中的等體積法、線面平行、垂直的判

定，要注意使用轉化的思想.利用空間中線線、線面、面面間的位置關系求解.

連接。當，容易證明OB1上面4C￡)i,從而可以證明面面垂直；連接41cl容易證明平面B&C"/

面ACD】，從而由線面平行的定義可得；分析出4P與45所成角的范圍，從而可以判斷真假;以PC=

匕-c%p，C到面ADiP的距離不變，且三角形力DiP的面積不變，從而可以判斷真假.

解：對于①，連接0當，由14C且。當14歷，可得。當JjgACDi，從而由面面垂直的判定知，

故①正確；

對于②，連接4B,4G，41cl〃力Di且相等，由于①知：AD[〃BC[,所以B&G〃面ACD1，從而

由線面平行的定義可得，故②正確；

對于③，4P與45所成角即為41P與4。的所成角，當P點運動到8點時，所成角為90。，故③不

正確；

對于④，由題意知4DJ/BC1，從而BG〃平面力DiC,故8cl上任意一點到平面4D1C的距離均相

等，所以以P為頂點，平面ADiC為底面，則三棱錐4-DiPC的體積不變，故④正確.

故選&

3.答案：A

解析:

本題考查空間線面關系，難度較大.

依題意，考慮特殊位置，逐項進行排除或證明相結合即可.

解：連接AC與8。交于點0,連接為0,G。，&B,AXD.

依題意得，AC1BD,44i±BO,dAAr=A,B。JL平面44?。，BD1Ar0,BD1Cr0,

故乙41。6為二面角4一BD-G的平面角.

易知40=GO=2,AC=2V2.知4鼻1。。1=90°,

故平面_L平面GBD,連接P。，若乙勺尸的為直角，即4iP_LPG，

又410J.PC],4iPC141。=七,二小尸J_平面P04],則CiPIP。，此時尸在△BOQ內的一段圓?。?/p>

該圓弧所在的圓的直徑為C10）上，符合題意，故AAPG可以為直角三角形；

當p在0C1上時，△&PC1為鈍角三角形；

當P無限接近B或。時，AAiPCi為銳角三角形；

若△&PC1等腰三角形，4￡=2在，BC、=恥,

當為等腰三角形&PG的一個腰時，GP和&P均不可能為2vL不符合題意；當為等腰三

角形4PC]的底邊時，點P與41cl中點的連線必垂直&G，此時，在△BDG內部不存在這樣的點尸.

故選A.

4.答案：D

解析：

本題考查球的表面積以及函數(shù)最值的求法，首先根據(jù)三棱柱求出半徑的表達式，然后求出最值即可，

屬于中檔題.

由題意可知△ABC外接圓的半徑r=?a，

設該三棱柱外接球的半徑為R,

則*。）2+（芥

由Q+b=2可得b=2—a,

24a2+3b24a2+3（2-a）2

,?,R=-12-=12

_7a2-12a+12_7（彥-與a+碧）+12-苧

二12:12

7/6,?,4

F（a-‘+?

??.Rin=點當且僅當a=/b=?時取得最小值，

???該三棱柱外接球的表面積的最小值為47TR2=-7r.

故選。.

5.答案：C

解析：

本題考查空間幾何體的外接球知識，難度較大.

將直三棱柱力BC-&當（71補成正方體ABDC-設四棱錐M-8。6當外接球的球心為G,

441的中點為。1,的中點為。2,設GM=GB=R,0]M=%0道=y，得產(chǎn)由R?=/+

y2=（y_g2+n根據(jù)y的范圍求出Re停，第.

解：將直三棱柱ABC-4昂的補成正方體力BDC-4181。傳1，

設四棱錐M-BCGBi外接球的球心為G,

441的中點為?！窪Di的中點為。2，。1。2的中點為。，

因為，平面必當以口，在平面公當。16內，

所以8殳142，又4也J.B1G，

為平面BCGBi內兩條相交直線，

所以1平面BCGBi，又。1。2〃A[D],

所以。1。21平面8CC1B],

則001=曰,08=1，

因為在球面上，所以球心G在線段。外，

設GM=GB=R,01M=x,0]G=y,0G=y-與

在RtAO|A/G中，x?+y2=R2①，

22

在RtZiOBG中,g)+(y_")=R2②,

聯(lián)立兩式得/=：一/y,

因為0<x<<y<呼,

ZLo

2

所以R2=/+y2=y2—企y+鋁(y_?

即Re憐乎].

故選c.

6.答案：D

解析:

本題考查棱錐的外接球、內切球問題，考查空間想象能力、推理能力和計算能力，屬于中檔題.

把正四面體放在一個正方體中，求出S%表=4兀/?2=|兀。2,再利用等體積法求出S為表=4口2=3a2,

利用三兀。2--na2=12兀，解a.

26

解：設該正四面體的棱長為“，該四面體一定可以放在一個正方體中，

則該正方體的棱長為立a，

2

因為正四面體的外接球半徑R為正方體的對角線長的一半，

所以R=卷+(當a)2=*a

???S外表=4TIR2=\a2.

設內切球半徑為廣，球心為O,A”為點A到平面8C。的距離，連接OA,OB,OC,0D,

則%-BCD=^O-ABD+^O-ACD+^O-ABC+，

???球心O到每個面的距離為匕

AW-ABC+^O-ABD+^O-ACD+^O-BCD

=5丁(508。+S^ABD+SMCD+S^BCD)，

^O-ABC=]SBCD,/H?

S&ABC-S&ABD~S&ACD-S〉BCD?

BH=J?)2+(等)2=苧,AH=Ja2_(^)2=[a，

14

J^AABC'AH=?r，

得r=-a,

12

???5內表=4仃2=*小，

由題意可得一;7m2=12兀，解得a=3,

26

故選D.

7.答案：D

解析：

本題考查球的表面積，考查幾何體的結構特征，考查空間思維能力及計算能力，屬于中檔題.

由題及線面垂直的判定定理得BGIE。，N&OE=45。，計算求解即可得到答案.

解：連接交BQ于。，則BiOIBCi，

易知Ai/1BCL貝!]BG，平面B]OE,

所以BGA.EO,

從而NBiOE為二面角叢-BG-E的平面角，則4B10E=45°.

因為AB=2,所以=Br0=V2.

故四面體BBiGE的外接球的表面積為4以立棄y=1。兀，

故選D.

8.答案：ABC

解析：

本題考查立體幾何綜合性問題，綜合推理難度稍大，是中檔題.

解：如圖,

若PD=3,則易得p0i=JPD2-DD^=2V2

而易知Bi"=2V2，

所以當且僅當戶和當重合時，滿足要求，

故A正確；

因為PD=V3G(1,3)，DC1=1,

則「劣=魚，即點P的軌跡是一段圓弧，故B正確;

連接DJ易證明平面〃平面ACBi，

若P?！ㄆ矫鍭CBi,則尸點在線段41cl上

點D到平面4CC14距離d=V2

則PO與平面4CC1為所成角的正弦值=色=立

DPDP

則當P為4C1中點時，OP有最小值

此時P。與平面4CG&所成角的正弦值最大，正切值亦最大

則與平面4CC141所成角的正切的最大值為牛=V2,故C正確；

由③知，平面BDP即為平面BDDiBi時，

平面8DP截正四棱柱4BCD-&B1GD1的外接球所得平面圖形為外接球的大圓，

其半徑為:、22+22+/=|,面積為手，故。錯誤.

故選：ABC.

9.答案:.

3

解析：

本題考查點到面的距離的計算，考查學生分析解決問題的能力.設P在面ABC上的射影為AB中點從

找到圓心。的位置，進而得出答案.

解：???三棱錐P-4BC的底面是以48為斜邊的等腰直角三角形，AB=PA=PB=PC=2,

設P在面ABC上的射影為A8中點H,

APH1平面ABC.

尸”上任意一點到A、B、C的距離相等.

vPA=PB=PC=2,

PH=遮，CH=1,

在面PHC內作PC的垂直平分線與PH交于0,

則OP=0C=0A=OB,

所以。為P-ABC的外接球球心.

vPA=PB=AB=2,

??.P0號

0H=即為0與平面ABC的距離.

3

故答案為逅.

3

10.答案：d

97r

解析：

本題考查空間幾何體的結構特征，考查旋轉體體積公式的應用，屬中檔題.

依題意，等邊團EFG的邊長為2,求得內切圓的半徑r=，，設。1，。2分別為團EFG與團BCD的內心,

根據(jù)條件求得401=獨，進而求得圓柱的體積.

13

解：如圖，由題意知等邊回EFG的邊長為2,設其內切圓的半徑為八

由^x3x2xr=工x22xsin60。，得「=理.

223

設。1，。2分別為E1EFG與回BCD的內心，

圓。1與邊EF相切于點H,連接AH并交BC于點K,易知Rt團力。1，“Rt回4。2長，

22

因為。2。=遍，AO2=y/AD-O2D-V6,則煞=起，即I=等，

解得力01=竽.所以圓柱的體積p=兀X（產(chǎn)）2X（聲—學）=等.

故答案為Y57r.

9

11.答案：2g+&

解析：

本題考查簡單多面體（棱柱）及其結構特征，線面平行的判定，考查學生的空間想象能力與計算能力,

屬于中檔題.

由題意畫出圖形，找出截面，從而即可求得平面a與該正方體各面交線長度之和.

解：根據(jù)題意作出如圖，

G為&G的中點，則FG//B1DJ/BD,

且BD，平面AEFGK,FGC平面AEFC,成

8。〃平面AEFGK,

由小GGF三4HD#及&HDXEfADE可得,

D1E=^DD1,則D]E=|,DF=

???平面a與該正方體4BCC-A/jCWi各面交線長度之和為竽+空+夜=2g+&，

故答案為2反+應.

12.答案：4-17T

解析：

本題考查了三棱錐外接球的表面積計算，考查了學生的空間想象能力，屬于難題.

根據(jù)題意，可得點E到平面&DC的距離〃，計算出球的半徑R=m，最后利用球的表面積公式,

計算得結論.

解：在長方體ZBCD-AiBiCWi中，

因為=他=2,BC=4,

所以4。=2遍，ArC=2V6.

又因為E為中點，所以E0=2,A、E=EC=2?

設點E到平面4CC的距離為h,

因為%-ADC=%L6E，而在長方體ABCC-力/IGDI中，CDLA^D,

所以1xgx2x2V5xh=|x|x2x2x2,解得九=誓.

取4也的中點為01，則0］為44CD的外接圓圓心，

且。道=y/E^-OyC2=V2.

若三棱錐4-CCE外接球的球心為O,半徑為R,點E所在的小圓面的圓心為。2，

則0、。1、。2共線，且。1。2=八=爭，。。11平面&CD.

如圖：

2

在RtAO^E中，O2E=，。送2-010/=72一h,

設。1。=x,則外盾+00j=。1。2+℃=R2,

即2一公+（%+九）2=/+6=R2,

解得x=；=而，R2-（⑥2+6=11，

所以R=VTT>

因此三棱錐&-CDE外接球的表面積為4kx1114TT,

故答案為IE.

13.答案：1127T

解析：

本題考查四面體的外接球的表面積，考查學生的計算能力，正確求出四面體的外接球的半徑是關鍵，

考查了空間想象能力，屬于中檔題.

分別取BZ),4c的中點M,N,連接MN,由圖形的對稱性可知球心必在MN的延長線上，設球心為

0,半徑為上ON=x,由勾股定理可得x,R2,再根據(jù)球的表面積公式計算即可求解.

解：由題意，如圖，分別取B￡>,AC的中點M,N,連接MN,

則易得AM=CM=6,MN=3,MD=2?CN=3百，

由圖形的對稱性可知球心必在MN的延長線上，

設球心為0,半徑為R,ON=x,

可得依?。浩?12,解得"L*28，

故該球的表面積為S=4兀/?2=112兀.

故答案為1127r.

14.答案：2

解析：

本題考查了簡單多面體（棱柱、棱錐、棱臺）及其結構特征，棱柱、棱錐、棱臺的側面積、表面積和

體積和簡單組合體及其結構特征，屬于中檔題.

利用兩個同底的正三棱錐構成有多面體的結構特征，結合正三棱錐的結構特征，得該幾何體的外接

球半徑，再利用棱錐的表面積，計算得結論.

解：由題意多面體ABCDE的外接球是正四面體ABCD的外接球，

且其外接球的直徑為AE,

因為正四面體ABCD的棱長為a,

所以正四面體ABC。的高為卜_俘*|0）2=*,

設正四面體ABCD的外接球半徑為R,

則改一竹廠式二仁/,解得R=.a，

設正三棱錐E-BCO的高為h,

因為4E=立。=立＜2+/i，所以h=叱a，

236

又因為底面正48co的邊長為a,

所以EB=EC=ED

=J（fa）+凈）=￥8

因此正三棱錐E-BCD的三條側棱兩兩垂直，

所以正三棱錐E-BCD的表面積為

；x（苧a）、3+加=爭2=3+百，

所得a=2.

故答案為2.

15.答案:6n

解析：

本題考查四棱錐與球的組合體的計算問題，屬于中檔題，

解：設正四棱錐的高為x,則式==x=2,則球心到四條側棱中點所在平面的距離為1,

33

四條側棱的中點構成的正方形的邊長為1,其外接圓的半徑為立，

2

所以球的半徑為R=fl+i=艮

72勺2

經(jīng)過四棱錐四條側棱的中點的球的表面積為4兀/?2=67r.

16.答案：2

解析：

本題考查了簡單多面體（棱柱、棱錐、棱臺）及其結構特征，棱柱、棱錐、棱臺的側面積、表面積和

體積和簡單組合體及其結構特征，屬于中檔題.

利用兩個同底的正三棱錐構成有多面體的結構特征，結合正三棱錐的結構特征，得該幾何體的外接

球半徑，再利用棱錐的表面積，計算得結論.

解：由題意多面體ABCDE的外接球是正四面體ABCD的外接球，

且其外接球的直徑為AE,

因為正四面體ABCD的棱長為a,

所以正四面體ABCD的高為面_gx|aj=*，

設正四面體ABC。的外接球半徑為R,

則R2_ga_R）2=Gaj,解得R=%,

設正三棱錐E-BC。的高為h,

因為4E=在。=逅＜2+無，所以/1=在（2,

236

又因為底面正4BCD的邊長為“，

所以EB=EC=ED

=J（［a）+（5。）=1。

因此正三棱錐E-BCD的三條側棱兩兩垂直，

所以正三棱錐E-BCD的表面積為

|XX3+4標=^^02=3+V3?

所得a=2.

故答案為2.

17.答案：167r

解析:

解：?.?點A,B,C,。在同一個球的球面上，AB=BC=?AC=2,

.??4B2+8C2=AC2,...4B_LBC,.?.△ABC外接圓直徑為AC,

圓心。1是AC中點，

???四面體ABCD中球心。恰好在側棱DA上，

???四面體ABCD的體積為竽，；.V=gxSAABCx/i=[xlxh=第，

h=2g，即D到面ABC的距離為2遍，

二球心。到面ABC的距離為8.

球半徑R=A0=](爭2+00/=2,

???這個球的表面積S=4兀R2=4TTx22=167r.

故答案為：167r.

確定△ABC外接圓直徑為AC,由四面體4BCD中球心。恰好在側棱D4上，I/=：XSA4BCX/I=5X

lxh=手，可得力到面ABC的距離為2國，

即可得球半徑R=A0=J(y)2+00f=2即可.

本題考查球的表面積的求法，考查四面體、球等基礎知識，考查推理論證能力、運算求解能力，數(shù)

形結合思想，是中檔題.

18.答案：[3,5]

解析:

本題考查線段在平面的投影長度計算，線面垂直的性質，考查運算求解能力，是中檔題.

推導出4BICC,EG//AB,GF//CD,從而GE_LGF,得EF=5.當四面體繞A8旋轉時，EG//AB,

即EF繞EG旋轉,由此可求解線段EF在平面a內投影長度的取值范圍.

解：取BQ的中點G,AB的中點“，連接EG,FG,CH,?！比鐖D所示：

???AB1DH,AB1CH,

又CHCDH=H,CH,DHu平面C?！保?/p>

AB1平面CDH,

vCDu平面CDH,：.CD1.AB,

vEG=^AB=3,GF=^CD=4,ELEG//AB,GF//CD,

???EG1GF,EF=y/EG2+FG2=5，

當四面體以A8為軸旋轉時，

?:EG"AB,ABu平面a,GE與GF的垂直性保持不變，

則線段EF在平面a內投影長度d滿足3=EG<d<EF=S.

故答案為:[3,5].

19.答案：漁

2

解析：

本題考查三棱柱的結構特征，外接球，棱柱的體積，基本不等式的應用，屬于中檔題.

由題意可知三棱柱為直三棱柱，將直三棱柱ABC-&B1G補成一個長方體，再利用基本不等式即可

求得.

解：???三棱柱內接于球，

???三棱柱各側面均為平行四邊形且內接與圓，

則三棱柱為直三棱柱，

又三棱柱ABC-&&G的底面為直角三角形，設直角邊長分別為a,b,

又三棱柱側棱長為2,體積為1,

-'-2-ab-2=l,

ab=1,

將直三棱柱ABC-&B1C1補成一個長方體，

則直三棱柱4BC-4BiG與長方體有同一個外接球，

故該球半徑r=,2+4>叵①=漁，當且僅當。=b=1時取“=”.

2—22

故答案是在.

2

20.答案：在

6

解析：

本題主要考查三棱錐的外接球問題，考查學生空間想象能力與推理能力，屬于較難題.

利用已知條件及厚與底面A8C所成角的余弦值計算出接球的半徑為亞，故可求出球心到底面A8C

2

的距離.

解:因為PA=PB=PC,△ABC是邊長為2的正三角形，

所以點尸在底面ABC的射影為M,則PM1面ABC,

M為底面三角形的中心，外接球球心。在直線PM上，

取AB中點為E,連結CE,所以ME=在，AM=5百，

因為PA與底面ABC所成角的余弦值為漁，

3

所以P4=V2,所以PM=y/PA2-AM2=—,PE=1

3

設外接球的半徑為R,所以0"2+AM2=4。2

管—4+（竽）2=R2,所似R=S

OM=OP-PM=—--=—，

236

即三棱錐P-力BC的外接球的球心到底面ABC的距離為漁，

6

故答案為遺.

6

21.答案：叵

2

解析：

本題考查三棱錐G-DEF外接球直徑，考查折疊問題，屬于較難題.

根據(jù)三棱錐G-DEF的三組對棱分別相等，分別為4,5,6,將三棱錐G-DEF放入長方體中，得到

(2R)2=a2+b2+c2=”即可求解.

解：依題意，如圖所示：

現(xiàn)沿OE、EF、。尸翻折，使得A、B、C重合于點G,得三棱錐GDEF,

則三棱錐G-OEF的三組對棱分別相等，分別為4,5,6,

(a24-b2=16

則，=25,

(。2+g2=36

三式相加，得2(02+爐+。2)=77,

即Mb24-c2=—,

2

設三棱錐G-OEF外接球半徑為R,

則(2R)2=a2+Z)24-c2=y,

得2R=/

2

故三棱錐G-DEF外接球直徑為叵.

2

故答案為叵.

2

22.答案:今

?5

解析:

本題考查三棱錐的結構特征及其外接球問題，屬于較難題目.

根據(jù)題意得出三角形ABD的外接圓半徑，設4&DB=2。，利用正弦定理及外接球的半徑得出r,求

出cos。即可得出.

解：設△4BZ)的外接圓半徑為，，Z.A'DB=26,其中。e(0,》

取48的中點E,???A'D=DB,二DE1A'B^A'DE=^A'DB=6,

/.AfE=2sin09/.AiB—2AfEIsin0；

4sin0

在△480中，由正弦定理易得2r

sinZAfDBsin20

故「

由題意知A/1+產(chǎn)=遍.

19TT

解得cos0=5，所以乙山。8=20=彳.

故答案為二;.

.答案：—cm3^cm3

23nn

解析：

本題考查了圓柱的側面展開圖，圓柱的體積計算，屬于中檔題.

對圓柱體的高進行討論，計算圓柱的底面半徑，再代入體積公式計算.

解：設圓柱體的底面半徑為廠，

(1)若圓柱體的高為無=12cm,貝ij271T=8cm,即r=/cm,

23

，圓柱的體積P=nrh=7Tx7lzx12=—71cm,

(2)若圓柱體的高為九=8cm,則2加丁=12cm,即r=3cm,

，圓柱體的體積P=nr2h=7ixx8=—cm3,

故答案為：出cm3或陋CM3.

itn

24.答案：605/3

解析：

本題考查了球的結構特征和棱錐的體積，設△ABC外接圓半徑為r,得A=8=30。］=120。，由正

弦定理得2r==24,則。到平面ABC的距離d=y/R2-r2=V132-122=5,從而得出結

SW1120。

果.

解：設△ABC外接圓半徑為r,由AB=12g,4C=BC=12,得4=B=30。,C=120。，

.?.由正弦定理得2r==24,BPr=12,

sinl20"

則。到平面ABC的距離d=V/?2-r2=V132-122=5，

又S^ABC=1xl2xl2xsinl20°=36V3,

?，,^O-ABC=1x36>/3x5=60V3.

故答案為60b.

25.答案:2

解析：

本題主要考查球的內接三棱錐和內接正方體間的關系及其相互轉化，棱柱的幾何特征，球的幾何特

征，是基礎題.

先利用正三棱錐的特點，將球的內接三棱錐問題轉化為球的內接正方體問題，根據(jù)球的直徑是正方

體的對角線，可得結論.

解：,?,正三棱錐P-ABC,PA,PB,PC兩兩垂直，

.??此正三棱錐的外接球即以PA,PB,PC為三邊的正方體的外接球，

?.,球的半徑為百，

???正方體的對角線長為2遮，

又PA=m,-2V3,

???m=2,

故答案為2.

26.答案：(6+4\/3)7T

解析：解：如圖所示，???4B、4C的夾角是60。，AB=AC,

.,.△ABC是等邊三角形，二3X4C2=2"\/^,

4

解得AC=2V2.

???4C與圓錐底面所成的角是30。，

???r=OC=ACcos300=2V2xy=V6.

則該圓錐的表面積=nx(V6)2+1x2zrxV6x2V2=6TT+4V3zr=(6+

故答案為：(6+4V3)TT.

如圖所示，根據(jù)等邊三角形的面積計算公式可得力C.由AC與圓錐底面所成的角是30。，可得底面半徑

r=OC=4Ccos30。,即可得出該圓錐的表面積.

本題考查了等邊三角形的面積計算公式、線面角、圓錐的表面積，考查了推理能力與計算能力，屬

于基礎題.

27.答案：118.8

解析:

該模型體積為匕BCD-A/GA-Vo-EFGH=6x6x4-ix(4x6-4x|x3x2)x3=132(cm3),

再由3。打印所用原料密度為0.9g/cm3,不考慮打印損耗，能求出制作該模型所需原料的質量.

本題考查制作該模型所需原料的質量的求法，考查長方體、四棱錐的體積等基礎知識，考查推理能

力與計算能力，考查數(shù)形結合思想，屬于中檔題.

解：該模型為長方體4BCD-挖去四棱錐。-EFGH后所得的幾何體，其中。為長方體的

中心，

E,F,G,H,分別為所在棱的中點,AB=BC=6cm,AAt=4cm,

???該模型體積為:

^ABCD-AZB1C1D1~^O-EFGH

11

=6x6x4--x(4x6-4x-x3x2)x3

=144-12=132(cm3),

???3D打印所用原料密度為0.9g/cm3,不