高中數(shù)學講義：數(shù)列求和

高中數(shù)學講義：數(shù)列求和

目錄

1.課程目標......................................................................1

2.常見數(shù)列求和方法...........................................................2

2.1.分組求和法..............................................................2

2.2.倒序相加法求和.........................................................2

2.3.錯位相減法.............................................................3

2.4.裂項相消法.............................................................3

2.5.數(shù)列求和之裂項相消法...................................................4

2.6.錯位相減法.............................................................4

2.7.數(shù)列求和之錯位相減法...................................................5

2.8.數(shù)列求和之倒序相加法...................................................5

2.9.公式法..................................................................5

2.10.分組求和法............................................................6

2.11.數(shù)學歸納法............................................................6

2.12.觀察法.................................................................6

3.數(shù)列求和方法總結...........................................................7

4.課后作業(yè)....................................................................7

4.1.利用常用求和公式求和....................................................7

4.2.錯位相減法求和..........................................................7

4.3.倒序相加法求和..........................................................8

4.4.分組法求和.............................................................8

4.5.裂項法求和.............................................................8

5.答案........................................................................9

1.課程目標

A.掌握常見數(shù)列求和公式

B.掌握幾種常用數(shù)列求和方法

常見數(shù)列Sn公式

1.等差數(shù)列

2.等比數(shù)列

第1頁共11頁

3.12+22+....+n2

4.l3+23+....+n3

2.常見數(shù)列求和方法

2.1.分組求和法

——通過分組構造常見數(shù)列

分組法求和

【例1】

求數(shù)列｛〃(〃+1)(2〃+1)｝的前n項和

2.倒序相加法

----ai+an相等

2.2.倒序相加法求和

適合滿足如下條件的數(shù)列求和。

6+4〃必+%，…，%+4

所構成的新數(shù)列具有一定規(guī)律，一般為等差或等比數(shù)列，特殊情況為

4+%=。2+%一1=,,=%+%

詳情見數(shù)列求和之倒序相加法

【例2】

求si/1+sin22+???+sin288+sin289二？

第2頁共11頁

2.3.錯位相減法

【例3】

求數(shù)列紜品亭…前〃項的和

4.列項求和法

-------q=/(〃+1)-/(〃)

【例4】

__1_

"n(n+1)

【例5】

1

"〃(〃+1)(〃+2)

【例6】

1

“G+J.+1

【例7】

求證:cosl

cosOcoslcoslcos2cos88cos89sin2l

2.4.裂項相消法

第3頁共11頁

顧名思義，就是將數(shù)列an通項拆分為若干項，一般為某數(shù)列bn相鄰兩項

之差，這樣求和時便可以抵消中間部分，只剩首尾兩項。常見的能夠裂項的數(shù)

列如下所示。

b

4

77(77+67)an勿+Q

=lii----=ln(〃+1)-11177

n

Q-1

nJ/7+I+五

=%?加=(%+!一〃!

an1)

n11

Q------------........................

(〃+l)!n!(w+1)!

T11

4一(2n-l)(2n+1-1)-2n-l-2M+1-l

11(11)

%

7?(77+1)(/7+2)2[，(〃+l)(77-bl)(z?4-2)?

詳情見數(shù)列求和之裂項相消法。

2.5.數(shù)列求和之裂項相消法

]

{an+b)(cn+d)

0

(ad-be)an+bcn+d

2.6.錯位相減法

適用于差比數(shù)列求和，即an=bncn,其中bn為等差數(shù)列，cn為等比數(shù)列。

第4頁共11頁

詳情見數(shù)列求和之錯位相減法。

2.7.數(shù)列求和之錯位相減法

4=bnCn

等差X等比

2.8.數(shù)列求和之倒序相加法

S=q+生+…+%

S=4+。?_1+…+弓

2s=(q+&)+…+(4+4)

2.9.公式法

顧名思義，直接利用等差數(shù)列和等比數(shù)列求和公式進行求解，公式如下

等差數(shù)列：

第5頁共11頁

2.10.分組求和法

適合由兩容易求和的數(shù)列相加組成的數(shù)列求和。即可以寫成如下表達形式

的數(shù)列

且bn和cn的和可利用其他求和方式進行求解。

詳情見數(shù)列求和之公式法和分組求和法。

數(shù)列求和之公式法和分組求和法

等比數(shù)列

叫(9=1)

=<4。一

(#1)

.1—9

2.11.數(shù)學歸納法

數(shù)學歸納法是一種數(shù)學證明方法，通常被用于證明某個給定命題在整個/局

部自然數(shù)范圍內成立。

2.12.觀察法

即通過Sn的前幾項結果猜想Sn的表達式，然后通過證明該猜想得到求和

結果，一般可采用數(shù)學歸納法進行證明。

詳情見數(shù)列求和之數(shù)學歸納法和觀察法。

數(shù)列求和之數(shù)學歸納法和觀察法

第6頁共11頁

3.數(shù)列求和方法總結

下面將對數(shù)列求和方法做一個總結，同時會列舉一些高考真題及解答，以

加深大家對這些方法的認識和理解。

詳情見數(shù)列求和之總結篇。

4.課后作業(yè)

4.1.利用常用求和公式求和

cn(a+a)n(n-\),

1、等差數(shù)列求和公式：S”=qx^n=na.+———-d2、等比數(shù)列求和公式:

”212

na、(q—1)

S?='=4—a“q牛

\-q~\-q7

［例1］已知log3X=----------，X+X~+%3H-------FX”+一?的前n項和.

log23

S

［例2］設S,,=l+2+3+...+n,ndN*,求/(〃)=-------------的最大值.

(〃+32電+］

4.2.錯位相減法求和

第7頁共11頁

這種方法是在推導等比數(shù)列的前n項和公式時所用的方法，這種方法主要用于求數(shù)列｛a?-b?｝的前n

項和，其中｛a。）、｛bO｝分別是等差數(shù)列和等比數(shù)列.

［例3］求和：S“=l+3x+5x2+7x3+???+（2〃-1）X"T..............①

2462n

［例4］求數(shù)歹lj—f，…刖n項的和.

222232"

4.3.倒序相加法求和

這是推導等差數(shù)列的前n項和公式時所用的方法，就是將一個數(shù)列倒過來排列（反序），再把它與原

數(shù)列相加，就可以得到n個（%+%）.

［例6］求sin?10+sin22°+sin23°H---i-sin2880+sin289°的值

4.4.分組法求和

有一類數(shù)列，既不是等差數(shù)列，也不是等比數(shù)列，若將這類數(shù)列適當拆開，可分為幾個等差、等比或

常見的數(shù)列，然后分別求和，再將其合并即可.

［例7］求數(shù)列的前n項和：1+1,F4,——+7,--?,----+3/2—2,...

aa2an-'

［例8］求數(shù)列｛n（n+l）（2n+l））的前n項和.

4.5.裂項法求和

這是分解與組合思想在數(shù)列求和中的具體應用.裂項法的實質是將數(shù)列中的每項（通項）分解，然后

重新組合，使之能消去一些項，最終達到求和的目的.通項分解（裂項）

sinl°

如:⑴an=/(n+l)-/(n)(2)tan(n+1)°-tann

cosn°cos(h4-l)0

1I(2〃)21+?2〃一12〃1+1

(3)⑷%)

〃(〃+1)nn+1(2n-l)(2n+l)

〃(〃-11)5+2)=如(〃1+1)(〃+1)(1〃+2)

(5)］

幾十212(〃+1)—〃111—,則S“=1----1—

-n-1

%?(/1+1)'2"~n(n+l),'T~n-2-(n+1)2""(〃+1)2"

111

［例9|求數(shù)歹ij---產(chǎn),—7=---7=,■,,,~i=---------/，….的前n項和.

1+J2J2+J3++l

12n,2

［例10］在數(shù)列｛an｝中，an=----+----+???+----，又b.=---------，求數(shù)列｛bn｝的前n項

幾+1〃+1〃+1an?arl+i

第8頁共11頁

的和.

111cosl0

［例11］求證:------------1-------+--.-.-.--I-------------------------

cosO°cosl°cosfcos2°cos88°cos89sin2r

5.答案

［例1］

1-111c1

解：由lOg3X=-----=>log3x=-log32=>x=—

log232

J(i__L)

■,x(\-xn｝1

由等比數(shù)列求和公式得：S=x+x+x+,—l-x"=-------=--------------=1--------

1-x.12"

1—

2

［例2］.

解：由等差數(shù)列求和公式得Sn=g〃(〃+1),S,,=；(〃+1)("+2)

???/(?)=---------=——-----=----------=-------------<—???當—-［，即

(〃+32)品獷+34”+64H34+64(向力)由。50返

nyin

n=8時，?//(\n/ma)x=—50

［例3］

解：由題可知，｛(2〃-l)x"T｝的通項是等差數(shù)列｛2n—1｝的通項與等比數(shù)列｛xn~'｝的通項之積：

設xS“=lx+3x2+5x3+7x4++…②(設制錯位)

①—②得(1—x)S“=1+2x+2廠+2,x+2x"H—,+2.x"1-(2〃-l)x"

1_x"T

n

(錯位相減)再利用等比數(shù)列的求和公式得：(1-x)Sn=1+2%---------(2n-l)x.

1-x

(2〃—l)x""—(2〃+l)x"+(1+x)

o,.=-------------------------------：---------------------

(If

［例4］

246In

設S”==-+—r+—r+--,H.......................................①

222232”

2462〃

=------1--------1--------F-.?+----...……②①一②得

2223242,,+,

第9頁共11頁

“1、。222222〃c12〃

(1一二電二二+3+不+二+…+二一；^=2-77T―、

［例6］

解：^S=sin2l°+sin220+sin230+---+sin288°+sin289°.......①

將①式右邊反序得：S=sin289°+sin288°+—Fsin230+sin220+sin210...②

又因為sinx=cos(90°-x),sin2x+cos2x=l,①+②得：

2S=(sin2l+cos2f)+(sin220+cos22°)+*-i+(sin289：+cos2890)=89s=44.5

［例7］

解：設=(1+1)+(—F4)+(――+7)H---F(——+3〃-2)

acran~

將其每一項拆開再重新組合得

Sn=(1+—+-4~+???+^Y)+(1+4+7+???+3〃-2)(分組)

aaa

1」

當a=］時，S“=〃+吐業(yè)=空迦(分組求和)當時，S,,=Y+叁』

n22",12

1---

a

_a-a［~n(3〃—1)〃

CL~\2

［例8］解：設cik=k(k+1)(2%+1)=2k‘+3k2+k:.Sn=^k(k+1)(2^+1)=

k=\

￡(2公+3/+左)

k=\

〃〃n

將其每一項拆開再重新組合得：S?=2J2后3+3工&?+Zk=

k=\k=］k=\

2(l3+23+---+/73)+3(l2+22+---+n2)+(l+2+---+n)

n2(n+1)2〃(〃+l)(2〃+l)n(n+l)?(n+l)2(n+2)

=---------1--------------1-------=-------------

222