高中數(shù)學人教A版選修2-2課件2-2-2反證法3

第二章推理與證明人教版選修2-22.2直接證明與間接證明2.2.2反證法1．[問題]

A、B、C三個人，A說B撒謊，B說C撒謊，C說A、B都撒謊．則C必定是在撒謊，為什么？[提示]假設(shè)C沒有撒謊，則C真．那么A假且B假；由A假，知B真．這與B假矛盾．那么假設(shè)C沒有撒謊不成立；則C必定是在撒謊．入門答疑2．已知正整數(shù)a，b，c滿足a2＋b2＝c2，求證：a，b，c不可能都是奇數(shù)．[問題1]你能利用綜合法和分析法證明該問題嗎？[提示]不能．[問題2]

a，b，c不可能都是奇數(shù)的反面是什么？[提示]都是奇數(shù)．一、定義假設(shè)原命題

，經(jīng)過正確的推理，最后得出矛盾，因此說明

，從而證明了

，這種證明方法叫做反證法．二、反證法常見的矛盾類型反證法的關(guān)鍵是在正確的推理下得出矛盾，這個矛盾可以是與

矛盾，或與

矛盾，或與

矛盾等．不成立假設(shè)錯誤原命題成立已知條件假設(shè)定義、公理、定理、事實走進教材反證法的實質(zhì)及注意事項(1)反證法的實質(zhì)反證法不直接證明命題，而是從原命題的反面入手，合乎邏輯地推出一個矛盾結(jié)果，由于兩個相互矛盾的判斷必有一真一假，由此肯定命題“若p則q”為真．(2)注意事項①用反證法證明問題的第一步是“反設(shè)”，這一步一定要準確，否則后面的過程毫無意義．②反證法的“歸謬”要合理．思維啟迪1．用反證法證明命題“若整系數(shù)一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)有有理根，那么a，b，c中至少有一個是偶數(shù)”時，下列假設(shè)中正確的是(

)A．假設(shè)a，b，c都是偶數(shù)B．假設(shè)a，b，c都不是偶數(shù)C．假設(shè)a，b，c中至多有一個是偶數(shù)D．假設(shè)a，b，c中至多有兩個是偶數(shù)答案：

B2．用反證法證明一個命題時，下列說法正確的是(

)A．將條件和結(jié)論同時否定，推出矛盾B．肯定條件，否定結(jié)論，推出矛盾C．將被否定的結(jié)論當條件，經(jīng)過推理得出結(jié)論只與原題條件矛盾，才是反證法的正確運用D．將被否定的結(jié)論當條件，原題的條件不能當條件答案：

B3．用反證法證明“一個三角形不能有兩個直角”有三個步驟：①∠A＋∠B＋∠C＝90°＋90°＋∠C＞180°，這與三角形內(nèi)角和為180°矛盾，故假設(shè)錯誤．②所以一個三角形不能有兩個直角．③假設(shè)△ABC中有兩個直角，不妨設(shè)∠A＝90°，∠B＝90°.上述步驟的正確順序為________．解析：由反證法的一般步驟可知，正確的順序應為③①②.答案：③①②平面上有四個點，假設(shè)無三點共線，證明以每三點為頂點的三角形不可能都是銳角三角形．

題型一：用反證法證明否（肯）定式命題[思路點撥]

1.結(jié)論中含有“不”、“不是”、“不可能”、“不存在”等詞語的命題，此類問題的反面比較具體，適于應用反證法．2．用反證法證明問題的一般步驟：(1)假設(shè)命題的結(jié)論不成立，即假設(shè)結(jié)論的反面成立．(2)從這個假設(shè)出發(fā)，經(jīng)過推理論證，得出矛盾．(3)從矛盾判定假設(shè)不正確，從而肯定命題的結(jié)論正確．規(guī)律方法變式訓練[思路點撥]

結(jié)論中有詞語“至少”，宜采用反證法，注意“至少有一個”的否定形式為“一個也沒有”．題型二：用反證法證明“至多”或“至少”類命題邊聽邊記1.當命題出現(xiàn)“至多”“至少”等形式時，適合用反證法．2．常見的“結(jié)論詞”與“反設(shè)詞”規(guī)律方法變式訓練過平面α上一點A，作直線a⊥α，求證：a是唯一的．

[思路點撥]

原結(jié)論為唯一性命題，宜采用反證法．證明：假設(shè)a不是唯一的，則過點A至少還有一條直線b滿足b⊥α.∵a，b是相交直線，∴a，b可以確定一個平面β.設(shè)α和β相交于過點A的直線C.∵a⊥α，b⊥α，∴a⊥c，b⊥c.題型三：用反證法證明唯一性問題這樣在平面β內(nèi)，過點A就有兩條直線垂直于c，這與定理產(chǎn)生矛盾．故過點A垂直于平面α的直線有且只有一條，即a是唯一的．用反證法證明唯一性命題的適用類型(1)當證明結(jié)論以“有且只有”“只有一個”“唯一存在”等形式出現(xiàn)的命題時，由于反設(shè)結(jié)論易于推出矛盾，所以用反證法證明唯一性就非常簡單明了．(2)用反證法證題時，一定要處理好推出矛盾這一步驟，因為反證法的核心就是從求證的結(jié)論反面出發(fā)，導出矛盾的結(jié)果，因此如何導出矛盾，就成為了關(guān)鍵所在，對于證題步驟，絕不可死記，而要具有全面扎實的基礎(chǔ)知識，靈活運用．特別提醒：證明“有且只有一個”的問題，需要證明兩個問題，即存在性問題和唯一性問題．規(guī)律方法3．求證方程2x＝3有且僅有一個實根．證明：∵2x＝3，∴x＝log23，這說明方程有一個根．下面用反證法證明根的唯一性．假設(shè)方程2x＝3有兩個根b1，b2(b1≠b2)，則2b1＝3,2b2＝3，兩式相除得2b1－b2＝1，如果b1－b2＞0，則2b1－b2＞1，這與2b1－b2＝1相矛盾．變式訓練如果b1－b2＜0，則2b1－b2＜1，這與2b1－b2＝1相矛盾．因此b1－b2＝0，則b1＝b2，這與b1≠b2相矛盾．如果方程的根多于兩個，同樣可推出矛盾．故方程2x＝3有且只有一個根．用反證法證明命題“a，b為整數(shù)，若a·b不是偶數(shù)，則a，b都不是偶數(shù)”時，應假設(shè)為________．【錯解】

a，b不都是偶數(shù)【錯因】應用反證法時，假設(shè)錯誤a，b不都是